CC BY
32
УДК 517.944
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ СМЕШАННОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ КРАЯ ОБОЛОЧКИ
© 2008 г. Е.В. Колпакова, Д.Б. Давтян, В.И. Седенко
In this paper we set the spectraltheory for the boundary value problem for the biharmonic operator with the fixed edge boundary conditions of the mixed type.
Краевая задача
Пусть И - ограниченная область на плоскости с четырежды дифференцируемой границей Г, имею-
щей ограниченные 4-е производные; % - кривизна контура Г. Рассмотрим на О следующую краевую задачу:
A w = f,
(
a w dn2
dw
их—
dn
= 0,
(1) (2)
порождающую скалярное
произведение Пополнение А О.//: I п0
1J-2 0" обозначим через
норме
Лемма 1. Пусть . Тогда имеет место
следующее соотношение:
Лемма 2. Для всех ii.v е A Cl//: I >
J Am- Avdx-+ —
du dv
q Y dn dn
Лемма 3. Пусть w e А0,/1,Г Тогда
w wß2dl 2
+ w -2 u-wrr
x9x9 xixi
> 2
+ 2</ + lj}>
dp- (3)
Лемма 4. Для всех w e A 0,//;Г
1Г11я22<Ъ " «2'
где константа С не зависит от ^ .
Доказательства лемм 1-4 приведены в [1, 2]. Теорема 1. Пусть / с О „• Тогда существует
' еЯ| О^Г^Я4 К}^ удовлетворяющее (1), (2),
причем зависит от /[3].
г4
/.2 <2 ;
где константа C не
Задача на собственные значения
Рассмотрим задачу на собственные значения
где п - направление внешней нормали к Г • /л - упругая постоянная, 0 < ц < 1/2 . Условия (2) соответствуют условиям шарнирного закрепления края Г оболочки.
Функциональное пространство Я2 (1 /': Г
Обозначим через А О. //: I множество всех
функций М> из С3 0 обладающих ограниченными производными 4-го порядка, для которых выполняются условия (2). Для //. у е /10-/'-1 введем билинейную форму ^211,1
-мх
dç
= о.
(5)
с?п^ ' *"
Теорема 2. Пусть граница ограниченной области
0 ГеС3 и имеет ограниченные производные четвертого порядка. Тогда задача (5) имеет обобщенный дискретный спектр < Я2 <... < /.т <... из счётного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций ^ . Собственные функции с/,
1 = 1,2... образуют полную ортонормированную систему в ¿2 (2 и полную ортогональную систему в
яЮ./лгО
2
Доказательство. Согласно (3), оператор А симметричен и в силу (4) положительно определен на А О- М- I ] • ' 2 Следовательно, результат, указанный в теореме 2, непосредственно следует из общей теоремы о спектре положительно определенного симметричного оператора из [4]. Теорема доказана.
Теорема 3. В условиях теоремы 2
£ е я| 0,/';Г>я24 СС I = 1,2,..
Доказательство. Пусть wl - решение краевой задачи (1), (2) при / = Согласно теореме 1,
м>1 е О^Г^Я^ и следовательно, является обобщенным решением задачи (5). В силу единственности обобщенного решения и/ = С/. Теорема полностью доказана.
w
22
12
Литература
Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 1. С. 28 - 31.
2. Седенко В.И., Мартынов В.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. С. 8789.
3. Седенко В.И. и др. // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 3. С. 41 - 46.
4. Friedrichs K. // Mathematische Annalen. 1934. Bd. 109. H. 4, 5. Р. 465 - 487.
10 сентября 2007 г.
Ростовский государственный экономический университет
