СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ МУЗИЛАКА-ОРЛИЧА-СОБОЛЕВА ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 621-643 188№ 2310-7081 (опИпе), 1991-8615 (ргт!) с1 Ь«рз://ао1

УДК 517.956.25

Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музилака—Орлича—Соболева для неограниченных областей

© Л. М. Кожевникова1'2, А. П. Кашникова,1

1 Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, Россия, 453103, Стерлитамак, проспект Ленина, 49.

2 Елабужский институт (филиал)

Казанского (Приволжского) федерального университета, Россия, 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89.

Аннотация

Рассматривается вопрос существования решений задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях. Ограничения на структуру квазилинейных уравнений формулируются в терминах специального класса выпуклых функций — обобщенных Ж-функций. А именно, нелинейности определяются функциями Музилака-Орлича такими, что дополнительные к ним функции подчиняются Д2-условию. Соответствующее пространство Музилака-Орлича-Соболева не обязано быть рефлексивным. Именно этот факт является существенной проблемой, поскольку теорема для псевдомонотонных операторов здесь не применима.

Для рассматриваемого класса уравнений доказательство теоремы существования проводится на основе абстрактной теоремы для дополнительных систем. Важным инструментом, который позволил обобщить имеющиеся результаты существования решений рассматриваемых уравнений для ограниченных областей на неограниченные области, является теорема вложения пространств Музилака-Орлича-Соболева. Таким образом, в работе найдены условия на структуру квазилинейных уравнений в терминах функций Музилака-Орлича, достаточные для разрешимости задачи Дирихле в неограниченных областях. Кроме того, приведены примеры уравнений, показывающие, что класс нелинейно-стей, рассматриваемый в работе, шире, чем нестепенные и степенные нелинейности.

Научная статья

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Кожевникова Л. М., Кашникова А. П. Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музилака-Орлича-Соболева для неограниченных областей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, № 4. С. 621-643. https://doi.org/10.14498/vsgtu1803. Сведения об авторах

Лариса Михайловна Кожевникова А https://orcid.org/0000-0002-6458-5998 доктор физико-математических наук, профессор; профессор каф. математического анализа; e-mail: [email protected]

Анастасия Павловна Кашникова; студент; e-mail: [email protected]

© Самарский государственный технический университет

621

Ключевые слова: Музилака-Орлича-Соболева пространство, задача Дирихле, существование решения, нерефлексивное пространство, неограниченная область.

Получение: 20 июля 2020 г. / Исправление: 20 сентября 2020 г. / Принятие: 16 ноября 2020 г. / Публикация онлайн: 25 декабря 2020 г.

Введение. Пусть О — произвольная неограниченная область пространства мга = {х = (х\,х2,... ,хп)}, п ^ 2, О = мга. В работе рассматривается задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка вида

— ё1уа(х,и, Уи) + а0(х,и, Уи) = ^(х), х е О, (1)

с однородным краевым условием

и\дп = 0. (2)

Ограничения на функции а(х, в0, в), а0(х,80, в), входящие в уравнение (1), формулируются в терминах специального класса выпуклых функций, называемых обобщенными Ж-функциями, они будут приведены ниже.

Общая краевая задача вариационного типа для квазилинейного эллиптического уравнения высокого порядка в дивергентной форме с нелинейностя-ми полиномиального вида была рассмотрена Ф. Браудером [1] в произвольной области без условий ограниченности или гладкости границы области. Соответствующий оператор из рефлексивного банахова пространства в его двойственное является псевдомонотонным, и из этого факта следует результат существования решения рассматриваемой задачи.

Следуя работе [1] Л. М. Кожевниковой, А. Ш. Камалетдиновым [2] установлено существование слабого решения задачи Дирихле в произвольной области О для анизотропного уравнения (1) с переменными показателями нели-нейностей. Ранее Л. М. Кожевниковой, А. А. Хаджи в работе [3] доказано существование слабого решения задачи Дирихле в произвольной неограниченной области О для анизотропного эллиптического уравнения (1) с нели-нейностями, определяемыми Ж-функциями.

Для квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музила-ка—Орлича—Соболева известны следующие результаты существования слабых решений. В работах [4, 5] доказано существование решений при некоторых предположениях, таких как Д2-условие, а также равномерная выпуклость обобщенной Ж-функции М, которые гарантируют, что пространство Музилака—Орлича—Соболева является рефлексивным. Исследованию вопросов существования решений вариационных краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений в нерефлексивных пространствах (при условии, что дополнительная функция М подчиняется Д2-условию) посвящены работы [6,7]. Существование слабых решений для дифференциальных уравнений второго порядка с граничным условием Дирихле или Неймана методом построения супер- и субрешений в рефлексивном и нерефлексивном сепарабельных пространствах установлено в работах [8] и [9] соответственно.

Содержательный обзор проблем, возникающих в вопросах существования решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений в пространствах Музилака—Орлича—Соболева, приведен в работе [10].

Следует отметить, что авторам неизвестны результаты исследований существования решений нелинейных уравнений в пространствах Музилака— Орлича—Соболева для неограниченных областей. В настоящей работе доказана теорема существования решения задачи (1), (2) для произвольной неограниченной области Q в пространстве Музилака—Орлича—Соболева, которое может быть нерефлексивным.

1. Пространства Музилака—Орлича—Соболева. В этом параграфе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных Ж-функций и пространств Музилака—Орлича [11-13].

Пусть функция М(x, z) : Qxr ^ r+ удовлетворяет следующим условиям:

1) М(x, ■ ) — Ж-функция по z £ r, то есть она является выпуклой вниз, неубывающей, четной, непрерывной, М(x, 0) = 0 для п.в. x £ Q и

inf М(x, z) > 0 для всех z = 0,

х€П

Г М (x,Z) n iim sup-= 0,

. M (x,z) iim inf -= ж;

г^ж xen z

2) M( ■ , z) — измеримая функция по x £ Q для любых z £ r.

Такая функция M(x, z) называется функцией Музилака—Орлича или обобщенной N-функцией.

Дополнительная функция М(x, ■) к функции Музилака—Орлича М(x, ■) в смысле Юнга для п.в. x £ Q и любых z ^ 0 определяется равенством

М(x, z) = sup(yz - М(x, у)).

У>0

Отсюда следует неравенство Юнга:

\zy\ < М(x,z)+ М(x,y), z,y £ r, x £ Q. (3)

Пусть P(x, z) и M(x, z) —функции Музилака—Орлича. Если для каждой положительной константы I имеем

Р (x,lz)

iim sup ' { = 0, (4)

xen М(x,z)

то это обозначается Р М и говорят, что Р растет медленнее, чем М на ж.

Функция Музилака—Орлича М удовлетворяет Д2-условию, если существуют константы с > 0, Zo ^ 0 и функция Н £ L\(Q) такие, что для п.в. x £ Q и любых \z\ ^ z0 справедливо неравенство

М (x, 2z) < сМ (x, z) + Н(x).

