Теоретическая модель режима фазового запрета для волны разностной частоты нелинейного излучателя звука Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2006, 3

А. М. Гаврилов

Таганрогский государственный радиотехнический университет

Россия, 347928, Ростовская обл., Таганрог, ГСП-17 А, пер. Некрасовский, 44,

e-mail: gavr_am@mail.ru

Теоретическая модель режима фазового запрета для волны разностной частоты нелинейного излучателя

В рамках известных аналитических решений уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова рассмотрена теоретическая модель нелинейного акустического излучателя с трехчастотной волной накачки для 1-й гармоники волны разностной частоты, учитывающая диссипацию и дифракционные процессы в гауссовом пучке. Представляя во втором приближении волну разностной частоты как суперпозицию двух синхронно и коллинеарно распространяющихся компонент с одинаковыми частотами, показано, что ее пространственные и амплитудно-фазовые характеристики помимо амплитудно-фазовых соотношений в спектре накачки существенно зависят от дифракционных изменений амплитуд и фаз первичных волн. Наиболее явно эта зависимость проявляется в режиме фазового запрета, когда подбором амплитудного и фазового спектров накачки практически полностью прекращается (“запрещается”) генерация волны разностной частоты в среде. Результаты численного анализа теоретической модели для условий пресной воды хорошо согласуются с данными экспериментальных исследований. Область практического использования исследуемого режима включает высокочувствительную диагностику неоднородностей сред, обнаружение объектов вблизи границ раздела, уменьшение нелинейного затухания и др.

ВВЕДЕНИЕ

Под режимом фазового запрета понимаются такие условия для амплитудных, фазовых и частотных соотношений в спектре излучаемой регулярной волны конечной амплитуды, при которых в процессе нелинейного взаимодействия оказываются перекрытыми один или несколько возможных каналов оттока энергии из накачки во вторичные волны. Подобное влияние амплитудно-фазовых соотношений на волновые процессы в квадратично-нелинейных средах без дисперсии возможны для нескольких различных типов исходных волн. Одним из таких случаев является узкополосная трехчастотная волна накачки нелинейного акустического излучателя (НАИ) с симметричным частотным спектром (ш0 -О, ш0, ш0 + 0), генерирующая в среде

бигармоническую волну разностной частоты (ВРЧ) с частотами О и 20. Существенно, что эти низкочастотные вторичные волны качественно отличаются

звука

Получена 12.01.2006, опубликована 19.01.2006

между собой по характеру зависимости от начальных амплитудно-фазовых соотношений в спектре накачки.

Поскольку 2-я гармоника ВРЧ ( 20 ) возникает в результате взаимодействия боковых составляющих спектра (ш0 -О, ш0 +0), то фазовые соотношения первичных волн

способны повлиять лишь на ее начальную фазу. Случай 1-й гармоники ВРЧ (О) отличается тем, что эта волна состоит фактически из двух равночастотных компонент, образовавшихся в процессе синхронного взаимодействия центральной гармоники первичного спектра (ш0) с нижней (ш0 - О) и верхней (ш0 + О) частотами накачки.

При определенных амплитудно-фазовых соотношениях в спектре накачки может наступить условие, когда амплитуды этих компонент окажутся равными, а фазы противоположными. Тогда наступает акустическое “короткое замыкание” вторичных нелинейных источников, генерирующих компоненты с частотами О , приводящее к прекращению образования 1-й ВРЧ.

Интерес к режиму фазового запрета 1-й ВРЧ НАИ обусловлен открывающимися возможностями его практического использования. В частности, это может быть диагностика неоднородностей среды (газовые пузырьки, гидродинамические возмущения, температурные и структурные неоднородности) [1, 2], обнаружение объектов вблизи и на границах раздела (морское дно, граница вода-воздух, дефекты поверхности), контроль неровностей границ (микрорельеф дна, поверхностное волнение, шероховатость твердых тел), уменьшение нелинейного затухания [3], акустические измерения и др. Широкое продвижение в практику методов акустической диагностики, использующих режим фазового запрета вторичных волн, в значительной степени сдерживается ограниченным количеством сведений по данному вопросу. Так, в частности, имеющиеся экспериментальные результаты [1-3] не находят своего объяснения в рамках плосковолновой и других одномерных моделей НАИ [4, 5]. Причинами расхождений является частотно-зависимый характер диссипации и дифракционных процессов в пучке, приводящий к изменению амплитудных и фазовых соотношений в излученной многочастотной волне накачки. Целью данной работы является разработка теоретической модели НАИ, описывающей процесс генерации 1-й ВРЧ трехчастотной накачкой с произвольными амплитудно-фазовыми соотношениями при учете диссипации и дифракции волн.

1. АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДИФРАГИРУЮЩЕЙ ВОЛНЫ НАКАЧКИ

Воспользуемся аналитическими решениями уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (ХЗК) [5]

д_

дт

дp г дp Ь д 2p

дx рос0 ^ дт 2рос0 дт2

которые позволяют учесть диссипативное затухание, дифракцию первичных волн (накачки) и генерируемых ими в среде вторичных волн. Здесь p — звуковое давление;

с0, в и р0 — скорость звука, нелинейный акустический параметр и плотность среды; Ь — диссипативный коэффициент среды; т = (7 - х/с0) — время в сопровождающей

системе координат; А± = (д2 / ду12 +52 / ду2 ) — лапласиан по поперечным координатам.

Рассмотрение теоретической модели НАИ для ВРЧ проведем на примере звуковых пучков волн накачки с гауссовым поперечным распределением амплитуды. Гауссов закон для поперечного распределения удобен тем, что позволяет получить общие решения для первичных и вторичных волн через достаточно простые функции. Граничное условие в цилиндрической системе координат для осесимметричных пучков волн накачки с гауссовым амплитудным и равномерным фазовым распределениями на поверхности плоского излучателя имеет вид:

Pn(г,х = 0) = ^ • ехр(- гVа2)• соз(Шп ■t + Фп0), (1)

где a — радиус излучателя; оп — частоты первичных волн; п = (1, 2, 3); Р0п и ф0п —

начальные (x = 0) значения амплитуд и фаз волн. Здесь г и % — поперечная и продольная (осевая) координаты; ш1 = <он = (ш0 - О), о2 = ш0 и о3 = шв =(со0 +О) — нижняя боковая, центральная и верхняя боковая частоты спектра первичной волны. В дальнейшем индексам п = (1, 2, 3) соответствуют индексы “И”, “0” и “В”, связанные с

введенными обозначениями частот он 0 в .

Решение уравнения ХЗК в первом приближении для граничного условия (1) дает следующие выражения для пространственных распределений комплексных амплитуд волн накачки [5]:

2

Pn(r,x)=1 Г°пп • exp - Г— • /-------anx = Pn(r,x)exp[i[Фп(r,x) + Ф0п] (2)

l - ixln . a l - ixLn ,

1 - iXlhn I a 2 1 - iXlhn

где ldn = kna2/2 = 0na2/2c0 — длина зоны дифракции волн накачки; kn = &n/c0; фп (r, x) — пространственные набеги фаз каждой из волн, обусловленные дифракцией пучка; i = V-Г; P0n = P0n • exp (ф0n) — комплексные амплитуды первичных волн на

поверхности излучателя; Pn (r, x) — пространственные распределения амплитуд волн

накачки, обусловленные дифракцией и диссипацией. Для случая трехчастотной накачки удобно ввести безразмерный частотный параметр Ф = ш0/ Q, тогда параметры, характеризующие влияние дифракционных и диссипативных процессов, запишутся:

шя =00(1 - Г ф); шв =00(1 + Vф); /00 = aW2c0;

1ЗН = ^ ^ Г1 - ±\ = I (1 - -Л; 1дв = ^ = 10 Г1 +;

2c0 2c0 I фJ д01 Ф/ дв 2c0 д01 Ф/ (3)

a0 = -b0T; aH = = a0\ ; aB = = a0^

0 2p0c0 2p0c0 01 0,J B 2p0c0 01 Ф,

С учетом (2) выражения для комплексных амплитуд исходных волн принимают вид:

Ph (r, z ) =

Po (r, z ) =

1 - i zф|{ф -1)

exp

22 r /a

l - iz

exp

r /a 1 - iz

1 - i zф/(ф -1)

a 0 f 1 ф J zld 0

a 0 zld 0

(4)

Рв (r, z ) =

Po

03

1 - i zф|{ф + l)

exp

22 r /a

1 - 7^Ф/(Ф + l)

-a 0I 1 + -

ф

zl

30

где 2 = х/1д0 . Действительные амплитуды и фазы при этом описываются формулами:

Ph (r, z ) = '

P0

0l

yjl + z2 Ф V (Ф-1)2

г exp

r /a

Ф

H

(r, z) = arctg(

1 + z2 Ф V (Ф- l) zф/(ф -1)

-a0I 1 -—I zl

20

ф

d0

Ф -1] a2 1 + z2Ф V(Ф-1)2

Po (r, z ) =

02

VT

exp

+ z

r a

1 + z

2 a 0 zl3 0

Ф.

