Свойства огибающей трехчастотной волны в гауссовом пучке Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судо-

строение, 1980. 254 с.

2. Ольшевский В.В. Статистические методы в гидролокации. Л.: Судостроение, 1973.

184 с.

3. ГарнаевА. Excel, VBA, Internet. СПб: БХВ-Петербург, 2001.816 с.: ил.

2. Салов В.В., Старченко И.Б. Модельный подход к исследованию акустических сигналов в биологических объектах. //Известия ТРТУ. Медицинские информационные системы / Материалы научно-технической конференции: Медицинские информационные системы - МИС-2000. Таганрог: ТРТУ, 2000. Тематический выпуск. № 4(18). С. 163-164.

А.М. Гаврилов

СВОЙСТВА ОГИБАЮЩЕЙ ТРЕХЧАСТОТНОЙ ВОЛНЫ В ГАУССОВОМ ПУЧКЕ

Огибающая волны с амплитудной модуляцией помимо традиционного использования для передачи информации представляет интерес в качестве информативного параметра при изучении дисперсии скорости звука [1], измерениях расстояний [2], дистанционных измерениях параметров неровностей [3] и классификации по акустической жесткости [4, 5] отражающих поверхностей.

Разрабатываемые в последнее время информационно измерительные системы на базе нелинейных акустических излучателей (НАИ) [6, 7] зачастую связаны с использованием огибающей накачки, в качестве которой всегда выступает модулированная по амплитуде волна. Рассмотрение амплитудно-модулированных (АМ) волн при описании работы различных технических устройств ограничивается, как правило, моделями одномерных волн [1 - 7]. Это может быть причиной низкой достоверности получаемой информации, поскольку одновременное проявление в пучках дифракционных и диссипативных процессов способно оказать существенное влияние на параметры огибающей даже в случае достаточно узкополосных сигналов из-за пространственного накопления вносимых ими искажений.

Вопросам поведения амплитудных и фазовых характеристик огибающей АМ волн в дифрагирующих пучках до настоящего времени, насколько нам известно, не уделялось внимания.

В основу рассмотрения проблемы положим анализ поведения компонент квадрата огибающей, что равносильно наблюдению за принятым сигналом в произвольной точке пространства, прошедшим через квадратичный детектор. Такой подход к изучению огибающей заслуживает внимания по той причине, что частотный спектр нелинейно генерируемой волны разностной частоты (ВРЧ) НАИ совпадает со спектром квадрата огибающей. Это позволяет использовать в параметрических системах [6, 7] огибающую совместно с ВРЧ, где первая выполняет роль опорного сигнала при проведении фазовых измерений.

Идентичность частотных спектров ВРЧ и квадрата огибающей накачки обусловлена квадратичным характером нелинейности среды распространения НАИ [8].

Изучение огибающей представляет интерес также и для уточнения физической модели НАИ, поскольку зачастую она рассматривается как генератор «сторонних источников», приводящих к образованию ВРЧ в среде распространения [9]. От того, как распределена в пространстве производительность этих источников и насколько сфазированы они с разностной волной, зависят ответы на вопросы, что считать областью формирования НАИ и насколько эффективно идет нелинейный процесс перекачки энергии накачки в ВРЧ.

Поскольку в НАИ наиболее часто используют бигармоническую и трехчастотную АМ накачку [10], то в общем случае достаточно рассмотреть поведение трехчастотной волны с произвольными начальными амплитудами и фазами входящих в нее частотных компонент p(t, r, z) = A0(r, z) cos[ra 0t - k0z + ф 0(r, z) + ф 0] +

+ A1(r, z)cos[ra1t - k1z + ф1(г, z) + ф 01] + A2(r, z)cos[ra 2t - k2z + ф 2(r, z) +ф 20] = (1)

= A(t,r, z)cos[ra0t - k0z + ф 0 +y(t,r,z)], где Аo(r,z), A1(r,z), A2(r,z) и фо(г^), ф1(r,z), ф2(г^ - изменения амплитуд и фаз, обусловленные дифракцией и диссипативными потерями; ф0, ф10, ф20 - начальные фазы (z = 0); k0=ro0/c0, k1=ra1/c0, k2=ro2/c0 - волновые числа соответствующих компонент; с0 - скорость звука в среде; r, z - поперечная и продольные координаты пучка .

