Теорема Поста-Глускина-Хоссу для n-квазигрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

в котором av = av—1 = • • • = av—N + = 0. Строим смежные классы K—N r-N r-N +1 ••• r0 ,K-N r-N r-N +1 ••• r0 ,---,K-Nr-N r-N +1 ••• r0

K ^ rav-N+i rav K^ rav-N+2 rav K^ rav

K-N r-N ••• —1, K —N —N ••• ^^^-^-N r-N •

Пусть E объединение всех таких смежных классов, и EX периодическое продолжение множества E за пределы шара K1. Обозначим

00

E = Р| ExAn и определим при каждом l £ GF (ps), l = 0 функции

n=0

^(0 = lrlExnEA-i. Тогда Ф = • • • } есть КМА-вейвлет.

Задача построения вейвлетов, которые не будут КМА-вейвлетами, остается открытой.

Библиографический список

1. Гельфанд И. М, Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции. М. : Наука, 1966.

2. Lukomskii S. F., Vodolazov A. M. Non-Haar MRA on local fields of positive characteristic //J. Math. Anal. Appl. 2016. Vol. 433.

3. Behera B., Jahan Q. Characterization of wavelets and MRA wavelets on local fields of positive characteristic // Collect. Math. 2015. Vol. 61.

4. Lukomskii S. F., Berdnikov G. S. N-Valid trees in wavelet theory on Vilenkin groups // International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing. Vol. 13, №. 5. World Scientific Publishing Company, Published online: 17 September 2015, DOI: 10.1142/S021969131550037X

ТЕОРЕМА ПОСТА-ГЛУСКИНА-ХОССУ ДЛЯ n-КВАЗИГРУПП Ф. М. Малышев (г. Москва) E-mail: malyshevfm@mi.ras.ru

Отображение A : Xn ^ X, n ^ 3, A(x]_, ••• ,xn) = [x1x2 •••xn], задаёт n-квазигруппу на множестве X, если оно биективно по каждому из n аргументов при любой фиксации остальных n — 1 аргументов (см. [1, гл. I]). В случае ассоциативных n-квазигрупп, когда выражение [x1 •••Xi[xi+1 ••• xi+n]xi+n+1 •••x2n-1] не зависит от i = 1,_,n — 1, имеет место теорема Поста-Глускина-Хоссу (см. [2-5]).

Теорема. Для ассоциативной n-квазигруппы X имеется групповая операция на множестве X, при которой [x1x2 •••xn] =

= х\0(х2)02(х3) ...вп—2(хп—1)схп, где

в е ЛШ; X, с е X, в(с) = с, еп-1(х) = схс-1, X е X. (1)

Л. М. Глускин обратился к этой тематике под влиянием В. В. Вагнера [6].

В данной теореме можно отказаться от ассоциативности, заменить следуемым из неё более слабым условием, связанным с так называемой слабой обратимостью п-квазигрупп. В результате условия (1) в формулировке теоремы не потребуются.

Определение 1. Называем п-квазигруппу г-слабо обратимой справа, г = 1,... ,п — 2, если из равенства [аЬ]] = [аЬ2] для каких-либо а е Xг, 61,62 е Xп—г следуют равенства \Ь1х] = \Ь2х] для всех X е X\

Аналогично определяется г-слабая обратимость слева. Для г = 1 это условие рассматривалось В. Д. Аносовым для произвольных отображений А. Ясно, что из 1-слабой обратимости справа (слева) следует г-слабая обратимость справа (слева) для всех г = 2,... ,п — 2. С ростом г требования слабой обратимости становятся менее жёсткими. Также просто проверяется, что из ассоциативности следует 1-слабая обратимость справа и слева.

Примеры п-квазигрупп, г-слабо обратимых справа и слева, г ^ п/2, предоставляют решения следующего функционального уравнения из работы [7]

/ (х,Н(У,г)) = g(Н(x,У),z), (2)

в котором неизвестными являются (г + 1)-квазигруппы /, д и (п — г)-квазигруппа Н. В уравнении (2) через X, у и г обозначены независимые переменные со значениями в Xг, Xп—2г и Xг соответственно.

В случае конечного множества X в работе [8] непосредственно доказывается и обратное: любая 1-слабо обратимая справа (как и слева) п-квазигруппа представляется в виде (2), в частности, 1-слабые обратимости справа и слева равносильны. Для бесконечных X это тоже верно, но только как следствие следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть имеется п-квазигруппа X со свойством 1-слабой обратимости справа (или слева). Тогда для некоторых: подстановки а е Бх, структуры группы на X и автоморфизма в е АЫX справедливо тождество а([х1... хп\) = х1в(х2)в2(х3)... вп—2(хп—1)вп—1(хп), Х{ е X, г = 1, ..., п.

