Теоремы вложения для симметричных пространств измеримых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.55/56

MSC2010: 46E30, 46E35, 26D10, 26D15, 46B70

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ

© М. А. Муратов

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

Е-МА1Ь: [email protected]

© Б. А. Рубштейн

Университет Бен Гуриона в Негеве отделение математики факультета естественных наук, Беер-Шева, Израиль

е-ма1Ь: [email protected]

Embedding theorems for symmetric spaces of measurable functions. Muratov M. A., Rubshtein B. A.

Abstract. Let m be the usual Lebesgue measure on R+ = [0, Dealing with symmetric (rearrangement invariant) spaces E on the standard measure space (R+, m), we treat the following embeddings:

L1 n L^ C A~ C E0 C E C E11 C MVt C Li + L^ ,

where E0 = clE(L1 n L^) is the closure of L1 n L^ in E, E11 = (E1)1 is the second

associate space of E, V(x) = ||l[0,x]||E is the fundamental function of the symmetric space x

E, V*(x) = y^ ^ l(0,^)(x), V is the least concave majorant of V, A^ and MV<< are the Lorentz

and Marcinkiewicz spaces with the weights V and V* respectively, A~ = clA~ (L1 n L^).

The space A~ is the minimal part of the Lorentz space A^. It is the smallest symmetric space on R+ whose fundamental function ^>Ao = V is equivalent to V. The Marcinkiewicz space

V

MV<< is the largest symmetric space on R+ satisfying ^>MVt = ^>E = V.

The inclusion A^ C E claimed in [3, II.5.4, Th. 5.5] fails in general. Although, it is true, for example, if V(+to) = to (the space A~ is minimal), or if the space E itself is maximal (E = E11).

The embeddings and natural inequalities for corresponding norms are studied in detail. A full English version of the work will be published in [7].

Keywords: Symmetric spaces, Lorentz and Marcinkiewicz spaces, embedding theorems.

1. Введение

1.1. Симметричные пространства. Пусть т обычная мера Лебега на множестве неотрицательных действительных чисел К+ = [0, и пусть Ьо = Ьо(К+,т) пространство всех конечных почти всюду т-измеримых вещественных функций f: К+ ^ К, при этом, функции, равные почти всюду, отождествляются в Ьо. Всюду в работе мы рассматриваем симметричные пространства Е на стандартном пространстве с мерой (К+, т).

Ненулевое банахово пространство Е = (Е, || • ||е) действительных измеримых функций на (К+, т) называется симметричным (перестановочно инвариантным), если

f е Ьо ,д е Е и f * < д* f е Е и ||Е < ||д||Е.

Через f * мы обозначаем непрерывную справа убывающую перестановку функции ^ |, определяемую как

f*(х) := Ы{у е [0, П|/|(у) < х} , х е [0, то) ,

где

п|/1(у) := т{х е [0, |f (х)| > У}

(верхняя) функция распределения |f |. Обычно мы предполагаем, что п/(х) = 0, чтобы избежать случая п/(х) = Легко видеть, что банахово пространство Е С Ь0 симметрично тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

(1) Если f е Ьо, д е Е и ^| < |д|, то f е Е и ||f ||е < ||д||Е.

(2) Если f е Ьо , д е Е и f* = д*, то f е Е и ||е = ||д||Е.

Условие (1) означает, что Е является идеальной банаховой решеткой. Условие (2) является условием симметричности (или перестановочной инвариантности) нормы

|| • Не.

Таким образом, симметричное пространство — это идеальная банахова решетка с симметричной (перестановочно инвариантной) нормой.

1.2. Первая теорема вложения. Напомним, что фундаментальная функция ^е симметричного пространства Е определяется как

^Е(х) = ||1[о,х]||е, х > 0.

В частности, <£е(1) = ||1[о,1]||е.

Теорема 1. Пусть Е симметричное пространство. Тогда имеют место непрерывные вложения

Ь1 П Ь« С Е С Ь1 + Ь« , (1)

причем

^е(1)|/Ньщ^ > ||е , f е Ь1 П Ь« и ||е > ^е(1)|/||ь1+ьте , f е Е (2)

Отметим, что пространство Ь1 П Ь« снабжено нормой

= шах(|^, ||ьте), f е Ь1 П Ь«. В свою очередь, пространство

Ь1 + Ь« = ^ е Ьо: f = д + К, д е 1ч , К е Ь«} содержит все локально интегрируемые функции на (К+, т), и снабжено нормой

||Ь1+Ьте = ^{||д||ы + ||К|ьте: f = д + К, д е Ь , К е Ь«} .

Пространства Ь1 П Ь« и Ь1 + Ь« являются наименьшим и наибольшим симметричными пространствами на К+.

Доказательство этой теоремы приведено в разделе 2.

