Теоремы существования и единственности обобщенных решений моделей Маргерра. Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений с шарнирным закреплением края. 1. Теорема существования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.944

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ МОДЕЛЕЙ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С МАЛОЙ ИНЕРЦИЕЙ ПРОДОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ. 1. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

© 2005 г. B.H. CedeHKO, C.A. Eamb^oea, E.B. CepdwKoea

Oscillation model of the sloping casings for a long time attracted the attention of scientists as the means of getting theoretical information and applied calculations for practical engineering objects. This article proves the theorem of existence of the generalized solutions of the Mar-guerre-Vlasov's oscillation model of the sloping casings with the weak inertia of the longitudinal transfers of the casing's middle surface points from the materials with inner friction and with hinge-fixation of the casing's edge.

Модели колебаний оболочек издавна находятся в поле зрения исследователей различных специальностей как средства для получения и теоретической информации и прикладных расчетов для реальных инженерных объектов. Следует отметить, что эти модели, как и другие важнейшие модели механики сплошной среды, с ощутимым трудом поддаются математическому исследованию. Это не в последнюю очередь относится к базовой проблеме - глобальной по времени корректности модели. Работа над данной проблематикой началась с основополагающих статей И.И. Воровича [1, 2]. Однако законченные результаты появились относительно недавно [3 - 7], причем все они относятся к случаю жесткого закрепления края оболочки. Настоящая работа посвящена исследованию моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений точек срединной поверхности оболочки из материалов с внутренним трением с шарнирным защемлением края оболочки.

1. Начально-краевая задача Изложим начально-краевую задачу для модели Маргерра-Власова, описывающей колебания пологой оболочки с малой инерцией продольных перемещений из материалов с внутренним трением с шарнирно закрепленным краем оболочки. Предположим, что оболочка проектируется на плоскую ограниченную область О с границей дО. Рассмотрим систему уравнений:

р hwtt+D А2 w+д А2 ^==1+(Ы1 1 ;Х1 +(N¡2 1 )х 2 + +(N2 Wx 2 )х 2 + (N12 Wx 2 )х г- N1 к1 - N2 к2 ;

Nr

N,2=

Eh

1V

Eh

■(£,+^£2); N2=

Eh

1 -и2

■(S2+MS1);

2(1 + и)

2

£12; ei=uxJ +kiW+—WXi;

1 2

^2 = VX + k2 W + - W

2

x2

SJ2 = ux2 + Vx1 + w

xjx2

(1)

Au + Иивх =

1 -и x1

гЧ^!^ + wx1 WM +и(к 2 w) +и 1 и

w

x2 x1x2

-Wx2 Wx1x2 - Wx1 Wx2x2 - ^

Av + ^ =- 2

1 - и x2

T~ [ ((2 w)

1 - и

x ++

x2 x2 x2 x2

(2) (3)

+ и(( 2 w) +HW

ГДе e=ux, +Vx2 '

w

x1 x1x2

Wx1 Wx1x2 - Wx2 Wx1x1 -

с краевыми условиями:

w\ga=u\ga=v\ga=0, \

f л2 d w

dn 2

dw

-их—

dn

!эп=0

(4)

(5)

и начальными условиями:

w(x,0)=Wo(x), wt(x,0)=w1(x), х е О. (6)

В уравнениях (1)-(6) и, V - продольные перемещения; w - поперечное перемещение точек срединной поверхности оболочки; Б - изгибная жесткость; Е, упругие постоянные усилия; N 2, N12 - продольные усилия; е1, е2, е12 - характеристики деформации срединной поверхности оболочки; 8А2wt - слагаемое, описывающее, согласно линейно-вязкой теории, внутреннее сопротивление материала оболочки; к1, к2 - кривизны оболочки, которые считаем непрерывно дифференцируемыми в О; X, У, Ъ - составляющие внешних сил, действующих на оболочку; х -кривизна контура.

Предполагаем, что массовая плотность и линейные размеры измеряются в таких единицах, что имеют 2Р

место соотношения: -(1 + и) = 1, ph = 1, где р -

Е

мас-

совая плотность; h - высота оболочки.

Дальнейшие действия с функциями, которые удовлетворяют краевому условию (5) шарнирного закрепления края оболочки, требуют введения специального функционального пространства.

2. Функциональное пространство

Пусть О - ограниченная область на плоскости с четырежды дифференцируемой границей, обладающей ограниченными четвертыми производными; А(О,д) - множество всех таких функций w из С4(О), что

W\дQ=0

f d^w

dn 2

их

dw dn

\

!эп=0.

