Единственность обобщенных решений начально-краевых задач моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с шарнирным закреплением края Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.944

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛЕЙ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ

© 2008 г. С.А. Батыгова, В.И. Седенко

In this paper we proof the uniqueness theorem for generalized solutions of initial-boundary problems for the Marguerre-Vlasov vibrations of shallow shells with clamped boundary conditions of type of the hinge.

Начально-краевая задача

Предположим, что оболочка проектируется на плоскую ограниченную область Г2 с границей Г € С1. Поперечное перемещение у/ точек срединной поверхности оболочки удовлетворяет уравнению

рИм>а - у£м„ + -ОЛ2^ + 3&1м>1 =

= Z+ N,w + 1

^12 ^

+ N„w -N,k -N.k.

12 ь 11 2 2

X!

с краевыми условиями шарнирного защемления

w

rd2w dn2

■MX'

dw dn

.=0,

(1)

(2)

где п - вектор внешней нормали к Г. В (1) р - массовая плотность оболочки; 1г - высота; Г) - изгибная жесткость; у- константа, пропорциональная 1г. 7. - поперечная составляющая массовых сил, действующих на оболочку; Ы2, М2 - продольные усилия в оболочке, выражающиеся через характеристики деформации срединной поверхности еь е2, е12:

-1 2 -1 14; = Ек 1 - /и ех + це2 ,~Ы2=Еп 1 - ¡л е2 + ¡лех ,

(3)

где Е и /и е | - упругие постоянные. В свою очередь еь е2, е12 выражаются через продольные перемещения и и V, через поперечное перемещение срединной поверхности оболочки V и через кривизны кь к2, которые считаются непрерывно дифференцируемыми, по следующим формулам:

7 1 2

s, = и + kw ч—W

1 Xj 1 2 Х1

; 1 2

ff, = V + knw + — w

I x2 i 2

(4)

+ßWxx WX I + Wx,x Wx + Wx, Wxx + X ,

v„-S2AVi-AV-

1 + Az

1 -JU 2 \-ß

+MWxlx2 WXt ] + Wxtx2 WXt + WxA Wx2 + Y

Г Lw +Wrrwr + U k.W +

L z л, X2X2 x2 ' '

u\T = v|r = 0.

(5)

(6)

Здесь X, 7 - продольные составляющие внешних сил, действующих на оболочку; ЗА2м'1, -¿¡¡Ли,. -52Ау{ моделируют внутреннее трение в оболочке; в — и^ + . Начальные условия имеют вид

м> х,0 =м>0 х , м>1 х,0 = м?1 х , и х,0 =и0 х , и, х,0 =щ х , (7)

V х,0 = у0 х > V, х,0 = ^ х > хеГ2.

Предполагается в дальнейшем, что массовая плотность и линейные размеры измеряются в таких единицах, что имеют место соотношения рЬ —1,

2 рЕ-1 \ + ц =1.

Относительно начально-краевой задачи (1)-(7) с жестким закреплением края оболочки см. [1 - 3].

Гильбертовы пространства

Вг Пх[0,?/] иД Пх[0,?/]

Bl Q х [О,/у J -

пополнение

С1 [0,tf~\,Bl n,jU

по норме, порожденной скалярным произведением

W..W- г 1

2 Bt Пх[0,г/]

î

+

Продольные перемещения и и V точек срединной поверхности оболочки удовлетворяют начально-краевой задаче

и - 81Аи1 - Аи = -—Г к^ + м'хх м'х +11 Км' +

1 - // 1 1 - 1- 11 111 11

где функциональное пространство Щ Г2. // определено в [4, 5]. Через Д Ох^О,^] обозначим замыкание в Вг Пх[О./^ множества бесконечно дифференцируемых на функций м> таких, что м> х1,х2,1 =0, если где а - некоторое определенное для V число.

