CC BY
37
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 20. ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 2009. № 4
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОНЯТИЙ И ИХ СИСТЕМ
В СОВРЕМЕННОМ ОБУЧЕНИИ
Л.И. Токарева
(кафедра алгебры и геометрии Новгородского государственного университета
имени Ярослава Мудрого; e-mail: novsu@novsu.ru)
В статье представлен процесс формирования фундаментальных математических понятий и их систем на гносеологическом и генетическом уровнях. Рассмотрены отдельные фрагменты формирования системы понятий "Уравнения и неравенства".
Ключевые слова: фундаментальные математические понятия, гносеологический уровень, генетический уровень, функции фундаментальных понятий.
В целях повышения научно-теоретического уровня, практической направленности предметного обучения начиная с 70-х гг. ХХ столетия и по настоящее время осуществляется модернизация школьного образования, в частности математического, а вместе с тем и предмета "Математика".
Несмотря на произошедшие позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики, до настоящего времени не искоренены многие негативные стороны в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры, алгебры и начал анализа), в знаниях учащихся, в существующей системе формирования теоретических знаний.
В действовавших ранее программах по математике и ныне действующей можно выделить следующие недостатки:
1) представленные цели в большей степени являются декларированными, ибо они незначительно связаны с понятийным содержанием и тем более со средствами обучения;
2) не выделены группы понятий: неопределяемые, общие, фундаментальные, а соответственно и критерии, по которым понятия относятся к тем или другим;
3) не ставится вопрос об объединении понятий в системы и тем более о формировании систем понятий;
4) не ставится вопрос о формировании у учащихся обобщенных приемов учебной деятельности;
5) не выделяются учебные задачи, в ситуациях которых должен проходить процесс формирования математических понятий и их систем;
6) в перечне умений отсутствует главный показатель, ради которого, собственно говоря, и изучается математическое содержание: качество знаний, которое должно быть сформировано у учащихся к концу изучения тем, разделов, а также на заключительных этапах обучения в школе.
Нами были проведены длительный констатирующий (1985— 1997 гг.) и повторный (2003—2005 гг.) эксперименты, которыми было охвачено 38 школ, 780 классов, 4642 ученика и 1976 абитуриентов различных городов и регионов: Саратова, Саратовской области, Магнитогорска, Рязани, Воронежа, Уфы, ряда районов Башкортостана, Алма-Аты, Нальчика, С.-Петербурга, Великого Новгорода.
Эксперимент проходил с 7-го по 11-й классы включительно и имел целью установить сформированность фундаментальных математических понятий и их систем на понятийно-теоретическом и идейно-теоретическом уровнях. Нами использовались методы: анкетирование, интервьюирование, тестирование, проведение контрольных работ и зачетов.
Полученные в ходе констатирующего эксперимента результаты позволили сделать следующие выводы.
1. До настоящего времени продолжает иметь место формализм в знаниях учащихся: 1) не умеют выделить структуру математического понятия; 2) не понимают характера связи признаков в определениях понятий; 3) затрудняются, если необходимо применить понятие в измененных и тем более нестандартных учебных ситуациях.
2. Значительное большинство учащихся (свыше 85%) затрудняются, если в той или иной учебной ситуации приходится оперировать одновременно несколькими математическими понятиями и устанавливать между ними содержательные и процессуальные связи.
3. К концу обучения в средней школе у 85—90% учащихся не формируются теоретические системы знаний и как следствие этого такие качества знаний, как гибкость, осознанность, широта, глубина, критичность мыслительной деятельности.
В целом результаты констатирующего эксперимента позволили обнаружить недостатки не только в знаниях учащихся, но в существующей системе формирования фундаментальных математических понятий. Обладая высоким информативным и функциональным потенциалом, именно фундаментальные понятия проецируют максимум новых знаний минимальными средствами, ибо они удовлетворяют следующим критериям: 1) изучаются на протяжении длительного периода времени; 2) способствуют наи-
более полной реализации внутрипредметных, внутрисистемных, межпредметных и межсистемных связей; 3) имеют широкую прикладную направленность; 4) способствуют формированию научного мировоззрения учащихся.
