Обобщение теорем Глускина - Хоссу и Малышева на случай еильно зависимых n-арных операций Текст научной статьи по специальности «Математика»

В заключение отметим, что аппарат к-разметки позволяет сформулировать и обосновать алгоритм модификации канонического представления произвольной биективной сети Е, в результате применения которого строится биективная сеть Е, к-транзи-тивная для всех множеств достаточно большой мощности.

Теорема 7. Пусть Е — произвольная биективная сеть ширины п. Тогда её модификация Е имеет вес ||Е|| ^ ||Е|| + 6п — 7 и является к-транзитивной для любого множества П, мощность которого больше чем к||Е|| + 7к(п — 1).

Следствие 5. Для любого п ^ 2 существует сеть Е ширины п и веса 6п — 7, которая к-транзитивна для всех множеств, мощность которых больше чем 7к(п — 1).

Автор благодарен А. В. Черемушкину за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чередник И. В. Один подход к построению транзитивного множества блочных преобразований // Прикладная дискретная математика. 2017. №38. С. 5-34.

УДК 519.719.1 Б01 10.17223/2226308Х/11/7

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ ГЛУСКИНА — ХОССУ И МАЛЫШЕВА НА СЛУЧАЙ СИЛЬНО ЗАВИСИМЫХ п-АРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

А. В. Черемушкин

Доказываются аналоги теорем Глускина — Хоссу о строении п-групп и Малышева о строении п-квазигрупп с условием слабой обратимости справа и слева применительно к случаю сильно зависимых операций над конечным множеством.

Ключевые слова: п-арные группа, п-арная полугруппа, сильно зависимая операция, слабо обратимая операция.

Пусть п ^ 0 и X — непустое множество. п-Полугруппой называется п-арная операция f (^1,... , хп) = [х 1,... , хп] на множестве X, удовлетворяющая тождествам ассоциативности

[х1, . . . , хг—1, [xi, . . . , хг+п—1], xг+n, . . . , х2п—1]

[х1, . . . , Х^ — 1, [Xj, . . . , Ж^'+п-1], xj+n, . . . , х2п— 1],

1 ^ г < 3 ^ п. Если при этом п-полугруппа является п-квазигруппой, т. е. для каждого г = 1,... , п унарная функция f (а1,... , аг—1, хг, аг+1... , ап) является подстановкой по переменной хг при всех а1,..., аг—1, аг+1..., ап € X, то она называется п-группой.

Строение п-группы над произвольным, не обязательно конечным, множеством X описывается следующей теоремой Л. М. Глускина и М. Хоссу.

Теорема 1. Для любой п-группы [х1,... ,хп] найдутся некоторая групповая операция «*» на множестве X, автоморфизм в группы «*» и а € X, такие, что вп—1(х) = = а * х * а-1, в(а) = а и справедливо тождество

[х1,..., хп] = х1 * в(х2) * в2(х3) * ... * вп—2(хп—1) * а * хп, хг € X, г = 1,..., п.

Заметим, что данную теорему обычно называют обратной теоремой Глускина — Хоссу, а прямая теорема утверждает, что всякая п-квазигруппа такого вида является п-группой. С историей и различными обобщениями этой теоремы можно познакомиться в обзоре [1].

24

Прикладная дискретная математика. Приложение

В работе [2] Ф. М. Малышевым рассматривается несколько более общая ситуация, из которой может быть выведена теорема 1. Операция [х^ ... , хп] называется г-слабо обратимой справа, г = 1,..., п — 2, если для всех а € X*, Ъ1,Ъ2 € X"- из равенства [а, Ь1] = [а, Ь2] следуют равенства [Ь1,Х] = [Ь2, х] для всех х € Xг. Аналогично определяется г-слабая обратимость слева.

Теорема 2 [2]. Пусть п ^ 3. Если п-квазигруппа является 1-слабо обратимой слева (справа), то при некоторой подстановке а, групповой операции «*» на множестве X и автоморфизме в группы «<*» справедливо тождество

а(/(х1,... ,хп)) = х1 * в(х2) * в2(х3) * ... * в"-1(хп), хг € X, г =1,...,п.

Первоначально в [2] эта теорема доказана для конечных множеств X, а затем в [3] отмечено, что она справедлива и для бесконечных множеств X.

Целью настоящей работы является установление аналогов теорем 1 и 2 для класса сильно зависимых функций.

Напомним, что сильно зависимой называется такая функция от п переменных (п-арная операция), у которой для каждой переменной хг, 1 ^ г ^ п, найдётся хотя бы один набор элементов а1 , ...,аг-1 , аг+1...,ап € X, при котором функция /(а1,... , аг-1, хг, аг+1... , ап) становится подстановкой по переменной хг Для конечных множеств X сильно зависимые операции обладают тем свойством, что бесповторная суперпозиция функций является сильно зависимой в том и только в том случае, когда каждая из функций, участвующих в суперпозиции, также является сильно зависимой.