{r, z)= arctg(z)-------- •

V

Г2 z

a2 ' 1 + z2

(З)

рв (r, z) =

P03

ф + z 2Ф V (Ф + l)2

exp

22 r /a

Фв (r, z )= arctg(

1 + z 2Ф V (Ф + l) zф/(ф + l)

2-a o I1+ф Jzls o

Ф +1J a2 1 + z 2Ф V (Ф +1)2

Условия проводившегося эксперимента (пресная вода) и последующие расчеты с использованием полученных формул соответствуют следующим параметрам: f2 = f0 = ш2/2тс = 1400 (кГц); a = 9 (жж); b = 4,27• 10-3(кг/ж• с);

F = Q/2п = 50, 80, 100, 120, 150 (кГц).

2

l

2

2. ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛНЫ РАЗНОСТНОЙ ЧАСТОТЫ ДИФРАГИРУЮЩЕЙ БИГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНОЙ НАКАЧКИ В СРЕДЕ С ДИССПАЦИЕЙ

В приближении малой нелинейности ( Яе < 1, Яе — акустическое число Рейнольдса) выражение для комплексной амплитуды ВРЧ, генерируемой дифрагирующим пучком двухчастотной волны накачки (<о1 и о2) с гауссовым поперечным распределением амплитуд (4), имеет вид [5]:

*

РО (г,х) = I £°р р°2 • е-““х X (6)

2р0С0

ехр

Г -а х

0

где

2г2

1 + Іх Ьд/(іді • 13 2 )

(Л 1 І (Х Х^/Ьд+ Х ( 2Ьд/ідіід 2 + Х/іді1д 2 '

1 І (х Х /'Ьд + Х Х 2( /1Э11д2 + Х/іді1д2 /

• ёХ'.

іді — а ш^2Со ; ід2 — л Ш2/2С ; Lg — а О14с; О — Юі — аі — ^Ю1 /2р0С0 ; а2 — Ью2 /2р0СО ; ао — /2р

ю2; а — а1 +а 2 — а0;

с3

'0°о •

(7)

Здесь Р01 — величина, комплексно сопряженная с Р01; Ьэ — протяженность области дифракции ВРЧ; О — разностная частота; а1з а 2 и аО — коэффициенты затухания волн накачки и ВРЧ.

3. ГЕНЕРАЦИЯ ПЕРВОЙ ГАРМОНИКИ ВОЛНЫ РАЗНОСТНОЙ ЧАСТОТЫ ДИФРАГИРУЮЩЕЙ ТРЕХЧАСТОТНОЙ НАКАЧКОЙ В СРЕДЕ С ДИССИПАЦИЕЙ

Первая гармоника ВРЧ (1-я ВРЧ) и волна суммарной частоты (ВСЧ), образующиеся при взаимодействии трехчастотной накачки, в приближении малой нелинейности являются двухкомпонентными вторичными волнами, поскольку состоят из двух волн одинаковой частоты, распространяющихся в одном направлении синхронно и коллинеарно, рис. 1.

Рис. 1. Спектры трехчастотной накачки и генерируемых ею вторичных волн

(второе приближение)

В режиме заданной накачки 1-ю ВРЧ и ВСЧ можно рассматривать как суперпозицию двух входящих в каждую из них компонент с учетом соотношения их амплитуд и фаз, которые в свою очередь определяются начальными амплитуднофазовыми соотношениями в спектре трехчастотной накачки:

Ра=(Рт + Ров ) — 1-я ВРЧ ( О );

Р о = (Ро + Рнв ) — ВСЧ (2йо).

Рассмотрим поле каждой из компонент 1-й ВРЧ, полагая, что при условии слабого проявления нелинейных эффектов вторичная волна Рш образуется при

взаимодействии первичных волн Рн и Р0, а волна Рш обязана своим появлением

взаимодействию между Р0 и Рв. Тогда для получения выражений, описывающих

каждую из рассматриваемых вторичных волн, достаточно воспользоваться выражением (6) с учетом индексов первичных волн. В результате получаем

*

Р Хг 2) —І :'Ю"Рн Р і • ехрІ а |і; ■2V

Ран Хн' > 2р0с> д0 1 Ф2 )

ех„{— 2г2_____________1 + *'/ 2<Ф —1/__________1 (8)

I Н 1 — І2Ф(2 — 2/+ (Ф — і/+ 2Ф/(Ф — 1)1)

— аг ;

2а0і90 І ф 12

1 — І2ф( — г') + (ф —1/+ гф(ф — 1/

• 'Ю0 Р0 РВ 1 а0ід02

Ров (гн, 2' — І ° 0 ” ід0 • ехРІ-------I х

2Р0С03Ф д0 Ч Ф2

х

0

ехр{— 2г 2__________________і+і2Ч 2(ф+1/___________________________1 (9)

[ Н 1 — І 2Ф(2 — 2Г/ + 2'[і/ (Ф + 1/ + 2Ф/ (Ф + 1)]]

_ * ,

1 - /2Ф( - г') + 2'[г/ (Ф +1) + 2Ф/(Ф +1) где гн = г/а; а(я) = ао +ая-ап = 2а о (1 -1/ Ф); а(в )=а в +а о-ап = 2а о (1 +1/Ф); ьа = 1до/2ф; ао=ао/Ф2. Здесь согласно введенным обозначениям для начальных амплитуд волн накачки справедливы соотношения Ря = Ро1, Рв = Роз и Ро = Ро2.

