ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ СОБОЛЕВА И НЕКОТОРЫЕ ИХ ОБОБЩЕНИЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, ЗАДАННЫХ НА ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ С МЕРОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Yan J.A. Caracterisation d'une classe d'ensembles convexes de L1 ou H1 // Seminaire de Probabilités XIV. Lect. Notes Math. Vol. 784. Berlin: Springer, 1980. 220-222.

Поступила в редакцию 22.01.2021

УДК 517.518+517.518.23

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ СОБОЛЕВА И НЕКОТОРЫЕ ИХ ОБОБЩЕНИЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, ЗАДАННЫХ НА ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ С МЕРОЙ

Н. Н. Романовский1

Для отображений топологического пространства (X, T, у) в банахово пространство (Y, | • |Y) определяются аналоги соболевских классов W(X; Y), r =1,2,..., а также классов Соболева-Слободецкого W^, r € [1, то), и некоторых их обобщений. Доказываются точные теоремы вложения в шкалу пространств Лебега Lq ив пространств Орлича, соответствующих быстрорастущим порождающим функциям; также изучаются некоторые другие свойства соболевских функций.

Ключевые слова: пространства Соболева, теоремы вложения, топологические пространства.

For mappings from measure space (X, у) to Banach space (Y, | • |Y) we defined an analogous of Sobolev classes Wr(X; Y), r = 1,2,..., and also Sobolev-Slobodetsky classes r € [1, то),

Lq

classes and study some properties of Sobolev functions.

Key words: Sobolev spaces, embedding theorems, topological spaces.

Известно, что теория пространств Соболева имеет многочисленные эффективные применения в различных областях математики и других наук, во многих прикладных задачах. В последнее время успешно развивается теория, обобщающая результаты классической теории пространств Соболева на случай функций, заданных на метрическом пространстве с мерой. Это позволяет разработать новые методы, подходы, получить новые приложения, в том числе изучить некоторые классы уравнений в частных производных, различные физические модели, использующие фрактальные множества, модели математической экономики и финансовой математики. С классической теорией пространств Соболева и ее обобщений на случай функций с нецелой гладкостью можно ознакомиться, например, в работах [1-4], с некоторыми обобщениями теории пространств Соболева на метрический случай — в работах [5-12]. Приложения теории пространств Соболева в метрическом случае можно найти в [13-26].

В настоящей работе мы рассматриваем случай отображений, заданных на топологическом пространстве с мерой (X, у) со значениями в банаховом пространстве (Y, |.|у). Он является более общим, чем случай из упомянутых работ.

X

предполагаем, что задана последовательность разбиений 2 = (сто, cti, ст2,..., CTj,... } множества X на непересекающиеся у измеримые множества Ej, i = 1,..., 2j, которая удовлетворяет следующим условиям: каждое последующее разбиение является измельчением предыдущего, при этом, чтобы построить последующее разбиение, каждое множество предыдущего разбиения разбивается на два множества одинаковой меры. Разбиение сто состоит из единственного множества, т.е. сто = (X}, y(X) < то.

Во-вторых, мы рассматриваем отображения со значениями в произвольном банаховом пространстве (Y, |.|y), а не вК.

В-третьих, мы рассматриваем произвольный порядок обобщенного дифференцирования r, включая случай r > 1, а также случай нецелых r. Поскольку нельзя говорить о полиномах на произвольном топологическом пространстве с мерой, мы заменяем в соответствующем месте определения

1 Романовский Николай Николаевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, e-mail: nnromQmath.nsc.ru.

Romanovski Nikolay Nikolaevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences.

классов Соболева в случае г > 1 семейство многочленов порядка [г] для нецелых г либо порядка г — 1 для целых г на некоторое фиксированное семейство функций (или отображений), удовлетворяющих подходящим неравенствам, которые связаны с семейством разбиений

Ранее автором в работах [27-29] было сформулировано новое определение функциональных классов Соболева на метрических пространствах с мерой, которое оказалось удобным для доказательства различных теорем вложения. В работах [27, 28] был рассмотрен случай, аналогичный случаю классов Соболева (Соболева-Слободецкого) 0 < г ^ 1, в [29] — случай, аналогичный классам Соболева (Соболева-Слободецкого) г > 1, а также некоторым их обобщениям, которые получаются при приближении рассматриваемых функций не полиномами, а функциями из подходящего выделенного семейства.

Предложенный в работах [27-29] подход оказался продуктивным даже в евклидовом случае. Иначе говоря, теоремы вложения можно доказывать по следующей схеме: сначала доказать эквивалентность классического определения определению из работ [27-29], после чего доказать теоремы вложения, не используя интегральные представления и оценки норм интегральных операторов, но используя некоторые оценки, непосредственно вытекающие из определения, изложенного в работах [27-29]. Для случая некоторых областей с особенностями этот подход оказался технически проще классического подхода (см. также [30-33]).

В настоящей работе мы рассматриваем более общий случай, чем в работах [27-29]. Мы доказываем аналог результата С. И. Похожаева о вложении пространств Соболева (и), где и — достаточно регулярная область МП рк = и, в пространство Орлича, порожденное экспоненциально растущей функцией (см. [34-37]). В работе [26] доказаны полные аналоги классических теорем вложения пространств Соболева в Ьд для функций, заданных на метрическом пространстве, со М

дения, чтобы единообразно доказать теоремы вложения в пространство Ьд, в пространство Орлича, порожденные экспоненциально растущей функцией, и в Приведенное доказательство позволяет оценить норму операторов вложения.

