Порядковая сходимость в эргодических теоремах в пространствах Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, вып. 28 (2010), 81-88

УДК 517.98

Порядковая сходимость в эргодических теоремах в пространствах Лоренца

М. А. Муратов*, Ю. С. Пашкова*, Б. А. Рубштейн**

* Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: [email protected] **Университет Бен-Гуриона в Негеве, Беер-Шева, ИЗРАИЛЬ.

Аннотация. В настоящей работе приводятся необходимые и достаточные условия порядковой сходимости чезаровских средних для абсолютных сжатий в пространствах Лоренца. Мы рассматриваем случай пространства с бесконечной мерой. Рассмотрение порядковой сходимости приводит как к доминантной, так и к индивидуальной эргодическим теоремам в пространствах &w,q и Lpq. При исследовании используется техника симметричных пространств измеримых функций на пространстве с бесконечной мерой и эргодичной теории.

Ключевые слова: эргодические теоремы, пространства Лоренца, порядковая сходимость.

1. Введение

В работах [2], [13], [14] были получены аналоги доминантной эргодической теоремы для абсолютных сжатий в симметричных пространствах измеримых функций на отрезке [0,1] и на полуоси [0, +ж). Эти результаты являются обобщениями классических эргодических теорем Данфорда-Шварца на пространствах Lp, 1 < p< ж [3].

В случае, когда верны как индивидуальная (IET), так и доминантная (DET) эргодические теоремы, имеет место порядковая сходимость ((о)-сходимость ) соответствующих средних Чезаро. Так например, для любого абсолютного сжатия T и f Е Lp последовательность -^YlП=о Tk f является сходящейся в Lp, если 1 < p < ж. В случае p =1 последовательность П Y1 П—о Tk f (о)-сходится в Lb если f Е L log L.

В данной заметке изучаются необходимые и достаточные условия порядковой сходимости указанных чезаровских средних пространствах Лоренца Л^. Мы используем технику и терминологию перестановочно инвариантных пространств из [12], [2], [4], [6], [8] и эргодической теории.

2. Предварительные сведения

Пусть пространство с бесконечной а-конечной неатомической мерой,

L0 = L0пространство всех ¡-измеримых почти всюду конечных функций f на Q и Lp = Lp(Q, ¡), 1 < p < +ж. В случае, когда Q = R+ = [0, ж) и ¡л = m — мера Лебега на [0, +ж), будем писать: L0 = L0(R+, m).

© М. А. МУРАТОВ, Ю. С. ПАШКОВА, Б. А. РУБШТЕЙН

Линейный оператор T : Li + Lœ ^ Li + Lœ называется абсолютным сжатием или (Li, Lœ)-сжатием, если T является сжатием как в L1 так и в Lœ. Обозначим через PAC множество всех абсолютных сжатий.

Для любых T Е PAC и f Е L1 + Lœ рассмотрим чезаровские средние

1 n— 1

An,T f = k f

n —'

n k=0

и соответствующую доминантную функцию

Вт / = ёир Лп,т \/ \.

п> 1

Заметим, что Вт/ почти всюду конечна, то есть Вт/ Е Ь0 для всех / Е Ь1 + (см. [3]).

Напомним, что банахово пространство (Е, || • ||е) измеримых функций из Ь0(О,^) называется перестановочно инвариантным (п.и.) или симметричным, если выполнены следующие два условия:

(г) Если / Е Ь0, д Е Е и \/(1)\ ^ \д^)\ почти всюду на О, то / Е Е и У/||Е ^

урне;

(гг) Если / Е Ьо, д Е Е и /*(1) = д*(1), то / Е Е и У/||Е = ||д|Е. Здесь /* — невозрастающая, непрерывная справа перестановка функции \/ \. Отметим, что невозрастающая перестановка /* может быть определена формулой:

/*(х) := т£{у Е [0, : и/(у) < х}, х Е [0, то),

где и/ — функция распределения \/\:

и/(у) = р{п Е О: \/(и)\ >у}.

Функции / и д называются равноизмеримыми ([12]), если п\/\(у) = и\9\(у), то

есть /* = д* .