Для упрощения последующих преобразований полученные выражения (8) и (9) запишем в обобщенном виде:

Рон (гн >2) = рн Ро£>н (н,2); (1о)

Ров (гн, 2) = Ро Рв^в (н, 2), (11)

где Ё>н (гн, 2) и Г)в (гн, 2) — множители, отражающие пространственные распределения амплитуд и фаз компонент 1-й ВРЧ, учитывающие нелинейные, дифракционные и диссипативные процессы.

Запишем трехчастотное возмущение для накачки (1) на поверхности излучателя ( 2 = о) в вещественной форме

р(1)( (н,2 = о) = рн • С0з(шн/ + фн) + Ро • С0э(шо/ + Фо )+ Рв • С0э(шв/ + фв) . (12)

Тогда, приняв условие аддитивности полей двух компонент, выражение для 1-й ВРЧ в произвольной точке пространства можно представить в виде

Ро (, гн, 2) = Рон (н,2) • С0§( - кО21 до + Фо - Фн ) +

+ РОв (гн , 2)• С08(° - ко 21до + фв -фо )= (13)

= РнРоОн (гн , 2) ■ С08(О? - ко21до + б - Ро ) + РоРвОв (гн , 2) ■ С08(О? - кО21до + б + Ро),

где кп = °1 со; фв-Фо =б + Ро; Фо -фн =б-Ро;

б = (фв -Фн V2; Ро =(фн +Фв V2-Фо. (14)

Здесь фн , ф0 и фв — начальные фазы ( г — 0 ) волн накачки; в0 — начальное значение фазового инварианта, отражающего фазовую структуру трехчастотного колебания [6]. Нетрудно убедиться, что в плоской трехчастотной волне малой амплитуды величина в0

не зависит от времени и проходимого расстояния. В выражениях Г)н (гн, 2) и Г)в (гн, 2) разделим амплитудную и фазовую составляющие:

£>н (н, 2) — ®н (гн, 2) • ехР[он (гн, 2)]; (15)

£>в (н, 2) — Вв (гн, 2) • ехР[ов (гн, 2)] , (16)

где Бн (гн, 2) и Бв (гн, 2) — модули пространственных множителей; ф0Н (гн, 2) и ф0в (гн, 2) — дифракционные набеги фаз у компонент 1-й ВРЧ. Учитывая (15) и (16), выражение (13) можно переписать в вещественном виде

Р0 (, Гн , 2) — Р0 { КнБн (гн , 2) • СО§[0 — [ О 2ід 0 + 0 — в0 + фон (гн , 2)] +

+ КвВв (н, 2) • СО8[ — ко2ід0 + 0 + р0 + фов (гн , 2)] ]

._____________________________________________________ (17)

— Р02 V{КнВн )2 + {КвВв )2 + 2КнКвВнВв ^[^0 + Афо(н, 2)] х х — коід02 + ао(гн , 2)]

где Кн — Рн/Р0 ; Кв — Рв/Р0 ; Аф0(гн , 2) — ф0в (гн , 2) — ф0н (гн , 2) .

Величину а0(н, 2) запишем в виде суммы

ао(н, 2) — 0 + а1 (н , 2), где

Ш а( 2)— КвВв (н, 2 )5Іп(ф ов + в0 ) + КнРн (гн, 2) ^Іп(ф он в0) ( )

1 н КвВв (н , 2)сО§(фов +р0) + КнВн (н, 2)со§(фон —р0). (18)

Тогда выражение (17) для 1-й ВРЧ принимает окончательный вид

Ро (, гн, 2) = Ро^(Кн°н )2 + {Кв°в )2 + 2КнКвОнОв С0в[2Ро + АФо(н, 2)] х

(19)

х с0б[0^ - кО1д о 2 + б + а1 (н, 2).