В завершение мы переформулируем определение из [27-29] так, чтобы дать его не через верхний градиент функции и, а через другую функцию, определение которой зависит только от локального поведения функции и. Такая переформулировка может быть полезной для доказательства ряда важных оценок с помощью результатов настоящей работы.

Пусть (X, Т, ц) (или для краткости (X, ц)) — топологическое пространств о с мерой ц, V С X — множество конечной меры. Обозначим ц(у) = С\.

Определение 1. Рассмотрим последовательность разбиений 2 = {о0, о1,о2,..., о?,... } множества V на непересекающиеся ^измеримые множества Е?, г = 1,..., 2?, такую, что каждое последующее разбиение является измельчением предыдущего, при этом, чтобы получить последующее разбиение, каждое множество предыдущего разбиения разбивается на два множества одинаковой меры. Будем предполагать, что разбиение оо состоит из единственного множества, т.е. оо = {V}. Будем называть 2 двоичной последовательностью разбиений.

Замечание 1. Существует много различных двоичных последовательностей разбиений. Определяемые в дальнейшем функциональные пространства зависят от выбора двоичной последовательности разбиений.

Замечание 2. В работах [27-29] приведены примеры множеств метрических пространств, для которых можно построить аналогичные последовательности разбиений, удовлетворяющие дополнительному соотношению сИат^ Сгде с? — аналог размерности в метрическом пространстве с мерой, включая достаточно регулярные области Мга, групп Гейзенберга, общих групп Карно, фрактальные множества.

Пример 1. Пусть V — измеримое множество конечной меры в пространстве X с метрикой (квазиметрикой) й и борелевской мерой ц. Предположим, что для любой точки х € X функция г ^ ц(В(х, г)) непрерывна и стремится к нулю при г ^ 0. Тогда для V можно построить последовательность разбиений как в определении 1. Отметим, что в этом случае мера может не удовлетворять условию удвоения. Случай пространств с мерой, не удовлетворяющей условию удвоения, а также случай пространств с квазиметрикой не рассмотрены в работах [28, 29].

Пример 2. Рассмотрим бесконечномерный единичный куб [0,1]ш. Каждой точке х этого куба соответствует бесконечный счетный набор координат Хг, Хг € [0,1].

те

Рассмотрим топологию, порожденную параллелепипедами вида Р = Л (йг,ЬгЬ где для всех г,

г= 1

за исключением конечного числа, имеем аг = 0 Ьг = 1, для оставшихся г выполняется Ьг — аг > 0;

символ ( обозначает [, если а* = 0; символ ( обозначает ( в противном случае; символ ) обозначает ], если Ь* = 1; символ ) обозначает ) в противном случае.

Рассмотрим меру, заданную на указанных параллелепипедах, а также на замкнутых параллелепипедах:

те

у(р) = П& - о*)•

*=1

Предположим, что множество у-измеримых множеств содержит сигма-алгебру, порожденную этими параллелепипедами, и, следовательно, мера у является борелевской.

Двоичным отрезком назовем отрезок вида [^г, ^г], ГД© г € {0,1,... , 2й — 1}. Двоичным параллелепипедом назовем декартово произведение двоичных отрезков.

Пусть ¿1, ¿2) •••— произвольная последовательность натуральных чисел. Построим последовательность разбиений единичного бесконечномерного куба на двоичные параллелепипеды. Первое разбиение состоит, как обычно, из единственного множества, т.е. оно содержит только единичный

те

куб. Второе разбиение состоит из двух параллелепипедов вида Л [а*, Ь*], где а* = 0 Ь = 1 для всех

*=1

г, кроме г = г 1, для первого параллелепипеда = 0, Ь^ = для второго параллелепипеда =

те

Ь*1 = 1. Третье разбиение состоит в случае г1 = г2 го четырех параллелепипеде в вида П [а*, Ь* ], где

*=1

о» = 0, Ъг = 1 для всех г, кроме I = ¡1 и г = ¿2, для первого параллелепипеда = 0, Ь^ = а¿2 = 0, Ъг2 = для второго параллелепипеда = 0, Ь^ = ец2 = Ь^ = 1, для третьего параллелепипеда о»! = Ьгх = 1, а¿2 = 0, Ъг2 = для четвертого параллелепипеда = ^, =1, ец2 = Ьг2 = 1>

те

в случае г1 = г2 го четырех параллелепипедов вида П [а*, Ь*], где а* = 0 Ь = 1 для всех г, кроме

*=1

г = ¿1 = ¿2) для первого параллелепипеда = 0, Ь^ = для второго параллелепипеда = Ь= для третьего параллелепипеда сцх = = для четвертого = и т.д.

Определение 2. Фиксируем семейство отображений А, заданных на множестве V, таких, что для некоторой постоянной С2 и для любой функции А € А, а также для любых функций А1, А2 € А и множества € ст^ выполняются неравенства

С2.

sup |Л(ж)|у < -7ТЖ / . №)|ydy(V),

C2

sup |Ai(a;) -Л2(ж)|у ^ JI / - А2(ж)|у dy(V),

x&Ek ) ■

'Efc

где C2 не зависит от г, к.