1.3. Вторая теорема вложения. Пусть Ео = с/Е(Ь1 П Ь«) замыкание Ь1 П Ь« в симметричном пространстве Е, и пусть Е11 = (Е1)1 второе ассоциированное пространство к Е, где

E1 := l g G Lq : ||g|Ei := sup

/g dm

< то,/ G E, ||f ||e < 1

Пространства Eq и E11 являются минимальным и максимальным симметричными пространствами, соответствующими пространству E.

Теорема 2. Пусть E симметричное пространство. Тогда имеют место непрерывные вложения

Eq С E С E11 , (3)

причем

||/||ео = ||/1|e = ||/1|Eii , / G Eq и ||/1|e > ||/||еп , / G E . (4)

Два частных случая, когда E = Eq (E минимально), и когда E = E11 (E максимально), представляют особый интерес.

Доказательство этой теоремы приведено в разделе 2.

1.4. Третья теорема вложения. Пусть Ш — возрастающая функция на [0, такая, что Ш(0) = 0, Ш вогнута на (0, и Ш(х) > 0 для некоторого х. Пространство Лоренца А^ на (К+, т) относительно вогнутой весовой функции Ш определяется как

{те

/ е Ь: ||/||а^ := / /*(х) dW(х) < гс

Оно является симметричным пространством с фундаментальной функцией ^ = Ш.

Пусть теперь V квазивогнутая функция на К+, т.е. V(0) = 0 и обе функции

V(x) и V*(x) := 1(о,те)(x) возрастают на R+. Пространство Марцинкевича MV

x V(x)

на (R+, m) определяется как

х

Mv := {f e Lo: ||f |M := sup -Ц i f(v) dy < гс} .

0<х<те V (x) J

о

Оно является симметричным пространством с фундаментальной функцией = V*.

Теорема 3. Пусть V(x) = <^E(x) = ||1[0,х]||е фундаментальная функция симметричного пространства E, V — наименьшая вогнутая мажоранта V и x

V*(x) = ЛГ. ,1(0со)(x). Тогда имеют место непрерывные вложения V (x)

у

причем

ЛУ С E С MK

Л0 > ||f ||е ,f e ЛУ и ||f ||Е > ||f ||Mv. ,f e E

V

Здесь пространство Л~ является минимальной частью пространства Лоренца Л у. Это наименьшее симметричное пространство на R+, фундаментальная функция которого = V эквивалентна V. Пространство Марцинкевича Mv, является наибольшим симметричным пространством на R+, для которого

= ^е = V.

Вложение Лу С E из [3, II.5.4, Теорема 5.5], в общем случае неверно. В то же время, оно является верным, например, если V(+гс) = (пространство Л~ является минимальным), или если само пространство E является максимальным (E = E11).

Доказательство этой теоремы приведено в разделе 3

Объединяя вложения (1), (3) и (5), для произвольного симметричного пространства Е на К+ мы имеем:

Ь1 П Ь« С А~ С Ео С Е С Е11 С Мк С Ь1 + Ь« .

Неравенства (2), (4) и (6) определяют естественные соотношения между соответствующими нормами.

Некоторые варианты вышеуказанных теорем рассматривались, например, в [1, 2,

3, 4, 5, 6].

2. Вложения Ь1 П Ь« С Ео С Е С Е11 С Ь1 + Ь« .

2.1. Минимальность и условие (Л). Симметричное пространство Е называется минимальным, если множество Е1 всех простых (конечнозначных) интегрируемых функций плотно в Е. Так как Е1 плотно в Ь1 П Ь« и Ь1 П Ь« С Е, то симметричное пространство Е минимально тогда и только тогда, когда замыкание с/е(Ь1 П Ь«) совпадает с Е.

В общем случае, замыкание

Ео := с/е(Ь1 П Ь«) С Е

является симметричным пространством, которое называется минимальной частью Е. Таким образом, симметричное пространство Е является минимальным тогда и только тогда, когда

Ео = Е.

Симметричное пространство Е удовлетворяет условию (А) (имеет порядково непрерывную норму), если:

(А) 0 < и е Е, и | 0=^Ш|е | 0.

Теорема 4. Пусть Е симметричное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) Е удовлетворяет условию (Л).

(2) Е минимально и ^Е(0+) = 0.

(3) Е сепарабельно.

Доказательство. Смотри, например, [2, Х.3, Теорема.3], [4, Утверждение 1.а.8, Тео-рема.1.Ь.16], [5, Теорема 6.5.3.]. □

2.2. Минимальность и условие (С). Симметричное пространство Е удовлетворяет условию (С) (имеет порядково полунепрерывную норму), если (С) 0 < / Т / е Е 8пр„ Ш|е = ||/||Е.

Теорема 5. Каждое минимальное симметричное пространство E удовлетворяет, условию (C).

