CC BY
12
УДК 517.944
РАЗРЕШИМОСТЬ В Я ^ (П) КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ В МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА
© 2008 г. В.И. Седенко
In this paper we proof the solvability boundary value problem for the elliptic system of the equations for the literal displacements of the points of the surface.
Краевая задача
Рассмотрим для функций и, v на ограниченной об- м| — v| — q (1) ласти Q краевую задачу
1, , где 0 — u + v [1, с. 759-761]. Здесь Г - граница
~ IV9*=fl' ~Av" IV 12 = /з' области Q •
Мультипликаторы L xLp R2 в Lp R2 xLp R2 Д-™ всех р.
Для / <= /,2 (Н") обозначим через / и / прямое и обратное преобразование Фурье функции /. Пусть т -
1 < р < со.
Доказательство непосредственно следует из оп-
ограниченная измеримая функция на Rn. Зададим ли- реде™ с п°м°щью (2) - (4) операторов Р и р и из нейное преобразование Тт с областью определения теоремы .
Лемма 3. Операторы P и Q являются взаимно
. Л X,. Л "" /, « X,, л2
р
R" П /.,, R" следующим соотношением: Тш/ х = обратными из ц2 х ц2 на £ ¡{- хЬр Я
/ N V для всех р,1 < < 00.
= /я £ /" £ л- • где >и называется мультиплика- 2 2
^ ^ Доказательство. Для g <еь2 R хь2 К [ ]
тором для /.2(Л"') ■ 1</?<со, если функция п / Я2 хЬ К1 непосредственным вычислением с
1 1 р р
е К Д113 любой функции /еЬ2 II П использованием прямого и обратного преобразования
П^ К" и оператор ограничен, т.е. фУРье получаем: = ^ =
|| у /Ц <с ||/|| , где Ср не зависит от/ в силу плотности 12 Я2 х12 Я2 П /•„ й2 Д2
„ " . в / Д>: х / /¿2 и ограниченности операторов Р и
Теорема 1. Пусть да однородна степени 0 и бес- % " ^р " 1 1
конечно дифференцируема на сфере. Тогда да - муль- д Эти же соотношения выполняются и для
типликатор для ¿2(ЯЙ), 1<р<<х [2, с. 113]. % е Л, Л2 Л2 . Лемма доказана.
Этот отнюдь не самый общий результат достато- Лсмма 4." Линейные операторы Р и О ич чен для наших дальнейших действий.
Специальные мультипликаторы
L2 R2 х L2 R2 b L2 R2 x L2 R2 являются само-
сопряженными.
Лемма 1. Пусть решения (1) м, V дважды непре- Доказательство осуществляется прямым вычис-рывно дифференцируемы и финитны в О . Тогда лением с учетом того, что рп=р2\, <?12=<?2ь
где Рп £ =
Решения краевой задачи (1) + 1 - ц Е,2 со специальными правыми частями
\-ц g+g
Пусть Un - множество вектор-функций
£2
э2 .. г>2
pi2 £ = p2i £ =_1 + ^ ^2_, и= 1/^11-, на R- X R- с бесконечно диффсрснцирус-
1 -¿и
2
мыми финитными в R2 компонентами щ, и2, тождест-\ — ц д2 + 2д2 , венно равными нулю в некоторых окрестностях грани-
Р22 ь ~-;-т-' цы Г области О , своих для каждой вектор-функции и.
Очевидно, что II0 плотно в / ]{ - х / ]{ - для всех
1 -М
П """ Л X
Аи = Т £+Т /,, ÄV' = /;, ./,+/;, ./;, (З) Р- 1 < < Тогда Vn=PUn также плотно в
Л 1 «/ 1 £?i -у J Z 7 У91 ^ 1 Ujj Z 7
«п-ч аг-*2' ^г^1 ?22
где Z2 Ä xL2 R
к а _ 1 I1 + Обозначим через множество вектор-функций
2
g'_ g1'5g2' на П таких, что
1 + ¡л
<?12 =?21 =- 2 2 = 2 , , 1 + // ,
2 + #2 -gi=—+ «u + s -А м>'
« ^
2^+ 1-// £ (4)
е е _ ^bl ^ ^ h1 h2 (.4) f 2 1 + LI Ч22 Ъ\^2 ~ 2 . r2 ' -о' =V' +-v' +-—и' =-L и'У ,
Lgj + 92 2 ^ ^ — ц ХгХг 1 — /л
I и'У = /j i/',v' ,/2 пРи v'eC2 Q ,
Доказательство осуществляется с помощью прямых элементарных вычислений.