Перечислим некоторые подходящие для определения 2 семейства функций A. Замечание 3. Семейство констант удовлетворяет условиям определения 2, при этом в качестве C2 можно взять 1.

Предложение 1. Предположим, что V С Мга, множество V ограничено, ц — мера, Лебега. Пусть найдется константа C, такая, что при всех к для каждого множества Ek из разбиения ak можно указать шар Bk С Ek; такой, что диаметр множества Ek не превосходит константу C, умноженную на радиус шара Bk. Фиксируем m € N. Тогда множество полиномов степени не выше m будет удовлетворять условиям определения 2 дм последовательности разбиений ak множества V. В этом случае в качестве семейства, функций A из определения 2 можно взять

m

Доказательство. Нам необходимо доказать, что для любых двух полиномов степени не выше

m

sup I Рг(х) - Р2(х)\ < т% [ \Pi(x) - p2{x)\dx, xtE? |Ef I JE\

где C2 зависит только от m, n и постоянной C из условия предложения. Последнее неравенство эквивалентно неравенству

C2

sup \Р(х)\ < —§- / \P(x)\dx, ,eEk |Ef1 Je?

где Р — произвольный полином степени не выше ш. Левая и правая части последнего неравенства инвариантны относительно сдвигов и растяжений. Поэтому достаточно доказать неравенство

8ПР|Р(Ж)| < [ \Р{Х)\(1Х,

х&Е |Е| .¡Е

где С2 зависит только от ш, и и постоянной СЕ — произвольное множество диаметра С, содер-

В(0, 1) Р ш

Доказательство последнего неравенства вытекает из формулы

Р(х) = У Рв,ф(х,у)Р(у) ¿у,

В(0,1)

где функция Рв,ф(х, у) для фиксированного у является полиномом по х, для фиксированного х принадлежит С0 (В(0,1)) по у. Эту формулу можно вывести, разложив в ряд Тейлора порядка ш функцию Р(х) относительно точки у, домножив полученное равенство на функцию ф(у) € Сц°(В(0,1)), удовлетворяющую / ф(у) ¿у = 1, и проинтегрировав по шару В(0,1) домноженное равенство в(о,1)

у

1

ш2 (9ля последовательности разбиений о к множест ва, V.

1

ш

дет удовлетворять условиям определения 2 для, последовательности ра збиений о к множест, ва, V.

2

Утверждения предложений 2 и 3 являются непосредственными следствиями предложения 1. Предложение 4. Предположим, что выполнены, условия предложения 1. Пусть V < и и

и

2и

М2 М2

2

можно взять в качестве семейства А ш определения 2.

Доказательство предложения 4 вытекает из неравенства Гарнака.

Определение 3. Пусть открытое множество V С X, (X, ц) — пространство с мерой, (К, |.|у) — банахово пространство, р € [1, то), последовательность разбиений 2 = (о0, о1,..., о?,...) удовлетворяет определению 1, и € ; К). Обозначим множества, из которых состоит разбиение о?, через Е|, г = 1,..., 2?. Предположим, что существует функция НТ € Ьр(У), такая, что для каждого ] = 0,1, 2,... и для каждого г = 1,..., 2? найдется отображение А? из семейства А, такое, что для п.в. х € Е? выполняется неравенство

2?г|и(х) — А?(х)|у < Ы(х). (1)

Тогда будем писать и € ; К). Любую функцпю Нг(х), удовлетворяющую неравенству (1), бу-

дем называть верхним градиентом порядка г отображения и. Инфимум ||Л,Г (и) среди всех функций Нт(х), удовлетворяющих неравенству (1), т.е. среди всех верхних градиентов порядка г отображения и, будем обозначать М^^у;у) ИЛИ Для краткости [и]^. Норма в пространстве ; У) определяется формулой

Н^З^А (У;У) = \и\ьр (У;У) + [иЬ^А(У ;У).

Рассмотрим более сильное условие. Предположим, что существует функция Нт € ), такая, что для каждого ] =0,1, 2,... и для каждого г = 1,..., 2? найдется отображение А? из семейства А,

такое, что для п.в. х € Е?, а также для п.в. х € Е?, граничащих с Е?, т.е. Ек € о? и Е? П Ек = 0, выполняется неравенство

2?г|и(х) — А?(х)|у (х). (1')

Тогда будем писать и € V; У) Любую функцию Нг(х), удовлетворяющую неравенству (1'), будем называть сильным верхним градиентом порядка г отображения и. Инфим ум ||Л,г \ьр (и) среди

всех функций Л,г (х), удовлетворяющих неравенству (1'), т.е. среди всех сильных верхних градиентов порядка г отображения и, будем обозначать [и]^г,р (у;уу Норма в пространстве ; У) опреде-

ляется формулой

||и||Знд (У ;У) = ||и||ьр (У ;У) + [и]За',ра(У ;У).

Замечание 4. В дальнейшем будем обозначать множество совпадающих на Е? с А? отображений через С?. Определение ;У) означает, что для и € ;У) найдется отображение € С?, такое, что для п.в. х € V выполняется неравенство

|и(х) — &(х)|у < 2-г(х). (2)

Замечание 5. Если X — метрическое пространство с внутренней метрикой рх, мера всех шаров по этой метрике радиуса К ^ 1 не меньше СК^, множество А есть множество констант, У = М,

2 &¥&т(Е1) < С2"3 (см. замечание 1), то опреде-

ленное выше пространство £5 ; У) содержит определенное общепринятым способом (П. Хайлаш, Дж. Чигер и др., см. [6-10, 12]) через поточечные оценки пространство Соболева Н1 рх, ц) а

£5 ; У) совпадает с ним.