Для конечных X эта теорема была доказана в работе [8]. Классическая теорема Поста-Глускина-Хоссу получается как следствие теремы 1.

Идея доказательства теоремы 1 связана со следующей геометрической интерпретацией условия 1-слабой обратимости справа. Латинский гиперкуб Xn, определяемый n-квазигруппой, задаёт семейство функций fk : Xn-1 ^ X, к G X, определяемых условием: fk(x\,... ,xn—1) = y [x1... xn-i y] = k. Если Гк - график функции fk, то Xn = ЦkeX Гк. Сечение гиперкуба Xn фиксацией первых n — 2 координат как a G Xn-2 будет латинским квадратом X2, который разбивается на диагонали, являющиеся пересечениями данного сечения со всеми графиками Гк, к G X .В условиях теоремы 1 получающиеся разбиения не зависят от конкретного сечения, от a G Xn—2, причём пересечения каждого сечения с каждым графиком Гг, i G X, после применения к ним "сдвига влево": 1 : Xn ^ Xn—1, i(x1,... ,xn) = (x2,... ,xn), будут "линиями уровня" для всех функций fk, к G X.

Благодаря выше сформулированным свойствам, разбиение X2 на диагонали задаёт так называемое самоинвариантное 2-параметрическое семейство подстановок п : X2 ^ Sx в соответствии с условием: п^(и) = = v ^ [aiu] = [âjv], i,j,u,v G X, которое от a G Xn—2 не зависит. Группа (nij\i,j G X), при этом, транзитивна на X.

Определение 2. Семейство подстановок п : X2 ^ SX, (i,j) ^ nij, называем самоинвариантным, если: 1) njknij = nik, i,j,k G X, 2)

nnij(u),nij(v) = nuv, i,j,u,v G X.

В основе доказательства теоремы 1 лежит следующая теорема.

Теорема 2. Пусть на множестве X задано самоинвариантное 2-параметрическое семейство подстановок nij G SX, i,j G X, причём группа G = (nij \i,j G X) транзитивна на X. Тогда для некоторых эпиморфизма f : G ^ G и отождествления X с множеством смежных классов G/H, H < G, имеем: H Ç ker f; ngiHg2H(g3H) = f(g——1g1)g3H, 9i,92,93 g g.

Библиографический список

1. Белоусов В. Д. n-арные квазигрупы. Кишинёв : Штиинца, 1972.

2. Post E. L. Polyadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. Vol. 48, № 2.

3. Hosszu M. On the explicit form on n-group operations // Publ. Math. 1963. Vol. 10, № 1 - 4.

4. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Матем. сб. 1965. Т. 68(110), № 3.

5. Гальмак А. М, Воробьёв Г. Н. О теореме Поста - Глускина - Хос-су // Проблемы физики, математики и техники. 2013. № 1(14).

6. Глускин Л. М. Исследования по общей алгебре в Саратове // Изв. вузов. Матем. 1970. № 4(95).

7. Hosszu M. Algebrai rendszereken ertelmezett fiiggvenyegyenletek. // Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl. 1962. № 12.

8. Малышев Ф. М. Теорема Поста-Глускина-Хоссу для конечных n-квазигрупп и самоинвариантные семейства подстановок // Матем сб. 2016. Т. 207, № 2.

ОБ АСИМПТОТИКЕ СЧИТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ЭЛЕМЕНТОВ В АДДИТИВНОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ

ПОЛУГРУППЕ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СЧИТАЮЩЕЙ

_ «_» _ _ _

ФУНКЦИЕЙ ПРОСТЫХ ОБРАЗУЮЩИХ1 Д. С. Миненков, В. Е. Назайкинский, В. Л. Чернышев

(г. Москва)

E-mail: minenkov.ds@gmail.com, nazaikinskii@yandex.ru,

vchernyshev@hse.ru

Рассматривается обратная задача о распределении абстрактных простых чисел из абстрактной аналитической теории чисел. Представленная теорема имеет приложение, в частности, к задаче о числе локализованных гауссовых пакетов, возникающей при изучении динамических систем на геометрических и декорированных графах.

Пусть (G,d) - арифметическая полугруппа (записанная аддитивно), то есть G = фр£р Z+ - прямая сумма счетного числа экземпляров полугруппы Z+ целых неотрицательных чисел, занумерованных элементами счетного множества P, а д: G ^ R+ - ее гомоморфизм в аддитивную полугруппу неотрицательных вещественных чисел, такой, что при каждом x £ R+ число элементов а £ G, для которых д(а) ^ x, конечно. Будем считать P подмножеством в G, отождествляя каждый элемент p £ P с образующей в соответствующем экземпляре полугруппы Z+. Таким образом P - множество образующих полугруппы G. Рассмотрим считающую функцию абстрактных простых числел n#(x) и считаю-

хРабота выполнена при финансовой поддержке РНФ ОНГ (проект № 14-11-00432).