Доказательство. Рассмотрим два случая. Случай 1. ^е(0+) = 0. Если E минимально, и ^е(0+) = 0, то E удовлетворяет условию (A) (см. теорему 4), а из условия (A), очевидно, следует условие (C). Случай 2. ^е(0+) > 0. Пусть ^E(0+) = c > 0 и xn X 0. Тогда для каждой функции f G E, мы имеем:

II/*||е > ||f * ■ 1 [0,Xn] IIE > f *(xn) || 1 [0,Xn] IIE = f *(xn)^E(xn) > c ■ f *(xn).

Откуда

If ||l„ = f*(0) = sup f*(xn) < -|||f *||e < то ,

nc

т.е. f G L^. Таким образом, E С L^.

Теперь нам понадобится следующая простая лемма.

Лемма 1. Пусть E минимальное симметричное пространство такое, что E С L^ (строгое вложение). Тогда для каждой функции f G E,

If - f ■ -[o,n]IIe ^ 0 при n У то . (7)

Доказательство. Пусть F0 — множество всех простых функций на R+, имеющих ограниченный носитель. Простая функция g принадлежит F0 тогда и только тогда, когда g ■ 1[а,го) = 0 для некоторого конечного а > 0. Так как F0 плотно в Li П L^, и E минимально, то

E = E0 = C/e(Li П L^) = C/e(F0) .

Для любого £ > 0 существует g G F0 такая, что ||f — g||E < е. Тогда мы имеем

||f — f ■ -[0,n] 1E < ||f — g^E + Hg — g ■ -[0,n] 1E + ¡g ■ 1 [0,n] — f ■ 1[0,n]|E .

Более того, ||g — g ■ 1[0,n] ||e = 0 для достаточно больших n, и

Hg ■ 1 [0,n] — f ■ -[0,n] ¡E < Hf — gHE < £ .

Следовательно, ||f — f ■ 1 [0,n] HE < для достаточно больших n, и поэтому имеет место предельное соотношение (7). □

Вернемся к доказательству теоремы 5. Пусть

0 < fn f f e E = E0 С Lте .

Тогда по лемме 1, мы имеем

SUp ||fn ||е = SUp SUp ||fn ■ 1[0,k] ||e = SUp ||f ■ 1[0,k] ||e = ||f ||E

n n k k

□

Замечание 1. Минимальные симметричные пространства Е были определены в [4, Определение.2.а.1(п)], как симметричные пространства, удовлетворяющие равенству

Е = С/Е11 ^1).

Из теоремы 5 следует, что

с/Е11 ^ ) = <^1) = Ес.

Таким образом, наше определение минимальности (Е = Ес), эквивалентно определению минимальности из [4].

2.3. Естественное вложение Е1 ^ Е*. Напомним, что ассоциированное пространство Е1 симметричного пространства Е определяется как

E1 := g e L0: ||g||

E1

sup

/II f.< 1

fg dm

<

Утверждение 3. Пусть Е симметричное пространство и Ес его минимальная часть. Тогда

(1) Е1 является симметричным пространством.

(2) (Е0)1 = Е1.

(3) ^E1 (x) = <£*(x), где <£*(x) :=

x

^e(X)

1 (0,те), x > 0.

Доказательство. Смотри, например, [3, 11.6.], [6, 1.7.]. □

Ассоциированное пространство Е1 может быть отождествлено с подмножеством : д е Е1} дуального пространства Е*, где

Ug (f):= / fgd^f e E .

По определению, ug e E* и ||u.

g He»

||g|Ei для каждой функции g e E1. Более того,

Утверждение 4. Естественное вложение

V : Е1 э д ^ Уд е Е*

является изометрическим изоморфизмом из Е1 на замкнутое подпространство {ид: д е Е1} пространства Е*.

Теорема 4 может быть продолжена эквивалентным условием (4).

Теорема 6. Условия (1) - (3) теоремы 4 эквиваленты следующему условию (4) ^(Е1) = Е*.

Доказательство. Смотри, например, [2, Х.4.]. □

Следствие 1. (Е0)* = ^(Е1) ^^ ^е(0+) = 0. Доказательство. Следует из теорем 4, 6 и утверждения 3.

□

2.4. Вложение Е С Е11 и условие (С). Так как ассоциированное пространство Е1 само является симметричным, мы можем определить второе ассоциированное пространство как

Е11 = (Е1)1.

Пространство Е11 состоит из функций к е Ь° таких, что

Eii = sup

hg dm

: g G E1, HgHEi < Л < то .

Если / е Е, то для каждого д е Е1 мы имеем

fg dm

<

E ■

||g|E1.

Это означает, что

E С E и Hf Heii < Hf He , f G E .

Вложение Е С Е11 может быть строгим.

Пример 1. Пусть := {/ е Ь1 + : /*(то) = 0}. Тогда 1. Ио = (Ь1 +

2. (L^)0 = L^ П R0 С L^ = (Li)1 = (L^)11 = [(L^)0]

\0111

Теорема 7. Пусть Е симметричное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) Е удовлетворяет условию (С).

2) ||/||e = sup

fg dm

: g e E1, ||g||E! < 1

(3) ||f ||E11 = ||f ||ef e E.