Аналогично если X = Мп с евклидовой метрикой и мерой Лебега, V — достаточно регулярная область, то £5 А(V; У) содержит классическое пространство Соболева Шк 'р(и), а £5 А(V; У) совпадает с ним.

Для гр > 1 можно получить равномерную по ] оценку ||д?(х) — $о(х)||ьто(У;У)> из которой легко следует вложение ; У) в ; У) (см. также [1]). Для гр ^ 1 также можно получить оценку

Р^-нормы функций (х)— $о (х), которая не будет равномерной по ], но будет более точной. Используя эту оценку и идеи работы [3], можно доказать теоремы вложения в Ь р (V: У) для

гр < 1 и в пространство Орлича, порожденное экспоненциально растущей функцией, для гр = 1. Лемма 1. Справедливы следующие оценки: 1 < гр

^к — 5о|Ьто(У;) < ^ |Ьр(У);

1 = гр

— 5о|Ьто(У;У) ^ ^ |Ьр(У) ■ Л;

1 > гр

Ы ~ дои^у-у) % \\ЬГ\\ьр(У) -2к(р~г).

Доказательство. Имеем

к

— (У;У) ^ ^ — (У;У^

?=1

Ьз ~ Эз-Ль^у-у) = ^Ьз ~ 9з-1\\Ьоо{Е^у) < / ■ \зАх) ~ 9з-1{х)\г

г=1 ^^ Ы1 ) г=1 ц(Е^)] Е|

поскольку д?Е € А, 5?-1|е■? € А. Используя неравенство Гёльдера, получаем

г г

Ьз ~ Яз-Ль^у-г) < шах ^ 1 ( I . \9з{х) ~ 9з-Лх)\г

г=1

Далее, в силу (2)

(х) — &_1(х)|У < |и(х) — д,(х)|у + |и(х) — <7,-_1(х)|У < (1 + 2)2-гЫ(х) = 3 ■ 2-г^(х). 2

Следовательно,

где Сз = 3 • °21 . В итоге

(Сх)р

к

и - доЬиу-х) < Сз||лр|1мп

3=1

Если 1 < гр имеем равномерную по к оценку ||дк — до||ьто(У;у)> соответственно в этом случае

11^ — 5го||ь00(^;1г) ^ Са\\Ьг\\Ьр{У), С4 = Сз-

Зр

1-2р г

Если 1 = гр получаем зависящую от к оценку

№к — (V;У) < Уьр(У) ■ k, (3)

а если 1 > гр то оценку

11^-50|коо(У;У)<Сб||Лг|1мУ)-2'8('"г). (4)

Лемма доказана.

1 > гр

1 —гр

\ ~г р \

Кж) - до(х)\^-гр сЫх) < У)-

Для д < выполняются оценки

г(9е С(г,р д, к) ^ 0 щи к ^ то.

Доказательство. Фиксируем целое число г ^ 1. Пусть Нг (ж) — произвольный верхний градиент порядка г отображения и.

Обозначим через V* множество то чек ж € V, таких, ч то |и(ж) — до (ж)|у € [2*, 2г+1). Из леммы 1

мы имеем оценку \\дк — до\\ьса{У] У) ^ С5||/гг|\ьр(У) • 2к(-г~Т\ Выберем максимальное целое к, такое,

что

||0к — до11ьх (V; У) < 2*-1. (5)

Обозначим это число через к(г). Тогда для п.в. ж € V имеем

|и(ж) — дк(*)(ж)|у ^ |и(ж) — до(ж)|у — |д^(ж) — до(ж)|у ^ 2* — 2*-1 = 2*-1.

Следовательно, для п.в. ж € V

|и(ж) — до(ж)|у < 4|и(ж) — дад(ж)|у < 4 ■ 2-к(*)гV(ж).

По определению к(г) если взять к = к(г) + 1, то оценка (5) не будет выполняться. Учитывая (4), получаем

т + - г) + 1ое2(С5) + 1оё2т\\Ьр{у)) > г - 1. р

Отсюда

гр ( 1тр \

Далее,

гр

Фиксируем д ^ р. Имеем

У |и(ж) — до(ж)|у ^у(ж) = У |и(ж) — до(ж)|у-р|и(ж) — до(ж)|у ^у(ж).

У У

В правой части последнего неравенства оценим множитель |и(ж) — до(ж)|у р, исходя из неравенства |и(ж) — до(ж)|у ^ 2г+1, а множитель |и(ж) — до(ж)|у — из неравенства (6). Тогда

У \и(х) -№(ж)|^у(ж) < С8 (Н^Нму))1^ 2г(9"Р)"(^) у{кг^Уй^х). У Уг

Далее, д-р — (т^) = Я — • Следовательно,

У < с8 (Н^Н^с^))1^ у(7)

Уг Уг

Рассмотрим случай ц = ^ . Имеет место оценка

/Р гр2 г

\и(х) - д0(х)\^-гр ф(ж) < С8 {\\Нг\\Ьр[¥))^ 1{}1г{х)Уд,ц{х). (8)

Уг Уг

г

1

\и{х) - д0{х)\1Гр йц(х) < С8 {\\Пг\\Ьр{у))^ У(¡гг(х)У <1ц,(х) = С8 П (¡гг(х)У <1ц,(х)

У У \У

Окончательно имеем

1 —гр 1

1Ф0 - 9о(х)\^ ¿у(ж) ^ • (9)

В силу произвольности выбора верхнего градиент а V первое неравенство теоремы доказано.

