Доминантная эргодическая теорема в пространствах Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика» Том 22(61) № 1 (2009), с. 85-91.

М. А. Муратов, Ю. С. Пашкова, Б. А. Рубштейн

ДОМИНАНТНАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА

В настоящей работе доказывается аналог доминантной эргодической теоремы для абсолютных сжатий в пространствах Лоренца измеримых функций на положительной полуоси. Используются методы теории симметричных пространств измеримых функций в пространствах с бесконечной мерой.

1. Введение

Одним из направлений исследования общей эргодической теории является изучение асимптотического поведения и условий сходимости Чезаровских средних для различных классов операторов в банаховых пространствах. Важнейшие из полученных результатов были названы эргодическими теоремами (см. например, [5], [7], [9] — [12], [15] — [17]). К числу таких теорем относится доминантная эргодическая теорема

Теорема 1. (ДЕТ) Пусть (Q, A, у) пространство с мерой и T — положительное (L1 — Ьж)-сжатие. Тогда для любой неотрицательной измеримой функции f имеет место неравенство

\\Btf||р < -PT\\f ||p (1 <p< «>), p — 1

n— 1

где Bt f = sup П £ Tk f.

n>1 k=0

В работах [2] — [4] и [6] рассматривались аналоги доминантной эргодической теоремы для абсолютных сжатий в симметричных пространствах измеримых функций на отрезке [0,1] и на полуоси [0, +го).

В данной статье доказывается аналог доминантной эргодической теоремы для абсолютных сжатий в пространствах Лоренца.

Мы будем использовать обозначения и терминологию из [1], [6], [8], [13], [14].

2. Предварительные сведения

Пусть ^ - мера Лебега на полупрямой [0, те) и 5(0, те) пространство всех измеримых по Лебегу почти всюду конечных функций на (0, те).

Функцией распределения функции / называют функцию nf, определяемую для любого т € (0, +те) равенством:

Щ(т) = п^|(т) = ^ € (0, те) : |/(*)| > т}.

Обознчим через 50(0, +те) подпространство функций из 5(0, +те), для которых функция распределения nf(т) ф +те.

Убывающей перестановкой функции / € 50(0, +те) называется убывающая непрерывная справа функция /*, равноизмеримая с функцией /(¿). Функция /* имеет вид:

/ *(*) =1п! {т € (0, те): nf(t) (т) < *}.

Определение 1. Банахово пространство (Е, У ■ ||е) функций из 50(0, +те) называется перестановочно инвариантным или симметричным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

51°. Если / € 5о(0, +те), д € Е и |/(¿)| < |д(£)| почти всюду на (0, +те), то / € Е и ||/(¿)||е <||дЮНв.

52°. Если / € 50(0, +те), д € Е и /*(*) = д*(*), то / € Е и ||/(¿)||е = ||д(^).

Как известно, симметричными пространствами являются пространства Ьр, Ор-лича, Лоренца, Марцинкевича и многие другие.

Известно, что любое симметричное пространство (Е, || ■ ||е) является промежуточным между Ь1(0, +те) и Ьте(0, +те), то есть

Ь1(0, +те) П Ьте(0, +те) С Е С Ь1(0, +те) + Ьте(0, +те).

Для каждой / € Ь1 (0, +те) + Ьте(0, +те) рассмотрим функцию

г

/**(^) = 1У /* * € (0, +те).

0

Определение 2. Положительный линейный оператор

Т: Ь1+ Ь оо Ь1 + Ь оо

называется положительным (Ь — Ьте)-сжатием или абсолютным сжатием, если 1°. Т действует в Ь1(0, +те) и Ьте(0, +те); 2°. ||ТЦь^Ь! < 1, ||ТЦь^ь,» < 1.

Обозначим, как ив [6], множество всех положительных (Ь1 — Ь^)-сжатий через .

Для Т £ РС положим:

п— 1

Вт/ = 8ПР - £ Тк|/1.