Доказательство. Смотри, например, [2, X.4., Теорема 7], [4, Утверждение 1.b.18].

□

Условие (3) означает, что вложение E ^ E11 есть изометрия. В отличии от вложений E0 ^ E и E0 ^ E11, отображение E ^ E11 не обязательно в общем случае должно быть изометрическим. Более того, оно не обязательно должно быть открытым, т.е. пространство E может не быть замкнутым в E11.

2.5. Максимальность. Условия (B) и (BC). Симметричное пространство E называется максимальным, если

E = E11.

Симметричное пространство E удовлетворяет условию (B) (имеет монотонно полную норму), если

(B) 0 < fn t, fn e E , supra ||fn|E < го fn t f для некоторой функции f e E.

Теорема 8. Пусть E симметричное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) E максимально.

(2) E = G1 для некоторого симметричного пространства G.

(3) E удовлетворяет условию (B).

Доказательство. 1) ^^ 2). Если E = G1 для некоторого симметричного пространства G, то E1 = G11 и

E11 = G111 = G1 = E. Обратно, если E = E11, то E = G1 для G = E1.

2) 3). Пусть E = G1 и {fn} С E такая, что 0 < fn t и sup ||fn||E < го.

n

Так как оба пространства E и G1 банаховы, то по теореме об открытом отображении нормы || - ||e и || ■ ||Gi эквивалентны. Следовательно,

sup || fn||Gi = c < го.

n

Поскольку

{те

У fngdm : 0 < g G G, HgHG < 1

то для каждой функции 0 < g G G, такой что ||g|g < 1, функции fng будут интегрируемы и

те

/ fngdm < sup Hf Hgi = c < то.

По теореме Фату-Лебега функция sup(fng) = (sup fn)g является интегрируемой, и

nn

следовательно, она почти всюду конечна. Пусть f = sup fn, тогда

n

n

ох = вир /д^т : 0 < д е О, ||д|с < 1< с < то,

т.е. / е О1 = Е. Следовательно, пространство Е = О1 удовлетворяет условию (В).

3) 1). Пусть / е Е11 и / > 0. Тогда существует такая последовательность

{/„}, что 0 < /п е Е° и /п Т /. Так как вложение Е С Е11 непрерывно и Е° = (Е11)0 как множества, то по теореме об открытом отображении, нормы || • ||е° и || • ||(еп)° эквивалентны.

Следовательно, для некоторого с > 0,

II/ 11е < с ||еп, / е Е0 = (Е11)0.

Поскольку {/п} С Е0 С Е0 и / е Е11, мы имеем

||/п||е < с • || /га ||еп < с • I/Це11 < то

для всех n > 1. Следовательно, supn ||/п||е < то и из условия (B) следует, что f G E. Мы показали, что E11 С E. Таким образом, E11 = E, т.е. E максимально.

□

Симметричное пространство E удовлетворяет условию (BC), если

. ^ {fn}c E, 0 <fn t и sup H/пНе < то f f f и HfnHE t Hf He

(BC) : n

для некоторой функции f G E.

n

Замечание 2. Условие (ВС) означает, что в симметричном пространстве Е выполнены оба условия (В) и (С).

Объединяя теоремы 7 и 8, получим

Теорема 9. Пусть E симметричные пространства. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) E = E11 и || ■ ||e = || ■ He11 .

(2) E = G1 и || ■ ||E = || ■ Hg1 для некоторого симметричного пространства G.

(3) E удовлетворяет условию (BC).

Замечание 3. (Условие Фату) Эквивалентные условия теоремы 9 можно переформулировать следующим образом:

{fn} С E, fn ^ f почти всюду и sup 11fnHe < го f G E

(F) : n

и Hf He < lim H/пНе.

n

В случае Е = Ь условие ) — это утверждение теоремы Фату. Поэтому условие ) обычно называют условие Фату. (См, [4, Теорема 1.Ь.18, Замечание 2])

2.6. Доказательство теорем 1 и 2. Мы начнем с доказательства теоремы 2. Принимая во внимание соотношения (8), нам достаточно доказать следующее утверждение:

Утверждение 5. Для любой функции / € Е0 имеет место равенство:

II/Не0 = ||/ ||е = ||/ Пен .

Доказательство. Симметричное пространство Е0 минимально, и по утверждению 3

(Е0)1 = Е1.

Поэтому

(Е0)11 = Е11.

Так как симметричное пространство Е0 минимально, то оно удовлетворяет условию (С) (теорема 5). Следовательно, по теореме 7, вложение

Е0 С (Е0)11 = Е11

является изометрическим. □

Перейдем к доказательству теоремы 1. По поводу доказательства вложения (1) и неравенства

II/Не > М1)П/||ь1+ьте , / € Е , (9)

мы отошлем читателя к [3, Теор. 11.4.1]. Нам осталось доказать неравенство

М1)Н/ 11ь1пьто >||/||е ,/ е Ь1П ,

вместо более слабого неравенства

2^е(1)II/>||/||е ,/ е Ь1 П , доказанного в [3, 11.4., Теорема 4.1].