Д2-условие эквивалентно выполнению для п.в. x G Q и любых |z| ^ ¿о неравенства

где I — любое число, большее единицы, с(1) > 0.

В настоящей работе предполагается, что дополнительная Ж-функция М(х,г) удовлетворяет Д2-условию при всех значениях г е к (т.е. го = 0). Таким образом, для любого I > 0 имеет место неравенство

М(х, 1г) < с(1)М(х, г) + Щ(х), Нг е ^(О), х е О, г е к. (5)

Существуют три класса Музилака—Орлича:

— ^м(О) — обобщенный Музилака—Орлича класс измеримых функций V : О ^ к таких, что

— Ьм(О) — обобщенное Музилака—Орлича пространство, являющееся наименьшим линейным пространством, которое содержит класс ^м(О), с нормой Люксембурга

— Ем (О) —замыкание по норме || ■ ||м,п ограниченных измеримых функций с компактным носителем в О. Справедливы вложения Ем (О) С ^м (О) С Ьм (О). Ниже в обозначениях || ■ Цм&, вм&( ■) будем опускать индекс Q = О.

Функция Музилака—Орлича М(х, г) называется локально интегрируемой, если

для любого z G r и любого измеримого множества Q С Q такого, что meas Q < те. Если Q может совпадать c Q, то М(x, z) называется интегрируемой в Q.

Пусть М и М — локально интегрируемые дополнительные обобщенные Ж-функции. Пространство Емсепарабельное и (Ем(^))* = ^м(^). Если М удовлетворяет Д2-условию, то Ем= ^м= Lmи Ьмсепарабельное. Пространство Ьмрефлексивное тогда и только тогда, когда функции Музилака—Орлича М и М удовлетворяет Д2-условию.

Для v G Ьмсправедливы неравенства:

М(x, lz) < c(l)M(x, z) + H¡(x), H¡ G L\(Q),

Qm,q(v) = м(x,v(x))dx < те; Jq

Qm,q(z) = м(x,z)dx < те Jq

IMIM ^ QM(V) + 1,

(6)

если |Н|м ^ 1, то

Qm(V) ^ ЦУЦМ,

если ЦуЦм > 1, то

1М|м ^ QM(V).

Последовательность функций {у3 € ^м(О) модулярно сходится к функции V € Ьм(О), если существует положительная константа к > 0 такая, что

'V3 — '

9м{

Если М удовлетворяет Д2-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают.

Также для двух сопряженных функций Музилака—Орлича М и М, если и € Ьм(О) и V € выполняется неравенство Гельдера:

/ v3 — v \ lim QM[ —;— = 0.

\ к /

/ u(x)v(x)dx

In

< шм\\v\\m. (8

Определим пространства Музилака—Орлича—Соболева:

W 1Ьм(П) = {v е L м(П) | |Vv| е Lm(П)}, W 1Ем(П) = {v е Ем(П) | |Vu| е Ем(П)}

с нормой

NM = П\м + \\|V^|\m .

Пространство W 1Ьм(П) отождествляется с подпространством произведения (Lm(П))га+1 и является замкнутым по топологии (Lm)n+1, (Ем)п+1) .

Пространство W 1Lm(П) определим как замыкание Сц°(П) по топологии а((LM)n+1, (Ем)ra+1) в W1LM(П). Наконец, пространство W 1Ем(П) определим как замыкание С^(П) по норме \\ ■ \\M в W 1Lm(П).

Пространства W1LM(П), W 1Ем(П) банаховы (см. [12, Theorem 10.2]). Определим также следующие банаховы пространства:

W-1Lm(П) = {F = /о — divf | /0 е Ьм(П), f=(h,...,fn) е (^м(П))п),

W-1ЕЖ(П) = {F = /0 — divf | Л е ЕЖ(П), f=(f1,...,fn) е (ЕЖ(П))П}. Справедлива следующая теорема вложения (см. [6, Theorem 4]).

Лемма 1. Пусть функция Музилака—Орлича М(x, z) удовлетворяет следующим условиям:

f ~ М-1 (x,z) f1 М-1(x,z) 1

-dz = ж^ / -dz< ж (9)

J1 Z « JO z «

M-1(x,z)= f Jo

rU , lz M-1(x,T), r-1<" - 1 „+1 ; dr, x е П, z ^ 0.

п

Тогда функция М*(х,г) является обобщенной N-функцией и IV 1Lм (О) Ъм* (О). Более того, для любой ограниченной подобласти С О вложение

О .

№íLм(Я) Lp(ф) существует и компактно для любой функции Музилака—Орлича Р « М* такой, что Р( ■ ,г) интегрируема на Я.

и

2. Формулировка результата. Предположим, что функции а(х, «о, в) = = (аг(х, во, в),..., ап(х, во, в)), а0(х, во, в) измеримы по х е О для 8 = («о, в) = = («о, ^1,..., вп) е кга+1, непрерывны по 8 е кга+1 для почти всех х е О.

Условия М. Пусть для любого w = (-шо, те) е кга+1 существуют неотрицательные функции Ф, Фо, ф е Ь1(О) и положительные константы А, Ао, а, (I, (I такие, что для п.в. х е О и для любых во е к, в, I е кга, в = I справедливы следующие неравенства:

а(х, «о, в) ■ (в — те) + ао(х, во, в)(«о — ^о) ^

^ аМ(х,£^о) + аМ(х,ф|) — 0(х); (10)

М(х, |а(х,во, в)|) < Ф(х) + АМ(х, ¿г|в|) + АР(х,сТво); (11)

М(х, |ао(х, во, в)|) < Фо(х) + АоР(х, ф|) + АоМ(х, ^о); (12)

(а(х, во, в) — а(х, во, 1)) ■ (в — 1) > 0. (13)

Здесь М(х, г) —функция Музилака—Орлича, интегрируемая в О, дополнительная к ней функция М удовлетворяет Д2-условию; Р(х, г) — функция Музилака—Орлича, интегрируемая в О такая, что Р М, в ■ I = ^™=1 в^г,

N = (£1=1 *2)1/2. =

Условиям М удовлетворяют, например, функции

ао(х, во, в) = М'(х, во) + Р'(х, |в|) + /о(х), /о е (О),

С ■

аг(х, 8) = М '(х, |в|) ^ + /г (х), Iг е ЬЛ(О), г = 1,...,п,

с непрерывно дифференцируемыми по г функциями Музилака—Орлича Р(х, г), М(х, г) (см. Приложение А).

О -

Определим дифференциальный оператор А : V 1Ьм(О) ^ V-1Ь-^(О) с областью определения

ДА) = {и е V1ЬМ(О) | аг(х,и, Уи) е Ь^О), г = } равенством

(А(и), V) = (а(х,и, Уи) -Уи + ао(х,и, У и) у)д,х, V е V1ЬМ (О). (14)

Используя неравенство Гельдера (8), для функций и, V е V 1Ьм(О) выводим неравенства

|(А(и),г;)| < 2ЦаоЦ-м|М|м + 2|||а|||ж|У||М < 2(||ао||ж + |||а|Нм)|М|м,

следовательно, интегралы в равенстве (14) конечны.

