CC BY
15
УДК 517.944
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ МОДЕЛЕЙ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С МАЛОЙ ИНЕРЦИЕЙ ПРОДОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ. 2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
© 2005 г. В.И. Седенко, С.А. Батыгова, Е.В. Сердюкова
Oscillation model of the sloping casings for a long time attracted the attention of scientists as the means of getting theoretical information and applied calculations for practical engineering objects. This article proves the theorem of existence of the generalized solutions of the Marguerre-Vlasov's oscillation model of the sloping casings with the weak inertia of the longitudinal transfers of the casing's middle surface points from the materials with inner friction and with hinge-fixation of the casing's edge.
Настоящая статья является прямым продолжением [1], обусловленным ограничением на объем публикаций. Обе статьи имеют общую структуру и единую нумерацию утверждений и формул.
4. Теорема единственности обобщенных решений. Начало доказательства Теорема 2. в условиях теоремы 1 обобщенное решение т единственно.
Соотношение для разности двух решений. Как обычно, в начале доказательства теоремы единственности решений предположим, что существуют два решения и ■ с одинаковыми данными. Пусть
w0 = w1 - w2, u0 :
u1 - u2, v° = vl - V2.
Доказательство. Поскольку ре Н2 (О),
) = 1,2,..., то в интегральном соотношении (17) мы
можем положить w'(х, /) = Р) (х)в(1), где финитна
и непрерывно дифференцируема на [0,Т]. Согласно определению обобщенной производной, получим (18) и (19). Лемма доказана.
3. Основное интегральное неравенство. Положим
II2 1 || 0||2
112(О) 2 II
+ 1И<2(О)
#(') = 21 w0(0)||2
lff22(Q)
dr.
№ (12) голу™ следующее интегральное cwnronKHra Лемма 7. Для всех t е [о,T] имеет место сле-
- w0 wj + DAw°Awl + SV2 w0 V2 wj + + ((Nj - N?)kj + (N2 - N22)k2)w> + + ((Nj - N12)wj.j + N2w04 + + (Nj2 - N122)w12 + NJ2w02)w1i + + ((Nj2 - N122)w1Xi + N^ + + (N1 - N22)wj2 + N22w02 )wj2
dx +
дующее неравенство £(t) <a1 J 2 Ai (r)dr, где c1 не
0 i=1
зависит от времени. Величины Ai (t) имеют следую-
[dt = 0 (17)
щий вид: A (t) = w0 (t )w°
il(Q)
A2(t) = S
i, j,k=1
w0. (t)wj (t)w0(t)
xk
i!(Q)
Г/ dwt 0 dwl
] (м +1) X (D---+ 8—t---^
0О dn dn dn dn
2. Однородная задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения а>° по собственным функциям краевой задачи (11).
Поскольку (х, t) е Н\ (О) для почти всех
ад
t е [0,Т], г = 0,1,2 , имеем w1 (х,t) = £а)(0р; (х),
1 =1
г = 0,1,2, причем а0 (0 = а) (0 - а) (0, ) = 1,2,...
Лемма 6. Для всех) = 1, 2,... а)(t) обладает на
[0,Т] второй обобщенной производной, причем для почти всех t е [0, Т] имеет место уравнение
A3 (t)=s у И0 (t)wt0 (t)| i1(Q)+1 к (t)wt0 (t)|
li1(Q)/
A4« = s
i, jk=1
w0(t)w' (t)w°Xk (t)
As(t) = S
i,j,k=1
A6(t) = S
i, j,k ,l
A7(t) = S
i, j,k ,r =1
w! (t)wX. (t)w0Xk (t)
L!(Q)
¿1С")
wj (t)wkXl (t)w°r (t)wj (t)
¿1(")
,((R (()
, wX ((
¿1 (d)
+
К, ((R (() wXr (t)
¿1(Q)
&0 (t) + S rid 0 + m]a 0 = fj (t) i=1
с начальными данными: a j (0) = a j (0) = 0,
((N1 - N?)ki + (N2 - N22)k2)^j +
(18)
Ag (t) = S
i, j,k,r=1
К (t)wXk (t), w^ (t))
¿1(")
fjw=-! d
+ ((N1 - N12)wj1 + Nf wj1 + (N12 - N¡2 )WX2 + N12wX2)^jx1 + + (N2 - N122)wX1 + N^ + (N2 - N2 )wj2 + N22w°02)^jx2
r^.,0
r^.,0
dx (19)
+|к а< а),<(t))|А(а)^.