Если / е Ь1 П С Е, то по утверждению 5 мы имеем

|е° = II/||е = II/||е11 .

:iq)

Следовательно,

E = Hf IIEii = sup

fg dm

: IlgllEi < 1

Заменяя Е на Е1 в (1) и (9), мы имеем

E1 С L1 + и ||gHei > №(1)IIg||Li+LTO , g G E1

Следовательно, из неравенства ||д||Ех < 1 следует неравенство ^Е1 (1)|д|ьх+ьто < 1, и

E < sup

fg dm

: №(1)I|g||Li+LTO < 1

Рассматривая функцию h = <^ei (1)g, мы получим

E < sup 1

№ (1)

вир

f-^Tdm

№ (1)

fh dm

Li+LTO <

1=

: № ||h||Li+LTO < 1

№ (1)

Hf ||LirtL„ = MW H

Li L

x

Последнее равенство следует из

№ = <£*(х) = —> 0 при х =1 (утверждение 3).

, Ч ^те^ x >

^e(X)

1

3. Вложения Л~ С E0 С E С E11 С MK

3.1. Пространства Лоренца. Пространство Лоренца (Л^, || • ||aw) определяется как

{те

f G Lo: ||f ||aw •= / f *(x) dW(x) < го

где весовая функция W : R+ ^ R+ предполагается возрастающей вогнутой на (0, го), причем W(0) = 0 и W(x) > 0 для x > 0. Здесь

те те

У f *(x) dW(x) = f*(0)W(0+) + ^ f*(x)W'(x)dx 00 несобственный интеграл Римана-Стилтьеса от убывающей функции f * по возрастающей функции W на R+.

Напомним некоторые основные свойства этих пространств.

Утверждение 6. (1) (Л^, || • ||aw) является симметричным пространством.

(2) Фундаментальная функция совпадает с W.

(3) (Л^, || • ||aw) является максимальным ((Л№)11 = Л^) и || • ||(aw)п = || • ||aw . Доказательство. Смотри, например, [3, II.5.1], [6, 2.1.]. □

Напомним, что симметричное пространство Ro определяется как Ro •= {f G L1 + Lrc: f*(+го) = lim f*(x) = 0} .

Это пространство совпадает с замыканием c/li+lto (L1 П Lте) пространства L1 П Lте в L1 + Lте, т.е.

R0 = (L1 + Lте)0

является минимальной частью пространства L1 + Lте.

Утверждение 7. (1) Минимальная часть Л^ имеет вид Л^у = Л^ П R0.

(2) Л^ минимально ^^ W(+го) =

(3) Л^ сепарабельно ^^ W(+го) = and W(0+) = 0.

Доказательство. Смотри, например, [3, II.5.1], [6, 2.1.]. □

3.2. Четыре типа пространств Лоренца. Рассмотрим четыре основных типа пространств Лоренца.

Случай (1). W(0+) = 0, W(го) = го.

Так как Ш(то) = то, по утверждению 7, А^ является минимальным, причем

^ (0+) = Ш (0+) = 0.

Это означает, что пространство А^ сепарабельно (Теорема 4). По этой же теореме 4 и утверждению 6, предположения случая (1) эквивалентны условию (А) и и(А^) = А^. Таким образом, А^ С И.0, А^ С Ьте и А^ сепарабельно.

Пример. А^ = Ь при Ш(х) = х, х > 0. Случай (2). Ш(0+) > 0, Ш(то) = то.

Как и в случае (1), условие Ш(то) = то обеспечивает минимальность пространства Лоренца А^. Однако, А^ — не сепарабельное, так как для фундаментальной функции = Ш имеем (0+) = Ш(0+) > 0 (теорема 4). Из условия Ш(0+) > 0 получаем:

Aw

> f*(o)w(0+) = w(0+)!/1|]

для всех / € А^. Таким образом, А^ С Ьте. С другой стороны,

те

||1(0,те)||л^ = Ш (0+) + 1 <Ш = Ш (то) = то,

0

т.е. 1(0,те) € А^ и потому А^ = Ьте. Таким образом,

С Ьте п Ио = Ьте.

Следовательно, в этом случае А^ С Ьте П И.0, А^ минимально и не сепарабельно.

Пример. А^ = Ь П Ьте при Ш(х) = (х + 1) ■ 1(0,те)(х), х > 0. Здесь норма

||/= ||/Уьх + ||/не равна н°рме ||/¡ьхпь^ = тах{|/ЦЬ1, ||/^}, но эквивалентна ей.

Случай (3). Ш(0+) = 0, Ш(то) < то.