Будем считать, что Ь = /о — ё1у£ е V(О), тогда можно определить функционал Е:

(Е, V) = / ^ ■ Уь + /о V )^х, V еШ 1ЬМ (О). ■т

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2) c F = /о — divf е W-1Ьм(П) назовем функцию и е W 1Lm(П), удовлетворяющую интегральному тождеству

(A(u), v) = (F,v)

О .

для любой функции v е W 1Lm(П). В работе доказана следующая

Теорема. Пусть выполнены условия M и условия (9). Тогда для любого F е W 1Ьм(П) существует хотя бы одно решение задачи (1), (2).

Замечание 1. Условие (9) накладывает ограничение на рост функции М(x, z) при z ^ ж. В качестве примера можно взять функцию М(x, z) = = a(x)|z| ln(1 + |z|) +b(x)|z|p, p е [2, n], c интегрируемыми ограниченными функциями a, b : П ^ (0, ж).

Замечание 2. Следует отметить, что при условии

d < d (*)

или

функция М удовлетворяет А2-условию (**)

выполнение неравенства (10) для фиксированного w и неравенств (11), (12) влечет справедливость (10) для любого w е rra+1 (см. [16, Remark 8]).

3. Основные леммы и утверждения.

Лемма 2. Пусть {v3}jeN, v — такие функции из Lm(П), что

\\v3\\м ^с, зе n,

1

V3 ^ V п.в. в Q, j ^ ж.

Тогда V3 ^ V в топологии а(Ьм, Е^) пространства Ьм(О).

Лемма 3. Пусть 0 < е < 1 и Мо — функция Музилака—Орлича такая, что

Г1 М-1 (х, г). М-1(х, г).

Тогда обобщенная N-функция Ме, определяющаяся как

. ...г-1

М-1

(x, Z)= Г М° 1+х T)dT< ж, x е Q

( , ) Ja т1+е , ,

такова, что М ^^ М£.

Доказательство леммы 3 для N-функции приведено в [14, Lemma 4.14]. Для функции Музилака—Орлича оно проводится аналогично.

Ниже будет использоваться теорема Витали в следующей форме (см. [15, гл. III, §6, теорема 15]).

Лемма 4. Пусть {v3 }jeN, v — измеримые функции в ограниченной области Q такие, что

V3 ^ V п.в. в Q, j ^ ж,

и интегралы

[ |V3 (х)|^х, ] е м,

равномерно абсолютно непрерывны. Тогда

V3 ^ V сильно в Ь1((^), ] ^ те.

Если Р « М и Р интегрируема в О, то по определению (4) найдется кр е Ь1(О) такая, что для любых 1м > 0, е > 0 имеем

Р(х, г) < кр(х)+ еМ(х, 1мг), х е О, ге к. (15)

Применяя (15), перепишем (11), (12) в виде

М(х, |а(х, во, в)|) ^ Ф(х) + АМ(х, ф|) + еАМ(х, Шмво), (11)

М(х, |ао(х, во, в)|) < Фо(х) + еАоМ(х,с11м|в|) + ЛоМ(х,^о), (12) где Ф, Фо е ¿1(О).

о ^

Утверждение. Пусть выполнены условия М, {и3и е V 1Ьм(О) и и3 ^ и п.в. в О, ] ^ те. (16)

Предположим, что

д3 (х) = (а(х, и3, Уи3) — а(х, и3, Уи)) ■ У (и3 — и) ^ 0 п.в. в О, ] ^ те. (17) Тогда по некоторой подпоследовательности

Уи3 ^ Уи п.в. в О, 2 ^ те. (18)

Доказательство. Пользуясь неравенствами (3), (5) и (10), дляее(0,1) получаем

д3 (х) = (а(х, з3о, в3) — а(х, з3о, в)) ■ (в3 — в) ^

^ а(х, ¡о, в3) ■ (в3 — в) + ао(х, в^, в')^ — во) — еМ(х,1 И) — М(х, |в|) — — М(х, (е^)-1|а(х, 4, в)|) — М(х, |а(х, в^, в)|) — — 2еМ(х, |ао(х, — М(х, е-1 !ро) — М(х, е-1во) ^

^ аМ(х,Ъ1) + (а — е)М(х,ф'|) — М(х, е-1 в^) —

— С1(е)М(х, |а(х, 4, в)|) — 2еМ(х, |ао(х, 4, в')|) — С2(£, х).

Применяя (11), (12) с е = 1,1м < й/й, выводим

д3 (х) > (а — еСз)М (х, ф'|) — С4(е)М (х,С5(е) ^) — С6(е, х).

Выбирая £ < а/Сз, устанавливаем оценку

<Г>(х) ^ С7М(х,ф^'|) - С4М(х, Сб|41) - Сб(х).

Обозначим через О' С О подмножество точек полной меры, для которых имеют место сходимости (16), (17) и выполнено последнее неравенство. Установим сходимость

V« ^ V« всюду в О', ] ^ ж.

От противного, пусть в некоторой точке х* £ О' нет сходимости. Положим 4 = «(х*), ¿0 = и(х*), 83 = Vuj(х*), 8 = ^(х*). Тогда имеем

<г>(х*) ^ С7М(х*,!^|) -С4М(х*,Сб|41) - Сб.

Предположим, что последовательность {М(х*, 8^не ограничена. Ввиду предположения из последнего неравенства получаем, что {q3 (х*)}^е^ не ограничена, что противоречит (17). Следовательно, последовательность {и-7 ограничена.

Пусть 8* = ( 8 1, 8 2, . . . , $п) — один из частичных пределов 83 = (з\, . . . , вп) при ] ^ ж, тогда, с учетом (16), имеем

^ «о, 83 ^ 8*, ] ^ ж. (19)

Поэтому из (17), (19) и непрерывности а(х*, «о, и) по 8 = ( § о, 8) вытекает, что

(а(х*, «о, 8*) — а(х*, «о, 8)) ■ (8* — 8) = 0,

следовательно, согласно (13), 8 = 8*. Это противоречит тому, что в точке х* нет сходимости. Таким образом, сходимость (18) установлена. □

Замечание 3. Заметим, что только в утверждении неравенство (10) применяется для любого w £ Мга+1. В доказательстве теоремы неравенство (10) используется для фиксированного w £ Мга+1. Для простоты полагаем w = 0:

а(х, § о, 8) ■ 8 + О)(х, «о, 8) «о ^ аМ(х, ^о) + аМ(х,!181) — ф(х). (10о)

4. Абстрактный результат. Доказательство теоремы основано на утверждениях для дополнительных систем.