Полученные выражения для амплитуды и фазы 1-й ВРЧ можно значительно

упростить, если принять во внимание, что при использовании узкополосной накачки

(о << шо) справедливы следующие соотношения:

ф он (гн , 2 ) = ф ов (гн , 2 ) ; (2о)

Он (н , 2)= Ов (н , 2) . (21)

Очевидно, что при Ф да частоты накачки настолько мало отличаются между собой, что можно говорить для них о равенстве дифракционных и диссипативных процессов. В результате пространственные распределения акустических полей вторичных волн Рон и Ров с достаточной для практики точностью также можно считать равными.

При условии (20) соотношение (18) можно переписать в виде

а1 (гн, 2)~фон (гн, 2)+ агсї§ — фон (гн, 2)+У1 (гн, 2).

^КвВв (Гн , 2) — КнВн (Гн , 2)^ VКв^в (н, 2) + Кн^н (н,2)

ЇБ р0

(22)

Если принять, что наряду с (2о) выполняется и равенство (21), тогда в выражении для фазы 1-й ВРЧ (22) исчезает зависимость от дифракционных изменений амплитуд первичных волн:

а

1 (н.2Ьфон (н.2)+ агс<8

К в — Кн Л

V Кв + Кн 1

— фон (н, 2) + Ї1.

(23)

Согласно (23) использование узкополосной накачки приводит к тому, что фазовая структура поля 1-й ВРЧ с точностью до постоянного слагаемого у1 повторяет пространственное распределение фазы отдельно взятой компоненты: фон (гн, 2) или Фов (н, 2). Величина сдвига фазы у1 не зависит от пространственной координаты и определяется только отношением начальных амплитуд боковых составляющих спектра накачки Рн /Рв = Кн /Кв и начальной величиной фазового инварианта во.

Заметим, что второе слагаемое в выражении (23) принимает конечное значение в случае асимметрии амплитудного (Кн Ф Кв) и фазового (во Ф о) спектров накачки. Напротив, в случае Кн = Кв равенство у1 = о выполняется вне зависимости от величины Ро, и пространственные набеги фазы 1-й ВРЧ а1 (гн, 2) определяются дифракционными фазовыми набегами в отдельно взятой ее компоненте:

а1 (н, 2)*Фоя (н, 2)=Фов (н, 2). (24)

Механизм появления дополнительного сдвига фазы у1 проиллюстрирован на примере векторных диаграмм, отражающих процесс формирования 1-й ВРЧ

Рон и Ров , рис. 2. Поскольку

входящими

ее состав компонентами

Рон ~( РнР0 — РоКн ) и Ров ~( РвР0 — Р02Кв X то в случае Кн — Кв длины векторов Р

он

и

Ров также равны, а их сумма (вектор Ро) при любом значении фазового инварианта сохраняет свое направление неизменным (угол б ), рис. 2-в. При Кн Ф Кв неравенство амплитуд компонент Рон и Ров приводит к появлению дополнительного поворота вектора Ро на угол у1, рис. 2-а и рис. 2-б. Видно, что в случае Кв >> Кн имеет место у1 ^ во, а при Кв << Кн получаем у1 ^ (- во).

в)

б)

Рис. 2.

Векторные диаграммы, иллюстрирующие влияние соотношения амплитуд компонент Рон и Ров на величину начальной фазы 1-й ВРЧ

Учтем соотношения (20) и (21) в отношении амплитуды 1-й ВРЧ, что приводит к следующему выражению:

Ро (гн , 2) * Р02Вн (гн , 2 VКн + Кв + 2КнКв СО^(2Р0 ) . (25)

Очевидно, что при Кн — Кв пространственное распределение амплитуды 1-й ВРЧ

повторяет аналогичное поведение одной из ее компонент, например Бн (гн, 2),

Ро (гн,2) * 2Р02КнВн (гн,2) • с°з(р0 ) , (26)

а абсолютное ее значение напрямую зависит от начальных фазовых соотношений в

спектре накачки, т.е. от величины фазового инварианта в0.

4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

О справедливости отмеченных допущений (20) и (21) можно судить по пространственным распределениям амплитуд и набегов фаз отдельных компонент 1-й ВРЧ, рассчитанным по выражениям (8) и (9), рис. 3 и рис. 4. Наблюдаемые различия между Рен (гн, г) и Ров (гн, г), фоя {гн, г) и фш {гн, 2) являются следствием

несовпадения волновых размеров излучателя для волн накачки, участвующих в генерации этих компонент, которые, как видно, уменьшаются с увеличением Ф (кривые 1 и 2).