Пространство А^ не минимально, так как Ш(то) < то (утверждение 7). При этом,

те

||1(0,те)||л^ = Ш(0+) + У ¿Ш = Ш(то) < то,

0

т.е. 1(0,те) € А^, и потому Ьте С А^.

Из условия Ш(0+) = 0 следует, что А^ = Ьте.

Таким образом, А^ ^ Ьте (вложение строгое) и А^ не минимально.

оо

Пример. А^ = 1(1 + Ьте при Ш(х) = шт{х, 1}, х > 0. В этом случае,

тете 1

II/ 11а^ = / / = / / ¿т = / / Чт = ||/||Ь1+Ьте. 0 0 0

Случай (4). Ш(0+) > 0, Ш(го) < го.

Эти условия влекут, соответственно, А^ ^ Ьте и А^ ^ Ьте, т.е. А^ = Ьте. При этом, из неравенства

0 < Ш(0+) < Ш(х) < Ш(го) < го

следует, что

Ш(0+)||/||Ьте <||/||л^ < Ш(го)||/||Ьте, где ||/||ьто = /*(0). Таким образом, А^ = Ьте и нормы || • ||л^ и || • ||ьто эквивалентны.

Пример. А^ = Ьте при Ш(х) = 1(0,те)(х), х > 0. Ясно, что пространство А^ = Ьте не минимально, = Ьте П И.0.

Пример 2. Пространства Ьр, 1 < р < го. Фундаментальная функция простран-

1

ства Ьр равна = хр при х > 0.

Положим Шр = , 1 < р < го, и рассмотрим семейство пространств Лоренца , где 1 < р < го.

Функции Шр вогнутые, и Шр(0+) = 0, Шр(го) = го. таким образом, пространства Лоренца А^р, как и соответствующие пространства Ьр, сепарабельны. Можно показать, что С Ьр, 1 < р < го, причем все вложения являются строгими.

3.3. Пространства Марцинкевича. Пространство Марцинкевича (Му, || • ||Му) можно определить как множество

Му := {/ е Ь: V, • Г е Ьте} ,

с нормой

||/|М := ||К • /**||ьто , / е Му ,

где

X

х1 К(0) = 0 , к(х) = у'^х) 1 (0,те) (х) и / **(х) = хУ / *(у) ¿У, х > 0 .

0

В этом определении весовая функция V не обязательно вогнута. Предполагается, что она квази-вогнута на Е+, т.е. V(0) = 0 и обе функции V(х) и К(х) являются возрастающими на К+.

Утверждение 8. (1) (Му, || ■ ||м^) является симметричным пространством.

(2) Фундаментальная функция совпадает с V*.

(3) Му максимально: (Му)1! = Му

Доказательство. Смотри, например, [3, 11.5.2], [5, Глава 11.] . □

Чтобы описать двойственность между пространствами Лоренца и Марцинкевича, напомним, что для каждой квазивогнутой функции V на К+ существует наименьшая вогнутая мажоранта у, и имеет место неравенство

2у < V <у. (11)

Смотри, [3, 11.1].

Таким образом, Му = Му ,т.е. пространства Марцинкевича Му и Му совпадают как множества, а нормы || ■ ||м, и || ■ ||му эквивалентны:

2 ||/||м, <||/||му <|/К , / € Му. Утверждение 9. (1) Для каждой вогнутой весовой функции Ш имеет место

(Аж,|| ■ ) = (М^,|| ■ ) и (М^,|| ■ Нм^) = (А^,|| ■ ).

(2) Для каждой квази-вогнутой весовой функции V пространства Му и Ау совпадают как множества, а нормы || ■ ||м^ и || ■ ||л_ эквивалентны.

3.4. Вложение А~ С Е. Пусть V квази-вогнутая функция на К+, у наименьшая

вогнутая мажоранта V, и V* — квазивогнутая функция, определяемая равенство

^(х) = 77^, х > 0 и V*(0) = 0. V (х)

Пространство Лоренца А у, также как и его минимальная часть

А~ = сЦ,(Е1) = Ау П И

имеют фундаментальную функцию ^л, = У, где функции у и V эквивалентны.

Во-первых, докажем вложение Ау С Е для каждого симметричного пространства Е, имеющего фундаментальную функцию ^е = V.

Утверждение 10. Пусть Е симметричное пространство с фундаментальной функцией = V. Тогда Ау С Е и

||/> ||/||е (12)

для каждой функции / € А у.

Доказательство. Докажем, что ||/||л_ > ||/||е для каждой функции / € Е1 С Ау.

Допустим, что / = 1а, где 0 < тА < то. В этом случае / = 1а € Ау. Пусть

х = тА. Тогда /*(х) = 1 [0,х] € Ау, и

||1а|л = ||1[0,х]||л, = У(х) > V(х) = ||1[0,х]||е = ||1а|е. Если / € Е1,то / * € Е0 С А у и / * можно представить в виде

т

/* = ^ С ■ 1[0,ь4],с. > 0, 0 < 61 <62 < ■ ■ ■ < 6т. г=1

Для таких функций мы имеем

оо

ттт

л, = I / = ^ сгу (6г) > ^ С^ (6г) = ^ Сг 11 [0,Ьг] ||е

п г=1 г=1 г=1

>

' 1[0'ь^]

г=1

е.