Пусть (= 0) — возрастающая вогнутая функция на [0, те) и -0(0) = 0. Множество

/ (Ь) £ 50(0, те): ||/||л^ = I / * (^)й-(^) < те

о

называется пространством Лоренца

Пространство Лоренца Лф является симметричным пространством. Рассматривается и другой класс простанств Лоренца:

-р,* = 1 / £ 50(0, те) : (| Ьр [/*(Ь)]*| | < те 1 ,

с нормой:

ч

1

оо

\р [/*(*)]« I

о

где 1 < р < те, 1 < д < те, д ^ р.

Пространства Лоренца Ьр,д также являются симметричными пространствами. Заметим, что справедливо следующее соотношение:

—р,р — —р.

3. Доминантная эргодическая теорема Рассмотрим для любого т > 0 оператор растяжения ат: 5(0, те) ^ 5(0, те)

^т/(*) = /(;*), т > 0.

Как известно, операторы ат ограниченно действуют в любом симметричном пространстве Е ([1]).

Вычислим норму ||ат для пространств Е = Ьр,д и Е = Лф.

Напомним, что функцией растяжения положительной всюду конечной функции ф(Ь) на полуоси (0, те) называется функция

Ф( яЬ)

Мф (я) = 8ИР -, 0 < 8 < те.

• Вычислим ||оу f \\Lp .

Wt f Wlp , q =

tq

f (-) 1 q dt q

=

T T

t

— = s, t = TS T

"(ts) p [f *(s)]q Tds

Lo

= T p

(S)p [f *(S)]q у

o

= TP If |\Lp

Следовательно

1

\K\\Lp , q = T P .

1

Отметим, что для E = Lp Цоу\\lp = tp. Рассмотрим теперь Цоу f \\л^:

t

- = s, t = t s

T

\Kf \\л, = J f * (#(t) =

= J f*(s)d^(rs).

Так как

то

a a

I #(ts) = #г0), У #(s) = ^(0), o

a

j #(ts) = ^(t0) = ^#9) =

^(t 0)

a a

oo

По свойству перестановок (см. [1], гл. II, § 2.) имеем:

КfНл* < sup f(s)#(s) = Мф(T)\f\\л,.

o

С другой стороны,

,, ,, . W°V X(0,i)\U^ 0

\К\\л^ ^ sup ^^-п-= sup

/x*o,t)(s)d^(T s)

kj »-Ч.^ I. || - kj

t>0 \Х(0,4)\л^ t>0

IX*o i)(s)d^(s) 0

t

/#(rS) к

0 ^(Tt) , , , ч

= sup —- = SUp 777\~ = Мф (т).

t>0 t>0 ^(t) ф J #(s) 0

Следовательно

У^т Ул^ = Мф(т).

Для симметричного пространства Е положим:

1

¿ё = 1 ¿т.

I т

о

Для пространства Лоренца —Р)(? с р > 1 имеем:

1 1 1 = / 1 К,, Йт = У Р Йт =

оо

1 1 1 f — т1—p = т p ат = -г

J 1 — Р

0 p

1—Р

p т p

— iim

p — 1 T ^+0 1 - 1 '

0 ^ Р

Так как p > 1, то 1 — Р > 0, и

1 > о, и

p

^ = p-1'

Следующая теорема, представляет собой аналог доминантной эргодической теоремы в пространствах Лоренца Лф.

Теорема 2. Если ||ат||л^ = о(т), при т ^ те, Т £ РС и / £ Лф, то Вт/ £ Лф и

||Вт/||л* < ||/**||л^ < ^||/||л^.

Доказательство. Так как ||о>||л^ = о(т) при т ^ те, то оператор Харди г

Н/(Ь) = -1/ /(8) ^т ограниченно действует в Лф ([1], теорема 6.6). Следовательно, о

если / £ Лф, то /** = Н/* £ Лф. Тогда, в силу теоремы 3 [2] Вт/ £ Лф и

||Вт/||л* < ||/**||л^.