Операторы Р и О = 0. 1'' = 0. Согласно определению Н\}]
Для8=(3ъ82)е Ь2 R2 хЬ2 R2 П Ьр R2 хЬр R2 паРы и'У , и'У&С2 О , и' |г=0, у'|г=0,всю-
определим линейные операторы Р и С> следующим ду плотны в Я;,, О. х Я;,, О ■ В силу разрешимо-образом: Ре=Ге+ГеГе-+Ге-
5 Й1 ^ 2' , СТИ ЗЯЛЯЧИ ГП В ЯГ
Лемма 2. Линейные операторы Р и р продолжаются до линейных ограниченных операторов из плотны в Ь2 О. хЬ2 О. ■
сти задачи (1) в Н20 О [3] мы получаем, что пары §'- §\\§2 такого вида, составляющие ^о. всюду
и
= у и у
п
Рассмотрим область О такую, что О с О, и расстояние между границами дО,п и дС1 не больше,
чем }_. Пусть функция п х бесконечно дифферен-
/ п
п
цируема и финитна в О , причем О < рп х <1 для всех х<еС1 к р х =1 Для всех хеП ■
г п п
Лемма 5. Пусть граница Г области О непрерывно дифференцируема и имеет ограниченные вто- для достаточно больших п. При выводе (10) мы учли рые производные. Пусть гЧи'.у'). где и, V решения финитность в П Г)Г/ ри',рУ 1, лемму 4 и финит-задачи (1) при /,' = -Ди,. /2 = -Ди\. где
м>= Тогда
JQ[/ pu',pv' ]wdx = JQ[/ pu',pv' ]wdx =
Я Rl
j/ p„u',py Qwdx= j/ pu',pv' Qwdx =
jz u',v' Qwdx - jz 1 - pn и', 1 - pn v' Qwdx =
n
jl u',v' Qwcb= jg'Qwcb (10)
z° =Qw.
(5)
ность 0\г в £1 Из (6) - (10) следует ^"«'ск - |0\г«'<:/х. откуда в силу плотности в Ь2 С2 хЬ2 О. полу-
Доказателъстео. Если у е С/п, тогда Ау е £/п. чаем (5). Лемма доказана.
Теперь согласно определению оператора Р следует, Р Ау = АРу е У(1 с Я2 . В силу результатов из
[3] и0у0 еЯ220 О . Далее умножим (1)
на
Неравенства коэрцитивности в Н (Q.)
Лемма 6. Пусть решения (1) u,veH2 Q f|Н\ Q
z — и'У
■С2 О. и' = у' = 0. скалярно при р е 1,+х . Тогда имеет место следующая оценка:
в L Q . Имеем
2
+ \\А\ьр П -1/2ЦП
(11)
0 О 1 ~Ь // о
-а + и +-—v
1-// 1-// ^
, 2 о 1 + о +-v +——и IV
1Х1 | _ ^ х2х2 | _ ^ "Vl
и +
dx =
- J Awxu' + Aw2v' dx.
(6)
Интегрируя по частям с учетом однородных краевых условий, получаем
-J
2
1 + р
1-р
l-p
+ 1 v° + —v° +
1 - p 1
dx =
= j"z°g'iix.
(7)
Теперь опять-таки с использованием интегрирования по частям имеем
-1 и'Ам>1 +у'Ам>2 ¿& = = -| рпи'А\\>1 + рУ Ам>2 ск-
п
- 1 ~ Р„ и'Ам>х + 1 - рп у'Ам>2Ух =
п
= -][А рпи' ч>г+ А рУ м,2]еЬ-
п
"Л Р» м'Ан;1 + 1~Рп
где константа Ср зависит лишь от О . и и р.
Доказательство. Умножим (1) на г°=(и°у0), где описано в формулировке леммы 5, скалярно в / 2 ( 2
После интегрирования по частям с учетом однородных краевых условий получаем
мДи^ +уДн'2 | + /У dx. (12)
п п
Теперь учтем, что в силу (5), Ли', и Ам>2 финитны в О . Тогда для достаточно большого п получаем
иАм>х +уАм>2 й6с = - | рпиАм>х + ргуАж2 <Ъс. (13)
п о
Интегрируя по частям с учетом однородных краевых условий, получаем из (12), (13) при /= /,'. и
Ч = Р Р~ 1
-|[д ри А рл> с =
к2
= -|[л ри м!х+ А рл> м>2^х =
| Аио + fivo dx = \jQwdx = п п
¡JQM>dx<\\f\\ ||Qw|| <с;||/|
(14)
W 2 ILp а II Hl, R
(8)
В силу определения рп очевидно, что
Нт|[ 1 - рп и'Ам>х+ 1 - рп у'Д>с2]й6с = 0.