Система (У, Уо, 2, 2о) называется дополнительной, если выполняется следующее:

- У,2 банаховы и находятся в двойственности относительно непрерывного спаривания ( ■ , ■ );

- Уо СУ — подпространство в У и 2 можно отождествить с помощью спаривания (■ , ■) с сопряженным пространством У*;

- 2о С 2 — подпространство в 2 и У можно отождествить с помощью спаривания (■ , ■) с сопряженным пространством 2*.

Пусть (У,Уо, 2, 2о) —дополнительная система и А : У ^ 2 — отображение с областью определения О (А) С У, которые удовлетворяют следующим условиям относительно некоторых элементов £ У и £ 2 :

(1) (конечная непрерывность) Уо С О(А) и А непрерывно для всех конечномерных подпространств в Уо по топологии а(2, Уо) в 2;

(ii) (последовательная псевдомонотонность) для любой последовательности {уг} С Y, уг — у G Y В топологии a(Y, Z0), А(Уг) —k z G Z в топологии a(Z,Yo) и limsup (А(уг), уг) ^ (z, у) следует, что А(у) = z и (А(уг), уг) ^

( *, у);

(iii) А(у) остается ограниченным в Z всегда, когда у G ^(А) остается ограниченным в Y и (у — уо,А(у)) остается ограниченным сверху;

(iv) (у — у0, А(у) — zo) > 0, когда у G ^(А) имеет достаточно большую норму в Y.

Важно отметить, что условие (iii) слабее, чем условие того, что А переводит каждое ограниченное множество в Y в ограниченное множество в Z, а также условие (iv) слабее, чем предположение о коэрцитивности, потому что отображение А, как правило, не преобразует ограниченное множество в ограниченное множество.

Предложение. Пусть (Y, Y0,Z, Z0) — дополнительная система, Y0, Z0 сепарабельные и отображение А : ^(А) С Y ^ Z удовлетворяет условиям (i)-(iv). Тогда Z0 содержится в Я(А) [16, Proposition 1].

5. Доказательство существования решения.

Лемма 5. Пусть выполнены условия (11), (12), тогда отображение

A : s = (s 0, s) ^ a(x, s) = (a0(x, s0, s), a(x, s0, s)) переводит (Ем(0))n+1 в (L^(Q))n+1 и является конечнонепрерывным на

(Ем(Q))n+1 по топологии a((LM)n+1, (Ем)n+1) в (LM(Q))n+1.

м

JM) , (Ем ) ) в (Lм (

Доказательство. Пусть s = ( s 0, s) G (Ем (^))n+1, запишем (11) се = = Iм = 1, получим

М(х, |а(х, §0, в)|) < Ф(х) + АМ(х, ф|) + АМ(х, с^о). (20)

Отсюда следует, что

а(х, § о, 8) с ( Ьм(П))п.

Аналогично устанавливается, что а0(х, «о, в) €

Пусть = (в1, б2, ..., бт} симплекс в ( Ем(^))п+1, тогда

б = ^83 € £,

3=1

где X3 ^ 0, £^^ X3 = 1. Покажем, что отображение А непрерывно для каждого симплекса Применяя (20), для (в0, в) € ^ выводим

М (х, |а(х, 8о, в)|) < Ф(х) + Ам( х,с^Х3 в3 ^ + Ам( х, ¡Т^Г, X3 <

=1 =1

< Ф(х) + ^ Х3М(х, ф3|) + ^ Х3М(х, ф01). =1 =1

Поскольку М (x, d\s3\), М (x, d\s^ |), j = 1,... ,г, принадлежат пространству Li(Q), функция М(x, |a(x, s)|) ограничена в Li(Q) для s G ^. Отсюда благодаря неравенству (6) a(x, s) ограничена в (L-^(Q))n для s G ^. Аналогично устанавливается, что ао(x, s) ограничена в L—(П) для s G ^. Применяя лемму 2, устанавливаем непрерывность отображения A на симплексе ^ по топологии ст((LM)n+1, (Е—)n+1). □

Доказательство теоремы. Благодаря Д2-свойству на функцию М система

(W1L-(П), W 1Ем(П), W-1LM(Q), ^-1EM(Q)) (21)

О -

является дополнительной [14, Lemma 1.2]. Спаривание между v G W1Lм(П) и F G W-1L—(n) задается формулой

(F, v) = I (f ■ Vv + f0v)dx. ■Jo

Для системы (21) проверим условия (i)-(iv) предложения (уо = 0). Из леммы 5 следует условие (i).

Далее проверим условия (ii). Пусть {U} С W1Lм(П) и выполнено следующее:

1) и? ^ и в топологии (LM)n+1, (E—)n+1);

2) A(U) ^ G G W-1LM(П) в топологии a((LM)n+1, (Е-)n+1);

3) limsup(A(uJ),U) <(G,u).

Докажем, что lim (A(U),и3) = (G,u), G = A(u), и G ^(A).

Разобьем доказательство условия (ii) на несколько этапов. 1. Докажем ограниченность {a(x, и3, Vu3)}j^N в (L-(П))п+1. Из 1) по теореме Банаха—Штейнгауза следует, что {и3 }j£N ограничена:

IUIIM = I\U\\m + IHVu^'\||m < C1, j G n. (22)

Отсюда следует ||-¡^и3\\м + II1-\VU|||m ^ 1, а значит, согласно (7), имеем

qm(cu) + qm(C|Vuj\) < 1, JG n. (23)

Кроме этого, применяя лемму 1, устанавливаем ||uj||m* ^ С2\\и311 — ^ C2C1 = = C3. Отсюда благодаря (7) получим

QM*(C-и^ ^ 1, j G n. (24)

Поскольку М М*, для любого I*— > 0 имеем неравенство (см. (15)) М (x, z) < h*M (x) + М* (x, l*M z), ZG r, x G П, h*M G L^). (25) Применяя (12) c 6 = 1 и (25), выводим неравенство QM(\ao(x,U, VU)\) < ||Фо + A0h*— II1 + ЛQm(dl— \VU\) + Лq—*(dl— \U\).

Отсюда ввиду (6) получаем

||ао(х,и3, Уи3)||м ^ С4 + Аовм((11м|Уи31) + Аовм*(с11*м№|). Выбирая 1м и Iм так, чтобы выполнялись неравенства (11 м < С-1 и с11*м < С-1,

и применяя (23), (24), выводим

||ао(х, и3, У и3 )|м ^С4 + Аовм( Ц^) +Ао0м,(£- ) ^С5. (26)

(-)

Ограниченность (ао(х, и3, Уи3)}3ем в Ьм(П) установлена. Докажем ограниченность (а(х, и3, Уи3)}3-ен в (Ьм(П))п.