(7)

В (7) п - направление внешней нормали к границе в заданной точке; х - кривизна границы в этой же точке; / - упругая постоянная; 0 < / < 'А. Реализуя схему, предложенную И.И. Воровичем в [1], введем гильбертово пространство Н 2 (О, /) функций на О с помощью пополнения множества А по норме

\w\\H22 (Q,/) = (д2w,w)L2(q).

(8) представ-

Скалярное произведение (Д w, w)

ляет собой квадратичную форму на А(О, ц). Далее в этом параграфе мы получим удобное представление (8), из которого будет следовать положительная определенность оператора А2 на А(О, ц).

Лемма 1. Пусть w е А(О, ц). Тогда имеет место следующая формула:

| Д2 wwdx = | dx - | Дw—ds . (9)

а а за ^

Доказательство. Используем формулу интегрирований по частям с учетом равенства нулю функций из А(О, ц) на границе области О

dДw .

-wds - ] VДw • Vwdx =

J Д wwdx = J Q 3Q dn

dw

= -JVДw • Vwdx = - |-Дwds + J(Дw)2 dx .

а за <Лп а

Откуда следует формула (9). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть w е Тогда имеет место

следующее соотношение:

dw |

V 2 w|

= d 2 w,

sq = , 2 SQ + IÖQ dn dn

а2 х2 Х0 Х1 Х1

/ f(X1) /9Q ^ч ! М(х1,х2)

Связь между прямоугольной и криволинейной

системами координат будет

«1 =1^1 + [/ '(v)]2 ds;

a 2 = x 2 - f (Xi).

Тогда сложная функция w=w(a1(x1>x2),a2(x1>x2)) имеет частные производные по переменной х1:

Зw ^ да, Зw да2 - - + - 2

cX1 да1 дх1

дх-

да 2 дх1

д2 w

^ öw да1 ^

дх2

^да1 дх1 j

д

дх.

дw да2

V да2

дх

1j

^д2w да1

+ ■

д2w да2 ^

\да 2

дх1 да1да2 дх1

L + д>2

дх-

V да1

^д2w да2 д2w даi 2 + 1

1

да1да 2 дх1

да1 дх1

да 2 cXi

дw д2 аЛ дw д2 а 2 +---^ + - 2

да1 йх2 да 2 дх{

да

I /-1

хо Ч1 + /'(х1 )]21 хо = 1, так как f '(ö) = 0 ;

д 2 а

Доказательство. Пусть х0 е да. Введем в окрестности х0 криволинейную систему координат (а1,а2) так, что (а1,а2) - параметризация границы 5О области в окрестности точки х0 (точка х0 имеет координаты (0,0) в новой системе координат), где а1 - длина дуги 5О, отсчитываемая от х0 (0,0) вправо от оси а2; - а1 есть длина дуги 5О, отсчитываемая от точки х0 (0,0) влево от оси а2; ось а2 проходит через точку х0 в направлении внешней нормали к 5О (рисунок).

Выполним поворот и параллельный перенос исходной прямоугольной системы координат так, чтобы ось х2 совпала с осью а2, а начало координат - с точкой х0 еда. Тогда в точке х0 орт касательной т к

кривой 5О совпадает с ортом оси х1. В окрестности точки х0 зададим кривую 5О как график четырежды дифференцируемой функции х2=1'(х1).

ц = 2 f '(х1)-f "(х1) | х = о, так как f '(ö) = 0;

дх1 h0 ^fl'х0

да дх-

д 2 а

дх' 1хо = f '(х1 Ч

хо

= 0;

дх1

2

2 х0

f "(х1)

х0

= Х .

Так как кривую дО можно считать линией уровня w=0 скалярного поля w=w(x1, х2), то по направлению, касательному к кривой дО, производные любого по-

рядка равны нулю:

öw да1

= д2 w |

хо = ЮТ1 хо

= 0.

Следовательно, в точке х0 е дQ :

д2 w I

д2 w

дw дw дх2 ,х° да1 Х да2 Х да2 . Поскольку при параллельном переносе и повороте лаплассиан обладает свойством инвариантности, по-

. I д2 w д2 w дw лучаем ДИх0 = —т+ —Т = X^ +

д2 w

дх1 дх2

да2 да2

Учитывая, что ось а2 сонаправлена с вектором п внешней нормали к кривой дО в точке х0, то

д^ | д^ | д 2 ^ д 2 ^ = ап1х°, ^ IХ0 = шп21Х0.