Далее пусть X — конечное множество мощности к ^ 2. Введём понятие частичной обратимости справа (слева) применительно к классу сильно зависимых функций.

Определение 1. Сильно зависимая функция /(х1,... , хп) называется г-частично обратимой справа, г = 1,..., п — 2, если найдётся такой набор а € Xг, что при всех Ь1, Ь2 € X"-* из условия /(а, Ь1) = /(а, Ь2) следуют равенства /(Ь1, х) = /(Ь2, х) для всех х € X*. Аналогично определяется г-частичная обратимость слева сильно зависимых функций слева.

Лемма 1. Для сильно зависимой функции / следующие условия равносильны:

а) / является г-частично обратимой справа и слева;

б) / допускает представление в виде бесповторных суперпозиций

/ (х1,...,х") = #1(х,Му )) = #2(Мх,У ^ )

при всех (х1,..., хп) = (х, у , г) € Xг х X"-2* х X* и некоторых сильно зависимых

операциях Л-.

Замечание 1. В случае квазигрупп свойства г-слабой обратимости справа и слева равносильны. Для сильно зависимых функций для выполнения условия п. б приходится требовать одновременно выполнимость обоих свойств.

Напомним, моноидом называется ассоциативная бинарная операция с единицей. Основным результатом является следующее обобщение теоремы Ф. Н. Малышева.

Теорема 3. Пусть п ^ 3, X — конечное множество. Если сильно зависимая функция / является 1-частично обратимой справа и слева, то при некоторой подстановке а, моноиде «*» на множестве X и автоморфизме в моноида «*» справедливо тождество

а(/(х1,... ,хп)) = х1 * в(х2) * в2(х3) * ... * в"-1(хп), хг € X, г =1,...,п.

Доказательство основано на теореме Ф. Н. Сохацкого [4] о решении обобщённого уравнения общей ассоциативности для сильно зависимых операций.

Как следствие из предыдущей теоремы, получается следующее обобщение теоремы Глускина — Хоссу на случай сильно зависимых функций.

Теорема 4. Если сильно зависимая п-арная операция [х1,...,хп] на конечном множестве X удовлетворяет тожеству ассоциативности

^^ . . . ,хп],хп+Ъ . . . ,х2п—1] = [хЪ [х2, . . . , хп+1], хп+2, . . . , х2п—1],

то для некоторого моноида «*» на множестве X, автоморфизма в моноида «*», такого, что вп—1(х) = а*х*а—1, а € X — обратимый элемент моноида «*», в(а) = а, справедливо тождество

[х1,..., хп] = х1 * в(х2) * в2(х3) * ... * вп—2(хп—1) * а * хп, хг € X, г = 1,..., п.

В заключение приведём обобщение обратной теоремы Глускина — Хоссу. Теорема 5. Если для сильно зависимой п-арной операции [х1,... , хп] справедливо представление

[х1,... ,хп] = х1 * в(х2) * в2(хз) * ... * вп—2(хп—1) * а * хп,

где «*» — моноид на множестве X; в — автоморфизм моноида «*», такой, что вп—1 (х) = = а-1 * х * а, а € X — обратимый элемент моноида «*», в(а) = а, то она является п-полугруппой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. О теореме Поста — Глускина — Хоссу // Проблемы физики, математики и техники. 2013. Вып. 1(14). С. 55-59.

2. Малышев Ф. М. О теореме Поста — Глускина — Хоссу для конечных квазигрупп и самоинвариантные семейства подстановок // Математический сборник. 2016. Т. 207. Вып. 2. С. 81-92.

3. Малышев Ф. М. Теорема Поста — Глускина — Хоссу для п-квазигрупп // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2016. Т. 8. С. 59-62.

4. Сохацкий Ф. Н. Обобщение двух теорем Белоусова для сильно зависимых функций к-значной логики // Исследования по теории бинарных и п-арных квазигрупп. Математические исследования. Кишинев: Штиинца, 1985. №85. С. 105-115.

UDC 512.772.7 DOI 10.17223/2226308X/11/8

NFS FACTORIZATION: NEW HOPES

P. Kirchner

We describe new Number Field Sieve techniques. While none is proved (even under heuristics) to work for a concrete family of number fields, we hope such a family exist. If this is the case, we can factor a special integer n in time Ln( 1/3, (16/9)1/3), which doubles the length of n with respect to SNFS for the same time. This algorithm works by finding a strongly-ambiguous ideal in order to factor the relative discriminant of a prime degree Galois extension. In case this method can be adapted for factoring general numbers, it may reach a complexity Ln(1/3, (32/9)1/3). A variant of the same