0,75

0,5

0,25

Ршм'Р Шпшх о II я 1 3

/ч» 2. ю„ /П = 20

7 \»

1 V

• \* Рш - линия

1 \ у 1 • 1 \* / Рив - точки

II и

- г = 0

Л4**. /2 I : :

0,75

0,5

0,25

І3ІІН.В !Р\ПВтах 1.ю»/а= ю 2. (о,і /П = 20

1 / Рпн — линия . Рав-точки

КН = КВ г= 10

/ 2

I 1 1

15

- 10

10

5 10

а) б)

Рис. 3. Осевые и поперечные распределения амплитуд компонент 1-й ВРЧ при Кн = Кв и различных значениях Ф = ю0 /о

г/а

Дф а ,

- град

/ К = I

1 г= 0

I. (0,,/П = 10

2. со,, /П = 20

V : I 1

ю

15

Афп, К = 1

град ч г = 10

\ 1. ш0 /Г2= 10

- \ 2. о)„/П = 20

1$

—

і 1

- 10

10

г/а

а) б)

Рис. 4. Осевые и поперечные распределения разности дифракционных набегов фаз у компонент 1-й ВРЧ при К = Кв/Кн и различных значениях Ф = ш0/О

Влияние фазовых соотношений в спектре трехчастотной накачки на поле 1-й ВРЧ показано на рис. 5, где в качестве параметра выступает начальное значение фазового инварианта в0. Амплитудный спектр начального возмущения симметричен (Кн = Кв ) и остается неизменным для всех приведенных зависимостей. Максимальное значение амплитуда ВРЧ принимает при Р0 = 0, п,..., пп, когда коллинеарно и синхронно

распространяющиеся волны Рш и Рш синфазны (с точностью до малой величины Афа) и происходит их сложение. Наоборот, в случае Р0 = п/2, 3п/2,..., (п + 1)п/2 из-

за противоположных фаз эти волны взаимно вычитаются, приводя практически к прекращению генерации 1-й ВРЧ.

Таким образом, при изменении фазового инварианта от нуля до п/2 происходит постепенное снижение эффективности нелинейной генерации ВРЧ от максимально возможного значения (для фиксированных параметров исходного возмущения ш0, Ф,

Р0 и Кн в) до некоторого минимума. Данная зависимость от в0 имеет периодический

характер, что видно из выражения (26), и хорошо согласуется с результатами эксперимента [7].

о 5 ю 15 г - ю о ю г/а

а) б)

Рис. 5. Осевые и поперечные распределения амплитуды 1-й ВРЧ при Кн = Кв и различных значениях фазового инварианта в0

Неполная компенсация 1-й ВРЧ при в0 =п/2, что видно на примере конечных

значений ее амплитуды (кривые 6 на рис. 5), происходит в результате частотнозависимого характера дифракционных и диссипативных процессов. Несмотря на близость частот волн накачки, вклад этих процессов отличается для компонент Рон и Ров, что видно на рис. 3 и рис. 4. Наблюдаемое на рис. 5 несовпадение кривых 2 и 3, а также кривых 4 и 5, построенных при одинаковых расстройках фазового инварианта относительно в0 = П2, происходит из-за неравенства дифракционных набегов фаз

Фон (гн, 2) и Фов (гн, 2) .

С увеличением частотного параметра Ф при условии ш Q = const ширина спектра волны накачки сужается, приводя к уменьшению различий в пространственных распределениях первичных волн с частотами шн, ш0 и шв. Это в свою очередь

приводит к более строгому выполнению равенств (2Q) и (21). В результате уровень остаточного поля 1-й ВРЧ в режиме фазового запрета по мере роста величины Ф достаточно быстро спадает, стремясь к нулю, рис. б. В рамках рассматриваемой теоретической модели это соответствует переходу от выражения (19) для амплитуды ВРЧ, учитывающего неравенство полей P>CH (rH, z) и Рш (rH, z), к более простому

соотношению (25), где эти различия становятся пренебрежимо малыми. На поперечных распределениях, рис. б-б, прослеживается процесс “уравнивания” угловых зависимостей полей двух компонент при Ф > 2Q , что проявляется как в быстром уменьшении остаточной амплитуды, так и на примере постепенного исчезновения характерных ступенек на боковых скатах характеристики PQ (rH ).

10 15 г - -20 -ю о ю 20 г/а

а) б)

Рис. 6. Осевые и поперечные распределения амплитуды 1-й ВРЧ в режиме фазового запрета (в0 = п/2) при Кн = Кв и различных значениях Ф = ш0/О

Более детально механизм “запрета” генерации 1-й ВРЧ можно проследить, создавая небольшие изменения амплитудных и фазовых соотношений в трехчастотной накачке. На рис. 7-а показано семейство осевых распределений РО(г), рассчитанных для ряда значений фазового инварианта в окрестности в0 = п/2. Амплитудные соотношения К = Кн /Кв подбирались из условия получения нулевых значений амплитуды. Видно, что равные по величине приращения инварианта Лв0 = ± 0,90 и ± 1,10 приводят к качественно различному поведению РО(г), указывая на присутствие конечного значения набега фаз ЛфО(г, г), величина и знак которого определяются дифракцией пучка и не зависят от в0. Отметим, что формирование и изменение местоположения

локальной области с нулевой амплитудой на осевом распределении амплитуды 1-й ВРЧ посредством незначительных изменений симметрии амплитуд боковых составляющих спектра накачки (1...2%) и фазового инварианта (ЛР0 < 30) наблюдалось в эксперименте [8].