да2 Iх0

Öw I

Тогда = X | х0

+ -

д 2 w I

дп

2 х0 •

Поскольку х0 - произвольная точка Г, получаем

Нд^ I д 2 W|

за = Х — за + —г за . дп дп2

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть функция w е А(а,/). Тогда имеет место следующая формула:

+

+

+

J (Aw)2 dx - J Aw ds =

= J (äw)2 dx - J Aw ds.

3Q

dn

= Л Е - 2/Wx2x2 + 2/ + ^ад .

□Чг=1 )

Доказательство. В интеграле по границе области, используя лемму 2 и краевое условие (7), получаем соотношение

v-72 I dw I dw |

V wea= ИХ —\да+Х — \да dn dn

i / л dw|

=> V w 9Q = l" + 1)Ж— 3Q .

dn

dw

=>

(10)

-JV2 wds = -(и + 1)J*| — I ds .

3Q dn эп ( dn)

Используем формулу О. А. Ладыженской из [7]:

Jx( f I ds = 2 J(i

3Q V dn ) Q

ds = 2 f wx1x1 wx2x2 - wx1x2

)dx.

Тогда получим:

J (äw)2 dx - J Aw ds =

Q 3Q dn

3Q

dv

= -J VAuVvds = - J Au — ds + jAuAvds =

3Q

dn

= /ДuДvds - (/ +1) | % —' .

о эп —п —п

Это выражение симметрично относительно и и V, т.е. оператор Д2 симметричный.

2. Неравенство положительной определенности. На основании (9)

И i?22 (Q) =

(( w, w))2 (Q) = JA2 w • wdx =

3Q

dn

Далее применим лемму 3, получим

(ä2w, w) >

J (

> flwL. + ^ x2 - 2Awx

■ 2(и + l)wx2,x2 )& >

> jI w2 + w2 - И

_ Q V x,xj x2x2

w + w

x,xH x2x2

-2^+1)wL Idx=

2 x1x2

dx > 0

= /М2 dx-(/ + 1)// —п ] =

О дО V —п )

= /^Ц2 ^ - 2(/ + l)J(wx1x1Wx2x2 - ^ 2 =

О О

= / Ьч + 2wx1x1 Wx2x2 + ^x2 -О

- 2(/ + Wx2x2 - w21x2 )] ^ =

= /[2 + ^x2 - 2/Wx1x1 Wx2x2 + 2(/+ ^ ] ^ .

О

Теорема доказана.

Лемма 4. Оператор Д2 положительно определен на А(О, ц).

Доказательство. Докажем по определению, что оператор Д2 симметричен и выполняется неравенство положительной определенности. 1. Симметричность.

Пусть функция и, vе А(О, ц). Интегрируя по частям с учетом (10) получаем

(Д2и^)^ (о) = /Д2и, vds = /V2 Дuvds =

О О

= ^Ди ^С08(п, xi 2—5 - /VДuv ds =

= / [(1 - /К2 ч + (1 - /)Wx22X2 + 2(/ + 1)

О

при w^0.

Тем самым оператор Д2 положительно определен на А(О,ц). Лемма доказана.

3. Теорема существования обобщенных решений

Перед построением приближений Бубно-ва-Галеркина следует сначала обзавестись соответствующей полной ортонормированной системой функций в соответствующем функциональном пространстве. Наиболее удобно в такой ситуации использовать системы собственных функций для основных линейных операторов из уравнений (1)-(9).

Рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения

A ф = Хф

HsQ =

d 2ф dn 2

dm I

ИХ— 3Q dn

= 0.

(11)

Лемма 5. Краевая задача (11) обладает счетным множеством возрастающих до бесконечности неотрицательных собственных значений. Соответствующие им собственные функции образуют полную в

Н 2(0, /) систему функций (которую будем считать

далее ортонормированной в ¿2(О)).

Доказательство. Для того чтобы краевая задача (11) обладала дискретным неотрицательным спектром, достаточно, чтобы оператор Д2 был положительно определен на А(О, ц), что следует из результатов леммы 4. Лемма 5 доказана.

Перейдем к определению обобщенного решения начально-краевой задачи (1)-(9). Введем гильбертово пространство В^1 (<2), где Q = О х [о, Т] - пополнение множества бесконечно дифференцируемых на О функций w, финитных в О при каждом фиксированном t по норме, порожденной скалярным произведением:

( W2 ^(О) = /[К , ^ 22 (О)+0^2 ))2 (о/ ^ .

