Разрешимость в h24 краевой задачи для бигармонического оператора с краевыми условиями смешанного закрепления края оболочки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.944

РАЗРЕШИМОСТЬ В Я24 01 КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОИИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ СМЕШАННОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ КРАЯ ОБОЛОЧКИ

© 2008 г. В.И. Седенко, Н.А. Клитина

In this paper we proof the solvability boundary value problem for the biharmonic operator with the fixed edge boundary conditions of the mixed

typa

Краевая задача

Пусть О - ограниченная область на плоскости с четырежды дифференцируемой границей Г, имеющей ограниченные 4-е производные; х - кривизна контура Г . Пусть 1= Г| Г2, где 11 и Г2 являются объединением связных компонент Г . Рассмотрим на О следующую краевую задачу:

Д 2м, = /;

I

«

>

JA и ■Avdx- + х

du dv

q у dn dn

Лемма 3. Пусть и' е А О.//: П. Г2 . Тогда

w wACT

}(2 +w2

^ xlxl x2x2

xlxl X2X2 * -^XiX, У

W =-

1 dn

= 0.

(1) (2)

Лемма 4. Для всех и ■ е А //: I]. Г2

Няю^^Мяю^п.г,:

(7)

id2w

w\ = п2

dw

dn

2 ^ dn

= 0 .

(3)

где п - направление внешней нормали к Г ; ц — упругая постоянная, 0 <//<—. Краевые условия (2) отвечают условиям жесткого закрепления края Г\ оболоч-

Доказательства лемм 1 - 4 осуществляются средствами, указанными в [1, 2].

Лемма 5. Пусть м> е является решением

краевой задачи (1) - (3). Тогда имеет место следующая оценка:

где константа С зависит лишь от Ни //.

Доказательство. Отметим, что для »еЯ^ (2, также выполняются все оценки (4) - (7). Умножив (1)

ки. Условия (3) соответствуют условиям шарнирного на (Гскалярно в /,2 <2 . получаем, согласно (6) и (7),

закрепления края Г2 оболочки.

Функциональное пространство Н2 К}- и-I]-12 _

Обозначим через /1 С>. //: I]. Г2 множество всех

функций из С3 0 обладающих ограниченными производными 4-го порядка, равных нулю в некоторой окрестности Г\ и для которых выполняются условия (3). Для п. 1'Е А {!//: Г]. Г2 введем билинейную форму ^2и,и

II II2

W ~2

откуда следует (8). Лемма доказана.

Неравенства коэрцитивности

Рассмотрим на О краевую задачу А2и = я , ёи

г dn

= 0.

(9)

(10)

> <î • порождающе ю скалярное 4 ^

^ Теорема 1. Пусть и е Н2 является решением

>

произведение ^2и, иj^çf- Пополнение А О, Ml П, Г2 ., „ гг,—">

L 2 ^ • ' -¿2

г2

по норме г --= V %~ч, и обозначим

через Н2 0,//;ГьГ2 .

Лемма 1. Пусть и ■ е А //: I ]. 12 . Тогда имеет место следующее соотношение:

2 " " "й?« г

задачи (9), (10). Тогда

где константа С зависит лишь от области О [3].

Пусть на □ определена следующая краевая задача:

(12)

A2v = h.

(4)

d2v

dv

dn

2 ^ dn

= 0.

(13)

Лемма 2. Для всех и, v е А 0, , Г2

Теорема 2. Пусть v е П2 К} является решением задачи (12), (13). Тогда

2

2 >

2

Ия2 С

(14)

12 ^^ ^ 11 -^2 ^ ' где константа С зависит лишь от области □и от // [4].

Теорема 3. Пусть м> е Н2 О является решением

задачи (1) - (3). Тогда е Н2 О,, и

(15)

где константа С зависит лишь от области О и от ¡л.