Рассмотрим случай д < Оценим / |и(ж) — 5'о(ж)|у с?у(ж). Для этого можно использовать (7),

У

но суммирование вести не по всем г, а только по тем г, для которых к(г) ^ к. Обозначим наименьшее из таких целых чисел г через г(к). Получим

У \и(х) - д0{х)\1у (1ц{х) < С^К9"^) | у{¡1г{х))р йц{х) УУ

Поскольку г (к) ^ то при к ^ то, учитывая произвольность выбора верхнего градиента Л,г, получаем второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть 1 > гр. Тогда нормированное пространство ; У) непрерывно вкла-

дывается в нормированное пространство Ь р (У:У).

1 — гр

Доказательство. Из неравенства треугольника и неравенства (9) имеем \\и\\ь^_р_(У;¥) ^ \\и - 9о\\ь^р_(У;У) + \\QoWl^

< С9 (кг(х))р <1(г(х)^ +С2\\д0\\Ьр{у,г) <

^ С10 0Икр(У) + ||и - 5оУьр(У;У) + 1Ыкр(У;У)) ^ С11и5гра(У;У)•

Следствие 2. Предположим, что на X задана, внутренняя метрика и для множеств последовательности разбиений 2 выполняются неравенства сИат(Е?) ^ С2~л. Пусть 21 представляет, собой множество констант. Предположим, что й > р. Тогда, нормированное пространство Ш1 'Р(У; У), т.е. прост,ранет,во Соболева на метрическом пространстве с мерой, определенное через поточечные оценки, непрерывно вкладывается в нормированное пространство Ь р (V: У).

<1 — р

Аналогично если X = Мга; для множества Е последовательности разбиений 2 выполняются неравенства (Пат(Е?) ^ С2~™; к € М; 21 представляет собой множество полиномов степени не выше к — 1, й > кр; то нормированное прост,ранет,во Шк'Р(У; У); т.е. классическое пространство

Соболева, непрерывно вкладывается в нормированное пространство Ь кР (У;У).

<1 — кр

Доказательство. Ранее было отмечено, что \¥1'Р{У] У) непрерывно вкладывается в У)

в первом случае и Шк 'Р(У; У) непрерывно вкладывается в ; У) во втором.

Таким образом, воспользовавшись результатом теоремы 1, получаем, что Ш1 'Р(У; У) непрерывно вкладывается в Ь р (V; У) = Т_^р_(У;У) в первом случае и Шк'р(у~,У) непрерывно вкладывается в Ь р (V: У) = Ь аР (V; У) во втором. 1—^р <1 — кр

Замечание 6. Для областей евклидова пространства размерности п с особенностями может не существовать последовательности двоичных разбиений, удовлетворяющих условию ё1аш(Е) ^

С2~". В этом случае можно, учитывая характер особенности, взять число г меньшим ^ и получить теоремы вложения с худшим, чем классический, показателем суммируемости. Также можно рассмотреть разбиения, содержащие множества, диаметр которых растет при приближении к особенностям на границе рассматриваемой области, и тем самым нарушить условие сЦат(Е^) ^ С2-«. В этом случае мы получим вложение весовых пространств Соболева с весом, стремящимся к бесконечности при приближении к особенностям на границе, в пространство Лебега с классическим показателем суммируемости. Наконец, можно вместо меры Лебега в качестве меры ^ взять весовую меру с подходящим весом, стремящимся к бесконечности при приближении к особенностям на границе. В этом случае мы получим вложение весовых пространств Соболева в весовые пространства Лебега с тем же весом и с классическим показателем суммируемости.

Следствие 3. Пусть 1 > гр, д < Предположим, ч,т,о шар по метрике ЬР(У]У), пе-

ресеченный с А, вполне ограничен по метрике ЯР(V; У). Тогда, опера,т,ор вложения ; У) в

Тч(V; У) вполне ограничен.

Доказательство. Построим е-сеть для шара по метрике ; У) с центром в 0 и радиусом К.

к

чтобы выполнялось неравенство С(г,р,д,к) ^

Тогда для любого отображения и € В найдется отображение $к € ^к, такое, что

е

\\и ~ 9к\\ьч(у-,У) ^ 2"

Отметим, что в силу неравенства Гёльдера и неравенств ^^) ^ С1, ||и||ьр(у;у) ^ К выполняется

Н#к Нь, (У ;У) ^ С Ц#к !к^(У;У)-

Далее,

\\9к\\ьр(У;У) < \\и - дк\\ьр(У-Х) + \\и\\ьр(У-Х)

Таким образом, для доказательства существования е-сети для шара В по метрике Ь,(V; У) достаточно доказать существование е-сети то метрике Ь,(V; У) для множества {д& € С | ||д&||^р(у;у) ^ С}, где С — некоторая константа.