О -

По свойству (13) для ш € IV 1Ем (П) имеем

(а(х, и3, У и3) — а(х, и3, Уш)) ■ У (и3 — ш) ^ 0. Отсюда выводим

/ а(х, и3, Уи3) -Ушйх ^ / а(х, и3, У и3) -У и3 (1х+ ао(х,и3, Уи3 )и3йх— Jп Jп Jп

— ао(х,и3, Уи3)и3йх — а(х, и3, Уш) ■ У(и3 —ш)йх = Jп Jп

= (А(и3), и3) — / ао(х, и3, Уи3)и3йх — а(х,и3, Уш) ■ У(и3 — ш)с!х. (27) ]п ./п

Оценим второе и третье слагаемые правой части (27). Применяя неравенство Гельдера и учитывая (22), (26), выводим

/ ао(х,и3, У и3) и3 (1х п

< 2||ао(х, и3, У и3 )|ж ||и3 ||м < Се, (28)

/ а(х, и3, Уш) ■ У (и3 — ш)йх п

< 2||а(х, и3, Уш)||м||Уи3 — Уш||м <

< 2||а(х, и3, Уш)Ц-мС7. (29) Используя (11) (е = 1, 1м < (с?С1)-1), (6) и (23), имеем

||а(х, и3, Уш)||м < ||Ф|1 + 1 + Авм (^Уш|)+^вм (С-1и3) < Св. (30)

Соединяя (27), (28), (29), (30) и учитывая 3), устанавливаем, что последовательность (а(х, и3, Уи3)}3-ен ограничена по топологии а [(Ьм)п, (Ем)п) в (Ьм(П))п. Отсюда из принципа равномерной ограниченности следует, что (а(х, и3, Уи3)}3-ен ограничена по норме пространства (Ьм(П))п.

2. Поскольку (аг(х,и3, Уи3)}3ем, г = 0,п, ограничены в Ьм(П), то аг(х,и3, Уи3) ^ д^ в топологии а(Ьм,Ем), д^ € Ьм(П), 1 = 0,п. (31) 632

Следовательно, линейный функционал О е Ш 1Ьм(П) можно отождествить С 8 = (90, ^ е (Ьмтп+1 = (Еш(П))п+1, то есть

(С, V) = -Уи + доУ )с!х, ьеШ 1Ьм (П). (32)

3. Покажем, что и3 ^ и, Уи3 ^ Уи п.в в П. Зафиксируем произвольное к > 0, обозначим П(к) = {х е П | |х| < к}. Согласно лемме 1, про-

О .

странство IV 1Ьм(П(к + 1)) компактно вложено в Ьр(П(к + 1)) для любой функции Музилака—Орлича Р(х, г) такой, что Р М*. Согласно лемме 3,

О -

М М* и пространство IV 1Ьм(П(к + 1)) компактно вложено в пространство Ьм (П(к + 1)).

Пусть щ(г) = шт(1, тах(0, к + 1 — г)). Пользуясь (22), выводим неравенства

\\иЧк ИМ < \\и УЛк Ум + \\Уи37]к\\м + \\и37]к\\м <

< 2\\и>\\м + \\Уи'\\м ^ Сд, 3 = 1, 2,....

Следовательно, последовательность функций {и^щ}°=1 ограничена в про-

О .

странстве IV 1Ьм(П(к + 1)). Ввиду компактности вложения

Ш 1Ьм(П(к + 1)) С Ьм(П(к + 1))

имеют место выборочные сильные сходимости

и3г]к У ит]^ в Ьм(П(к + 1)), ] ^ ж,

из которых следуют сильные сходимости

и3 ^ и в Ьм(П(к)), ] ^ ж, (33)

а также выборочная сходимость и3 ^ и почти всюду в П(к). Диагональным процессом устанавливается сходимость (16):

и3 ^ и п.в. в П, ] ^ ж.

Далее докажем справедливость (18):

Уи3 ^ Уи п.в. в П, ] ^ ж.

Для этого установим (17). Тогда, применяя утверждение, выводим (18). Ввиду условия (13) д3(х) ^ 0, Ух е П, поэтому достаточно показать

Нш вир / д3(х)с!х ^ Ек, Ек ^ 0, к ^ ж, (34)

Пк = {х е П(к) | |и| < к, |Уи| < к}. Представим д3 (х) = р3 (х) + г3 (х) + в3 (х), где

р3(х) = а0(х, и3, Уи3)(и3 — и) + а(х, и3, Уи3)У(и3 — и);

г3 (х) = а(х, и3, Уи) ■ У(и — и3); з3 (х) = ао(х, и3, У и3 )(и — и3). Утверждение (34) будет доказано, если установим следующее:

Ншвир / р3(х)с!х ^ ек; (35)

Пт г3 (х)йх = 0; (36)

Ит / в3'(х)^х = 0. (37)

4. Докажем (35), для этого запишем

/ р3(х)с!х= (ао(х,и3, Уи3)и3 + а(х,и3, Уи3) -Уи^йх — Jпk ■> п

(ао(х, и3, У и3 )и3 + а(х, и3, У и3) ■ Уи3) йх —

[ ' (ао(х, и, Уи3+ а(х, и3, Уи3) ■ Уи) & =

= Н1(3) + Н2и,к)+Нз(з,к). (38)

По предположению 3) и (32) имеем

НтвирН^') ^ (С, и) = (дои + g -Уи)йх. (39)

п

По условию (10о) имеем

Н2О', Л) < —а[ (М(х, йи3) + М(х, ^|Уи31)) йх + Jп\пk

+ ф(х)йх < / ф(х)йх. (40) ]п\пк ./п\пfc

Кроме этого, можно записать

Н,а, Л) = — / Хк(ао(х, и3, Уи3)и + а(х, и3, Уи3) ■ Уи)Ъ

п

где Хк — характеристическая функция множества 0к.

Поскольку функция М (х, г) интегрируема по х € П, У г € м, то УХ > 0

п

следовательно, Хк и € Ем (0). 634

М(х, Ххки)йх ^ / М(х, Хк)(1х < ж, п

Аналогично устанавливается, что xkVu £ (Ем(Q))n. Тогда ввиду слабой сходимости (31) имеем

lim Н3 (j, к) = - / (5-ou + g ■ Vu)dx. (41)

Соединяя (38), (39), (40), (41), выводим

lim sup / (x)dx ^ / (g0u + g -Vu)dx+ / ф(x)dx,

i JQk Jo,\Qk JQ,\Q,k

где g0u + g ■ Vu £ Li(Q). Ввиду абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства имеем (35).

5. Докажем (36), для этого достаточно показать, что

Хкa(x,u3, Vu) ^ Хкa(x,u, Vu) в EM(Q), j ^ <х>. (42)

Воспользуемся (20):

M(x, |a(x, u, Vu) 1хк) < $(x) + AM(x, d]Vu|xk) + AM(x, duxk) <

< $(x) +2 AM(x,dk).