Доказательство. Определим на □ две бесконечно дифференцируемые в О функции р\. р2 такие, что:

1) О^О1' 0 < р2 С ^ 1, хеП;

2) рх (У р2 1, хеП;

3) р\ У1 в некоторой окрестности Г, и р\ О в некоторой окрестности Г2;

4) /ъ 1 в некоторой окрестности Г2 и Р2 4;3е 0 в некоторой окрестности Г,.

Тогда и = />1 и' удовлетворяет краевой задаче (9), (10) и, соответственно, оценке (11). Аналогично V - р2 и' удовлетворяет краевой задаче (12), (13) и оценке (14). Согласно (11), (14), имеем

И4 С

Ни

.(16)

<су| А2«|^ ||А Ч^^-с^

Используя мультипликативные неравенства вложения Гальярдо-Ниренберга из [5, с. 237], для любого £>0 получаем

Из (16), (17) для достаточно малого £>0 вместе с неравенством (8) будем иметь

< Со

<с

\ + £\\Щ\гг4{

h 24 о;-^411f iiz,^ j

Ия2 (1

т.е. ми^^^Сд" "" Теорема доказана.

Задача на собственные значения

Рассмотрим задачу на собственные значения

а2# = 4?,

Г1 йп

= 0,

"

(d2Z d£ ИХ

dn

2

dn

= 0

(18)

(19)

(20)

I = 1,2,.... образуют полную ортонормированную систему в ¿2 О^ и полную ортогональную систему в

Я| 0,//;ГьГ23

о

Доказательство. Согласно (5), оператор А симметричен и в силу (6) положительно определен на А ' 1 -' 2 Следовательно, результат, указанный в теореме 4, непосредственно следует из общей теоремы о спектре положительно определенного симметричного оператора из [6]. Теорема доказана.

Лемма 6. А2С/ е /,2 О _ и ^ удовлетворяет (18) для всех I = 1,2,....

Доказательство. Для всех и с А (1//: Г|. Г2 ^ ^ удовлетворяет следующему интегральному тождеству:

с1и

С' + О Х~~—ds = W^ludx. (21) О Г2 ^ ^ о

Поскольку финитные в И бесконечно дифференцируемые функции входят в А (}. //: Г|. Г2 . то, согласно определению обобщенной производной из (21), следует, что А2С/ е /,2 О и выполняется (18). Лемма полностью доказана.

Лемма 7. Для любой области П', <= О, УА^ &Ь2€Х ^ Для всех I = 1,2,.....

Доказательство. Пусть для х е О бесконечно дифференцируемая функция р 4г такая, что, /7(^=1 хеО' и в некоторой

окрестности Г = (Ю. Положим в (21) и = ^

[7, с. 55], где индекс а означает усреднение, зависящее от параметра а, при достаточно малом а. Тогда, учитывая перестановочность операций усреднения и дифференцирования, с помощью интегрирования по частям получаем

|А^Аиа?х = -\р2 3<&-

п п

а

Согласно (21) и (22), имеем \Р2 =

>

'а #

Zldx.

(22)

(23)

Оценим величины в правой части (23). Получаем

2jpV/?V A£aA£iadx

Q

2jpVpV A^ia^lZdX

1

Теорема 4. Пусть граница ограниченной области □ ГеС3 и имеет ограниченные производные 4-го порядка. Тогда задача (18) - (20) имеет обобщенный дискретный спектр Я1 < <... < Хт <... из счётного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций с/. Собственные функции С/,

<C

у,

ip'f^la

\П

f \р2ЪьЬс

\

<C

.dx

,dx

1 2

la .

.dx

1

2

2

1

<\\p2^A^dx + Cl.

2. о

(24)

Здесь константа Л/ зависит лишь от / и V/?. Да-

2/

лее получаем

i p2A£,la^ladx <

Q П

D.

Согласно (23) - (25), имеем \p2^A^dx<2Cl,

(25)

(26)

а

где константа Л/ от а не зависит. Поскольку

ПРИ и Ыя23СС-2С/' СЛаб°

сходится в Следовательно, Х-'Д^ е /,2 О' ,-

Лемма доказана.