0.02

0.01

Ра ✓ч I. г = 7.1: р0 = 0

/>0т«(р0=0) ( \ 2. г = 7.1: рц= 88,9°

\ 3. г = 5; р« = 88,9°

\-4. г= 10: р0 = 88,9°

1 \

(РаП <)Ы \ К = 1,02

\ Шо/П = 10

- ' 3 Л \

/дА, 4

\у . ~ ~

-20 -ю

ю

20 г/а

а) б)

Рис. 7. Осевые и поперечные распределения амплитуды 1-й ВРЧ в режиме фазового запрета при изменении амплитудных и фазовых соотношений

в спектре накачки

Интерференционный характер формирования результирующего поля 1-й ВРЧ, представляющего собой не что иное, как суперпозицию полей Рсш и Рш, виден на примере поперечных распределений амплитуды Рп(гн), рассчитанных для трех расстояний от излучателя ( г = 5; 7,1; 10), рис. 7-б. Локальный максимум на кривой 3 в приосевой области пучка на малых расстояниях от излучателя ( г < 7,1) демонстрирует доминирование компоненты Рш над Рш. При гн > 2 ситуация обратная, т. е. Рсн > Рш. На расстоянии г = 7,1 и гн = 0 амплитуды компонент оказываются равными, в результате чего происходит их полное взаимное вычитание и образование нулевой точки, кривая 2. На расстояниях г > 7,1 неравенство Рш > Рш имеет место при любых гн, кривая 4. Для сравнения абсолютных значений амплитуды 1-й ВРЧ при разных режимах работы НАИ кривой 1 показано распределение Рп(гн) при Р0 = 0 с учетом множителя 120. Экспериментальные зависимости, аналогичные распределениям на рис. 7-б, были получены в работе [8].

5. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРВОЙ ГАРМОНИКИ ВРЧ

Амплитудно-фазовые характеристики (АФХ) 1-й ВРЧ представляют собой

зависимость ее амплитуды от величины фазового инварианта трехчастотной волны накачки Р0. АФХ, рассчитанные согласно (19) для разных значений частотного

параметра Ф = ш0/О при условии симметрии начального амплитудного спектра

накачки (Кн = Кв ), показаны на рис. 8-а. Зависимости Р0(в0) имеют явно выраженный

периодический характер с минимумами при Р0 =п/2, Эя/2,... и максимумами при

Р0 = 0, я,... Несложно убедиться, что при изменении в широких пределах разностной

частоты О (или параметра Ф) АФХ достаточно хорошо описывается упрощенным выражением (26). Это согласуется со случаем взаимодействия одномерных волн и результатами эксперимента [9].

а) б)

Рис. 8. Амплитудно-фазовые характеристики 1-й ВРЧ при Кн = Кв ,

2 = 10, г = 0 и различных Ф = ш0/О

Влияние дифракции проявляется главным образом в области минимумов АФХ, что отражено на рис. 8-б. Видно, что дополнительные набеги фаз, вызванные дифракцией пучка, приводят к смещению минимума в сторону меньших, чем в0 = я/2, значений

фазового инварианта. Величина этого смещения возрастает по мере увеличения частоты О , отражая усиливающиеся различия дифракционных процессов (набегов фаз) у волн накачки с частотами юн, ш0 и юв. В подтверждение данного вывода обратим

внимание на тот факт, что ближе всех к в0 = я/ 2 находится минимум у АФХ 1-й ВРЧ, генерируемой наиболее узкополосной накачкой (Ф = 80). Помимо смещения АФХ вдоль горизонтальной оси при уменьшении Ф = ш0/О растет и амплитуда волны в области минимума. Это является следствием усиления различий пространственных распределений амплитуд компонент 1-й ВРЧ РОн (гн, г) и РОв (гн, г) , которые в свою

очередь обусловлены ростом отличий между полями первичных волн [8]. Аналогичные смещения минимумов АФХ при изменении разностной частоты явно прослеживаются в эксперименте [10].

Поскольку режим фазового запрета предполагает одновременно баланс амплитуд и баланс фаз (19) в рассматриваемой точке пространства, т. е.