Фундаментальные математические понятия (уравнение, неравенство, функция, производная, интеграл и др.) и их системы по своему содержанию являются многоуровневыми, по природе — полисемантичными, а по выполняемым функциям (обобщающая, эвристическая, прогностическая и др.) — полифункциональными. Поэтому их изучение, исследование и последующее формирование у учащихся имеет огромное методологическое, мировоззренческое и практическое значение. К тому же эти понятия представляют собой узловые пункты, которые позволяют глубже проникать в материальный мир и осуществлять его преобразование.
Диалектическая логика при рассмотрении механизмов формирования теоретических понятий исходит из законов познания. Почти все понятия предмета математики (за редким исключением) являются теоретическими. Исследования методологов, философов, дидактов А.С. Арсеньева, В.С. Библера, Б.М. Кедрова, Е.К. Войшвилло, В.С. Готта, А.В. Усовой и многих других [1, 2, 3, 6] показали, что основным средством теоретического воссоздания изучаемого объекта в его конкретной целостности служит метод восхождения от абстрактного к конкретному.
В процессе формирования у учащихся математических понятий суть диалектического метода восхождения от абстрактного к конкретному будет проявляться прежде всего в теоретическом воспроизведении самими учащимися конкретной целостности объекта изучения.
Формирование теоретических обобщений при обучении математике можно проводить на разной основе: генетической, гносеологической, функциональной (в смысле выполнения определенных функций).
При обобщении на генетической (содержательной) основе раскрывается природа (происхождение) того или иного понятия и устанавливаются содержательные общности в трактовках фундаментальных понятий предмета. Такой подход позволяет устанавливать общее в различных проявлениях понятия и связи с другими понятиями. Но так как математика выполняет функции метода и языка многих естественных дисциплин, то происхождение большинства понятий предмета (уравнение, неравенство, тождество, функция и др.) является многоаспектным. Поэтому чтобы обобщение было полным, следует выделить и раскрыть все аспекты рассматриваемого понятия.
Так, при введении, дальнейшем формировании и интеграции понятий "уравнение", "тождество", "неравенство" целесообразно выделить три аспекта: алгебраический, функциональный, логический. Только в этом случае обобщение будет полным.
Однако проводить обобщение на генетической основе очень затруднительно, даже в пределах одного курса, например алгебры, не говоря уже о разных курсах: алгебры и геометрии, алгебры и тригонометрии, алгебры и начал анализа.
Еще имеет место одно объективное обстоятельство, которое не позволяет строить теоретическое обобщение только на генетической основе. Дело в том, что формирование, а следовательно, раскрытие всех свойств понятий, всех аспектов в школьном курсе математики осуществляется, как правило, в течение длительного периода времени (5—7 лет обучения). Поэтому выявить основную содержательную единицу при генетическом обобщении и не раскрыть всех существенных свойств понятия — это значит решить только один аспект проблемы формирования теоретического обобщения. Полностью обобщить понятие очень затруднительно даже на протяжении длительного периода времени.
Теоретическое обобщение, выполняемое на гносеологической (логической) основе, сводится к установлению общности в тех формах мышления, в которых зафиксировано знание в данном предмете. Содержание математики как учебного предмета может быть представлено в следующих формах математического мышления: понятиях, математических утверждениях, алгоритмах (алгоритмических предписаниях), математических методах. Независимо от конкретного содержания можно установить логическое единство в структуре всех фундаментальных понятий, всех утверждений и алгоритмов, частично и математических методов.
Теоретическое обобщение, выполняемое на функциональной основе, сводится к установлению общности функций, которые заключают в себе рассматриваемые понятия, алгоритмы или методы математики.
Математические понятия как сложные образования синтезируют в себе суждения, умозаключения, образуя новое единство, а потому процесс их возникновения, формирования и интеграции — это сложный, длительный во времени, многоуровневый процесс последовательного, логического оформления в мышлении учащихся теоретических знаний, их структурно-логической организации и нахождения для них адекватных форм выражения.