Если (О,^) = (И.+ , т), то п.и. пространство Е = Е(И.+ , т) называется стандартным. Для п.и. пространства Е(О,^) на произвольном пространстве с мерой (О,ц) существует единственное стандартное п.и. пространство Е(И.+ , т) на (И+, т) (называемое стандартной реализацией Е) такое, что

/ Е Е(О,у) тогда и только тогда, когда /* Е Е(И.+ , т).

Здесь и далее мы не предполагаем, что пространство с мерой (О,ц) сепарабельно и изоморфно стандартному пространству с мерой (И.+ , т).

Известно, что для каждого п.и. пространства Е имеет место вложение

Ь П С Е С Ь1 +

Мы будем использовать максимальную функцию Харди-Литлвуда, которая определяется для f Е (Ь + следующим образом:

х

!**(х) = 1 [ !*(в) ¿в, х Е (0, +ж). х ] 0

Известно, что f**(Ь) — непрерывная, невозрастающая на (0, +ж) функция, f *(Ь) ^ f **(Ь), для и > f *(ж) имеет место равенство f **(ц{f ** > и}) = и и f ** (ж) = f *(ж).

Важную роль в исследовании порядковой сходимости играет перестановочно инвариантное пространство П0 = П0(^,^), определяемое следующим образом:

П = и Е Ь1 + : f *(+ж):= Иш f *(х) = 0} =

= {¡' Е Ь + Ьте: п/(у) < +ж , для всех у > 0}.

Пусть для любой функции f Е Ь0 = Ь0(И+, т):

Dtf (х) := f (х/Ь) , 0 < х,Ь < ж

Тогда {Dt, 0 < Ь < ж} — группа ограниченных линейных операторов Dt: Е ^ Е на стандартном п.и. пространстве Е = Е(И+, т), соответствующем

Функция ¿е(Ь) := является полумультипликативной на (0, ж), то есть

¿Е(в + Ь) < ¿Е(в) ¿Е(Ь) для всех в,Ь. Поэтому существуют пределы

^Ь logЬ logЬ . logЬ рЕ := 11ш -- = вир -- , дЕ := 11ш --Г"ГТ = т*

tlog dE(t) t>i logdE(t) ' t^o logdE(t) o<t<i logdE(t)

которые называются нижним и верхним индексами Бойда п.и. пространства E (см. [12], [8] ).

3. Пространства Лоренца

Пусть W — неубывающая функция на [0, +ж), вогнутая на (0, +ж), такая, что W(0) = 0 и W(ж) > 0 для некоторых x > 0. Тогда W — абсолютно непрерывна на (0, ж) и ее производная W1 (ж) убывает при x > 0. Отметим, что может быть W(0+) > 0.

Пространством Лоренца называется множество

Aw = Aw(W,^) := {f Е Lo: \\f ||aw < +ж}

с нормой

со со

Hf haw ••= J f*(x) dW(x) = f*(0)W(0+) + / f *(x) W'(x) dx< to , 0 0

где предполагается, что (+to) • 0 = 0 (см. [12], [8], [9]).

со

Интеграл Стилтьеса J f*(x) dW(x) содержит слагаемое f*(0) W(0+) в случае,

0

когда W(0+) > 0.

Непосредственно из определения следует, что

• Aw С Lo, если W(0+) > 0;

• AW Э Lo, если W(+to) := lim W(x) < +to;

• AW = Lo, если W(0+) > 0 и W(+to) < +to.

Пространство Лоренца Aw является перестановочно инвариантным и интерполяционным между пространствами банаховой пары Li и Lo. Поэтому для любого T Е PAC T(Aw) С AW, и сужение T\Лш : AW ^ AW является сжатием:

\\Tfhaw < Hfhaw•

Как и всякое перестановочно инвариантное пространство, пространство Лоренца Aw является банаховой решеткой и подрешеткой решетки L0 относительно обычного частичного порядка на функциях.

Пространство L0 также является порядково а-полной, и вполне порядково полной решеткой, поскольку мера ц а-конечна. Это означает, что каждое порядково ограниченное подмножество F С L0 имеет наименьшую верхнюю грань \/ F Е L0 и наибольшую нижнюю грань Д F Е L0 (см. [8], [11]). Отметим, что

\J F = ess sup F, F = ess inf F.

