CC BY
86
УДК 37.016:51 ■
Л. И. Токарева
МОДЕЛИ СОДЕРЖАНИЯ СИСТЕМ ПОНЯТИЙ КАК ОРИЕНТИРЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
В настоящее время значительно углубляется перестройка школы, призванная обеспечить высокое качество обучения, воспитания и развития учащихся. Решение этой задачи во многом зависит от организации учебно-воспитательного процесса, от формирования в нем теоретических систем понятий, обладающих более высоким познавательно-развивающим потенциалом по сравнению с отдельными понятиями. Поэтому математическая наука и школьное математическое образование делают акцент на формирование общих теоретических систем понятий. Формирование целостных систем понятий происходит в процессе ак тивной учебно-познавательной деятельности учащихся. При существующей системе обучения математике решение этой задачи практически не достигается. Об этом свидетельствуют результаты, полученные в ходе нашего многолетнего педагогического эксперимента, в котором учувсгвовало свыше 4000 учащихся различных регионов (Великий Новгород, С.-Петербург, Уфа, Рязань, Саратов и др.).
В целях повышения теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Произошли позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики: уточнены и усилены многие теоретические знания и их модельные представления. Вместе с тем не были преодолены многие недочеты в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа), в знаниях учащихся, в существующей системе формирования математических понятий.
Обращает на себя внимание низкое качество усвоения фундаментальных понятий: уравнения, неравенства, тождества, функции, первообразной, интеграла. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно: каждый вводимый математический факт изучается как совершенно новый и по форме и по содержанию. Поэтому требуется определенная перестройка процесса обучения математике, формирования у учащихся системы математических понятий. Важнейшими стимулами перестройки становятся: социальный заказ общества, тенденции развития методологии математической науки, теории познания, последние научные достижения в областях психологии, дидактики, акмеологии, психодидактики.
Важными направлениями совершенствования школьного математического образования, предмета математики могут стать: 1) структури-
рование учебного материала; 2) конструирование моделей содержант систем математических понятий.
Под структурированием учебного материала предмета математики мы понимаем процесс выявления понятийного содержания (математические понятия, их структура, системы понятий, математические утверждения и методы их доказательства), функций, которыми обладают теоретические знания, а таюке содержательных и процессуальных связей, существующих между ними. Понятийное содержание и связи, имеющие место в этом содержании образуют определенную структуру учебного материала, которую целесообразно рассматривать как некоторую модель, характеризующую внутреннюю организацию материала, соответствующую поставленным целям его изучения и выделенным средствам: математическим (типы задач и методы их решения), дидактическим (приемы учебнопознавательной деятельности) и методическим (различные виды наглядности: опорные конспекты, учебные карты и др.).
Научная методология структурирования учебного содержания может быть представлена системно-деятельностным подходом, моделированием, методом графов и матриц [1; 2; 5; 6; 8; 14; 15; 18]. Структурирование учебного материала всего курса математики является глобальным, в то время как структурирование систем фундаментальных понятий, является локальным. Их локальный характер обусловлен некоторой замкнутостью в рамках определенных научных теорий, целостностью сущностного отражения в этих системах понятий определенных процессов реальной действительности и современного производства.
1 Гроведенные нами теоретические и экспериментальные исследования позволили установить, что система математических понятий - это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к определенной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, адекватной их содержанию [6; 8; 10-13; 16-18].
Важнейшими элементами содержания систем понятий выступают концептуальные блоки обобщенных знаний, их логико-математические и логико-структурные связи, в том числе, различные математические закономерности.
При выделении теоретических систем понятий мы исходили из основной проблемы, стоящей перед школой: формирование понятий на таком уровне обобщения, чтобы их можно было применять в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, нестандартных [2; 3; 4; 9; 16].
Нами были выделены следующие системы понятий:
1. Уравнения и неравенства.
2. Уравнения и тождества.
3. Функция, производная, интеграл.
Являясь теоретическими целостностями, представленные системы соответствуют основным областям научных знаний и имеют большое мировоззренческое, теоретическое и прикладное значение. Иерархическую структуру этих систем понятий сложно отнести полностью к линейным или концентрическим в дидактическом понимании таковых применительно к учебному материалу [5; 9]. Структуры таких систем понятий ближе к блочноиерархическим. Логическая последовательность изучения отдельных элементов и связей внутри таких систем понятий также не имеет выраженного линейного характера, так как в них одно понятие выражается через другое, генетически связанное с ним. Это вносит в линейную схему их изучения разные ответвления, отражающие концентрический характер познания взаимосвязанных и взаимозависимых понятий.