Рн ((н,2)' Вн ((н,2) = Рв (гн,2)' Вв (гн,2); (27)

2Рс +Афа(Гн,2 ) = п, (28)

то невыполнение одного из этих условий будет приводить к конечному значению амплитуды 1-й ВРЧ в области минимума ее АФХ. Так, например, при выполнении условия (28) неравенство между амплитудами компонент Рсш и Рш приводит к тому, что АФХ принимает вид, показанный на рис. 9. При этом местоположение максимумов и минимумов характеристик практически не меняют своего положения относительно оси в0. Сплошными линиями и точками показаны АФХ, относящиеся к случаям, когда амплитуды боковых составляющих в спектре накачки, оставаясь неравными друг другу (Кн Ф Кв ), поочередно доминируют друг над другом, сохраняя между собой равные соотношения. При этом различия между кривыми, показанными сплошными линиями и точками, из-за влияния дифракции весьма малы, что подтверждает результаты расчета для двух других моделей НАИ — модели Вестервельта и модели “рупорного” нелинейного излучателя [10].

Рис. 9.

Амплитудно-фазовые характеристики 1-й ВРЧ при Ф = 10, г = 10, г = 0 и различных К = Кн/Кв

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках проведенного рассмотрения предложена теоретическая модель НАИ, учитывающая дифракцию и диссипацию первичных и вторичных волн при нелинейной генерации 1-й ВРЧ трехчастотной волной накачки с симметричным частотным спектром и произвольными амплитудно-фазовыми соотношениями, в рамках которой

1. прослежено влияние амплитудного и фазового спектров накачки на пространственные характеристики 1-й ВРЧ, качественно подтверждающее основные закономерности, присущие другим моделям НАИ;

2. на примере пространственных характеристик 1-й ВРЧ и входящих в ее состав компонент показано, что дифракционные набеги фаз и изменения амплитуд волн накачки оказывают существенное влияние на реализацию режима фазового запрета, препятствуя полному подавлению ВРЧ;

3. исследовано влияние частотных соотношений (параметр Ф ) на пространственные распределения и АФХ, подтвердившее усиление роли дифракционных процессов на формирование поля 1-й ВРЧ по мере расширения спектра накачки;

4. выявлен ряд закономерностей в поведении 1-й ВРЧ, вызванных дифракцией пучка, которые согласуются с результатами эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гаврилов А. М., Медведев В. Ю. Диагностические возможности нелинейного акустического излучателя, работающего в режиме фазового запрета. Сб. трудов Х школы-семинара акад. Л. М. Бреховских «Акустика океана» и ХІУ сессии Российского Акустического общества. М., 2004, с. 345-349.

2. Гаврилов А. М., Медведев В. Ю. Использование нелинейного акустического излучателя, работающего в режиме фазового запрета, для обнаружения объектов и неоднородностей среды. Физическая акустика. Распространение и дифракция волн. Сб. трудов ХУ сессии Российского акустического общества, т. 1. М., ГЕОС, 2004, с. 36-40.

3. Гаврилов А. М., Медведев В. Ю. Способ уменьшения нелинейного поглощения при распространении акустических волн конечной амплитуды. Сб. трудов Х школы-семинара акад. Л. М. Бреховских «Акустика океана» и ХІУ сессии Российского Акустического общества. М., 2004, с. 61-64.

4. Наугольных К. А., Островский Л. А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М., Наука, 1990, 237 с.

5. Новиков Б. К., Руденко О. В., Тимошенко В. И. Нелинейная гидроакустика. Л., Судостроение, 1981, 264 с.

6. Зверев В. А. Модуляционный метод измерения дисперсии ультразвука. Акуст. ж., 1956, т. 2, № 2, с. 142-145.

7. Гаврилов А. М. Зависимость характеристик параметрической антенны от фазовых соотношений в спектре накачки. Акуст. ж., 1994, т. 40, № 2, с. 235-239.

8. Гаврилов А. М., Медведев В. Ю. Характеристики нелинейного акустического излучателя в режиме фазового запрета волны разностной частоты. Известия ТРТУ. Таганрог, Изд-во ТРТУ, 2003, № 6(35), с. 78-84.

9. Гаврилов А. М., Медведев В. Ю. Исследование амплитудно-фазовых характеристик нелинейного акустического излучателя с трехчастотной накачкой. Известия ТРТУ, Таганрог, Изд-во ТРТУ, 2002, № 6(29), с. 53-57.

10. Гаврилов А. М., Медведев В. Ю., Батрин А. К. Зависимость амплитудно-фазовых характеристик нелинейного акустического излучателя от амплитудных и фазовых соотношений в спектре накачки. Известия ТРТУ, Таганрог, Изд-во ТРТУ, 2002, № 6(29), с. 57-61.