Анализ литературы [2, 4, 9] и экспериментальные исследования позволили нам выделить в формировании понятий и их систем два уровня обобщения.
Первый уровень — уровень гносеологического обобщения. На
данном уровне нами выделено четыре этапа.
Первый этап — вводно-мотивационный, на котором осуществляется накопление информационного материала:
— математических и учебно-познавательных фактов, доказанных ранее математических утверждений (лемм, теорем), способов решения математических задач, — это блок теоретических знаний, необходимый для формирования нового понятия;
— историко-математических знаний, которые позволяют установить: как зарождалось то или иное понятие в математической науке, как оно развивалось, выявить связи данного понятия с целым рядом других понятий, — это блок логико-формирующих средств, необходимый для формирования научного мировоззрения обучаемых.
Первый этап можно считать завершенным, если понятие, формируемое в сознании обучаемого, становится образом, но образом особого порядка: функционирующим в мышлении в неразрывной связи со словом, речью и обобщенным, вобравшим в себя особенности целого класса объектов.
Второй этап — этап образования связей между фактами. Математические факты на основе содержательных и операциональных связей выстраиваются в логические ряды, объединяемые формируемым понятием. На основе анализа фактических данных и их последующего обобщения выделяется содержательная абстракция — новое математическое понятие с присущей только ему структурой:
1) введение научного термина-слова, которое обозначает строго определенное понятие какой-либо области;
2) выделение содержания изучаемого понятия;
3) построение модели определения;
4) введение определения понятия, которое удовлетворяет требованиям четкости, ясности, соразмерности, отсутствия порочного круга, минимальности [1, 2, 3].
Данный этап в формировании понятия можно считать завершенным, если учащиеся смогут: 1) выделять существенные признаки понятия и устанавливать связи между ними; 2) выделять данное понятие из ряда других понятий по наличию существенных признаков; 3) работать при полной самостоятельности с различными знаковыми моделями (учебными картами, обобщающими таблицами, логико-структурными схемами, логическими моделями и др.); 4) уметь конструировать знаковые модели при полной самостоятельности.
Третий этап — этап содержательного обобщения. Формирование понятия на данном этапе требует нового обобщения, которое
приводит к образованию двухсторонних связей между понятиями. Существенную роль в образовании этих связей играют процессы дедукции и индукции, теоретического синтеза и анализа. На данном этапе раскрывается объем понятия — рассмотрение множества объектов, к которым применимы признаки, указанные в содержании. Устанавливается зависимость объема понятия от его содержания и наоборот. На данном этапе устанавливаются связи, отношения и закономерности, существующие между рассматриваемым понятием и целым рядом других, сформированных ранее: установление содержательных и процессуальных связей между "родословными" понятиями.
Третий этап в формировании понятия (понятий) можно считать завершенным, если учащиеся при полной самостоятельности смогут: 1) сконструировать требуемое понятие и выделить его существенные признаки; 2) устанавливать зависимости между содержанием и объемом понятия; 3) устанавливать содержательные и процессуальные связи между данным понятием и целым рядом других.
Четвертый этап — этап содержательной абстракции: 1) осуществление классификаций понятий: разбиение множества изучаемых понятий на классы и виды; переход от видового понятия к родовому, а затем осуществление перехода от родового понятия к видовому; 2) применение одного или нескольких понятий одновременно в измененных и нестандартных учебных ситуациях.
Продуктивность теоретического обобщения на гносеологическом уровне продиктована спецификой предмета математики. Именно через этот уровень обобщения мы выходим на необходимые и достаточные условия существования объектов, а следовательно, на генетический уровень.
Второй уровень — генетический (содержательный). На данном уровне нами выделено также четыре этапа.
Первый этап — этап образования внутренних (сущностных) связей. В результате активной учебно-познавательной деятельности учащиеся при полной самостоятельности конструируют обобщающие таблицы, логико-структурные модели изучаемых понятий. Учащиеся обучаются специальному способу видения в новом материале ранее изученных математических фактов.