Для г = 1,2,... ,2й обозначим дк\в¥ = А^. Имеем е А, ||^||ьр(У;У) ^ § + -й- По условию множество таких отображений вполне ограничено, следовательно, для него можно построить конечную е-сеть то метрике ; У)(Ек). Обозначим ее, т.е. соответствующий конечный набор отображений, через С А Из свойств отображений из А (см. определения 1, 2) вытекает, что

будет (С2е)-сетью по норме ; У).

В итоге получаем, что набор отображений V в У, совпадающих на с одним из отображений из является (С2е)-сетью по норме Ь^У^У) для множества {д^ € Ск \ \\дк\\ьр(У-,У) ^ § + Щ- Из неравенства Гёльдера вытекает, что это множество также является (Се)-сетью по норме Ь,(V; У), Ск

к

шим, чтобы выполнялось неравенство С(г,р,с1,д,к) < тщ. Тогда для любого отображения и € М найдется отображение д^ € такое, что

Ыг{и{-),дк{-))\\ьч(у) <

Отметим, что в силу неравенства Гёльдера и неравенств ) ^ 1, ||йу(и(-), А(-))||^р(у) ^ Л2 выполняется

¥гЫ-),А(Шр(У) < ¥гН-),дктьр(У) + Ши(-),А(-))\\Ьр(У) < | +Л2.

Таким образом, чтобы доказать существование е-сети для множества М, достаточно установить существование е-сети то метрике Ь,(V) для множества {д& € С | (у)(д&, А) ^ С}, где С — некоторая константа. Для г = 1,..., п(к) обозначим дк|Ек = Имеем € А, Рьр(ек) (А^, А) ^ С.

По условию множество таких отображений вполне ограничено, следовательно, для него можно построить конечную е-сеть то метрике Ьр(Ек). Обозначим ее, т.е. соответствующий конечный набор отображений, через С А Из свойств отображений из А (см. определения 1, 2) вытекает,

что будет (с(к)е)-сетью то метрике Ь,(Ек). В итоге получаем, что набор отображений V в У, совпадающих на , , •••, Е^) с одним из отображений из является (п(к)с(к)е)-сетью по метрике Ь,(V) для множества {д& € С | р^р(У)(д&, А) ^ С}. Следствие доказано.

Следствие 4. Предположим, что выполняются условия следствий 2 и 3. Пусть й > р д <

Тогда любой шар по норме пространства Ш ; У), V С (X, р); т.е. по норме пространства Соболева на метрическом пространстве, определенном через поточечные оценки, является вполне ограниченным множеством по норме пространства Ь, (V; У).

Аналогично любой шар по норме пространства Ш; У), V С Мга, т.е. по норме классического пространства Соболева, является вполне ограниченным множеством по норме пространства Ь,(V; У).

Теорема 2. Пусть 1 = гр Тогда, выполняется оценка,

у 2ЛКх)-й0(х)|у |и(ж) — до(ж)|у йу(ж) ^ I(Л(ж))р йу(ж),

УУ

где Л = С(г,р)||Лг ||Ьр(у)•

Доказательство. Фиксируем целое число г ^ 1. Обозначим ч ерез V* множество то чек ж € V,

таких, что |и(ж) — до(ж)|у € [2*, 2г+1). Из леммы 2 мы имеем оценку ||дк — до||ьто(У;у) ^ Сз||Лг (У) ■ к. Обозначим через к(г) максимальное целое к, такое, что

||д* — до||ьте(V;У) < 2*-1.

Как и ранее, для п.в. х € V имеем

|и(х) — 0о(х)|у < 4 ■ 2-к(-)гЛг(х).

По определению к(г) если взять к = к(г) + 1, то ||$к — (V; У) будет больше 2г-1. Учитывая (3),

получаем

Сз||ЛгНьр(У) ■ к(г) > 2--1.

Отсюда

2-кг < \\ьр(V)2

|и(х) — #о(х)|у < 2-С9Г\\нт\\ьг(уУ21 Лг(х). Обозначим Л(г,р, ||ЛГ ||Ьр(У)) = 2С9гр||Лг||Ьр(у)• Имеем

|и(х) — £о(х)|У < 2-Л^+1 (Лг(х))Р. Далее получаем для п.в. точек х € V

2ЛКх)-й0(х)|у |и(х) — #о(х)|у < (Лт(х))Р.

Следовательно,

у 2|и(х)-й0(х)|у |и(х) — 5о(х)|У йф) ^(Лт(х))Р й^(х). У У

Просуммировав последнее неравенство по г, заключаем, что

у 2|и(х)-й°(х)|у |и(х) — до(х)|у й^(х) ^(Лт(х))Р й^(х).

УУ

Теорема доказана.

Определение 4. Определим оператор М как заданный на ^(У)• Пусть Л € ), Л ^ 0 п.в. Для точки х € V обозначим через Е-к множество разбиения Стк, содержащее х. Отметим, что

к , х

) = . Положим

'к

[МЛ,] (ж) = max < h(x), ( max ^ • I h{y)dii,{y)

I \ k=1 MV) J

E k

гк , x

Также определим

2j / h(y)d^y)

k Ej. x [Л4Л](ж) = max-— ——-.

j=1 MV)

Замечание 7. Если на V задана метрика, причем для каждого множества Ej последовательности разбиений £ найдется пара шаров Bij и таких, что By С Ej С By, и отношение радиусов этих шаров не превосходит константы, не зависящей от г, j, то для п.в. x выполняется неравенство

[M2 h](x) < C [Mh] (x),

где M — классический максимальный оператор.