Локальное структурирование систем фундаментальных математических понятий, имеющих иерархически сложные структуры, направлено на выделение инварианта (общей, неизменной части) этих обобщенных знаний в виде блоков, несущих наибольшую научно-информационную и учебно-познавательную нагрузку, и их связей, обеспечивающих функционирование теоретических знаний на различных уровнях и этапах их формирования [5; 9; 10; 13; 16].
Нахождение инвариантов теоретических знаний путем выделения основных блоков (подсистем) понятий, обеспечивающих системность, действенность, обобщенность и интегративность систем понятий - главная цель локального структурирования.
Выполненные теоретические исследования [5; 6; 8; 14; 15] позволили нам выделить и представить задачи локального структурирования;
1. Анализ содержания, связей и отношений совокупности математических понятий, включаемых в определенную систему.
2. Объединение отдельных математических понятий в блоки (подсистемы), несущие основную содержательную, логическую и системо образую -щую нагрузку и обеспечивающие ведущие функции системы: обобщающую, систематизирующую, эвристическую, прогностическую. Установление иерархии понятий как в системе, так и в подсистемах.
3. Установление условий функционирования данной системы понятий в обучении математике, ее внутрисистемных, внугрипредметных, межсистем-ных и межпредметных связей.
4. Построение моделей инвариантного содержания систем понятий, которые отражают их структуру и являются определенными ориентирами для управления процессами формирования и дальнейшего развития систем понятий в обучении.
Локальное структурирование базируется на важнейших положениях теории познания и отражает следующие психолого-педагогические принципы: 1) системность, целостность, обобщенность, полифункциональность фун-
даментальных понятий школьного курса математики; 2) взаимосвязь многоаспектной природы фундаментальных математических понятий с их системно-деятельностной сущностью, что способствует формированию и последующему функционированию знаний в различных учебных ситуациях.
Объектами структурирования выступают фундаментальные понятия школьного курса математики, которые подробно представлены в нашей работе [10, с. 292]. Эти понятия являются математическими моделями процессов действительности и современного производства: экономических, физических, химических. В качестве средств структурирования и построения моделей инвариантов рассматриваемых систем понятий нами использовались логико-математический, системно-структурный и системно-деятельностный подходы, а также концептуальные схемы математики, разрабо танные известными методологами науки А. А. Столяром и Л. М. Фридманом [7; 17].
Качественными критериями структурирования и конструирования моделей систем понятий являются:
1. Научность (соответствие в определенной степени школьных понятий и их систем научным).
2. Изоморфность (сохранение в модели основных компонентов и связей, присущих исходной системе понятий).
3. Системность (отражение в модели ведущих функций системы).
4. Наглядность (выделение и представление всей внутренней структуры рассматриваемой системы понятий).
В составе системы понятий выделяют объяснительную и прагматическую части: инвариантное ядро, сферу, периферию [9]. Поэтому при выделении инвариантов системы понятий мы исходили из: 1) уровневого и многоэтапного характера системы понятий; 2) деления содержания инварианта на теоретическое ядро, сферу и периферию.
Теоретическое ядро понятий отражает всеобщие признаки и отношения обобщаемых объектов, которые являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности знаний, составляющих систему. Сфера отражает специфические свойства и отношения объектов. Периферия отражает индивидуальные признаки понятий, обеспечивает конкретное проявление всеобщих и особенных свойств и отношений в их единстве, связь теоретических знаний с реальной действительностью.
Модели содержания систем фундаментальных математических понятий используются в процессе обучения математике в качестве:
1. Средства выделения сущностных и важных в теоретическом и практическом отношении признаков и связей объектов.
2. Формы связей содержательного и наглядно-образного компонентов в процессе формирования математических понятий.
3. Основы для установления внутрисистемных, внутрипредметных, меж-си стемных и межпредметных связей.
4. Основы для формирования творческого мышления учащихся.
5. Базы для формирования таких видов деятельности, которые с самого начала включают в себя заданную систему теоретических знаний и обеспечивают их применение в заранее установленных пределах (областях).
Обратимся к рассмотрению системы понятий «Уравнения и неравенства». Понятия уравнения и неравенства - это фундаментальные понятия в математической науке и в школьном курсе математики.
В математике в становлении и развитии этих понятий можно выделить три периода.
Первый период (XV-XVI вв.) - трактовка уравнений и неравенств как числовых равенств и неравенств соответственно. В данном периоде в трактовках понятий, в методах их решениях можно выделить два аспекта: алгебраический и логический, при ведущей роли алгебраического.
Второй период (ХУП~Х1Хвв.) - функциональная (классическая) трактовка. В трактовках понятий уравнения (неравенства), в методах их решения, исследования и доказательства имели место три аспекта: алгебраический, логический, функциональный, при ведущей роли функционального.
