CC BY
15
УДК 517. 917
4 -
РАЗРЕШИМОСТЬ В H2 (Q) КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ШАРНИРНОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ КРАЯ ОБОЛОЧКИ
© 2006 г В.И. Седенко, В.А. Мартынов, С.А. Батыгова, Д.Б. Давтян, Т.В. Богачев
In this paper we proof the solvability boundary value problem for the biharmonic operator with the fixed edge boundary conditions of the type of hinge.
Краевая задача
Пусть Q - ограниченная область на плоскости с четырежды дифференцируемой границей Г, имеющей ограниченные четвертые производные; х - кривизна контура Г. Рассмотрим на Q следующую краевую задачУ:
Д2^ = f (1)
w г =
^ d 2 w dw ^ TT
к dn dn
= 0, (2)
где п - направление внешней нормали к Г; ц - упругая постоянная, 0 < ц < 'А. Краевые условия (2) соответствуют условиям шарнирного закрепления края оболочки в модели Маргерра-Власова.
Основные результаты
Сначала нами будет получено неравенство коэрцитивности для краевой задачи (1), (2).
4
Теорема 1. Пусть ^еЯ2(Ц) является решением краевой задачи (1), (2). Тогда |М|Д4(0) < ^Цд2, где константа С зависит лишь от области О
и от ц.
Далее мы докажем теорему разрешимости.
Теорема 2. Пусть /е£2(Ц). Тогда существует единственное решение
4
^еЯ2(Ц) краевой задачи (1), (2).
Доказательство теоремы 1
4
Лемма 1. Пусть ^еЯ2(Ц) и удовлетворяет краевым условиям (1), (2). Тогда имеет место следующее соотношение:
Aw
г=Х(И + l)f| г-
Доказательство [1, 2].
В расчете на перспективу доказательства теоремы 2 мы докажем следующий, более общий результат.
4
Лемма 2. Пусть w еН2 (Q) и удовлетворяет граничным условиям
wir = 0, Aw| T=a(ju + l)x<ddW\г+ g|г ' (3)
2
ae[0,1], geH2(Q). Тогда
Г|1н24 (Q)
* С 0|Д2 1 (о)+Ии| (О))' (4)
где константа С зависит лишь от О и от ц и не зависит от а. Доказательство. Введем функцию и следующим образом:
С д— = и, — г = 0,
Ди = Д2 w,
г=а(ц + 1)Х—\г + г .
Тогда, согласно неравенству коэрцитивности для оператора Лапласа [3, с. 179-180], получаем
Ни (О)* С1 Ни 2 (О), (5)
где константа С1 зависит лишь от О. Далее опять-таки из неравенства ко -эрцитивности для оператора Лапласа [4, с. 217]
НИ!(О) * С2 (||Д42(О) +И1и22(О) +1А22(О) +\и\\ь2(О)), (6)
где ф - любое продолжение в Н2(О) функции а (ц +1) х ——. Константа С2
ёп
зависит лишь от области О. Положим ф = а(ц +1) , где х - продол-
—п
жение кривизны х в О до функции той же гладкости, финитной вне малой окрестности г. Тогда из (5), (6) получаем
Н1я4 (Q) * С3 [||A 2 w\[2 (Q) +1 П\Н 23 (Q) +1 П\Н 22 (Q) +1 НН 22 (Q)}
Согласно мультипликативным неравенствам вложения Гальярдо-Ниренберга, имеем
l i
IIHIhi (q) * c4 Nl^ (q)I wllH24 (q) , откуда получаем
IMIh 24 (Q) * ^ (IK HL2 (Q) +1 IHIh 22 (Q) + 14^ (Q)j, (7)
где константа С5 зависит лишь от О и ц. Остается оценить Ы1 _2,_ч. Ин-
II ИЙ2 (О)
тегрируя два раза по частям, учитывая граничные условия (3) так же, как в [1, 2], с учетом результатов из [4, с. 273], имеем
(д2м>,= -а(ц +1) I X — | ds + ¡(Ам>)2 dx- Гgdwds = V К (О) ^ Т'Ч dn) О Г dn
= IГ + ^ x2 + 2 (1 - а (ц +122 2 Wx2 X2 + (8)
О
+2а (ц+1) ] ^ - Г g ^dnnds, откуда и получается оценка для (О), поскольку
< C6 |7д2w, ^ +| g — ds 1,
6 ^ )ь2(О) Г*5 dn )
1Мк (О)< МН (О),
||2
IH22 (q)
(9)
Г V dn )
^ IHHi (q) ,
и, кроме того, используя [4, с. 215] и непрерывность вложения H2(Q) в ^2(Г), имеем
1
ds
, Г v dn )
) (10)
1 2
Ig2 ds * ^9 ||g||H22(Q).