о

Гильбертовы пространства

В2 Пх[0,^] и В2 Qxfo,^]

В2 Qx[o,//] -пополнение С1 [о,^],//2 QM по норме, порожденной скалярным произведением

1'к"2 52пх[о,(/]

V

J[

~ 2 + -2

dt-

B2 Üx[0,/;]

определяется аналогично

Д Qxfo.i,]

Определение обобщенных решений

Обобщенными решениями начально-краевой задачи (1) - (7) называются функции м> е В2 0x^0,/^] •

□х[0,?/] • удовлетворяющие интеграль-

ному соотношению

Л | —wtw't -/°7wtVw't + DAwAw' + SAwtAw' -

смысле (8), (9) решения м, и, V начально-краевой задачи (1) - (7), удовлетворяющие условиям:

и,УеВ1 Пх^] П4'°« П£°;2 Ох[0,/7] .

Доказательство осуществляется при помощи метода Бубнова-Галеркина по схеме, сходной с предложенной в [3], при учете оценок, следующих из энергетического соотношения.

Теорема единственности обобщенных решений.

Начало доказательства

Теорема 2. В условиях теоремы 1 обобщенное решение единственно.

Доказательство. Предположим, что существуют обобщенные решения м1, и1, V1 и м2, и2, V2 с одинаковыми данными. Положим =м>" —м>2,

Из (8) получаем, что м0, и0, V0 удовлетворяют следующему интегральному соотношению:

И - + /Ми'!,Ли'' + +

+ jVj&j + N2k2 w' + NlWxi +NuwX2 и/ 4

+ +n2wXi -

~и,< ~ v,v't + SyuS/u' + ¿>2Vv(Vv' + +VuVu' + VvVv' + ^+ ^ u^+v^ u'4+v'4 +

1 - JLl

2

H——I kw+uk0w + —w2 + — um>2 Im' +

1-/Д 2 2 2 2 1 * 2

н—-—\ knw + ukw+ — w2 + — uw2 Iv' + 1 -ju{ 2 И 1 2 4 2И 4) 4

+wxlwx1 u'x2+v'x1 ~ Zw'- Xu'- Yv' dx-

i f f^dwdw' „dw.dw'^A

ß + l \x\D--+ S—*--LM

^ \ dn dn dn dn) J

-1 wxw' + щи' + VjV' dx = 0

а

h}dt-

(8)

для u

любых функций w' <eB2 Q x tf J v'e Д Qx[0,?/]

и начальным условиям

lim \\w Л -wA +\\u J -un

+ v J — vn

N¿2 n

N¿2 Q = 0.

1112 П

(9)

+ Nl-N2 кг + N\-N22 k2 w' +

+ Ni-N2 + NX + N\2-N2l2 < +N&1 < +

T2'< "h

wi +N2V° 12 12 12^*2

+ Nl-N* w1 + N2w° + Ni-N2, w1 +N2w° w' -

12 12 Aj 12 Aj 2 2 x2 2 x2 x2

-u(X -v°v't + SjVu^Vu' + S2Vv°VV +

+Vu°Vu' + Vv°Vv' + 2

' ■ 1 + // u° +v° u' +v' +

\-/u 11 1

н--1 kw° + uk0wü +— w° w1 +w2 +

1-//^ 1 И 2 2 4 4 4

+ V w1 +w2 V' +■ —I 0 '

2^ ъ ^ ^ J ч 1 —

1 а 1 2 1 Ol 2

ä:2W0 + fikxw° +

dx -

dw° dw' ^dw, dw'

i Г «w i-

ds \dt

(10)

dn dn dn dn для любых weB2 Qx^O,^] > u',V eweBl fix^O,^]

при lim \\w , /

r t-> 0 II

, Ii о t + \\u J

+ V ,/ =0

Приведенное определение обобщенных решений аналогично предложенному в [3, с. 774-775].

Теорема существования обобщенного решения начально-краевой задачи (1) - (7) в смысле (8), (9)

Теорема 1. Пусть граница области о ГеС3 и имеет ограниченные четвертые производные,

М>0€Й22 О.,¡л , М1Х&12 О ,Х,У,2<еЬ2 Ох[о,/;] ,

(") > 0. д\ > 0. с>2 > 0. Тогда существуют обобщенные в

14 п II"" ' 1112 о Здесь N, Ы2, Щ2 получены по формулам (4), (3)

с использованием м>', и', V1, / = 1,2.