Напомним еще, что последовательность {fn}00=1 элементов частично упорядоченного множества F называется (о)-сходящейся или порядково сходящейся к

f Е F (fn f), если существуют такие gn Е F и hn Е F, что

gn f f, hn I f, f = V gn = Д hn Е F.

n>1 n>1

Если F — а-полная решетка, то последовательность fn f Е F тогда и только тогда, когда множество {fn , n > 1} порядково ограничено в F и

f = VA fm = Д V fm Е F.

n> 1 m>n n> 1 m>n

Таким образом, для каждого пространства Лоренца Aw Ç L0(O, ß) имеем, что: (г). Aw является порядково полной подрешеткой порядково полной решетки

lo;

(гг). Последовательность {fn(о)-сходится в AW (fn ---К f G AW) тогда и только тогда, когда

(1) {fn , n > 1} порядково ограничено в AW (то есть \fn\ < g для всех n и некоторого g G AW ), и

(2) {fn}n=1 (о)-сходится в Lo (то есть fn ^ f почти всюду на (0,ß)).

Далее будут рассмотрены две взаимосвязанные задачи: Проблема 1. Пусть T G PAC. Описать подмножество

AW := {f G Aw : Atf }П=1 (о)-сходится в À№ }.

Проблема 2. Описать подкласс всех пространств Лоренца, таких что AW = Aw для всех T G PAC, то есть, для которых последовательность чезаровских средних {An,Tf }n=1 (о)-сходится в AW для всех f G AW и T G PAC.

Отметим, что последовательность {An,Tf }n>1 чезаровских средних

n-1

An,T f = -Y, Tk f

n

k=0

(о)-сходится в Aw тогда и только тогда, когда соответствующая доминантная функция BTf = sup An,T \f \ принадлежит AW, и последовательность {An,Tf }n>1

n> 1

сходится почти всюду на (Q,ß).

Будем говорить, что пространство Лоренца AW

1) удовлетворяет доминантной эргодической теореме (AW G VET), если последовательность чезаровских средних An,Tf является порядково ограниченной в AW, то есть BT f G AW для любой функции f G AW ;

2) удовлетворяет индивидуальной эргодической теореме (AW G lET), если последовательность чезаровских средних An,Tf является порядково сходящейся в Lo, т.е. сходящейся почти всюду на О, для любой функции f G Aw ;

3) удовлетворяет порядковой эргодической теореме (AW G OET), если

AW = Aw

для всех T G PAC, т.е., для любого f G AW и T G PAC последовательность чезаровских средних {An,Tf }n>1 порядково сходится в AW.

Заметим что AW G OET тогда и только тогда. когда AW G VET и AW G IET.

Пусть AW = AW(0,ß) пространство Лоренца на пространстве с мерой (0,ß), и Aw (R+, m) — соответствующее ему стандартное пространство Лоренца. Если функция f G (L1 + Ln)(0,ß) и f ** G Aw(R+, m), то f G Aw(0,ß).

Обозначим

(Aw)h = (Aw)н(П, ц) = {f e (Li + LX)(Q,») : f ** e Aw(R+, m)}

и положим \\f || (aw)h = \\f **\Uw .

Тогда пространство ((AW)H, \\ • \\(aw)h) является п.и. и (AW)H — замкнутое подпространство в AW.

Наша цель — найти подпространство (Aw)н.

Предложение 1. [12] Пусть AW — пространство Лоренца, (t) = \\Dt\\AW^aw и paw — нижний индекс Бойда. Тогда, следующие условия эквивалентны:

(i). (Aw)h = Aw.

(ii). Paw > 1.

1

(iii). / d\W(1/t) dt < то. 0

(iv). d^W(t) = o(t) при t ^ +то.

Отметим, что это предложение верно для любого перестановочно инвариантного пространства E.

Для пространств Лоренца AW функция d^W (t) имеет следующий вид:

dAw (t)= \\Dt f \\aw = Mw (t),

где

/ ч W(st)

Mw(t) = sup , 0 < s < то.

o<i<^> W (t)

Подпространство (Aw)h пространства Лоренца Aw и его нижний индекс Бойда paw легко вычисляется по функции W.