Отсюда следует, что a(x, u, Vu)xk £ (^м(Q))n, но M удовлетворяет Д2-усло-вию, значит

a(x, u, Vu)xk £ (Ем(Q))n (43)

Далее, применяя (11), получим

M(x, a(x, u3, Vu)xk) < $(x) + ÄM(x, d\Vu)|xk) + eÄM(x, 1мd\uj|).

Учитывая (23) и выбирая IMd < С-1, для любого измеримого подмножества Е С Q получим

M(x, a(x,uj, Vu)xk)dx ^ / ($(x) + AM(x, dk))dx +

Je Je n(Q:|x|<k}

+ elf M(x, ^ [ h1(x)dx + еС10,

Je ^ CiJ Je n(Q:|x|<k}

где h1 £ L1(Q). Отсюда следует, что a(x, uJ, Vu)xk £ (Ем(0))п и равномерная абсолютная непрерывность интегралов fQ M(x, a(x, uJ, Vu)xk)dx. Кроме того, ввиду непрерывности a(x, s o, s) по So и сходимости (16) имеем a(x, u3, Vu) ^ a(x, u, Vu), j ^ ж, п.в. в Q.

Применяя теорему Витали (лемма 4) для ограниченной области Qk, устанавливаем модулярную сходимость, из которой следует сходимость (42).

Далее имеем

/ г3 (х)с!х = / а(х, и3, У и) ■ У (и — и3 )с!х = ■/пfc ^

= Хк(а(х, и3, Уи) — а(х,и, Уи)) ■ У(и — и3)с!х+ ./п

+ / а(х, и, Уи) ■ У(и — и5')с?х ^ п

^ 2\\а(х, и3, Уи)Хк — а(х, и, Уи)Хк\\м\\У(и — и3)\\м+

+

/ Хй а(х, и, У и) ■ У(и — и3 )(1х п

Первое слагаемое стремится к 0 при j ^ ж благодаря (42) и (22). Второе слагаемое стремится к 0 при j ^ ж ввиду (43) и слабой сходимости 1). Таким образом, (36) доказано.

6. Докажем (37). Ввиду сходимости (33) имеем

и3Хк ^ иХк в Ьм(П), ] ^ ж. (44)

Применяя неравенство Гельдера, (26), выводим

в3(х)йх ^ 2\\Х&и — и3Хк\\м\\ао(х,и3, Уи3)\\м ^ Сц\\Хки — и3Хк\\м.

■зпк

Отсюда, применяя (44), устанавливаем (37).

7. Благодаря сходимостям (16), (18) ввиду непрерывности а^(х, 80, в), г = 0,п, по (,§0,в), имеем

а1 (х, и3, У и3) ^ а1 (х, и, У и) п.в. в П, $ ^ ж, I = 0,... ,п.

Поскольку {а^(х, и3, Уи3г = 0,п, ограничены в Ьм(П), по лемме 2 имеем

а1(х,и3, У и3) ^аг(х,и, У и) в топологии а(Ьм ,Ем), j ^ ж, 1 = 0,...,п. (45) Сравнивая (45) с (31), устанавливаем

аг(х, и, У и) = дг е Ьм (П), г = 0,... ,п.

Отсюда заключаем, что и е ^(А) и А(и) = С (см. (32)).

8. Докажем, что (А(и3),и3) ^ (С, и) = (А(и),и). Ввиду условия 3) имеем

11ш8ир(А(и^),и3) ^ (А(и),и),

З^ж

потому достаточно показать, что

ИшИ(А(и3), и3) ^ (А(и),и). (46)

з^ж

Тогда

(A(u),u) ^ liminf{A(uJ),uj) ^ limsup{A(uJ),uj) ^ (A(u),u).

Из условия (13) имеем a(x, uj, Vuj) ■ Vuj ^ a(x, uj, Vu) ■ V(uJ - u) + a(x, uj, Vuj) ■ Vu. (47) Далее выводим

{A(uj), uj) = (a(x, uj, Vuj) ■ VuJ + a0(x, uj, Vuj)uj)dx = J Q

= a(x,u3, VvP) •VuJdx+ / a0(x,u3, VvP )uJdx +

jQk jQk

+ i (a(x,V, VW) ■ Vu + ao (x,u, V«V)dx.

Jn\nk

Применяя (47), (10o), получаем

{A(uj), uj) ^ a(x, uj, Vu) ■ V(uj - u)dx + JQk

+ a(x,u3, Vu3) -Vudx+ / a0(x,u3, Vu3)uJdx — ф(x)dx =

JQk JQk JQ\Qk

= Ш+ Ш + h(j) — i ф(x)dx.

JQ\Qk

Ввиду сильной сходимости (42) и слабой сходимости 1) имеем

lim h(j) = 0.

j^ж

Благодаря слабой сходимости (45) и принадлежности XkVu е (Ем(^))га находим

lim I2(j) = / a(x, u, Vu) ■ Vudx.

3^ж JQh

3^ж jQk

Применяя слабую сходимость (45) и сильную сходимость (33), устанавливаем

3^ж jQk

Таким образом, имеем

lim I3(j) = / a0(x,u, Vu)udx. JQ k

liminf{A(uJ),u3) ^ (a(x,u, Vu) ■ Vu + a0(x,u, Vu)u)dx — ф(x)dx ^

^ {A(u),u) — (a(x, u, Vu) -Vu + a0(x,u, Vu)u + ф(x))dx. Jn\n k

Q\Q к

Ввиду того, что а(х, и, V«) ■ V« + ао(х, и, Vu)u + ф(х) € Ь(^) и интеграл абсолютно непрерывен, устремляя к ^ те, устанавливаем (46).

(ш) Покажем, что если и7 € ДА), ||и7^ С1, (А(и7),и7) ^ С12, то А(и7) ограничено в Ш(^).

Методом, аналогичным шагу 1 в (п), заключаем, что последовательность {а0(х, и7, Vи7), а(х,и7, Vи7 )}-ен ограничена в (Ь^ (0))га+1. Отсюда следует, что А(и7) ограничена в Ш(^).

(1у) Осталось показать, что (А(у) — Е, у) > 0 для любого у € ДА) с достаточно большой нормой ||у||]^ и любого Е € Ш-1Е^(0). Рассмотрим множество

V = {V € ДА) | (А(у) — Е, у) < 0} .

о -

Покажем, что V ограничено в Ш 1Ьм(^), тогда, если ||у||^ достаточно большая, то V € V, то есть (А(у) — Е, у) > 0. Для у € V имеем

/ ((а(х, у, Vv) — !) ■ Vv + ( ао(х, V, Vv) —/о)у) (х < 0. (48)

Jп

Применяя (10о), выводим

а(х, у, Vv) ■ Vv + а0(х, у, Vv)у ^ аМ(х, ¿у) + аМ(х, — ф(х).