Теперь (7) - (10) дают (4). Лемма 2 и теорема 1 доказаны.
Доказательство теоремы 2
Лемма 3. Краевая задача
A2w = f Aw|r = g|r, w|r = 0, (11)
2 4
для любых feL2(Q) и geH2(Q) имеет единственное решение weH2(Q), причем справедлива оценка
Мй2 (Q) ~ C (lf\\Ll (Q)+|\g\Hi (Q)) , (12)
где константа C зависит лишь от Q.
Доказательство. Краевая задача (11) эквивалентна решению пары задач Дирихле
[Aw = u, Ja (и - g) = f-Ag,
И Г = a J(u - g )| г = 0,
22
имеющих решения weH2(Q), ueH2(Q) [4, с. 285]. Тогда так же, как в (5), (6),
INh24(Q) * C1 IHIh2(Q) ,
HIh22(Q)* C10 (llA\l2(Q)+l|g|lH22(Q))
(13)
Теперь (12) следует из (13). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть краевая задача
A2 w = 0,
dw i
Aw| г =ао ( + 1)х~\г + g| г, dn
w| г= 0
(14)
2 4
при £еН2(О), 0 * а0 < 1, имеет единственное решение — еН2(О), причем
ни* (о)* сы\и1 (о). (15)
Тогда существует 50 = 80(С) > 0, не зависящее от а0, g, —, такое, что краевая задача
A2 w = 0 Aw
dw,
г = (а0 +8)(м + 1)X"dnl г + g| г,
(16)
w г = 0
имеет решение —еН2(О) при любом 5, 0 < 5 < 50, причем справедлива оценка
N1^4 (О)* СЫ1н22 (О). 4
Доказательство. Пусть —0еН2(О) - решение задачи (14). Построим
4
последовательность —кеН2(О), кеЫ, как решения задач
A2 wk = 0,
Awk
dw
dwk-1
г=а0 ( + 1)x~dn^\г + S( + 1)x-dnTL|г + g
dn
(17)
wk г = 0,
имеющих решения в силу условия леммы 4. Из (17) следует
д 2 (—к+1 - —к )=а
д( М ( , Л — (—к+1 - —к )| , 5( , 14 — (—к - —к-1) I (18)
Д(—к+1 - —к)г =а0 (ц + 1)х-—п-|г+5(ц + 1)х-—п-1г> (18)
(—к+1 - —к )) = 0 Тогда из (19), используя (15), получаем
Н+1 - —к||и24 (О) * С1к+1 - gk ||и 2 (О) * Си8\—к - —к-1|и23 (О) .
Пусть 50 =
2C„
тогда при 0 < 5 < 50
wk+i - wk
IH," (Q
- ilb - wo||
H"(Q) '
1
Г*- ^+Ли4(О) * 7тIГ - НО , р е
что обеспечивает фундаментальность последовательности в простран-
4 4
стве Н2(О) и существование предельной функции wkеH2(Цl, т.е. в
4
Н2(О). Предельный переход в (17), возможный в силу теорем вложения, дает разрешимость задачи (16). Оценка (15) является следствием оценки (4) леммы 2. Лемма доказана.
4
Доказательство теоремы 2. Пусть w0еH2(О) - решение краевой задачи
Д2 Wо = / Дw0 I г = 0
"0 г
= 0,
существующее в силу леммы 3. Применяя лемму 4 конечное число раз, получаем разрешимость задачи
Д2 w1 = 0 Aw1
г = С + ^ '+«< +1>*£| г,
w,
1 г
= 0.
Тогда w = w0 + w1 удовлетворяет краевой задаче
Д2 w = f Aw
< л\ dw.
w| г= 0.
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 1. С. 28-31.
2. Седенко В. И., Мартынов В.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск.
3. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения. М., 1971.
4. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1973.
Ростовский государственный экономический университет
31 января 2006 г
1
