CC BY
284. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Матем. сб. 1965. Т. 68(110), № 3.
5. Гальмак А. М, Воробьёв Г. Н. О теореме Поста - Глускина - Хос-су // Проблемы физики, математики и техники. 2013. № 1(14).
6. Глускин Л. М. Исследования по общей алгебре в Саратове // Изв. вузов. Матем. 1970. № 4(95).
7. Hosszu M. Algebrai rendszereken ertelmezett fiiggvenyegyenletek. // Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl. 1962. № 12.
8. Малышев Ф. М. Теорема Поста-Глускина-Хоссу для конечных n-квазигрупп и самоинвариантные семейства подстановок // Матем сб. 2016. Т. 207, № 2.
ОБ АСИМПТОТИКЕ СЧИТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
ЭЛЕМЕНТОВ В АДДИТИВНОЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ПОЛУГРУППЕ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СЧИТАЮЩЕЙ
_ «_» _ _ _
ФУНКЦИЕЙ ПРОСТЫХ ОБРАЗУЮЩИХ1 Д. С. Миненков, В. Е. Назайкинский, В. Л. Чернышев
(г. Москва)
E-mail: [email protected], [email protected],
Рассматривается обратная задача о распределении абстрактных простых чисел из абстрактной аналитической теории чисел. Представленная теорема имеет приложение, в частности, к задаче о числе локализованных гауссовых пакетов, возникающей при изучении динамических систем на геометрических и декорированных графах.
Пусть (G,d) - арифметическая полугруппа (записанная аддитивно), то есть G = фр€р Z+ - прямая сумма счетного числа экземпляров полугруппы Z+ целых неотрицательных чисел, занумерованных элементами счетного множества P, а д: G ^ R+ - ее гомоморфизм в аддитивную полугруппу неотрицательных вещественных чисел, такой, что при каждом x Е R+ число элементов а Е G, для которых д(а) ^ x, конечно. Будем считать P подмножеством в G, отождествляя каждый элемент p Е P с образующей в соответствующем экземпляре полугруппы Z+. Таким образом P - множество образующих полугруппы G. Рассмотрим считающую функцию абстрактных простых числел n#(x) и считаю-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ ОНГ (проект № 14-11-00432).
щую функцию абстрактных целых чисел N#(x):
VttOhJb U)CJbObJU 4UbCJb N #
Т#,
(x) = #{a G G: д(a) < x},
n#(x) = #{p G P: д(p) < x},
где #A - мощность множества A. Обе они конечны при всех x. Рассмотрим (-функцию полугруппы (G,d) (см. например [1, с. 36]):
(s) = ^ e-5(a)s, s = a + it.
aGG
Основным представляемым результатом является следующая теорема:
Теорема. Пусть справедлива асимптотика при x ^ то
n#(x) = box7 ex(1 + O(x—<)),
с некоторыми постоянными b0 > 0, 7 > —1 и 6 G (0,1]. Тогда асимптотика N#(x) при x ^ то имеет вид
N#(x) = ^ (S)
(1 + O(x-K)),
s=ß(x)
(ln Zg (ж))'
где s = ß(ж) > 1 - единственное вещественное решение уравнения
x + (ln Zg (s))' = 0, а к > 0 - произвольное число, такое, что к < , к < тр •
Подобные асимптотики вычислялись в разных ситуациях разными методами, в частности в работах следующих авторов: G. Meinardus (1954), Б. М. Бредихин (1960), А. М. Вершик (1996), B. L. Granovsky и D. Stark (2006), В. П. Маслов и В. Е. Назайкинский (2008), Ю. В. Якубович (2012) (см. также [1-2]). Во многих работах рассматривается случай целочисленных д(p) с заданными кратностями (мультипликативной мерой).
Отметим, что хотя обратной задаче для случая экспоненциального роста функции п#(ж) посвящено довольно много работ, но условия вида п#(ж) ~ b0xYex, по-видимому, не рассматривались. Аппроксимировать задачу с такими условиями задачей, в которой функция д(а) принимала бы только целые значения (или значения, равные целому кратному некоторого числа) невозможно. Поэтому несмотря на то, что формулы из работы [3], относящейся к целочисленному случаю, близки по форме
к нашим, они описывают ситуацию, весьма отличающуюся от рассматриваемой.
Библиографический список
1. Knopfmacher J. Abstract analytic number theory. Amsterdam. : North-Holland, 1975.
2. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М. : Наука, 1971.
3. Granovsky B. L. Asymptotic enumeration and logical limit laws for expansive multisets and selections //J. London Math. Soc. 2006. Vol. 73, № 1.
О ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ АНТИКОММУТАТИВНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С. П. Мищенко, О. В. Шулежко (г. Ульяновск) E-mail: [email protected], [email protected]
Характеристика основного поля предполагается равной нулю.
Почти нильпотентным называется ненильпотентное многообразие, если любое его собственное подмногообразие является нильпотентным. Сведения о почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр можно найти в обзоре [1]. В случае неассоциативных алгебр в работе [2] построено почти нильпотентное многообразие экспоненты 2. В работе авторов [3] доказано существование дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент. В статье [4] получен аналогичный результат в случае коммутативных метабе-левых алгебр.
Данная работа продолжает исследование почти нильпотентных многообразий в различных классах алгебр. Обозначим Bm, m > 2, алгебру, порожденную образующими {z\,z2,a1,a2,...,am} и удовлетворяющую следующим определяющим соотношениям:
Z1Z2 = -Z2Z1; aiaj = -aiZs = -zsai = 0, 1 < i, j < m, s = 1, 2; (ziZ2w(Rai,.. .,Ram))(ZiZ2w'(Rai,..., Ram)) = 0,
для s = 1, 2 и всех, включая пустых, слов w,w' от операторов правого умножения Ra.,
Z1 z2 ( R ai ... Ram ) aii... ais ais+i...
ait = -zi z2 (R ai ... Ram) aii... ais+iais ... ait