Отсюда, учитывая (48) и применяя неравенство Юнга, находим

(аМ(х,(у)+ аМ(х,(^у1))(х <

Jп

^ (а(х, у, Vv) ■ Vv + а0(х, у, Vv)у + ф(х))(х ^ Jп

(1 ■ Vv + /оу + ф(х))(х у х, + м(х,4о)^)(х +

+ е / (М(х, е^у|) + М(х,еу))(х+ ф(х)(х. ./п ./п

Выберем е < шт((,а), получим

/ М((х,(у)+М(х,(^у|))(х 6.

п

Отсюда следует, что ||у||]^ ^ С17. Ограниченность множества V установлена.

Таким образом, для дополнительной системы (21) выполнены все условия предложения, теорема доказана. □

Приложение A. Здесь покажем, что функции

ао(х, 80, 8) = М'(х, во) + Р(х, И) + /о(х), /о € Ьш(П), в

аг(х, 8) = М'(х, |8|)^ + /г(х), /г €ЬЖ(П), г = 1,... ,п,

c непрерывно дифференцируемыми по z функциями Музилака—Орлича Р(x, z), М(x, z)1 подчиняются условиям M.

Для функции Музилака—Орлича М(x, z) имеет место интегральное представление

/•N

М(x, z)= М'(x, в)сШ, (49)

0

где М'(x, в) : Q х r+ ^ r+, причем М'(x, ■ ) неубывающая, непрерывная, М'(x, 0) = 0 для п.в. x G Q и

inf М' (x, в) > 0 для всех в > 0, хеп

lim inf М'(x, в) = ж.

в^ж хеп

Из (49) для x G Q, z G r следуют простейшие неравенства:

М(x, z) < М'(x, 2)2, (50)

М'(x, ф ^ М(x, 22), (51)

М(x, М'(x, 2)) < М'(x, z)z. (52)

Кроме этого, из условия Р XX М следует М XX Р, поэтому найдется функция hм G L\(Q) такая, что

М(x, z) < hw(x) + Р(x, z), x G Q, zg r. (53)

Соединяя (53), (52), (51), выводим

М(x, Р'(x, z)) < Р(x, 2z) + hM(x). (54)

Применяя (15) и выбирая lм < 1/2, для любых е > 0, x G Q, z G r получаем неравенство

М(x, Р'(x, z)) < еМ(x, 21 Mz) + hw(x) + hP(x) < еМ(x, z) + h(x) (55)

с функцией h G Li(Q).

Благодаря (5), (54), (52), (51) выводим неравенства

М(x, |ao(x, so, s)|) <

< Ci(М(x, М'(x, So)) + М(х,Р(x, |s|)) + М(x, fo)) + Яа(x) <

< С1М(x, 2so) + С1Р(x, 2|s|) + Фo(x),

М(x, |a(x, so, s)|) < С2М(x, М'(x, |s|)) + C2М(x, |f|) + Я2^) <

^С2М(x, 2Н) + ФМ,

Фо, Ф G L1(Q). Таким образом, оценки (11), (12) установлены.

Далее проверим справедливость неравенства (10). Применяя неравенство Юнга и (5), выводим

функции М, М, Р интегрируемы в о; М удовлетворяет д2-условию; Р XX М.

ао(х, «о, 8)(во — -о) + а(х, «о, в) ■ (8 — те) ^

^ (М'(х, во)+Р'(х, |8|) + /о(х))(во —-о)+ (м'(х, |8|) |8| + 1(х)) ■ (8 — те) ^

^ М'(х, во)во + (Р(х, 181) + /о)80 — (М'(х, во) + Р'(х, 181) + /о)-о + + М'(х, 181)181 — 11|8| — М'(х, |8|)|те| — ^||те| ^ ^ М'(х, во)во — 2еМ(х, во) — С1(е)М(х, Р'(х, 181)) — еМ(х, М'(х, во)) + + М' (х, 181) 181 — еМ (х, 181) — еМ(х, М' (х, 181)) — — С2(е)(М(х, /о)+ М(х, ^|)) — Сз(М(х,С4(е)-о) + М(х, С4(е)|те|)) — ф(х).

Используя неравенства (52), (55), (50), получаем

ао(х, во, 8)(во — -о) + а(х, во, 8) ■ (8 — те) ^

^ (1 — 3е)М(х, во) + (1 — 2е — е С\(£))М(х, 181) — Н£(х).

Выбирая е < 1/3, е < 1/(3С1), устанавливаем неравенство (10) для любого w € мга+1.

Кроме того, если М'(х, г) строго возрастающая, то условие (13) также выполнено. Действительно, применяя неравенство Коши—Буняковского, выводим

(а(х, во, 8) — а(х, во, 1)) ■ (8 — 1) = [ы'(х, 181)у^ — М'(х, ■ (8 — 1) ^

> (М'(х, 181) — М'(х, |1|)) (|8| — |1|).

Отметим, что последнее неравенство строгое для неколлинеарных векторов 8, I и ввиду монотонности М'(х, г) условие (13) выполнено. Для коллинеар-ных векторов 8 = 1 условие (13) также справедливо.

Конкурирующие интересы. Мы заявляем, что у нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-00428_a).

Библиографический список

1. Browder F. E. Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value problems on unbounded domains // Proc. Nati. Acad. Sci. USA, 1977. vol. 74, no. 7. pp. 2659-2661. https://doi.org/10.1073/pnas.74.7.2659.

2. Кожевникова Л. М., Камалетдинов А. Ш. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях// Вестн. Волгогр. гос. ун-та, Сер. 1. Мат. Физ., 2016. №5(36). С. 29-41. https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.5.4.

3. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Матем. сб., 2015. Т. 206, №8. С. 99-126. https://doi.org/10.4213/sm8482.

4. Mihailescu M., Radulescu V. Neumann problems associated to nonhomogeneous differential operators in Orlicz-Sobolev spaces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 2008. vol. 58, no. 6. pp. 2087-2111, arXiv: 0712.2185 [math.AP]. https://doi.org/10.5802/aif.2407.

5. Fan X., Guan C.-X. Uniform convexity of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces and applications// Nonlinear Anal., 2010. vol.73, no. 1. pp. 163-175. https://doi.org/10.1016/j. na.2010.03.010.

6. Benkirane A., Sidi El Vally M. An existence result for nonlinear elliptic equations in Mu-sielak-Orlicz-Sobolev spaces // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 2013. vol. 20, no. 1. pp. 57-75. https://doi.org/10.36045/bbms/1366306714.

7. Sidi El Vally M. Strongly nonlinear elliptic problems in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces // Adv. Dyn. Syst. Appl., 2013. vol.8, no. 1. pp. 115-124.

8. Fan X. Differential equations of divergence form in Musielak-Sobolev spaces and a sub-supersolution method// J. Math. Anal. Appl., 2012. vol.386, no. 2. pp. 593-604. https:// doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.08.022.

9. Dong G., Fang X. Differential equations of divergence form in separable Musielak-Orlicz-Sobolev spaces// Bound. Value Probl., 2016. vol.2016, 106. https://doi.org/10.1186/ s13661-016-0612-9.

