CC BY
13
МОДЕЛИ СОДЕРЖАНИЯ СИСТЕМ ПОНЯТИЙ - КАК ОРИЕНТИРЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
Л.И. Токарева, кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого
В настоящее время значительно углубляется перестройка школы, призванная обеспечить высокое качество обучения, воспитания и развития учащихся. Решение этой задачи во многом зависит от организации учебно-воспитательного процесса, от формирования в нем теоретических систем понятий, обладающих более высоким познавательно-развивающим потенциалом по сравнению с отдельными понятиями. Поэтому математическая наука и школьное математическое образование делают акцент на формирование общих теоретических систем понятий. Формирование целостных систем понятий происходит в процессе активной учебно-познавательной деятельности учащихся. При существующей системе обучения математике решение этой задачи практически не достигается. Об этом свидетельствуют результаты, полученные в ходе нашего многолетнего педагогического эксперимента, в котором учувствовало свыше 4000 учащихся различных регионов (Великий Новгород, С.-Петербург, Уфа, Рязань, Саратов и др.).
В целях повышения теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Произошли позитивные изменения в понятийном аппарате школьного курса математики: уточнены и усилены многие теоретические знания и их модельные представления. Вместе с тем не были преодолены многие недочеты в содержании предмета (в основном это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа), в знаниях учащихся, в существующей системе формирования математических понятий.
До настоящего времени обращает на себя внимание низкое качество усвоения фундаментальных понятий: уравнения, неравенства, тождества, функции, первообразной, интеграла. По-прежнему все теоретические знания изучаются рядоположенно: каждый вводимый математический факт изучается как совершенно новый и по форме и по содержанию. Поэтому требуется определенная перестройка процесса обучения математике, формирования у учащихся системы математических понятий. Важнейшими стимулами перестройки становятся: социальный заказ общества, тенденции развития методологии математической науки, теории познания, последние научные достижения в областях психологии, дидактики, акмеологии, психодидактики.
Важными направлениями совершенствования школьного математического образования, предмета математики могут стать: 1) структурирование учебного материала; 2) конструирование моделей содержания систем математических понятий.
Под структурированием учебного материала предмета математики мы понимаем процесс выявления понятийного содержания (математические понятия, их структура, системы понятий, математические утверждения и методы их доказательства), функций, которыми обладают теоретические знания, а также содержательных и процессуальных связей, существующих между ними. Понятийное содержание и связи, имеющие место в этом содержании, образуют определенную структуру учебного материала, которую целесообразно рассматривать как некоторую модель, характеризующую внутреннюю организацию материала, соответствующую поставленным целям его изучения и выделенным средствам: математическим (типы задач и методы их решения), дидактическим (приемы учебно-познавательной деятельности) и методическим (различные виды наглядности: опорные конспекты, учебные карты и др.).
Научная методология структурирования учебного содержания может быть представлена системно-деятельностным подходом, моделированием, методом графов и матриц [1, 2, 5, 6, 8, 14, 15, 18]. Структурирование учебного материала всего курса математики является глобальным, в то время как структурирование систем фундаментальных понятий локальным. Их локальный характер обусловлен некоторой замкнутостью в рамках определенных научных теорий, целостностью сущностного отражения в этих системах понятий определенных процессов реальной действительности и современного производства.
Проведенные нами теоретические и экспериментальные исследования позволили установить, что система математических понятий - это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к определенной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, адекватной их содержанию [6, 8, 10-13, 1618].
Важнейшими элементами содержания систем понятий выступают концептуальные блоки обобщенных знаний, их логико-математические и логико-структурные связи, в том числе, различные математические закономерности.
При выделении теоретических систем понятий мы исходили из основной проблемы, стоящей перед школой: формирование понятий на таком уровне обобщения, чтобы их можно было применять в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, нестандартных [2-4, 9, 16].
Нами были выделены следующие системы понятий:
1) уравнения и неравенства;
2) уравнения и тождества;
3) функция, производная, интеграл.