Далее, согласно (3), получаем -|[Д ри' А рУ м>^\(Ь: =
(9)
согласно лемме 3. В силу плотности в x ]{- из (14) имеем
ми +ни -¡Ар«и 1и +
Устремив в (15) п к бесконечности, получаем
М,рп+\Н1рп^С'Р\Ш1рп+\Ш1рп ^
Теперь с учетом неравенства коэрцитивности для оператора Лапласа А из (16) следует (11). Лемма доказана.
u
p
v
V
ч
R
Разрешимость краевой задачи (1) в Нр (С2) при 1 < р < 2
Теорема 2. Пусть/ь /2 еЬр(П) при Кр<2. Тогда существуют решения и, V задачи (1), принадлежа-
jzg'dx = - J W! Am' + w2 Av' dx <
n n
^ Ik IL 0 +Ikll о II Am II fl +||Av'L
II HILp Q II 2IILp n II \\Lq a II \\Lq
<C ж + wJ p II iIIlp a II 21|Lp a
Ik'IU +M
(21)
„ А „ 0 согласно неравенствам коэрцитивности (11). В силу
щие Н- (_} ПЯ! П ■ Выполняется следующая ' ^ \ -
р 1 1 2 плотности 1Уп в £ О из (21) следует (20). Лемма
оценка:
М 2 + V 2 ^ С
II IIн1 n II Ия„ а р
(17)
П\\ьрП \W2\\Lpil
где константа Ср зависит лишь от Q. и и р.
Доказательство. Пусть f", f" е Q при
п е Z+ и Л" /2И ->/2 в LP fi и пусть ми,
vn соответствующие паре f", f" решения задачи (1). Тогда, согласно (11),
доказана.
Теорема 3. Пусть/ь /2&Ьр О прир > 2. Тогда существуют решения и, V задачи (1), принадлежащие И1 П П Н\ О ■ Выполняется следующая
оценка: \\и\\ п + ||v|U п
UIL« +II/2I
\\и — и ,
II И rn IIн2„ а
v — v , <
II И т II Hl п
<с ||f»_f-|| +\f» (18) Р II 1 J1 lll^ Q Г 2 J 2 lll^ П
В силу (18) u„, vn фундаментальны в Il^iil) и, следовательно, сходятся в H2p(Q.) к и, v. Опять-таки, согласно (11),
м , + V , < С
II я IIHi п II я IIHi а р
IkIL +|/;1L (19)
р И-7111^ П ' £1 '
где константа Ср зависит лишь от . и и р.
Доказательство. Поскольку для ограниченной области О т о г- т о , то, согласно [31, сущест-
Р 2
вуют решения и, V с вышеуказанными Л, /2, принадлежащие //;.. О . Покажем, что и, И ■
Пусть и'. V - решения (1) при правых частях —Аи',, —Ау>2, где и1,. \г2 - бесконечно дифференцируемые финитные в О функции. Умножим уравнения (1) на и', V скалярно в I О . После интегрирования по
Переходя к пределу по п, мы получим, что и, V частям с учетом краевых условий получаем
решения (1) при заданных / /2 и что, согласно (19), выполняется (17). Теорема полностью доказана.
Разрешимость краевой задачи (1) в Нр(П) при/»2
Лемма 7. Пусть и, V - решения краевой задачи (1) при = -Дн- , /2 = -Ди\. где м>им>2- финитные
в П бесконечно дифференцируемые функции. Тогда для всех р, 1<р<2, имеет место оценка
(20)
- J Awwj + Avw2 dx = J /ги' + f2v' dx •
Применяя неравенство Гельдера и учитывая (21), имеем -1 AmWj + Avw2 dx<C +||/2||ip0 *
-1
где q = P p-i .В силу
х w,
HIL„ О
2 Ik о
М + V < С Ж
II lli„ п II IIL„ Q Р II 1IIЛ П
Ж
2IIL„ Q
где константа Ср зависит лишь от р и Q .
произвольности \г,. w2 Аи, AveLp Q • откуда в силу неравенства коэрцитивности для оператора Лапласа А следует, что и. v е /7; Q • Теорема доказана.
Литература
Доказательство. Пусть м>'еС2 П , и' = 0, 1. Ворович И.И. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1957. Т. 21.
№ 6. С. 747-784.
у'|, =0, 2'= и' V Умножим (1) на г скалярно в
' 2. Стеин И. Сингулярные интегралы и дифференциальные
Ь2 О . Используя интегрирование по частям с учетом свойства функций. М., 1973.
однородных краевых условий, получаем для г=(и,у) и 3- Седенко В.И.II Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. ^=р(р-1)-1 науки. 2006. Приложение. № 3. С. 37-40.
Ростовский государственный экономический университет_8 июня 2007 г.
и £>