Собственные значения и собственные функции краевой задачи для бигармонического оператора с шарнирным закреплением края

Пусть граница ограниченной области О ГеС3 и имеет ограниченные производные четвертого порядка. Рассмотрим задачу на собственные значения

о п

о о

*S,=K. it-

[ dn an

(11)

Так как оператор А симметричен и положительно определен, то задача (11) имеет дискретный спектр Л[<Л2<...<Л1<... из счетного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений Х1, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Собственные функции £ / = 1,2,..., образуют полную ортонормированную систему в и полную ортогональную систему в /у2 . По-

скольку Е22 Q сЯ; Q./v

1 = 1,2,... [4, 5].

то

C^H l D.

Собственные значения и собственные функции краевой задачи для продольных перемещений

Пусть <Л - область в Я2 с границей Г е С1, обладающей ограниченными производными второго порядка. Рассмотрим задачу на собственные значения

-Аи-^-^в = Ли, -Ау-^-в =ЛУ,

1 - /л 4

1-М

= v|,.=0.

(12)

t -у?*: ca^^

+ ИЛа'] + длй] = f t

(13)

с начальными данными а 0 = ä 0 =0, где

fj t =-J[ Nl-N? kl + N\-N22 k2 Cj

+ K-K K-K < +

7-2 ,..1

dx-

(14)

2 2 х2

Доказательство. Поскольку е ¡-¡2 У = 1,2,..., то в интегральном соотношении (10) мы можем положить и/ х./ = С. х р / . и' х,1 = 0-V х,/ =0, где р ; финитна и бесконечно дифференцируема на Согласно определению обобщенной производной, получим (13) и (14). Лемма до-

казана.

В силу симметрии и положительной определенности задача (12) имеет дискретный спектр

Л1 < Л2 <... < Л' <... из счетного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений Л1, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных вектор-функций (р1 _|//; ,/ = 1,2,.... Собственные вектор-

функции <р1,ц/1 ■ 1 — 1,2,..., образуют полную ортонормированную систему в Ь2 О. хЬ2 О. и полную

ортогональную систему в н1 □ хН\ □ • Согласно результатам [6], <р;. щ е Н: Г2 ■

Однородная задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения по собственным функциям краевой задачи (11)

Поскольку V х',/ еЯ2 О.,/и для почти всех

?е[0,г7], / = 0,1,2, имеем м>' х,/ = t ^ х ,

м

/ = 0,1,2, причем а° Г =а\ Г -а2 Г , у = 1,2....

Лемма 3. Для всех 7=1,2... а0 ? обладает на [0,?/] второй обобщенной производной, причем для почти всех ^ е [(V/ ] имеет место уравнение

Первое интегральное неравенство

Положим

1 II о II2 1 II о II2

Е t =-\\w, ,t +-ИК ,t », +

2 И пц Q 2 " \\ H\ Q

dr.

1

,Н|22 +<5|К° ,т||22

9 II IIн\ П,р Л1 ' IIн\ £2,//

^ о

Лемма 4. Для всех 1 е [^М/ ] имеет место неравенство д I < ^ IV Т о\ не зависит от вре-

0 <=1

мени. Величины Л ? имеют вид:

А г = ¡1/ г ж0 г II ,

1 II ' Н^п

+ v0 t wW t

A, t = У IL0 t wJ t w° t II

L || x, xk t ||, n

2

A i = У Iu° t w° t ||

J || I, t ||. Q

/ = 1 2

a4 t = X w° t t < t

i,j,k=\ 2

A t = У w' t w° t w? t

J ^^ 11 Xj tXfc

i,j,k=\

2

A, t = У t wk t w° t w? t

6 Z—I II 4

2

л i = Z

lli[ я

¿! £2

Iii! fi

lli[ П

К t W°x t Wl t

4 £2

4 £2

1=1

41 = z К t к t < t iL „ +

i,j,k,r=\

+K t К f < t

Ii, Q

Доказательство. Умножим (13) на а^ ^ , просуммируем по ] от 1 до к, проинтегрируем результат по / от 0 до / и перейдем к пределу при к —> +оо. Используя теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получим

1 И п И2 1 II п II2 1 И п "2

- ,Н +-У М ,Г • +-БЫ ^

^ ' го ^ ' ' и1 о ^ '

2

К П 2

|2

2

1Я2 п

8 1

14 > ф-Г

t=1

к

1Я2г n,/i

+ cr9 £ t + и ,t », + v ,t

1 ^ II Ня n II Ня n

(15)

константа <т2 не зависит от времени I.