Являясь теоретическими целостностями, представленные системы соответствуют основным областям научных знаний и имеют большое мировоззренческое, теоретическое и прикладное значение. Иерархическую структуру этих систем понятий сложно отнести полностью к линейным или концентрическим в дидактическом понимании таковых применительно к учебному материалу [5, 9]. Структуры таких систем понятий ближе к блочно-иерархическим. Логическая последовательность изучения отдельных элементов и связей внутри таких систем понятий также не имеет выраженного линейного характера, так как в них одно понятие выражается через другое, генетически связанное с ним. Это вносит в линейную схему их изучения разные ответвления, отражающие концентрический характер познания взаимосвязанных и взаимозависимых понятий.
Локальное структурирование систем фундаментальных математических понятий, имеющих иерархически сложные структуры, направлено на выделение инварианта (общей, неизменной части) этих обобщенных знаний в виде блоков, несущих наибольшую научно-информационную и учебно-познавательную нагрузку, и их связей, обеспечивающих функционирование теоретических знаний на различных уровнях и этапах их формирования [5, 9, 10, 13, 16].
Нахождение инвариантов теоретических знаний путем выделения основных блоков (подсистем) понятий, обеспечивающих системность, действенность, обобщенность и интегративность систем понятий, - главная цель локального структурирования.
Выполненные теоретические исследования [5, 6, 8, 14, 15] позволили нам выделить и представить задачи локального структурирования:
1) анализ содержания, связей и отношений совокупности математических понятий, включаемых в определенную систему;
2) объединение отдельных математических понятий в блоки (подсистемы), несущие основную содержательную, логическую и системообразующую нагрузку и обеспечивающие ведущие функции системы: обобщающую, систематизирующую, эвристическую, прогностическую. Установление иерархии понятий как в системе, так и в подсистемах;
3) установление условий функционирования данной системы понятий в обучении математике, ее внутрисистемных, внутри-предметных, межсистемных и межпредметных связей;
4) построение моделей инвариантного содержания систем понятий, которые отражают их структуру и являются определенными ориентирами для управления процессами формирования и дальнейшего развития систем понятий в обучении.
Локальное структурирование базируется на важнейших положениях теории познания и отражает следующие психолого-
педагогические принципы: 1) системность, целостность, обобщенность, полифункциональность фундаментальных понятий школьного курса математики; 2) взаимосвязь многоаспектной природы фундаментальных математических понятий с их системно-деятельностной сущностью, что способствует формированию и последующему функционированию знаний в различных учебных ситуациях.
Объектами структурирования выступают фундаментальные понятия школьного курса математики, которые подробно представлены в нашей работе [10]. Эти понятия являются математическими моделями процессов действительности и современного производства: экономических, физических, химических. В качестве средств структурирования и построения моделей инвариантов рассматриваемых систем понятий нами использовались логико-математический, системно-структурный и системно-деятельностный подходы, а также концептуальные схемы математики, разработанные известными методологами науки А.А. Столяром и Л.М. Фридманом [7, 17].
Качественными критериями структурирования и конструирования моделей систем понятий являются:
1) научность (соответствие в определенной степени школьных понятий и их систем научным);
2) изоморфность (сохранение в модели основных компонентов и связей, присущих исходной системе понятий);
3) системность (отражение в модели ведущих функций системы);
4) наглядность (выделение и представление всей внутренней структуры рассматриваемой системы понятий).
В составе системы понятий выделяют объяснительную и прагматическую части: инвариантное ядро, сферу, периферию [9]. Поэтому при выделении инвариантов системы понятий мы исходили из:
1) уровневого и многоэтапного характера системы понятий;
2) деления содержания инварианта на теоретическое ядро, сферу и периферию.
Теоретическое ядро понятий отражает всеобщие признаки и отношения обобщаемых объектов, которые являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности знаний, составляющих систему. Сфера отражает специфические свойства и отношения объектов. Периферия отражает индивидуальные признаки понятий, обеспечивает конкретное проявление всеобщих и особенных свойств и отношений в их единстве, связь теоретических знаний с реальной действительностью.