е

Таким образом, неравенство (12) верно для любой функции / € Е1.

По определению, Ау = с/л_ (Р1). Поэтому для любой функции / € Ау можно выбрать последовательность /п € Е1 такую, что

||/п - /||л, ^ 0 при п ^ то.

С другой стороны, из неравенства (12) следует, что /п является последовательностью Коши в Е. Так как Е полное, то ||/п — /0||е ^ 0 для некоторой функции /0 € Е. Так как

||/п — / ^ 0=^||/„ — / ||Ь1+Ьте ^ 0

и

|/п — /0|Е ^ 0 |/п — /0|Ь1+ЬТО ^ 0

то / = /0 € Е. Следовательно, Ау С Е и (12) имеет место для любой функции / € Ау. □

3.5. Вложение Е С Му,. Теперь мы покажем, что пространство Марцинкевича Му, является наибольшим среди всех симметричных пространств Е с фундаментальной функцией = V

Утверждение 11. Пусть Е симметричное пространство с фундаментальной функцией = V. Тогда Е С Му, и

м, < ||/||е (13)

для каждой функции / € Е.

Доказательство. Для каждого симметричного пространства Е имеем

х

||/ * • 1[0,Х]||Ь1 <—Г^Ц/ * • 1 [0 ,х] ||е, х > 0 ^е(Х)

для любой функции / е Е (см., [3, П.4.1]). Из этого неравенства для фундаментальной функции ^е = V получаем, что

||/ • 1[0,х]|Ь1 ^ х ТЛ/\

[ , < Т77"Т = ^(х), х > 0, / е Е.

II/* ■ 1[0,x]H^ _ V(x) Следовательно,

x

11

II/IIe = II/*||е > II/* ■ 1[o,x]||e > ^II/* ■ l^IIi* = щ^] /*dm

0

и

Îx

—— /*dm )> < II/ IIE.

V*(x) J

□

3.6. Теорема 3 и ее следствия. Удобно объединить утверждения 10 и 11 с теоремой 2 в следующей теореме вложения.

Теорема 10. Пусть E симметричное пространство с фундаментальной функцией = V, V наименьшая вогнутая мажоранта квазивогнутой функции V и x

V(x) = ЛГ. , , x > 0. Тогда V (x)

Л~ Ç E0 Ç E Ç E11 Ç MV,, (14)

причем

II/IIav = II/IIa" >II/IIe0 = II/||e, / ^ Л0у (15)

и

II/||e >II/ 11x11 >||/||mv. , / G E. (16)

Доказательство. Из утверждения 10 имеем Л° Ç E, откуда

Л° Ç С/е(Л~) = C/e(Fi) = E0.

В силу утверждения 11 имеем, E Ç M°t, откуда из двойственности между пространствами Лоренца и Марцинкевича (раздел 4.3), мы также имеем

E Ç Mк E1 D M° = Л°т E11 Ç M°1 = M°4.

Вложение Е С Е11 было доказано в разделе 3.4. Отсюда следуют и соответствующие неравенства для норм. □

Следует отметить, что пространства Е0, Е, Е11 и Му* имеют одну и ту же квазивогнутую фундаментальную функцию V, в то же время как пространства Лу и Л у имеют вогнутую фундаментальную функцию V. Функция V эквивалентна функции V, но не обязана с ней совпадать. А именно, —V < V < V (см., (11)).

Замечание 4. 1). Пространство Лоренца Лу минимально тогда и только тогда, когда V(то) = то (раздел 4.1., утверждение 7) или, что эквивалентно, V(то) = то. Очевидно, в этом случае мы имеем

Лу = Лу С Е.

Полагая Е = = Ь« П И.0, мы получим

V(х) = ^е(х) = 1(0,«), х > 0

и Лу = Лу = Ь«. Следовательно, Лу не минимально, и мы видим, что в этом примере Лу С Е. Более того,

Лу = Ь« = Е С Лу,

причем последнее вложение строгое.

2). Рассмотрим случай, когда симметричное пространство Е является максимальным, т.е. Е = Е11 как множества. Тогда

Лу С Е (Лу)1 = Лу Э Е1 Лу = Лу1 С Е11 = Е.

Таким образом, в этом случае Л у С Е даже если пространство Л у не минимально, т.е. вложение Лу С Л у строгое.

3). Равенство Е = Е11, вообще говоря, не влечет равенства норм || • ||е и || • Цен. Например, пусть Е = Ь«, снабженное нормой

Ц/||е = /*(0) + /Что), / е Е = Ь«.