Доказательство. Умножим (18) на а0 (0 , просуммируем по ) от 1 до к, проинтегрируем результат по t от 0 до t и перейдем к пределу при
T
0
и
+
t=t
к ^ . Используя теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получим:
2 1 II nll2
+- Dw0 ~2 +
l2(q» 2 II Ия 2(Q)
Ц W0(0)||
4И(г4^ dT=\M (T)dT
+
2
о" "ff2(Q) о Классифицируя нелинейные слагаемые, входящие в
w0(t)w,0(t) < w0 II IIl2(Q) II
2
(t)ll лw0(t »II
L2(Q)
В силу (4) для всех г е [0,Т ] выполняется
|к0(/)|2 <С2||др0(г)||2 = С2 Г(Дм>0(г))2ёх< II \\ь2ц II \\ь2а Ц
< 2С2 Г((^(г))2 + (^(г))2)ёх<
2С 2
< -;-\ ((1 - м)Кч (t))2 + (1 - M)(w02 x2 (t ))2 )dx <
1 - И Q
2С 2
< f-\((1 -^)(w01x1)2 + 1- И Q 11
Mq
+ (1 - M)(w0,x, )2 + 2(M + 1)(w° )2)dx =
2С2 I
1 -m'
■et )||
H2(Q)'
Таким образом, имеем: р
Il2q
< cjw0|| , где 41 IIh2(Q)
константа С1 не зависит от г. Следовательно,
■I2 и „ ■■ 2
Ax(t) < 2(q2||w0
~2 + wt h2(q) ii t
L2 (Q)
)<^2#(t),
где
wo; (t )w'xt (t )w0(t)
Lj(Q)
< wo
< wo
L2(Q)
L2(Q)II
w]Xk (t)w0 (t)
h4(q)II
L2(Q) ,,0
h4(q)
wt (t)|| l2(qJ| ^ (t )| H2(Q)| |w 0(t)||
w0(t l2(qJ| w0(t H 2(Q)
h2(q)
<-б| wt
+ w
H2(Q)
состав М(г), получаем неравенство М (г) <ст1 £ А (г),
г=1
где константа о1 не зависит от времени г. Тем самым лемма доказана.
4. Оценки величин А^ (г), - = 1,8. Лемма 8. Для всех г е[0,Т] имеет место неравенство: А1(г) < с2 •^(г), где константа о2 не зависит от времени г.
Доказательство. В силу неравенства Шварца и Юнга:
\\12(П) II
Лемма доказана.
Лемма 10. Для всех г е [0, Т ] имеет место неравенство А3 (г) < а7 • ^(г), где константа 07 не зависит от времени г.
Доказательство. Используя неравенства Шварца и Юнга, имеем:
Iм0-^>1 ^ +1К^ ^ <
< I \\и
L2(Q)
+ v;
, „w0(t) <
l2(Q)) II IIl2(q)
< wo
L2(Q)
+
L2(Q)
+ vx
L2(Q)
< I|w0(t)|| +||vm(
II ' IIl2(Q) II
+ VV 0(г) . (20)
¿2(П) II 1^2(П)
Отметим, что м0 и о0 - решение краевой задачи
(2), (4) при очевидных правых частях уравнений (2) и
(3). Используя известную оценку решений из [2, с.765], имеем:
Ib 0(t)ll L(q)+IK(t »II L
)(t»IIH2(Q)- (21)
|^2(П) II 11£2(П) II 1Ш2(П)
В силу (20) и (21) лемма доказана. Лемма 11. Для всех г е [0,Т] и любого е >0 имеет место соотношение:
А4(г) <е||)|| 2 +а9е- •%(€), где константа
11 п Н2 (о)
09 не зависит от времени г.
Доказательство. Используя неравенства Гельдера,
ограниченное вложение Н 2(Ц) в (Ц), неравенство Юнга, и учитывая (4), получаем:
w' (t)wlk (t)w0(t)
Lj(Q)
< wl
< w
L„ (Q)
w!Xi (t)w0k (t)
'<' »II
L„ (Q)
w' (t)
w
Lj(Q) 0
L2(Q)ll
txk
L2(Q)
константа о2 не зависит от времени г. Лемма доказана.