Модели содержания систем фундаментальных математических понятий используются в процессе обучения математике в качестве
1) средства выделения сущностных и важных в теоретическом и практическом отношении признаков и связей объектов;
2) формы связей содержательного и наглядно-образного компонентов в процессе формирования математических понятий;
3) основы для установления внутрисистемных, внутрипредметных, межсистемных и межпредметных связей;
4) основы для формирования творческого мышления учащихся;
5) базы для формирования таких видов деятельности, которые с самого начала включают в себя заданную систему теоретических знаний и обеспечивают их применение в заранее установленных пределах (областях).
Обратимся к рассмотрению системы понятий «Уравнения и неравенства». Понятия уравнения и неравенства - это фундаментальные понятия в математической науке и в школьном курсе математики.
В математике в становлении и развитии этих понятий можно выделить три периода.
Первый период (ХУ-ХУ1 вв.) - трактовка уравнений и неравенств как числовых равенств и неравенств соответственно. В данном периоде в трактовках понятий, в методах их решениях можно выделить два аспекта: алгебраический и логический при ведущей роли алгебраического.
Второй период (ХУП-ХГХ вв.) - функциональная (классическая) трактовка. В трактовках понятий уравнения (неравенства), в методах их решения, исследования и доказательства имели место три аспекта: алгебраический, логический, функциональный при ведущей роли функционального.
Третий период (с XX в. по настоящее время) - современная, или теоретико-множественная, трактовка уравнений и неравенств. В этой трактовке имеют место три аспекта: алгебраический, функциональный, логический при большей актуализации логического.
Периоды, имеющие место в математической науке находят определенное отражение в действующих и экспериментальных учебниках математики при ведущей роли алгебраического аспекта. Недооценивание функционального и логического аспектов приводит к тому, что у учащихся не происходит формирование целостных, системных знаний, а следовательно, и таких качеств, как гибкость, осознанность, широта, глубина, критичность мышления.
При образовании системы понятий «Уравнения и неравенства» и последующем ее развитии все три аспекта должны активно функционировать, так как отражают всеобщие признаки системы, а также являются генетически исходными для развертывания и конкретизации всей совокупности понятий, составляющих систему. Они представляют теоретическое ядро системы знаний. Сферу данной системы представляют виды уравнений и неравенств, ведущую основу процесса решения или доказательства которых составляют свойства функции: область определения, свойство монотонности. Периферию данной системы представляют конкретные виды уравнений и неравенств, которые являются математическими моделями процессов реальной действительности [10-12].
Научной основой образования системы понятий «Уравнения и неравенства» в школьном курсе является понятие функции (или аналитического выражения). Ведущей идеей данной системы является процесс решения и исследования различных видов уравнений, неравенств и доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных). В оформленном виде система представляет собой многоэтапную и иерархически организованную систему обобщенных знаний.
Содержание системы понятий «Уравнения и неравенства» составляют два взаимосвязанных и взаимозависимых блока (подсистемы). В первый блок (теоретическую подсистему) входят математические факты: понятия выражения с переменной, равенства с переменной, функции, ОДЗ функции, различные свойства функции (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.). Понятия функции и свойства функции составляют содержательную основу процесса решения следующих видов уравнений и неравенств: иррациональных, показательных, логарифмических, показательно-логарифмических, с модулем, с параметром, тригонометрических, а также доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных).
В экспериментальном обучении каждый из этапов процесса решения полностью раскрывался перед учащимися. Большое внимание уделялось доказательству тригонометрических неравенств, ибо этот вопрос имеет большое теоретическое и оптимизационно-прикладное значение [11, 12].
Во второй теоретический блок входят понятия логического следования и логической равносильности. Этим понятиям в школьном курсе уделяется очень мало внимания, что отрицательно сказывается на
1) умении логически мыслить;
2) выделении главного и второстепенного;
3) умении делать аргументированные выводы.
Взаимосвязи между представленными блоками выражают структуру теоретического ядра и являются одновременно исходным генетическим отношением для развертывания всей совокупности знаний методом восхождения от абстрактного к конкретному.
В экспериментальном обучении формированию представленных подсистем понятий у учащихся уделялось большое внимание, что способствовало установлению содержательных, процессуальных и функциональных связей между уравнениями, неравенствами, функциями, методами их решения, исследования и доказательства, а в целом способствовало формированию на достаточно высоком
научно-теоретическом уровне системы понятий «Уравнения и неравенства».
