О почти нильпотентных антикоммутативных метабелевых многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

к нашим, они описывают ситуацию, весьма отличающуюся от рассматриваемой.

Библиографический список

1. Knopfmacher J. Abstract analytic number theory. Amsterdam. : North-Holland, 1975.

2. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М. : Наука, 1971.

3. Granovsky B. L. Asymptotic enumeration and logical limit laws for expansive multisets and selections //J. London Math. Soc. 2006. Vol. 73, № 1.

О ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ АНТИКОММУТАТИВНЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С. П. Мищенко, О. В. Шулежко (г. Ульяновск) E-mail: [email protected], [email protected]

Характеристика основного поля предполагается равной нулю.

Почти нильпотентным называется ненильпотентное многообразие, если любое его собственное подмногообразие является нильпотентным. Сведения о почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр можно найти в обзоре [1]. В случае неассоциативных алгебр в работе [2] построено почти нильпотентное многообразие экспоненты 2. В работе авторов [3] доказано существование дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент. В статье [4] получен аналогичный результат в случае коммутативных метабе-левых алгебр.

Данная работа продолжает исследование почти нильпотентных многообразий в различных классах алгебр. Обозначим Bm, m > 2, алгебру, порожденную образующими {z1,z2,a1,a2,...,am} и удовлетворяющую следующим определяющим соотношениям:

ZlZ2 = -Z2Z1; aiaj = -aiZs = -zsai = 0, 1 < i, j < m, s = 1, 2; (ziZ2w(Rai,.. .,Ram))(ZiZ2W/(Rai,..., Ram)) = 0,

для s = 1, 2 и всех, включая пустых, слов w,w/ от операторов правого умножения Ra.,

Z1 z2 ( R ai ... Ram ) aii... ais ais+i...

ait = -zi z2 (R ai ... Ram) aii... ais+iais ... ait

для всех k > 0 и 1 < s < t < m, 1 < i\,... ,it < m. Кроме того, для s = 1, 2 и для любого элемента u G Bm степени по образующим не менее двух uzs = zsu = 0, uak = -aku, 1 < k < m.

Несложно доказать, что алгебра Bm удовлетворяет тождествам антикоммутативности и метабелевости

xy = -yx, (x\x2)(x3x4) = 0.

Получены следующие результаты:

Теорема. Пусть Vm - многообразие, порожденное алгеброй Bm, m = = 2, 3,.... Тогда экспонента как самого многообразия Vm, так и любого его ненильпотентного подмногообразия, равна m.

Учитывая, что во всяком ненильпотентном многообразии существует почти нильпотентное подмногообразие, получаем

Следствие. В случае нулевой характеристики основного поля для любого целого m, m > 2, существует почти нильпотентное антикоммутативное метабелево многообразие, экспонента которого равна m.

Библиографический список

1. Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 1.

2. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel Journal of Mathematics. 2014. Vol. 199, № 1.

3. Мищенко С. П., Шулежко О. В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вест. Московского ун-та. Серия 1. Математика и механика. 2015. № 2.

4. Мищенко С. П., Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр // Вест. Самар. гос. ун-та. Естественнонаучная серия. 2015. № 3 (125).