Лемма 9. Для всех г е[0,Т] имеет место неравенство А2 (г) < а3 • £(/), где константа о3 не зависит от времени г.
Доказательство. Используя неравенство Гельдера, теорему вложения Н|(Ц) в Н4(Ц), неравенство Юнга и дифференциальные свойства обобщенных решений, получаем:
0
(t )||
h2(q)
wxj(t»
1 n"t Hi(Q)ll
(t)ll h4( <
llH'4(Q)
w 0(t i h2(qJI w0
h2(q)
< e\\w
«II
2 +е"1ст9 w0(t»L2 < h2(q) II IIh2(q)
< \w
2 +e-l^(t).
H2(Q) 9
Лемма доказана.
Лемма 12. Для всех г е [0,Т] и любого е >0 имеет место неравенство
А5(г) <£||(г) 2 +&12е •^(г), где константа II 11Н2(Ц)
012 не зависит от времени г.
2
2
2
2
Q
2
w
2
2
2
w
Доказательство. Используя неравенства Гельдера, ограниченное вложение Н2 (О) в (О) , неравенство Юнга, и учитывая (4) имеем:
<
w° (t)< (t(t)
il(Q)
< w
L„ (Q) 2
< (t)
L2(Q)
<1WX(t H 2(q) + ^12^)-
место неравенство A6 (t) < 1 w0
h2(q) 13
где константа а13 не зависит от времени t.
Доказательство. Используя неравенства Шварца,
ограниченное вложение Н2(О) в Н4(О), неравенство Юнга и учитывая (4), получаем:
w]Xl ^К ^^^)| ^ (О) <
<1 и «и н4(о)1 к (t \ н4(оЛ w 41 н4(оЛ ^ \ ^ <
<ст^^lw0(t^н2(О)llwt0(tJ <
h2(q)
<1wX(t)l2(Q) +1_1ctJIwX "2
'13
'<t »II
h2(q)'
Лемма доказана.
Лемма 14. Для всех t е [0,Т] и любого е >0 имеет место следующее неравенство:
+ ст15г -1
нн2(о)
^15 не зависит от времени t.
Доказательство. Используя неравенства Гельдера,
ограниченное вложение Н2 (О) в Н4(О), неравенство Юнга и учитывая (4), имеем:
u*Xj ((R ((R (()
L1(Q)
u'xj (t)
<с1б w
L2(Q)II
~2 \Wt h2(Q)II 1
1 \Wt H4(Q)II '
h2(q)
h4(q)
< e\\w
(t)
h2(q)
, -1 x + \ C15 w
h2(q)
<1 wx ((
h2 (q)
+ s C
Лемма доказана.
Лемма 15. Для всех t е[0,Т] и любого е >0 имеет
место неравенство: A8 (t) < 1 wt
~2 +&17S-1 -£(t),
H2(Q) 17
Лемма доказана.
Лемма 13. Для всех г е [0,Т] и любого е >0 имеет
где константа а17 не зависит от времени t.
Доказательство. Используя неравенство Гельдера, ограниченное вложение Н2 (О) в Ь4 (О), неравенство Юнга и учитывая (4), имеем:
<
К (t)' w'k (t)w°K
L1(Q)
<1U (t)llh>2(qJW (t1 H4(Q)IIW (t 1 H4(Q) <
<41 wX(t)l H2(qJI wX(t)ll
llH2(Q)l|Wi
h2(q)
< 1 wtx
< 1 wt
h2(q)
+ 1 CC 7w
h2(q)
(t)
2 +Cl7s-1#(t).
H2(Q) 17
A7(t) <1 wx(t)|~2 +с151 1 -#(t), где константа II IIH2 (Q)
Лемма доказана.
Лемма 16. Для всех t е [0,Т] имеет место сле-
t
дующее неравенство: ^(t) <ст19 \^(т)dт, где констан-
0
та С19 не зависит от времени 1.
Доказательство следует из лемм 7-15 для достаточно малого е >0.
Лемма 17. Для всех г е [0,гf] £(/) = 0.
Доказательство следует из неравенства леммы 16 после применения оценки Гронуола.
Литература
1. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 1. С. 28-32.
2. Ворович И. И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР. Математика. 1957. Т. 21. № 6.С. 747-784.
Ростовский государственный экономический университет
6 июля 2004 г.
2
2
2
w*.. tll <
Г
L
2
2
2
2
2
X
w