Далее мы будем использовать функции и р2. определенные при доказательстве теоремы 3.

Лемма 8. Для всех 1 = 1,2,...., определен

д2 ^ > 12 о;.

Доказательство непосредственно следует из леммы 10, вида функции р], лемм 5 и. 7

Лемма 9. Для всех / = 1,2,...., удовлетворяет условиям (10), - (2).

Доказательство. ^ является пределом в я220 //: Г,, Г2 функций из Л <1//: Г,. Г2 . Тогда /'] с/1' сходится в Я2 О , к /?| . Согласно нера-"" " "" ->+

венствам из [7, с. 79, 215], имеем (

dn

l2C

lil"#lV 2

>

H2

откуда следует

(10) для и (2) для с/. Лемма доказана.

Лемма 10. Для всех I = 1,2,.... е ^2

Доказательство. Пусть и решение краевой задачи (9), (10) при я = А2 Тогда и е Я2 и является одновременно обобщенным решением этой задачи. Однако р^ - обобщенное решение этой же задачи при указанном g, поскольку является пределом в Я1последовательности р^ элементов о

Н 2 О ^ В силу единственности обобщенного решения и = р^;. Лемма доказана.

Лемма 11. Для всех I = 1,2,.... е Я2 О пЯ22С^Л4].

Доказательство. Поскольку является обобщенным решением задачи (1)-(3) по теореме Фрид-рихса, - обобщенное решение задач (9), (10) и (1)-(3) (так как р\ =0 в окрестности Г2), следовательно, /.>2С/ - обобщенное решение задачи (1)-

(3). Покажем, что />2С/ также является обобщенным решением задачи (12), (13). Введем в рассмотрение функции ;/| //2 на О, бесконечно дифференцируемые в О и такие, что:

1) 0 <щ <1, 0 <г]2 <1, хеО;

2) Щ С П2 С > 1, х е □;

3) щ 1 в некоторой окрестности Гь щ С ^ 0 в некоторой окрестности Г2;

4) ?/2 (3е 1 в некоторой окрестности Г2 и

в некоторой окрестности Г2;

5) ^сОя/^С

Пусть и е Тогда т]2и е /1 //: Г|. I 2 _ и

А/71 С^ (^ Ар2 ^ < ^ 0 , А771 С3 О х Ар2 С 3=" • х е ^ Тогда в силу (21) получаем, что выполняется следующее соотношение:

\Ap2^Audx- 4.i + \Jx П Г

du dp2^i

ds = Ä J p2^udx. n

dn dn

Это означает, что /?2с является обобщенным решением задачи (12), (13) при h = А2 (>2С/ . Задача

(12), (13) при таком h имеет решение v е Я2 . которое также является обобщенным решением (12),

(13). В силу единственности обобщенного решения у = р2£/. Лемма доказана.

Разрешимость краевой задачи (1) - (3) в Я2 О

Теорема 5. Пусть / с /,2 О Тогда существует единственное решение w е Я2 (2 краевой задачи (1) - (3).

Доказательство. Единственность следует из (15). Разрешимость на всюду плотном множестве в ¿2 О

и

для / = определяется теоремой 4 и леммами

/=1

10, 11. Теперь с помощью предельного перехода с учетом (15) получаем разрешимость (1) - (3) в

H 24<Г для любого / е Ь2 О . Теорема доказана. Литература

1. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. // Изв.

вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 1. С. 28 - 31.

2. Седенко В.И., Мартынов В.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк.

регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. С. 200-206.

3. Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные

задачи и их приложения. М., 1971.

4. Седенко В.И. и др. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-

теств. науки. 2006. № 3. С. 41 - 46.

5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные

представления функций и теоремы вложения. М., 1975.

6. Friedrichs K. // Mathematische Annalen. 1934. Bd. 109.

H. 4, 5. Р. 465 - 487.

7. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики

вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.

Ростовский государственный экономический университет

8 июня 2007 г.