Внутреннюю организацию системы понятий «Уравнения и неравенства» мы рассматриваем как инвариант системы, что, в свою очередь, позволило сконструировать модель содержания данной системы понятий (схема 1). Сконструированная модель представляет собой абстрактно-общий инвариант системы, включающий важнейшие содержательные компоненты и логико-структурные связи.
Схема 1. Модель содержания системы понятий «Уравнения и неравенства»
Проведенные нами теоретико-экспериментальные исследования показали, что реализация представленной модели в учебном процессе позволяет учитывать логико-познавательную природу и функции, закономерности формирования и интеграции математических понятий. Особенностью этой модели и аналогичных ей являются обобщенность, системность и прогностичность.
Литература
1. Вахтомин Н.Г. Генезис научного знания: факт, идея, теория - М.: Наука, 1973.
2. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: Педагогика, 1996. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года //Учительская газета. - 2002. - №31.
3. Научные подходы к обновлению общего среднего образования: Сб. науч. тр. // Под ред. Ю.И. Дика. - М.: РАО, 2001.
4. Рузавин Г.И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии //Кн.: Закономерности развития современной математики. - М.: Наука. - 1987.
5. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала. - М.: Педагогика, 1974.
6. Столяр А.А. Методы обучения математике. - Мн.: Вышэйшая школа, 1978.
7. Сухотин А.К. Гносеологический анализ емкости знания. - Томск: ТГУ, 1968.
8. Талызина Н. Ф. Формирование приемов математического мышления. - М.: МГУ, 1995.
9. Токарева Л.И. Концепция продуктивного функционирования математических понятий и их систем в современном обучении // Вестник Челябинского госуд. пед. ун-та. - 2005. - №10.
10. Токарева Л.И. Формирование учебно-познавательной деятельности у учащихся при изучении темы «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства» в 10 классе // Мегодпособиг для учителей средних школ и студентов педуниверситегов. - Уфа.: Лаборатория школьной математики, 1993.
11. Токарева Л.И. Методология формирования фундаментальных понятий и их систем в обучении математике // Вестник Поморского ун-та. - 2006. -№1(9).
12. Tokarewa L.I. Praga nauczyciela matematuki nad ksztaltowaniem tworczego myslenia uczniow // Kwartalnik Pedagogiczny, Rok XXX, Warszawa. - 1999.
13. Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. - М.: Наука, 1978.
14. Уман И.О. О способах структурирования знаний в учебном материале // Новые исследования в педагогических науках. - М., 1983. - №1.
15. Усова А.В. Проблемы теории и практики обучения в современной школе. - Челябинск: ЧГПУ, 2000.
16. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. - М.; Моск. психолого-социальный ин-т, Изд-во «Флинта», 1998.
17. Штофф В.А. Моделирование и философия. - М.; Л.: Наука, 1966.
ПРИНЦИП НАГЛЯДНОСТИ В ОБУЧЕНИИ ХИМИИ
Е.Е. Минченков, профессор Московского государствен
Дидактический принцип наглядности в обучении выражает требование организации такого преподавания учебной дисциплины, при котором у обучаемых формируются представления, понятия и суждения на основе восприятия ими изучаемых предметов и явлений объективного мира или их изображений [1].
Принцип наглядности впервые был обоснован Я. А. Коменским в книге «Великая дидактика». Он отмечал, что если мы желаем привить учащимся истинное и прочное знание вещей, вообще нужно обучать всему через личное наблюдение и чувственное доказательство [2]. Обоснование этого положения Я. А. Коменский видел в том, что достоверность формируемого знания опирается на ощущения, полученные человеком об изучаемом объекте [3].
С развитием дидактики первоначальное понимание принципа наглядности претерпело развитие. Было обращено внимание на то важное обстоятельство, что восприятие изучаемых объектов школьниками даже младших классов всегда связано с активным мышлением, решением той или иной по сложности познавательной задачи [4]. В связи с этим сам принцип наглядности «... означает, что в обучении необходимо, следуя логике процесса усвоения знаний, на каждом отрезке познавательной работы найти его исходное начало в фактах и наблюдениях единичного или в аксиомах, научных понятиях и теориях и определить закономерный переход от восприятия единичного, конкретного к общему, абстрактному и, наоборот, от общего, абстрактного - к единичному, конкретному» [4, с. 255].