Третий период (с XX в. по настоящее время) - современная или теоретико-множественная трактовка уравнений и неравенств. В этой трактовке имеют место три аспекта: алгебраический, функциональный, логический при большей актуализации логического.
Периоды, имеющие место в математической науке находят определенное отражение в действующих и экспериментальных учебниках математики при ведущей роли алгебраического аспекта. Недооценивание функционального и логического аспектов приводит к тому, что у у чащихся не происходит формирование целостных, системных знаний, а следовательно, и таких качеств, как гибкость, осознанность, широта, глубина, критичность мышления.
При образовании системы понятий «Уравнения и неравенства» и последующем ее развитии все три аспекта должны активно функционировав ность, так как отражают всеобщие признаки системы, а также являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности понятий, составляющих систему. Они представляют теоретическое ядро системы знаний. Сферу данной системы представляют виды уравнений и неравенств, ведущую основу процесса решения или доказательства которых составляют свойства функции: область определения, свойство монотонно сти. Периферию данной системы представляют конкретные виды уравнений и неравенств, которые являются математическими моделями процессов реальной действительности [10; 11; 12].
Научной основой образования системы понятий «Уравнения и неравенства» в школьном курсе является понятие функции (или аналитического выражения). Ведущей идеей данной системы является процесс решения и
исследования различных видов уравнений, неравенств и доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных). В оформленном виде система представляет собой многоэтапную и иерархически организованную систему обобщенных знаний.
Содержание системы понятий «Уравнения и неравенства» составляют два взаимосвязанных и взаимозависимых блока (подсистемы). В первый блок (теоретическую подсистему) входят математические факты: понятия выражения с переменной, равенства с переменной, функции, ОДЗ функции, различные свойства функции (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.). Понятия функции и свойства функции составляют содержательную основу процесса решения следующих видов уравнений и неравенств: иррациональных, показательных, логарифмических, показательнологарифмических, с модулем, с параметром, тригонометрических, а также доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных).
В экспериментальном обучении каждый из этапов процесса решения полностью раскрывался перед учащимися. Большое внимание уделялось доказательству тригонометрических неравенств, ибо, этот вопрос имеет большое теоретическое и оптимизационно-прикладное значение [И; 12].
Во второй теоретический блок входят понятия логического следования и логической равносильности. Этим понятиям в школьном курсе уделяется очень мало внимания, что отрицательно сказывается на: 1) умении логически мыслить; 2) выделении главного и второстепенного; 3) умении делать аргументированные выводы.
Взаимосвязи между представленными блоками выражают структуру теоретического ядра и являются одновременно исходным генетическим от ношением для развертывания всей совокупности знаний методом восхождения от абстрактного к конкретному.
В экспериментальном обучении формированию представленных подсистем понятий у учащихся уделялось большое внимание, что способствовало установлению содержательных, процессуальных и функциональных связей между уравнениями, неравенствами, функциями, методами их решения, исследования и доказательства, а в целом способствовало формированию на достаточно высоком научно-теоретическом уровне системы «Уравнения и неравенства».
Внутреннюю организацию системы понятий «Уравнения и неравенства» мы рассматриваем как инвариант системы, что в свою очередь, позволило сконструировать модель содержания данной системы понятий (рисунок). Сконструированная модель представляет собой абстрактно-общий инвариант системы, включающий важнейшие содержательные компоненты и логико-структурные связи.
Проведенные нами теоретико-экспериментальные исследования показали, что реализация представленной модели в учебном процессе позволяет
Свойства числовых равенств и неравенств
а *
I *
Я в
£
Я
*8
Моделирование процессов ' действительности и современно! о производства с помощью аппарата уравнений, неравенств, функций
1. По определению неравенства на аналитическом языке
2. Использование опорных неравенств
3. Возведение обеих частей неравенства в натуральную степень
4. От противного
5. По свойству транзитивности неравенств
6. Использование потаюй индукции
7. Использование математической индукции
8. Переход от неравенства к равенству
9. Использование элема ггов математического анализа.
!. Испага.зование опорных тригонометрических неравенств
2. Использование опорньк алгебраических неравенств
3. Оценка тригонометрических выражений
4. Исследование квадратичной функции
5. Решение алгебраических неравенств
6. Применение искусственных приемов
‘С
п
Модель содержания системы понятий «Уравнения и неравенства».
Методы и приемы доказ ательства неравенств
учитывать логико-познавательную природу и функции, закономерности формирования и интеграции математических понятий. Особенностью этой модели и аналогичных ей являются обобщенность, системность и прогностичноСТЬ.