10. Chlebicka I. A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces // Nonlinear Anal., 2018. vol.175. pp. 1-27. https://doi.org/10.1016Zj.na.2018.05.003.

11. Diening L., Harjulehto P., Hâstô P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents/ Lecture Notes in Mathematics. vol.2017. Berlin: Springer, 2011. ix+509 pp. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18363-8.

12. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Space/ Lecture Notes in Mathematics. vol.1034. Berlin: Springer, 1983. vi+226 pp. https://doi.org/10.1007/BFb0072210.

13. Рутицкий Я. Б., Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958. 271 с.

14. Gossez J.P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficients // Trans. Amer. Math. Soc., 1974. vol. 190, no. 1. pp. 163-205. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1974-0342854-2.

15. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

16. Gossez J.-P., Mustonen V. Variational inequalities in Orlicz-Sobolev spaces// Nonlinear Anal., 1987. vol. 11, no. 3. pp. 379-392. https://doi.org/10.1016/0362-546X(87)90053-8.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 621-643

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1803

MSC: 35J20, 35J25, 35J62

Existence of solutions to quasilinear elliptic equations in the Musielak—Orlicz—Sobolev spaces for unbounded domains

© L. M. Kozhevnikova1,2, A. P. Kashnikova1

1 Sterlitamak Branch of Bashkir State University,

49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation.

2 Elabuga Branch of Kazan (Volga Region) Federal University, 89, Kazanskaya st., Elabuga, 423600, Russian Federation.

Abstract

The paper considers the existence of solutions of the Dirichlet problem for nonlinear elliptic equations of the second order in unbounded domains. Restrictions on the structure of quasilinear equations are formulated in terms of a special class of convex functions (generalized ^-functions). Namely, nonlinearities are determined by the Musilak-Orlicz functions such that the complementaries functions obeys the condition A2. The corresponding Musielak-Orlicz-Sobolev space does not have to be reflexive. This fact is a significant problem, since the theorem for pseudomonotone operators is not applicable here.

For the class of equations under consideration, the proof of the existence theorem is based on an abstract theorem for additional systems. An important tool which allowed to generalize available results on the existence of solutions of the considered equations for bounded domains to the case of unbounded domains is an embedding theorem for Musielak-Orlicz-Sobolev spaces. Thus, in this paper, we find conditions on the structure of quasilinear equations in terms of the Musielak-Orlicz functions sufficient for the solvability of the Dirichlet problem in unbounded domains. In addition, we provide examples of equations which demonstrate that the class of nonlin-earities considered in the paper is wider than non-power nonlinearities and variable exponent nonlinearities.

Keywords: Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, Dirichlet problem, existence solution, non-reflective space, unbounded domain.

Received: 20th July, 2020 / Revised: 20th September, 2020 / Accepted: 16th November, 2020 / First online: 25th December, 2020

Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article.

Research Article

Q ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Kozhevnikova L. M., Kashnikova A. P. Existence of solutions to quasilinear elliptic equations in the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces for unbounded domains, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 621-643. https://doi.org/10.14498/vsgtu1803 (In Russian). Authors' Details:

Larisa M. Kozhevnikova https://orcid.org/0000-0002-6458-5998 Doctor Phys. & Math. Sci., Professor; Professor; Dept. of Mathematical Analysis; e-mail: [email protected]

Anastasiya P. Kashnikova; Student; e-mail: [email protected]

642

© Samara State Technical University

Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript.

Funding. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00428_a).

References

1. Browder F. E. Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value problems on unbounded domains, Proc. Nati. Acad. Sci. USA, 1977, vol. 74, no. 7, pp. 2659-2661. https://doi.Org/10.1073/pnas.74.7.2659.

2. Kozhevnikova L. M., Kamaletdinov A. Sh. Existence of solutions of anisotropic elliptic equations with variable exponents of nonlinearity in unbounded domains, Vestn. Volgogr. Gos. Univ., Ser. 1. Math. Phys., 2016, no. 5(36), pp. 29-41 (In Russian). https://doi.org/ 10.15688/jvolsu1.2016.5.4.

3. Kozhevnikova L. M., Khadzhi A. A. Existence of solutions of anisotropic elliptic equations with nonpolynomial nonlinearities in unbounded domains, Sb. Math., 2015, vol.206, no. 8, pp. 1123-1149. https://doi.org/10.1070/SM2015v206n08ABEH004491.

4. Mihäilescu M., Rädulescu V. Neumann problems associated to nonhomogeneous differential operators in Orlicz-Sobolev spaces, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 2008, vol. 58, no. 6, pp. 2087-2111, arXiv: 0712.2185 [math.AP]. https://doi.org/10.5802/aif.2407.

5. Fan X., Guan C.-X. Uniform convexity of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces and applications, Nonlinear Anal., 2010, vol.73, no. 1, pp. 163-175. https://doi.org/10.1016Zj.na.2010. 03.010.

6. Benkirane A., Sidi El Vally M. An existence result for nonlinear elliptic equations in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 2013, vol.20, no. 1, pp. 57-75. https://doi.org/10.36045/bbms/1366306714.

7. Sidi El Vally M. Strongly nonlinear elliptic problems in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, Adv. Dyn. Syst. Appl., 2013, vol.8, no. 1, pp. 115-124.

8. Fan X. Differential equations of divergence form in Musielak-Sobolev spaces and a sub-supersolution method, J. Math. Anal. Appl., 2012, vol.386, no. 2, pp. 593-604. https:// doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.08.022.

9. Dong G., Fang X. Differential equations of divergence form in separable Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, Bound. Value Probl., 2016, vol.2016, 106. https://doi.org/10.1186/ s13661-016-0612-9.

10. Chlebicka I. A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces, Nonlinear Anal., 2018, vol.175, pp. 1-27. https://doi.org/10.1016/j.na.2018.05.003.

11. Diening L., Harjulehto P., Hästö P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents, Lecture Notes in Mathematics, vol.2017. Berlin, Springer, 2011, ix+509 pp. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18363-8.

12. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Space, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1034. Berlin, Springer, 1983, vi+226 pp. https://doi.org/10.1007/BFb0072210.

13. Krasnosel'skii M. A., Rutickii Ja. B. Convex functions and Orlicz spaces. Groningen, Noord-hoff, 1961, xi+249 pp.

14. Gossez J.P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficients, Trans. Amer. Math. Soc., 1974, vol. 190, no. 1, pp. 163-205. https:// doi.org/10.1090/S0002-9947-1974-0342854-2.

15. Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators. I: General Theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 7. New York, Interscience Publ., 1958, xiv+858 pp.

16. Gossez J.-P., Mustonen V. Variational inequalities in Orlicz-Sobolev spaces, Nonlinear Anal., 1987, vol. 11, no. 3, pp. 379-392. https://doi.org/10.1016/0362-546X(87)90053-8.