Далее,

г г

/**(*) = */ /= I я = т* | = * I /*(т*Мт*) = оо 1 1 1

1

= 1/ f*И) ¿ат = у f*(т^т = J aif*(^т. 0 0 0

1

Следовательно

1

\\f **\\л. < / \и\\л. dT

1

л

= I \ki \\л.dT

= ¿л.

Заметим, что

¿л. = I Пл. dT < те

□

при

Ц^уПл. = o(t), t ^ те. Для пространства Лоренца Lp,q, имеет место аналогичный результат:

Теорема 3. Если p > 1, f G Lp,q, и T G PC, то BTf G Lp,q и

HBT f \Lp,q < \\f * *\Lp,q < P

Доказательство. Пусть f G Lp,q. Так как

\f

то f * * G Lp,q и по [2]

<

1

/ H* 1 \Lp,q dT •\f *

P — 1

<

p - 1

Lp,q < те,

\\Bt f\\Lp,q < \\f * *\Lp,q < P

p — 1

Lpq ( при P > 1 ).

□

Отметим, что формулировка полученного результата согласуется с формулировкой классической доминантной эргодической теоремы в пространствах Ьр, приведенной во введении.

Список литературы

[1] Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов — Москва: Наука, 1978. — 400 с.

[2] Муратов М. А, Пашкова Ю. С., Рубштейн Б. А. Доминантная эргодическая теорема в симметричных пространствах измеримых функций для последовательности абсолютных сжатий // Ученые записки ТНУ. — 2003. — Т. 17(56), № 2. — С. 36 - 48.

[3] Муратов М. А., Рубштейн Б. А. Аналоги доминантной эргодической теоремы в перестановочно-инвариантных пространствах // Ученые записки ТНУ. — 2004. — Т. 18(57), № 1. — С. 43 - 51.

[4] Муратов М. А., Пашкова Ю. С. Доминантная эргодическая теорема в пространствах Орлича измеримых функций на полуоси // Таврический вестник информатики и математики. — 2006. — № 2. — С. 47-59.

*

л

л

т

1

т

p

L

L

Birkhoff G. D. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1931. — No. 17. — P. 656-660.

Braverman M, Rubshtein B, Veksler A. Dominated ergodic theorems in rearrangement invariant spaces // Studia Mathem. — 1998. — No. 128. — P. 145-157. Dunford N., Schwarts J. T. Convergence almost everywhere of operator averages // J. Rat. Mech. Anal. — 1956. — No. 5. — P. 129-178.

Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes — Cambridge: University press, 1992. — 430 p.

Hardy G. H., Littlewood J. E. A maximal theorem with function-theoretik application // Acta Math. — 1930. — No. 54. — P. 81-116.

Hopf E. On the ergodic theorem for positive linear operators //J. Reinc. Ang. Math. — 1960. — No. 205. — P. 101-106.

Hopf E. The general temporally descrete Markov process //J. Rat. Meca. Anal. — 1954. — No. 3. — P. 13-45.

Kakutani S. Iteration of linear operations in complex Banach spaces // Proc. Imp. Acad. Yokyo. — 1938. — No. 14. — P. 295-300. Krengel U. Ergodic Theorems — Berlin: de Gruyter Stud. Math., 1985. — 357 p. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Function Spaces, Berlin: Springer, 1979. — 327 p.

von Neumann J. Proof of the qlasiergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1932. — No. 18. — P. 70-82.

Weiner N. The ergodic theorem // Duke. Math. J. — 1939. — No. 5. — P. 1-18. Yosida K. Mean ergodic theorem in Banach Spaces // Proc. Imp. Acad. Yokyo. — 1938. — No. 14. — P. 292-294.

У данш робота доведено аналог домшантно'1 ергодично'1 теореми для абсолютних стисюв у просторах Лоренца вим1ршх функцш на додатнш нашвось Використовано методи теорп симетричних простор1в вим1рних функцш на просторах з необмежен-ной м1рой.

In the present work we study conditions under which Dominated Ergodic Theorems hold in Lorenz spaces for a positive contraction on positive semiaxis. The method's of the rearrangements invariant spaces was used.