Библиографический список
1. Вахтомин, Н. Г. Генезис научного знания: факт, идея, теория [Текст] / Н. Г. Вахтомин. - М.: Наука, 1973. - 286 с.
2. Давыдов, В. В. Теория развивающего обучения [Текст] / В. В. Давыдов. - М.; Педагогика, 1996. — 346 с.
3. Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст] // Учительская газета. - 2002. - №31. - С. 26-30.
4. Научные подходы к обновлению общего среднего образования: Сб. науч. тр. [Текст] / гл. ред. Ю. И. Дик. - М.: РАО, 2001. - 251 с.
5. Руза вин, Г. И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии [Текст] / Г. И. Рузавин//Кн.: Закономерности развития современной математики, — М.: Наука. - 1987. - С.157-164.
6. Сохор, А. М. Логическая структура учебного материала [Текст] / А. М. Сохор. -М.: Педагогика, 1974. - 186 с.
7. Столяр, А. А. Методы обучения математике [Текст] / А. А. Столяр. - Мн.: Вышэйшая школа, 1978.— 251 с.
8. Сухотин, А. К. Гносеологический анализ емкости знания [Текст] / А. К. Сухотин. - Томск: ТГУ, 1968. - 203 с.
9. Талызина, Н. Ф. Формирование математических понятий [Текст] / Н. Ф. Талызина//В Кн.: Формирование приемов математического мышления.-М.; МГУ, 1995.-С. 13-28.
10. Токарева, Л, И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Челябинского госуд. пед. ун-та. - 2005. — № 10. — С. 287-299.
11. Токарева, Л. И. Формирование учебно-познавательной деятельности у учащихся при изучении темы «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства» в 10 классе. [Текст] /Л, И. Токарева // Метод.пособие для учителей средних школ и студентов педуниверситетов. -Уфа.: Лаборатория школьной математики, 1993. - 183 с.
12. Токарева, Л. И. Методология формирования фундаментальных понятий и их систем в обучении математике [Текст] / Л. И. Токарева // Вестник Поморского ун- та. -2006.-№ 1 (9). — СЛ 32—137.
13. Tokarewa, L. I. Praga nauczyciela matematuki nad ksztaltowaniem tworczego myslenia uczniow [Text] / L. I. Tokareva // Kwartalnik Pedagogiczny, Rok XXX, Warszawa. - 1999. - S. 117-126.
14. Уемов, А. И. Системный подход и общая теория систем [Текст] / А. И. Уемов. - М.: Наука, 1978. -272 с.
15. Умай, И. О. О способах структурирования знаний в учебном материале [Текст]/И. О. Уман//Новые исследования в педагогических науках. - М., 1983, -№ 1. - С. 15-32.
16. Усова, А. В. Проблемы теории и практики обучения в современной школе [Текст] / А, В. Усова. - Челябинск: ЧГГГУ, 2000, - 221 с.
17. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике [Текст] / Л. М. Фридман. - М.; Моск. психолого-социальный ин-т, Изд-во «Флинта», 1998.-217с.
18. Штофф, В. А. Моделирование и философия [Текст] / В. А. Штофф. -М.; Л.: Наука, 1966.-302 с.
УДК 37
О. В. Фролов
КУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЕ АКЦЕНТЫ В ОРГАНИЗАЦИИ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ МЕНЕДЖЕРОВ ГОСУДАРСТВЕННОГО И МУНИЦИПАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Важным фактором успешной реализации задач административной реформы является правильная, педагогически обусловленная организация подготовки будущих менеджеров государственного и муниципального управления.
Подготовка специалистов - потенциальных носителей властных полномочий - с конца 90-х гг. XX в. ориентируется на социально - профессиональную компетентность; укрепляются связи образования и культуры; признается, что культура является определяющим условием реализации потенциала личности и общества, гуманистическим ориентиром и критерием развития человека и цивилизации; в образовательный процесс внедряются культуротворческие технологии.
Вступление России в Болонский процесс углубило требования к результату высшего образования, который формулируется в категории «компетенция/компетентность», отразившей суть новой парадигмы результата образования. Внимание представителей научно - педагогического сообщества сосредоточено на практике применения знаний, выработке операциональной и технологической составляющих, а не только на собственно теоретических знаниях; сложной интегративной (когнитивно-эмоциональной, ценностно - мотивационной, регулятивной) природе результата образования; на формируемости личного качества как сложного новообразования.
Компетентность, являясь сущностной характеристикой профессионала как человека культуры, актуализирует проблему определения стратегии в подготовке будущих менеджеров государственного и муниципального управления как субъектов культурно - исторического действия.
