Вейвлеты на локальных полях положительной характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Geiger D. Coherent algebras // Notices Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 21.

2. Chajda I. Weak coherence of congruences // Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41, №. 1.

S. Chajda I. Locally coherent algebras // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Math. 1999. Vol. SB, №. 1.

4. Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фунд. и прикл. мат. 200B. Т. 14, вып. 7.

5. Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения : тез. сообщ. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Моск. гос. ун-та Л. А. Скорнякова. Волгоград : Перемена, 1999.

ВЕЙВЛЕТЫ НА ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

_ _ ___ «_» __ _ -,

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ1 С. Ф. Лукомский (г. Саратов) E-mail: [email protected]

Введение

Локальное поле положительной характеристики K = F(s) состоит из бесконечных в обе стороны последовательностей [1]

a = (..., On-1, an, an+i,... ), aó G GF(ps),

в которых только конечное число компонент с отрицательными номерами отлично от нуля. Пусть gn = (..., 0n-1, (1,0,.., 0)n, 0n+1,... ), базисные элементы в поле K, Kn-шары радиуса q-n = p-sn, образующие базу топологии,

Ho = {a-ig-i+a_2g_2+ ... + a-vg-v : a_j G GF(ps),v G N

множество сдвигов в поле K. Пусть далее A : a = ^neZ angn i—> J2n angn-1 оператор растяжения . Характеры в поле K можно записать в виде

k(0) k(1) k(s-1)

X = ПkGZ rt где 4k = rkS+o • rkS+1.....rkS+s_i функци ^д^^Ф^

ak = (ak0),ak1), ...,aks-1)) G GF(ps). Положим по определению

(rl)b' = rl'b', ak, bk G GF(ps). Подробнее об этом см. в [2].

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00152).

Базисные вейвлеты в локальном поле

Определение 1. [3] Пусть Ф = {ф(1),ф(2),... ,ф(ьЦ - семейство функций из L2(K). Определим функции

ф®ь(х) = p^ф(1\АПx—h), h e Ho,n e Z, l = \L.

Если система (ф^Ь) образует ортонормированный базис в L2(K), то систему (Ф) называют системой базисных вейвлетов или, короче, базисным вейвлетом.

Теорема 1. [3] Ортонормированная аффинная система (ф^ь) будет ОНБ в L2(K) тогда и только тогда, когда

£ £|ф("(*А")12 = i

1=1 neZ

для п. в. х e X.

Определение 1.2. Пусть (ф^ь) - аффинная ортонормированная система. Определим пространства

Wn = span (фЩь), Vn = ®Wm.

Если (Vn) образуют КМА, то систему Ф = {ф(1),ф(2),...,ф(ь)} называют ассоциированной с КМА или, короче, КМА-вейвлетом.

Вопрос. Как можно построить базисный вейвлет и КМА-вейвлет? Простейший ответ дает

Теорема 2. Пусть (K++)±xi С (K+)± \ (K0+)± (l = 1, 2,...,ps - 1) -смежные классы по подгруппе (K(+)±. Тогда функции

ф(1\х) = (1(K0+)^ (x))

образуют вейвлет в L2(R). В этом случае (фПь) есть система Хаара в L2(K). '

Можно указать значительно более широкие классы вейвлетов Ф и указать способы их построения.

Теорема 3. Пусть T = T(V) — N-валидное дерево [4] высоты H с множеством вершин V С F(s). Для каждого пути

(av ^ av—1 ^ • • • ^ av—N+1 ^ av—N ^ av—N—1 ^ • • • ^ a—N+1 ^ a—N)

в котором av = av-1 = • • • = av-N + = 0. Строим смежные классы

K^ ra-N+1 rao K^ ra-N+l ra-N+2 K^ rav-N rav-N+1 „Й,

K-N r-N r-N +1 ••• r0 ,K-N r-N r-N +1 ••• r0 ,---,K-Nr -N r -N +1 ••• r0

K ^ rav-N+1 rav к ^ rav-N+2 r«v K ^

K—Nr-N ••• r—1,K— Nr—N ••• r-2, • • • , K-Nr—N •

Пусть E объединение всех таких смежных классов, и EX периодическое продолжение множества E за пределы шара K1. Обозначим

00

E = Р| ExAn и определим при каждом l G GF(ps), l = 0 функции

n=0

^(0 = lrlExnEA-i. Тогда Ф = {^(1),^(2), • • • } есть КМА-вейвлет.

Задача построения вейвлетов, которые не будут КМА-вейвлетами, остается открытой.

Библиографический список

1. Гельфанд И. М, Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции. М. : Наука, 1966.

2. Lukomskii S. F., Vodolazov A. M. Non-Haar MRA on local fields of positive characteristic //J. Math. Anal. Appl. 2016. Vol. 433.

3. Behera B., Jahan Q. Characterization of wavelets and MRA wavelets on local fields of positive characteristic // Collect. Math. 2015. Vol. 61.

4. Lukomskii S. F., Berdnikov G. S. N-Valid trees in wavelet theory on Vilenkin groups // International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing. Vol. 13, №. 5. World Scientific Publishing Company, Published online: 17 September 2015, DOI: 10.1142/S021969131550037X

ТЕОРЕМА ПОСТА-ГЛУСКИНА-ХОССУ ДЛЯ n-КВАЗИГРУПП Ф. М. Малышев (г. Москва) E-mail: [email protected]

Отображение A : Xn ^ X, n ^ 3, •••,£„,) = [x1x2 •••xn], за-

даёт n-квазигруппу на множестве X, если оно биективно по каждому из n аргументов при любой фиксации остальных n — 1 аргументов (см. [1, гл. I]). В случае ассоциативных n-квазигрупп, когда выражение [x1 • ••xi[xi+1 ••• Xi+„]xi+n+1 •••x2n-1] не зависит от i = 1,_,n — 1, имеет место теорема Поста-Глускина-Хоссу (см. [2-5]).

Теорема. Для ассоциативной п-квазигруппы X имеется групповая операция на множестве X, при которой [x1x2 •••xn] =