В этом случае

Ц/Це = Ц/||ьте = /*(0), / е Ь«,

так как полунорма / ^ /*(то) тождественно равна нулю на . Таким образом. мы

имеем

V(х) = ^е(ж) = 1(0,«)(х), х е Е+

и

Л у = Ь« = Е,

в то время как

лу = Ь°те = Лу = Ьте. Однако, полагая / = 1[0,те), мы получим

|1[0,те) !е = 2 > ||1[0,те)||Ьто = 1

Следствие 2. Пусть Е максимальное симметричное пространство с фундаментальной функцией <^е. Тогда

(1) ^е(0+) > 0 ^ Е С Ьте;

(2) ^е(го) < го ^^ Е Э Ьте;

(3) ^е(0+) > 0 и ^е(го) < го ^^ Е = Ьте.

Доказательство. Пусть V = <^е. Так как Е максимально, то мы имеем Л у С Е.

(1). Если Е С Ьте, то Л у С Ьте и V (0+) > 0.

Обратно, из условия V(0+) > 0 следует, что Му, С Ьте. В самом деле, / е Мк ^ || V/**||Ьте < го V(0+)/ **(0+) < го / **(0+) = / *(0) < го ^ / е Ьте.

Откуда

Е С Мк С Ьте.

(2). Пусть V(го) < го. Тогда

те

||1[0,те)||л^ = J = У (го) = V (го) < го, 0

откуда следует, что 1[0,те) е Л у. Таким образом,

1[0,те) е Л у С Е и Е Э Ьте.

Обратно,

Е Э Ьте Му, Э Ьте ^ Му, Э 1[0,те).

Это означает, что

||1[0,те)||мп = »V • 1*0*,те)|ьто = || V||Ьте = V(го) < го.

(3). Следует из (1) и (2).

В заключении рассмотрим классические пространства Е = Ьр, 1 < р < го. Пример 3. Пусть 1 < р < го и

V(х) = (х) = хр, х > 0.

□

Тогда V = V и

К(ж) = (ж) = жq, где —|— = 1. Поэтому мы имеем вложения

p q

Лу С Lp С My,

где

и

те

* <

Лу = f е Lo: ||/ ||av = f * (ж) d(xp) < то

My, = i f е Lo : |f ||мп = sup жpf **(ж) < то I .

[ 0<ж<те J

Пространства Лу и Lp минимальны и сепарабельны, в отличие от пространства My,, которое не минимально.

Минимальная часть My = gImv (Li П L^) пространства My, имеет вид

МУ = { f е My : lim жpf**(ж) = lim жpf**(ж) = ol .

, I ж^+те I

(смотри, [3, II.2.3]). Минимальное пространство My сепарабельно также как пространства Лу и Lp.

Легко проверить, что все вложения

Лу С Lp С My, С My,

строгие.

В случае p =1 мы имеем: V(ж) = ж, V*(ж) = 1(0,те)(ж) и

(Лу, || ■ ||av) = (Li, || ■ ||li) = (My,, || ■ ||mv,). В случае p = то мы имеем: V(ж) = 1(0,те)(ж), V*(ж) = ж, и

(Лу, || ■ ||av) = (L«, || ■ ||lto) = (My,, || ■ ||mv,).

список литературы

1. BENNET, C., SHFRPLEY, R. (1988) Intropolation of operators. London. Academic Press.

2. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Наука, 1977. — 744 с.

KANTOROVICH, L., AKILOV, G. (1977) Functional Analysis. Moskow: Nauka. 744 p.

3. Крейн С. Г Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

KREIN, S. G., PETUNIN, Yu. I., SEMENOV, E. M. (1982) Interpolation of liniar operators. Trans. Math. Mon., 54, AMS, Perovidance. 400 p.

4. LINDENSTRAUSS, J, TZAFRIRI, L (1979) Classical Banach Spaces II. Function Spaces. Springer.

5. RUBSHTEIN, B. A., GRABARNIK, G. Ya., MURATOV, M. A., PASHKOVA, Yu. S. (2016) Foundations of Simmetric Spaces of Measurable Functions. Lorentz, Marcinkiewicz and Orlicz Spaces. Springer.

6. Рубштейн, Б. А. Введение в теорию симметричных пространств измеримых функций / Б. А. Рубштейн, Г. Я.Грабарник, М. А.Муратов, Ю. С.Пашкова. — Симферополь: ДИАЙПИ, 2014. — 204 с.

RUBSHTEIN, B. A., GRABARNIK, G. Ya., MURATOV, M. A., PASHKOVA, Yu. S. (2014) Introduction to the theory of symmetric spaces of measurable functions. Simferopol: DIAIPI. 204 p..

7. MURATOV, M. A. & RUBSHTEIN, B. A. (2018) Main Embedding Theorems for Symmetric Spaces of Measurable Functions. Topological algebras and their applications. Proceedings of the 8th international conference on topological algebras and their applications 2014. (Berlin:De Gruyter). p. 350. (to appear)