Второй этап — этап теоретического обобщения. На данном этапе раскрываются содержательные и процессуальные, внут-рипредметные и межпредметные связи одного понятия с целым рядом других понятий.
Данный этап можно считать завершенным, если учащиеся смогут с подробным обоснованием: 1) выделять всю последовательность выполняемых операций; 2) осуществлять аргументированные
переходы от выполнения одних операций к выполнению других; 3) объяснять, какой математический или учебно-познавательный факт заложен в основу выполнения той или иной операции.
Третий этап — этап восхождения от абстрактного к конкретному. На данном этапе осуществляется классификация понятий: разбиение множества изучаемых понятий на классы и виды. Также осуществляется конструирование новых объектов, математических методов в рамках определенной теории (теория уравнений и неравенств, теория функций, теория дифференциального и интегрального исчислений и др.).
Данный этап можно считать завершенным, если обучаемые при полной самостоятельности (или при небольшой помощи учителя) смогут: 1) сконструировать требуемые математические понятия, раскрывая все существенные признаки в целостной совокупности; 2) выполнять деформированные задания (с ошибкой, недостающими или избыточными данными) с подробным обоснованием.
Четвертый этап — этап восхождения от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному. На данном этапе осуществляется исследование процессов реальной действительности и современного производства (решение прикладных и оптимизационных задач), математическими моделями которых являются изучаемые понятия. При решении прикладных и оптимизационных задач сначала осуществляется переход от задуманной практической ситуации к соответствующей математической модели, а затем осуществляется обратный переход от абстрактной математической модели к практической ситуации. Выполняется критическое осмысление полученных результатов.
Поэтапный характер формирования понятия обеспечивает прочное, действенное, осознанное, глубокое их усвоение учащимися и создает определенные условия для дальнейшего развития, применения и последующей интеграции понятий.
Генетический уровень в формировании математических понятий можно считать завершенным, если учащиеся будут обладать способностью к "свертыванию и развертыванию" процесса рассуждения при решении задач; способностью к быстрому переключению хода мысли на обратный в процессе формирования как отдельных математических понятий, так и систем понятий.
Представим отдельные фрагменты формирования системы понятий "Уравнения и неравенства" в курсе математики средней школы.
Для создания, дальнейшего формирования и последующей интеграции системы понятий "Уравнения и неравенства" нам предстояло: 1) ввести учащихся в ситуацию учебной задачи, кото-
рая сразу позволяет прогнозировать конечный результат деятельности; 2) выделить теоретические блоки (подсистемы понятий), включающие различные виды уравнений, неравенств, методы и приемы их решения, доказательства, исследования; 3) осуществить в каждом из блоков формирование понятий по типу теоретического обобщения: на гносеологической и генетической основах; 4) осуществить объединение подсистем понятий на основе категориального синтеза в единую систему, которая получит дальнейшее формирование и применение [1, 5, 7, 8, 9].
На основе выполненного локального структурирования содержания школьного математического образования (предмета математики) были выделены подсистемы понятий, адекватные концептуальным системам науки. Первая подсистема понятий включает: 1) понятия уравнения, функции, неравенства; 2) различные виды уравнений (неравенств): линейные, квадратные, дробно-рациональные, содержащие переменную под знаком модуля, иррациональные, с параметром, показательные, логарифмические, тригонометрические, методы и приемы их решения. Второй теоретический блок включает доказательство тождеств и неравенств (алгебраических и трансцендентных). Выделенные блоки представляют подсистемы понятий, так как образованны путем: 1) установления подчиненности вида роду; 2) обобщения на содержательной и функциональной основах.
Формирование целостной системы понятий "Уравнения и неравенства" происходило в ситуации учебной задачи, которая решалась на протяжении семи лет обучения (с 5-го по 11-й классы) — "Раскрытие структуры и содержания понятий уравнения, неравенства, их свойств, методов решения, доказательства и исследования на таком уровне теоретического обобщения, чтобы используемые и формируемые учебные действия могли быть применены к решению различных задач теоретического и прикладного характера".