Квадрат огибающей волны (1) при условии ю1, 2= (ю0 ± Q), соответствующий с точностью до постоянного множителя напряжению на выходе квадратичного детектора, запишется в виде

A2 (t, r, z) = M0 (r, z) + M1(r, z) cos[Qt - kQz + 0(r, z) + a1 (r, z)] +

+ M2(r, z) cos{2[t - kQz + 0(r, z)]

где

Mo(r, z) = Ao2 (r, z) + A12 (r, z) + a2 z) ; (3)

Mj (r, z) = 2A0 (r, z)^/A2 (r, z) + A2 (r, z) + 2Aj (r, z) • A2(r, z) • cos 2P(r, z) ; (4)

M2(r, z) = 2A1(r, z) • A2(r, z); (5)

(2)

P(r,z) = P 0 +

фі(г^) + ф 2 (r, z)

-фo(r,z)

(6)

в ф10 + ф02 Ф

Р 0 =---2-----Ф о' (7)

Здесь М0(г^), Ml(r,z), М2(г^ - постоянная составляющая и амплитуды 1-й и 2-й гармоник квадрата огибающей; р0 - начальное значение фазового инварианта трехчастотной волны (2=0).

= Ф1М;) -ф 2М); (8)

Л, (г^)-А2 (г^) ч

,,!а'М = Л,(г,z) + Л2 (г,z) •'8РМ ■ (9)

Для плоского круглого излучателя с гауссовым распределением амплитуды

А(г^ = 0) = Лт • ехр|^- -^2

решение параболического уравнения дифракции [8] для комплексной амплитуды волны с частотой а при распространении в диссипативной среде имеет вид

A

A(r,z) =-----:—m—-г • exp

1

1 - i2z/(ka2) _ a2 1 - i2z/(ka2 )_

• exp(- a • z), (10)

где а - радиус излучателя; к = ю/е0; а = Ъю2/2р0е03 - коэффициент затухания; с0 - скорость звука в среде.

Используя соотношения (2) - (10), после несложных преобразований получим выражения для амплитуд и фаз 1-й и 2-й гармоник квадрата огибающей в виде

exp

M1„(rn,zn) = M2An;zn) = ^ 1-+zn ; Vk? + k2 + 2k1k2cos(2p)

2Am0 1 + zn

r2

М2п(Гп,7п) =

М2(гп,/п)

ехр

2А^о

1 + 2-- • к*.

( ) Гп22пФ(1 - Ф + 2

У1(Гп,2п) =- П П ^

______________¿Ф2)+1

(ф2 +1 + 2^ ) - 4Ф2 2

1+2П

аг^-2^ 1- аг^[ 2пФ

Ф+1

Ф-1

+ arctg

к1 - к2 к1 + к2

'^Р

2гп22пф(1 - Ф2 + 22) ( 2ПФ ^ ( 2ПФ

^Оп^) = -, ' ,2--------П2 + агсщ ф— I -агсга ф—

(2 +1 + 2П)- 4Ф2 V Ф + 1) V Ф - 1

(12)

(13)

(14)

где

к = к01(ф +1)

1 + 2П

(Ф + 1)2 + 2^

• ехр

¿. 2П (2ф + 1

41 [(Ф + 1)2 + 2ПФ2 ] + 2П).

к2 = ко2(Ф - 1)

1 + 22

(ф -1)2

-2П Ф'

•• ехР1- г

. 22 (2Ф -1

[(Ф - 1)2 + 2ПФ2] + 2П)_

ф2

к 01 =

к к' I 2Ф +1 , ) ( 1 -2Ф .

к01 = к01ехР| -а<>—--------!ао2п | ;к02 = к02ехР| -«0 „,2 • !ао2п

Ф2

А'т1 . А', ’

к' = А т2

к 02 = А'

т0 т0

Здесь А'т0, А'т1, А'т2 - начальные амплитуды (2=0); Ф=ю0/0 ; 1й0=а2ю0/с0; гп=г/а;

2п_2/1ё0*

На рис.1 и 2 приведены рассчитанные для воды осевые распределения амплитуд 1-й и 2-й гармоник квадрата огибающей М1п(2п, гп=0) и М2п(2п, гп=0) при а = 9 мм и ^ = 1,4 МГц. Видно, что

- осевые распределения очень слабо зависят от параметра Ф, несмотря на достаточно большой диапазон его изменения (Ф = 3... 100);

- амплитуды 1-й и 2-й гармоник практически одинаково распределены в пространстве, что и следовало ожидать, поскольку они обусловлены одной и той же волной;

- амплитуды 1-й и 2-й гармоник значительно быстрее убывают при удалении от излучателя, чем это имеет место у любой из компонент трехчастотной волны. Штриховой линией на рисунках показано распределение амплитуды центральной компоненты к0(2П, гП=0) исходного спектра (с частотой ю0).