Через В 2 ()) обозначим замыкание в В^1 ^) множества бесконечно дифференцируемых на О функций w, финитных в О при каждом фиксированном t, и таких, что w(x1, х2, 1)=0, если Т - а < t < Т, где а - определенное для w число.

Q

Q

2

2

2

Q

Q

Q

2.1

Обобщенным решением начально-краевой задачи (1)-(9) называется функция w е Б^1 ((?), удовлетворяющая интегральному соотношению для любой

1 2,1

функции w' 6 B 2 (Q) и

начальному условию

(12)

н J [-wtw't + DV2wV2w'+OV2wtV2w; +

o [ Q

+ (( k + N2 k2) w' + (ni wxi + Ni2wx2 УХ1 +

+ (N12 wx1 + N2 wx2 K2 - Zw'] dx "

-(1 + m)J XDdndn + Sdw.d-Vjdt-Jwiw'dx = 0 3q ^ dn dn dn dn q

lim J(w(x,t)-w0)2dx = 0 .

t^o

(13)

'(x, t)= S a™ (P (x), где p, (x), j=1,2,_ -

j=1

В (14) использованы функции ит и ут, которые являются решениями краевой задачи (1)-(4) при

w = wm.

После скалярного умножения получаем:

"m I 7Л о m I ^о • m

a j + DAjüj + ол,а j =

= (Z P I

+G; (am,..., a m),

a™ (0)=(,рД

j/i2 (Q)'

(15)

(16)

Продольные перемещения и и V находятся как решение краевой задачи (1)-(4).

Теорема 1. Пусть пологая оболочка занимает в плане ограниченную область О с четырежды дифференцируемой границей Г, обладающей ограниченными четвертыми производными. Начальные данные отвечают следующим условиям

w0, w1 е Я22 (а, и),х,¥,2 е L2 (( х [0, Т]).

Тогда существует последовательность приближений Бубнова-Галеркина, слабо сходящаяся к обобщенному решению w начально-краевой задачи (1)-(9) в смысле (12), (13). Обобщенное решение w имеет следующие дифференциальные свойства:

w е (а х [0, Т]), wt е (а х [о, Т]),

и, V е (а х [0, Т])п (а х [0, Т]), 1<р<2.

Доказательство. Для нахождения обобщенного решения применим метод Бубнова-Галеркина, отыскивая приближенное решение в виде

(а) 1

а начальное условие для (15)

ат (0)=^,Р] )L2(а) _/=1,...,т.

Аналогично тому, как сделано в [1], можно показать, что система (15), (16) локально по времени разрешима.

Глобальная по времени априорная оценка следует из равномерной по времени и номеру приближений ограниченности функционала Ф потенциальной энергии изгиба и растяжения оболочки 1 II II 2

Ф^т, ит ,ит) =1 ит , +

2" Нн 2(а)

Eh

2(1 -мУ Q 1

(еГ)2 + )2 +

rs m m,A/i w m \ 2

2Ме1 е2 + -(1 -М)(е12)

dx.

Поскольку функционал энергии ограничен, то последовательности wm,ит,ит слабокомпактны в соответствующем функциональном пространстве

Б ).

,mK

->w, u

mK

mK

полная

система в Н 2(а, /) и ортонормированная в ¿2 (а), причем функции р^ (х) являются собственными функциями начально-краевой задачи (11). Функции а"т (() определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

(< + ^д2 +8д2 wm - г -(ж1mwxm)-(т )2 -

-((Х) -((Х2) + + Щк.р) = 0 , (14) ] =1,2,.,т.

Перейдя к пределу по слабосходящимся подпоследовательностям в уравнениях Бубнова-Галеркина, получим обобщенное решение начально-краевой задачи (1)-(9) в смысле (12), (13). Теорема доказана.

Литература

1. Ворович И. И. // Изв. АН СССР. Математика. 1957. Т. 21. № 6. С. 747-784.

2. Морозов Н. Ф. // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. № 3. С. 523-525

3. ЧуешовИ.Д. // Мат. сб. 1990. Т. 181. 1. С. 25-46.

4. Седенко В.И. // Изв. РАН. Математика. 1996. Т. 60. № 5. С. 157-190.

5. Седенко В.И. // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1991. № 6. С. 729-737.

6. Monvel A.B., Chueshov I.D. // J. of mathematical analysis and applications. 1998. Vol. 221. Р. 419-429.

7. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1973.

Ростовский государственный экономический университет

9 апреля 2004 г

T

Q

w