Теорема 1. 1) Пусть Awh = Awh(О,^) — пространство Лоренца, фундаментальная функция которого WH определяется однозначно из условий:

wh(0) = W(0) = 0 , wh(0+) = W(0+)

и

WH(x) = [ W (u) du< +то , x e (0, +то). J u

x

Тогда (Aw)h = Awh .

2) Индекс paw равен (fiW)_1, где (3W — верхний индекс растяжения функции W, который определяется следующим образом:

log Mw (x) W(xy)

pW = lim —-- , где MW (x) = sup .

log x 0<y<^ W (y)

3) ЛW С R0 тогда и только тогда, когда

W(+то) := lim W(x) = +то.

Теорема 2. Пусть — пространство Орлича и T Е PAC.

Тогда из f Е (L$)H следует, что доминантная функция BTf Е и

\\Bt f ||l, < \\f ||(l,)h •

Для любого пространства Лоренца Aw имеем:

Теорема 3. 1) Если f Е AWh и f *(+то) = 0, то последовательность средних An,Tf сходится порядково в AW.

2) AW Е OET тогда и только тогда, когда (3W < 1 и W(+то) = +то.

Более общий вид пространства Лоренца AW,q = AWq(О,^) определяется следующим образом:

i/q

Л

W,q

f еСа:

(f *(x))q dW (x)

< то

для 1 < д < то, где А^ 1 = Лщ•

Порядковая эргодическая теорема в пространствах Лщд при 1 < д < +то полностью аналогична случаю Лщ• Вообще говоря, второй индекс д не оказывает влияние на порядковую сходимость в Лщ9 •

Это легко увидеть на примере классических пространств Лоренца Ьр^:

Lp,q = If е So(0, то)

tp [fW J I < то

c нормой:

1

\ q

tP [f *(t)]q J

где 1 < p < <x>, 1 < q < <x>, q ^ p. Вычислим \\Dtf \\l„„.

Ш Ik

tp

f *(U)

q du ~t

u

— = s, u = ts t

Aw

q

L

i i

q

= tp\\f \\Lm.

Следовательно

\\А\\ьм = tp.

Список цитируемых источников

1. Birkhoff G. D. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1931. — No. 17. — P. 656-660.

2. Braverman M, Rubshtein B, Veksler A. Dominated ergodic theorems in rearrangement invariant spaces // Studia Mathem. — 1998. — No. 128. — P. 145-157.

3. Dunford N., Schwarts J. T. Convergence almost everywhere of operator averages // J. Rat. Mech. Anal. — 1956. — No. 5. — P. 129-178.

4. Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes — Cambridge: University press, 1992. — 430 p.

5. Hardy G. H., Littlewood J. E. A maximal theorem with function-theoretik application // Acta Math. — 1930. — No. 54. — P. 81-116.

6. Krengel U. Ergodic Theorems — Berlin: de Gruyter Stud. Math., 1985. — 357 p.

7. Lindenstrauss J.,Tzafriri L., Classical Banach Spaces I. Sequemce Spaces. Springer, 1979.

8. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Function Spaces, Berlin: Springer, 1979. — 327 p.

9. G.G. Lorentz. On the theory of spaces gL. Pacific J. of Math., 1(1951), 411-429.

10. Weiner N. The ergodic theorem // Duke. Math. J. — 1939. — No. 5. — P. 1-18.

11. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ — Москва: Наука, 1977. — 742 с.

12. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов — Москва: Наука, 1978. — 400 с.

13. Муратов М. А, Пашкова Ю. С., Рубштейн Б. А. Доминантная эргодическая теорема в симметричных пространствах измеримых функций для последовательности абсолютных сжатий // Ученые записки ТНУ. — 2003. — Т. 17(56), № 2. — C. 36 - 48.

14. Муратов М. А., Рубштейн Б. А. Аналоги доминантной эргодической теоремы в перестановочно-инвариантных пространствах // Ученые записки ТНУ. — 2004. — Т. 18(57), № 1. — C. 43 - 51.

Получена 13.06.2010

\ts)p [f W ^

1 t p

(s) p [f *(s)]q S

q