При формировании первой подсистемы понятий большое внимание было уделено раскрытию механизмов процесса решения и исследования следующих видов уравнений и неравенств: а) содержащих переменную под знаком модуля; б) иррациональных; в) с параметром; г) показательных, логарифмических, тригонометрических. Формирование понятий осуществлялось на генетическом уровне.
Первый этап — установление внутренних связей между понятиями и построение инварианта теоретической системы знаний. Математические задачи предлагались по нарастающей степени трудности.
Второй этап — этап восхождения от абстрактного к конкретному.
Для овладения сложными умениями характеризовать инвариант системы и давать обобщенную характеристику уравнениям, неравенствам, мы предлагали следующие типы математических задач, в процессе решения которых учащиеся анализировали, сравнивали, обобщали и делали аргументированные выводы.
Генетический уровень в формировании понятий можно считать завершенным, если учащиеся смогут: 1) устанавливать содержательные и процессуальные связи между видом уравнения (неравенства) и его решением и наоборот; 2) выделять ведущую математическую идею процесса решения; 3) обосновывать каждую выполняемую операцию.
Обратимся к формированию других фундаментальных понятий — "решение логарифмического уравнения", "решение логарифмического неравенства". Эти понятия, так же как и предыдущие, — абстракции высокого уровня, содержащие в себе широкий спектр математических фактов, многие из которых получены на основе диалектического подхода.
В экспериментальном обучении формирование указанных понятий осуществлялось в ситуации решения учебной задачи на генетическом уровне.
Первый этап — раскрытие механизмов процесса решения логарифмических уравнений и неравенств.
Второй этап — этап восхождения от абстрактного к конкретному. Учащиеся при полной самостоятельности моделируют внутреннюю структуру понятия — "решение логарифмических неравенств вида loga f (х) ^ loga g(x)", где f (x), g(x) — некоторые функции.
Третий этап — этап содержательной абстракции и обобщения: исследование процессов действительности с помощью аппарата логарифмических уравнений и неравенств: 1) анализ условия задач; 2) мысленное конструирование модели; 3) математическое моделирование; 4) исследование математической модели; 5) критическое осмысление полученных результатов.
Четвертый этап — этап восхождения от конкретного к абстрактному и наоборот — самостоятельное конструирование прикладных задач с последующим решением (выделение всех этапов).
Систему понятий "Уравнения и неравенства" можно считать сформированной у учащихся, если они смогут с подробным обоснованием: 1) выполнять решение и конструирование различных видов уравнений и неравенств; 2) выполнять доказательство неравенств с помощью различных научных теорий; 3) осуществлять исследование свойств функций; 4) осуществлять исследование процессов действительности и современного производства.
3 ВМУ, педагогическое образование, № 4
Список литературы
1. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления: Логико-гносеологический анализ. М., 1989.
2. Арсеньев А.С. Анализ развивающегося понятия. М., 1967.
3. Готт В.С. Общенаучные понятия и их роль в познании. М., 1975.
4. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М., 1975.
5. Зорина Л.Я. Дидактические аспекты естественно-научного образования. М., 1993.
6. Усова А.В. Совершенствование системы естественно-научного образования в школе. Челябинск, 2002.
7. Талызина Н.Ф. Формирование приемов математического мышления М., 1995.
8. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996.
9. Токарева Л.И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении // Вестн. Челябинского гос. пед. ун-та. 2005. № 10. С. 287—299.
THEORETICAL BASES OF FORMING FUNDAMENTAL
CONCEPTIONS AND THEIR SYSTEMS IN MODERN
EDUCATION
L.I. Tokareva
The article presents the process of forming fundamental mathematical conceptions and their systems on the gnosiological and genetic levels. Separate fragments of forming the conception system "Equations and inequalities" are regarded.
Key word: fundamental mathematical conceptions, gnosiological levels, genetic levels, functions of fundamental conceptions.
Сведения об авторе
Токарева Людмила Ивановна — кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого. Тел. (8162) 66-99-33; e-mail: novsu@novsu.ru