Это громоздкое определение принципа наглядности отличается от понимания наглядности Я. А. Коменским лишь утверждением, что не всегда обучение может исходить из конкретных наглядных образов, нередки случаи, когда отправной точкой обучения является какая-либо отвлеченная или абстрактная конструкция в виде аксиомы теоремы или теории. Что же касается активного мышления в процессе наблюдения, то этого Я. А. Коменский не отрицал. Он ведь призывал формировать знание через наглядные образы. А сделать это без активного мышления обучаемых - невозможно.
И прежде, и теперь при новом понимании принципа наглядности в обучении возникает проблема соотношения конкретного и абстрактного, наглядного и отвлеченного в преподавании. Особенно это касается преподавания естественнонаучных дисциплин и химии в частности.
В преподавании химии проблема соотношения наглядного и отвлеченного начинает проявляться уже с первого урока, когда учитель объясняет, что изучает химия. Здесь учащиеся узнают, что химия изучает вещества и их свойства. Тут же возникает вопрос о том, что такое вещество. На первом уроке строго сформулировать это понятие невозможно, так как учащиеся просто не поймут определения из-за недостаточности физических и химических знаний, а также из-за их возраста и связанного с ним мышления. Поэтому учитель приводит примеры тел, построен-
го областного университета
ных из разных веществ, и называет эти вещества (логическое определение через пример). Стол деревянный, водопроводный кран стальной, пробирка стеклянная и т.п. Таким образом, вещество определяется как материал, из которого состоят тела. Определение это неполное, неточное. Но оно необходимо, так как, не определив объекта, нельзя его объяснять, то есть выявить структуру, состав, строение, свойства, функции. Дальнейшее изучение химии есть развитие понятия «вещество», наполнение его новыми признаками содержания.
Уже на этом этапе обучения реализация принципа наглядности на уроках химии несколько отличается от понимания ее Я.А. Коменским. Ведь учащиеся видят предметы, а изучают то, из чего они состоят. Выход из этого положения в методике давно найден. Он состоит в противопоставлении свойств тела и вещества. Так, тело имеет форму, массу, границу раздела и т. п. Вещество же имеет температуры плавления и кипения, блеск, твердость и др. Понятие массы неприложимо к веществу. Массой может обладать лишь порция вещества, то есть тело.
Впоследствии из анализа веществ, их состава, строения и химических свойств вычленяется понятие «химическая реакция».
Внешние наглядные проявления химических явлений довольно однообразны. Появление нового вещества может сопровождаться горением, выпадением осадка в растворе, выделением газа и некоторыми другими явлениями. Внутренняя же сущность явлений много богаче. Однако химические процессы протекают между атомами, молекулами, ионами, то есть между невидимыми объектами вещества. Изучение этих объектов и протекающих между ними процессов облегчает использование моделей. Модели могут выступать в качестве объекта, на основе которого создается модельный образ изучаемого.
Выделяют предметные и знаковые (информационные) модели.
Предметными называют модели, воспроизводящие определенные геометрические, физические, динамические либо иные характеристики объекта (оригинала). Знаковыми моделями служат схемы, чертежи, химические и математические формулы и т. п.
Предметные модели, используемые на уроках, могут быть различного уровня. Так, модели заводских установок, служащие для передачи их внешнего образа и внутреннего устройства и прямо отвечающие условию, налагаемому на процесс обучения принципом наглядности, можно отнести к моделям первого уровня. Для демонстрации таких моделей серьезного обоснования не требуется, так как учащимися изучается макрообъект, модель которого и представлена. Такую наглядность можно назвать наглядностью первого рода. Демонстрации натуральных объектов - пример наглядности первого рода. К натуральным объектам относят, например различного рода коллекции («Нефть и продукты ее переработки», «Металлы и сплавы» и др.), вещества, протекающие химически реакции и т.п.
В процессе углубления изучение химии переводится на раз-
зб