Лемма 2. Оператор M ограничен по норме пространства Lp для p € (1, то). Доказательство. Пусть p > 1. Определим функцию H& следующим обр азом: H& (x) = [M& h](x).

Нетрудно видеть, что наибольшим отношение будет при условии, что носитель функции

h содержится в одном из множеств Ek. В этом случае для любого x € Ek при j ^ k функция H

постоянна на множествах Е7 \ Е7"1 . Если значение функции Н на множестве Ек равно ад., то на множестве . оно равно ^г^ак, а мера множества Е^ . равна 2к~:>~11л(Ек).

Представим функцию Hk как сумму

Hk (ж) = Hk (ж) ■ Xgfc (ж) + ^ (ж) ■ xEj

j=i '

По предположению ||Hk%efc||lp(v) = ||h||Lp(V). Легко видеть, что

j+1 (ж).

H ■ x(j \ E++i)

Lp (V)

2k-j

ök

\ ^ x,j +1 )

<

ök ■

^(Ek

Lp(V )•

Используя неравенство треугольника, получаем

1 \ ..... 1

lHk Уьр(у) ^ ||h||Lp(V) +

Lp(V)

+ -

о2

2 V р

lLp(V)

оФ"1

2 v р

iLp(V) < C(p)||H11Lp(V)•

Переходя к пределу при к — то, выводим требуемое неравенство.

Отметим, что если условие, что носитель функции Н содержится в одном из множеств Ек, не выполняется, например он содержится в двух множествах, то мы получаем не одну, а несколько цепочек множеств. К примеру, если носитель функции Н содержится в объединении множеств Ек и

Ек, причем х € Ек , у € Ек2, то мы получаем две цепочки множеств Ек , Е7 , \ Е7"1 1 и Ек , Е7 , \

7 + 1

Е^ ,+1. Далее, проделав для этих цепочек вычисления, аналогичные приведенным выше, получим точно такой же результат. Однако эта оценка будет неточной, поскольку некоторые из множеств

Ej .и Ej . могут совпадать. Поэтому, действительно, отношение

\\Hk\\hp(V) II Lp(V)

будет наибольшим, если

только выполняется условие, что носитель функции h содержится в одном из множеств Ek. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть множество А выпукло. Предположим, что для любого m найдется сколь угодно большое и, такое, что для, любых множеств E™ и E™ разбиения содержащихся в одном, и том же множестве E[™ разбиения CTm(E™ С E[™, E™ С E[™); найдется цепочка, множеств E™ длины не более C2r(n-m); таких, что два последовательных множества в этой цепочке граничат друг с другом, первое множество в этой цепочке граничит, с E™, последнее множество в этой цепочке граничит с E™.

Пусть u € ; Y). Предположим, что функция hk такова, что для всех j ^ k выпол-

няется неравенство, аналогичное неравенству (1') из определения 3, а именно для п.в. точек ж, принадлежащих множествам разбиения j которые граничат с множеством Ej; выполняется

2jr |и(ж) - Aj (ж) | y < hk (ж).

Тогда, для, любого k функция, Hk (ж) является верхним, градиентом для отображения и, иначе говоря, для, всех j = 0, 2,..i = 1, 2,... , 2j и для п.в. ж € Ej выполняется неравенство, аналогичное неравенству (1) из определения 3;

2jr |и(ж) - Aj (ж) | y < Hk (ж).

Доказательство. Фиксируем k. Пусть m € N Покажем, что найдется отображение Am € A, такое, что для п.в. ж € E™ выполняется неравенство

2mr|и(ж) - А™(ж)|у < Hk(ж).

Поскольку по определению Hk ^ hk, мы можем рассмотреть толь ко случай m < k. По условию леммы для этого m найдется и > k, такое, что для любых множеств En и En разбиения содержащихся в одном и том же множестве E[™ разбиен ия (EJ1 С E[™, En С E[™), существует цепочка

1

множеств ЕП длины не более C2r(n—m), таких, что два последовательных множества в этой цепочке граничат друг с другом, первое множество в этой цепочке граничит с Е™, последнее множество в этой цепочке граничит с Е^. По условию мы имеем оценки

2nr|u(x) - A™(x)|y < H(x).

В силу определения сильного верхнего градиента и условия существования упомянутой цепочки множеств разбиения можно получить оценку |An(x) — АЩ (x)|y, а именно показать, что для любых множеств и ЕЩ^ разбиения содержащихся в одном и том же множестве Е™ разбиения для соответствующих функций ЕЩ и Еп выполняется оценка

2mrА(x) — А™(x)|y < Hfc(x).