Доказательство. Оценки величин / = 1.2.....8

получаются подобно тому, как это было сделано в [7]. Складывая возникающие при этом неравенства, получим, в конечном счете, (15). Лемма доказана.

Лемма 6. Для всех I е ] имеет место неравенство

i

4 t <<r3j£

t +\\U ,t о II \\н\ п

||2

v Л » dr II Пя' Q

константа сг3 не зависит от t.

(16)

Доказательство непосредственно следует из (15).

Однородная задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения и0, V0 по собственным функциям краевой задачи (12)

о

Поскольку Х,1 , V' X. / 6 Я П ДЛЯ почти всех ¿е^О,^], /' = 0,1,2, имеем

=¿6; г (Pj х , V х,? ? х ,

u x,

j=i

j=i

/ = 0,1,2 и b° t =bl t -b2 t , j = 1,2,....

3 3 3 ,J

Лемма 7. Для всех у = 1,2,..., ? обладает на 0, второй обобщенной производной, причем для почти всех t е / ; ^ имеет место уравнение

сс

3 I 1 1 ' ' ™ I и1 О

+ v° я1п i =g. i (17)

с начальными данными о — Ь 0 = 0 • где

t =

+ + ~ ч ч + ч +

Классифицируя нелинейные слагаемые, входящие

в состав Ы(1), получаем неравенство, где константа 0\

8

не зависит от времени I. М I < сг, ^ А1 I • Лемма

¿=1

доказана.

Лемма 5. Для всех I е ["•'/ ] имеет место следующее неравенство:

+ ~/UWx2 Wx1 +Wx2

Рщ +

+1 k2w° +/ЛУ < +w2 +\twl w' +w2 L +

+ w°w1 +w°w2 cp. +w. \dx ■

Xj x2 Xi Xj I Щ г zx2

(18)

Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 3.

Второе основное неравенство

Введем в рассмотрение величину

т1 t -mt ,t

+ v Л II \\н\ п

\\vt Л II +||и Л II0

IIа

\н\ а

1 + М\\ , , II2 --— г/ ,t +v Л +

+ 8х\\щ{ ,0||2 „ Ж + \\у(( ,г)||2 0 йт.

0 н\(С1) 0 н\(П)

Лемма 8. Для всех имеет место сле-

дующее неравенство:

г

г) ^ ¿г т +г! т (19)

о

где константа сг4 не зависит от времени I.

Доказательство осуществляется аналогично доказательству леммы 6 с помощью аналогов лемм 3 и 4, формулы (18).

Завершение доказательства теоремы единственности

Положим о г = % г + г! г ■

Очевидно, что 0 / непрерывна и неотрицательна.

Из (16) и (19) получаем, что для всех ¿е^О,?^

L

имеет место неравенство Q / <ст5 jß т dr,

о

в силу неравенства Гронуола в I = 0 •

откуда

1=1

2

2

2

0

Литература

1. Marguerre K. // Proc. 5th Internat. Congress Appl. Mech. Cambridge. 1938. N.Y., 1939.

2. Власов В.С. // ПММ. 1944. Т. 8. Вып. 2. С. 252 - 259.

3. Ворович И.И. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1957. Т. 21. № 6. С. 747 - 784.

4. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 1. С. 28-31.

Ростовский государственный экономический университет

5. Седенко В.И., Мартынов В.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. С. 200 -206.

6. Седенко В.И. и др. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 3. С. 21-22.

7. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В.// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 2. С. 9-11.

8 июня 2007 г.