На рис. 3 и 4 показаны осевые распределения дифракционной фазы 1-й и 2-й гармоник квадрата огибающей, из которых следует, что

- эти зависимости напрямую связаны с дифракционными процессами в пучке, поскольку имеют экстремум в точке 2П=1;

- максимальная величина дифракционного набега фазы растет по мере уменьшения параметра Ф. Это объясняется увеличивающейся разницей процессов дифракции отдельных компонент трехчастотной волны, т.к. при уменьшении Ф растет их взаимная частотная расстройка;

- поведение дифракционной фазы на оси пучка качественно повторяет аналогичное распределение радиуса кривизны волнового фронта [8], что указывает на взаимосвязь дифракционных процессов с фазовыми характеристиками огибающей;

- осевые распределения дифракционной фазы 1-й и 2-й гармоник квадрата огибающей существенно отличаются от аналогичных распределений дифракционной фазы отдельных компонент исходной волны [8] и ВРЧ [11] .

+

На рис. 5 приведены осевые распределения фазового инварианта 1-й и 2-й гармоник (О и 2Ц) квадрата огибающей трехчастотной волны

А^12(Гп,2п) = 2^1(Гп,2п) -^2(Гп,2п),

которые зависят от параметра Ф, имея максимум на расстоянии 2„=1. Характер поведения этой характеристики качественно отличается от аналогичной характеристики бигармонической ВРЧ [11]. Это различие имеет такие же особенности, что и фазовые распределения гармоник огибающей с соответствующими характеристиками 1-й и 2-й ВРЧ.

Рис. 1. Осевые распределения амплитуды 1-й гармоники квадрата огибающей при различных значениях параметра Ф:

1. Ф = 3; точки - Ф = 5; 2. Ф = 100; 3. к0^„)

Рис. 2. Осевые распределения амплитуды 2-й гармоники квадрата огибающей при различных значениях параметра Ф:

1. Ф = 3; точки - Ф = 5; 2. Ф = 100; 3. к0^„)

, град у2 , град

к/\ 4 - 5

/ \ 3 - 10 -и\ 3

" ГЧ 2 к 2

1 1 - 15 1

і і і і V 1 1 1 1 2"

0 10 20 30 40 50

Рис. 3. Осевые распределения дифракционного набега фазы 1-й гармоники квадрата огибающей при различных значениях параметра Ф: 1. Ф=3; 2. Ф=5; 3. Ф=10; 4. Ф=50 и Ф=100 (точки) при р0=0 и к'01=к'02=1

0 10 20 30 40 50

Рис. 4. Осевые распределения дифракционного набега фазы 2-й гармоники квадрата огибающей при различных значениях параметра Ф: 1. Ф=3; 2. Ф=5; 3. Ф=10; 4. Ф=50 и Ф=100 (точки)

0

4

8

На рис. 6 показаны амплитудно-фазовые характеристики АФХ) 1-й гармоники квадрата огибающей, рассчитанные для различных расстояний от излучателя. Видно, что для 1-й гармоники огибающей имеет место эффект фазового запрета подобно тому, что наблюдается у 1-й ВРЧ НАИ с трехчастотной накачкой при Ро=90° [12]. Однако проявление этого эффекта у ВРЧ и 1-й гармоники огибающей существенно различно - у ВРЧ он нарушается на малых расстояниях (в пределах области дифракции), а у 1-й гармоники огибающей - на больших удалениях от излучателя. Причиной этого в первом случае является различие дифракционных процессов двух составляющих 1-й ВРЧ, а во втором - частотно-зависимое затухание, приводящее к асимметрии амплитудного спектра трехчастотной волны.

Это подтверждают АФХ 1-й гармоники огибающей (рис. 7), рассчитанные для фиксированного расстояния (2п=100) при разных значениях параметра Ф, т.е. при

различном разнесении частот входящих в трехчастотную волну компонент.

Рис. 5. Осевые распределения фазового инварианта 1-й и 2-й гармоник квадрата огибающей при различных значениях параметра Ф:

1. Ф=3; 2. Ф=5; 3. Ф=100 при р0=0 и к 01=к 02=1

Полученные результаты в полной мере относятся к случаю двухчастотной (бигармонической) волны, для этого достаточно принять равной нулю амплитуду центральной компоненты спектра. Полученные выше характеристики для 2-й гармоники квадрата огибающей описывают поведение ее огибающей.