Эта оценка вместе с условием выпуклости множества позволяет определить искомое отображение А™ € A Например, в качестве отображения Am(x) можно взять среднее арифметическое отображений А™, соответствующих множествам разбиения содержащимся в одном и том же множестве разбиения Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 3. Рассмотрим последовательность функций hfc(x). Мы можем предположить, что для п. в. x последовательность hfc(x) убывает. Обозначим предельную функцию через hmin(x). Тогда,

Msg^V;У) ^ 2 yhmin ||lp(v)•

Замечание 8. Обозначим через Е^ объединение всех множеств из разбиения j граничащих с множеством Е^, включая само это множество. Тогда перечисленные в лемме 3 условия на функцию эквивалентны тому, что ограничение h^ на является сильным верхним градиентом ограничения отображения u на Е^. Соответственно чтобы определить hfc (x), достаточно знать поведение u на Е^, где x € Е^. Таким образом, значение hmin(x) определяется поведением функции u на Е^ где x € Еj, j — сколь угодно большое натуральное число. Это позволяет говорить, что определение

hmin

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 20-01-00661.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

2. Мазья В.Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

5. Triebel H. Tirnits of Besov norms // Arch. Math. 2011. 96. 169-175.

6. Bojarski В., Hajlasz P. Pointwise inequalities for Sobolev functions and some applications // Stud. Math. 1993. 106. 77-92.

7. Hajlasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces // Potential Anal. 1996. 5, N 4. 403-415.

8. Franchi В., Hajlasz P., Koskela P. Definitions of Sobolev classes on metric spaces // Ann. Inst. Fourier. 1999. 49, N 6. 1903-1924.

9. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincaré // Mem. AMS. 2000. 145, N 688. 1-101.

10. Heinonen J. Tectures on analysis on metric spaces. Berlin: Springer-Verlag, 2001.

11. Gol'dshtein V. M., Troyanov M. Axiomatic theory of Sobolev spaces // Expositiones Mathematicae. 2001. 19, N 4. 289-336.

12. Bojarski B. Pointwise characterization of Sobolev classes // Тр. Матем. ин-та РАН. 2006. 255. 71-87.

13. Johnsson A. Brownian motion on fractals and function spaces // Math. Z. 1996. 222, N 3. 495-504.

14. Barlow M. T. Diffusions on fractals. Tectures on probability theory and statistics // Lect. Notes in Math. Vol. 1690. Berlin: Springer, 1998.

15. Lott J., Villani C. Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport // Ann. Math. 2009. 169, N 3. 903-991.

16. Ambrosio L., Gigli N., Savare G. Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures // Lect. Math. 2nd ed. Basel: Birkhauser, 2008.

17. Kuwada K. Duality on gradient estimates and Wasserstein controls //J. Funct. Anal. 2010. 258. 3758-3774.

18. Водопьянов С.К., Романовский Н.Н. Классы отображений Соболева на пространствах Карно-Каратео-дори. Различные нормировки и вариационные задачи // Сиб. матем. жури. 2008. 49, № 5. 1028-1045.

19. Решетняк Ю.Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве. I // Сиб. матем. журн. 1997. 38, № 3. 657-675.

20. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве. II // Сиб. матем. журн. 2004. 45, № 4. 843-857.

21. Решетняк Ю.Г. К теории соболевских классов функций // Сиб. матем. журн. 2006. 47, № 1. 146-168.

22. Bonfiglioli A., Lanconelli Е. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians. Berlin: Springer, 2007.

23. Jerison D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J. 1986. 53, N 2. 503-523.

24. Villani C. Optimal transport. Old and new // Grundlehren der Math. Wiss. 2009. 338. 1-997.

25. Sturm K.-T., von Renesse M.-K. Transport inequalities, gradient estimates, entropy, and Ricci curvature // Communs Pure and Appl. Math. 2005. 58. 923-940.

26. Ambrosio L., Gigli N., Savare G. Calculus and heat flows in metric measure spaces with Ricci curvature bounded from below // Submitted paper, arXiv: 1106.2090.

27. Романовский Н.Н. Классы Соболева на произвольном метрическом пространстве с мерой. Компактность операторов вложения // Сиб. матем. журн. 2013. 54, № 2. 450-467.

28. Романовский Н.Н. Теоремы вложения и вариационная задача для функций, заданных на произвольном метрическом пространстве с мерой // Сиб. матем. журн. 2014. 55, № 3. 627-649.

29. Романовский Н.Н. Теоремы вложения и некоторые их обобщения для функций, заданных на метрическом пространстве с мерой // Сиб. матем. журн. 2018. 59, № 1. 158-170.

30. Дезин А.А. К теоремам вложения и задаче о продолжении функций // Докл. АН СССР. 1953. 88, № 5. 741-743.

31. Брудный Ю.А. Критерии существования производных в Lp // Матем. сб. 1967. 73, № 1. 42-65.

32. Нванишко И.А., Кротов В.Г. Компактность вложений соболевского типа // Матем. заметки. 2009. 86, № 6. 829-844.

33. Кротов В.Г. Критерии компактности в пространствах Lp, p > 0 // Матем. сб. 2012. 203, № 7. 129-148.

34. Похожаев С.И. О теореме вложения С. Л. Соболева в случае pl = n // Докл. науч.-техн. конф. Секция матем. М: МЭИ, 1965. 158-170.

35. Trudinger N.S. On imbeddings into Orlicz spaces and some applications //J. Math, and Mech. 1967. 17, N 5. 473-483.

36. Cianchi A.A. Sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces // Indiana Univ. Math. J. 1996. 45. 39-65.

37. Трушин В.В. Вложение пространства Соболева в пространства Орлича для области с нерегулярной границей // Матем. заметки. 2006. 79, № 5. 767-778.

Поступила в редакцию 23.01.2021