0 45 90 135 180

Рис. 6. Амплитудно-фазовые характеристики 1-й гармоники квадрата огибающей на различных расстояниях от излучателя: 1. 2„=0,1; 2. гп=1'; 3. гп=10ш; 4. гп=100 (точки); 5. г„=500

0 45 90 135 180

Рис. 7. Амплитудно-фазовые характеристики 1-й гармоники квадрата огибающей на расстоянии гп=100 при различных значениях параметра Ф: 1.

Ф=3; 2. Ф=10; 3. Ф=50 (точки); 4. Ф=1000

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зверев В.А. Модуляционный метод измерения дисперсии ультразвука.// Акуст. журнал. 1956. Т. 2. Вып. 2. С. 142 - 145.

2. Горбатов А.А., Рудашевский Г.Е. Акустические методы измерения расстояния и управления. М.: Энергоиздат, 1981. 298 с.

3. Шейнфельд И.В. Рассеяние акустических амплитудно-модулированных волн на статистически неровной поверхности. // Ультразвуковая диагностика. Горький: ИПФ АН СССР, 1983. С. 210 - 215.

4. Патент РФ № 2006876. Гаврилов А.М., Савицкий О.А. Устройство для обнаружения и классификации объектов по акустической жесткости // БИ. 1994.№ 2.

5. Авт. свид. СССР № 1815615. Гаврилов А.М., Савицкий О.А. Устройство для измерения коэффициента отражения акустических сигналов. // БИ. 1992.№ 26.

6. Авт. свид. СССР № 1639267. Гаврилов А.М., Савицкий О.А. Устройство для классификации объектов по акустической жесткости. 1991.

7. Патент РФ № 2006877. Гаврилов А.М. Способ измерения коэффициента отражения акустических сигналов // БИ. 1994. № 18.

8. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

9. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука,1990. 237 с.

10. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981. 264 с.

11. Гаврилов А.М., Гончаренко В.Р. Исследование фазоразностных характеристик параметрической антенны с амплитудно-модулированной накачкой // Прикладная акустика. Таганрог: ТРТИ, 1988. Вып. 13. С.60 - 67. Деп. ВИНИТИ, 28.12.88, № 9108 - В88.

12. Гаврилов А.М., Медведев В.Ю. Исследование амплитудно-фазовых характеристик нелинейного акустического излучателя с трехчастотной накачкой. 2-я Всеросс. научн. конф.: Экология 2002 - море и человек. Таганрог: ТРТУ, 2002. С.53 -57.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ ОТРАЖЕННОЙ ВОЛНЫ ПРИ СЛОЖНОЙ ФОРМЕ ПОВЕРХНОСТИ

Проведем исследование рассеяния акустической волны, падающей на границу криволинейной поверхности со средним радиусом кривизны много большим по сравнению с длиной волны, т. е. когда размеры рассеивающего тела велики по сравнению с длиной волны.

Звуковое поле в каждой точке г внешнего изотропного пространства по отношению к антенне в момент времени t характеризуется звуковым давлением Р(гД) и вектором колебательной скорости у(гД) [1]. Звуковое давление и колебательную скорость можно определить, дифференцируя потенциал скорости ф(гД) по координатам и времени (1):

Для расчета давления отраженной волны был использован метод мнимых источников, т. е. исследуемая поверхность заменялась совокупностью точечных источников, расположенных на ее поверхности [2]. Таким образом, давление в любой точке поля является результатом интерференции давлений от отдельных излучателей. Так как пути лучей в отдельно рассматриваемой точке различны по длине, то слагаемые давления интерферируют с различными фазами. Поэтому давление и, следовательно, фаза в каждой точке, удаленной от поверхности на п, зависит от расстояния до точки наблюдения. Проведем исследование изменения фазы отраженной волны в пределах зоны Френеля при разной форме отражающей поверхности. Границы зоны Френеля изменяются в пределах от X до а 2/ X, где а - максимальный размер активной поверхности антенны.

Рассмотрим вначале простой случай для рассеивателя в виде полуокружности с радиусом Я (рис. 1). Для рассматриваемого случая было получено выражение (2), позволяющее провести анализ изменения фазы (3) отраженной волны в удаленной точке, расположенной в плоскости, перпендикулярной нормали полуокружности.

где к - волновое число; р0 - производительность источника; с - скорость звука в воздухе; |(х) - приращение расстояния за счет кривизны отражающей поверхности; п - минимальное расстояние от отражающей поверхности до приемника.

В. А. Воронин, Н. С. Картамышева

( )= -^ ( )=- Л )

(1)

( ) - а/( -())+(- )

(2)

-())+(-)