CC BY
10
УДК 519.714.5 Б01 10.17223/2226308Х/11/6
к-ТРАНЗИТИВНОСТЬ ОДНОГО КЛАССА БЛОЧНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
И. В. Чередник
Пусть О — произвольное конечное множество, Q(О) —семейство всех бинарных квазигрупп, определенных на множестве О, и Х^: Оп ^ Оп — отображение, реализуемое сетью Х ширины п € N с одной бинарной операцией ^ £ Q(О). В работе определяются условия к-транзитивности множества преобразований (Х^ : ^ € Q(О)}, предлагается эффективный способ проверки к-транзитивно-сти этого множества и приводятся параметры результата работы алгоритма построения таких сетей Х, у которых множество преобразований (Х^ : ^ € Q(О)} является к-транзитивным.
Ключевые слова: сети, квазигруппы, к-транзитивность.
В работе [1] определяется понятие отображения Е^: Пп ^ Пп, реализуемого сетью Е ширины п € N с одной бинарной операцией Г € Q(П), и проводится первичное исследование криптографических свойств семейства отображений (Е^ : Г € Q(П)}. Кратко перечислим основные результаты, полученные в [1].
Сеть Е будем называть биективной для множества П, если при выборе любой квазигруппы Г € Q(П) отображение Ер является биективным.
Теорема 1 [1]. Сеть Е постоянной ширины является биективной для некоторого множества П, |П| ^ 2, в том и только в том случае, когда она эквивалентна произведению
Пь ■ Еь, 1 ■ ... ■ Еь,ь (Ед,1 ' ... ' Ек,ь ■ Пд),
где Щ (Пд) —перестановочная сеть, а Е^д,..., Е^ (Едд,..., Ед,4) —элементарные сети. При этом длина произведения равна количеству вершин сети Е со степенью захода 2 и соответственно не зависит от выбора представления.
Указанные в теореме 1 представления биективной сети Е в виде произведения элементарных сетей будем называть каноническими представлениями сети Е. Количество вершин сети Е со степенью захода 2 называется весом сети Е и обозначается ||Е||.
Следствие 1 [1]. Если сеть Е постоянной ширины является биективной для некоторого множества П, |П| ^ 2, то сеть Е является биективной для всех множеств.
Биективную сеть Е будем называть транзитивной для множества П, если множество отображений (Е^ : Г € Q(П)} является транзитивным. Основным результатом работы [1] можно считать разработанный автором аппарат разметки сетей, который позволяет проверить транзитивность произвольной биективной сети, а при отрицательном ответе определить особенности строения сети, противоречащие транзитивности. Например, с его помощью доказываются следующие утверждения.
Теорема 2 [1]. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности строго больше чем ||Е||. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть Е является транзитивной для множества П;
2) сеть Е допускает нетривиальную правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях.
22
Прикладная дискретная математика. Приложение
Следствие 2 [1]. Для биективной сети Е следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть Е является транзитивной для некоторого множества, мощность которого строго больше чем ||Е|| + п;
2) сеть Е является транзитивной для произвольного множества, мощность которого строго больше чем ||Е|| + п.
Теорема 3 [1]. Сеть Е допускает нетривиальные правильные непротиворечивые разметки при всех возможных ограничениях из N в том и только в том случае, когда сеть Е допускает нетривиальные правильные непротиворечивые разметки при всех возможных ограничениях из П2.
Кроме того, аппарат разметки позволил сформулировать и обосновать в [1] алгоритм модификации канонического представления произвольной биективной сети Е, в результате применения которого строится биективная сеть Е, транзитивная для всех множеств достаточно большой мощности.
Теорема 4 [1]. Пусть Е — произвольная биективная сеть ширины п. Тогда её модификация Е имеет вес ||Е|| = ||Е|| +3п — 3 и является транзитивной для любого множества П, мощность которого больше чем ||Е|| + 4п — 3.
Следствие 3 [1]. Для любого п ^ 2 существует сеть Е ширины п и веса 3п — 3, которая транзитивна для всех множеств, мощность которых больше чем 4п — 3.
Естественным продолжением исследования криптографических свойств семейства отображений, реализуемых сетью Е с одной бинарной операцией ^ € <2(П), представляется изучение вопроса о кратной транзитивности множества {Е р : ^ € <2(П)}. Биективную сеть Е будем называть к-транзитивной для множества П, если множество отображений {Е р : F € <2(П)} является к-транзитивным. Оказалось, что введённый в [1] аппарат разметки сетей допускает вполне естественное обобщение, которое позволяет исследовать сложное свойство к-транзитивности при к ^ 2.
Теорема 5. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности строго больше чем к| | . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть является к-транзитивной для множества П;
2) сеть допускает нетривиальную правильную непротиворечивую к-разметку элементами множества П при любых ограничениях.
Следствие 4. Для биективной сети следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть является к-транзитивной для некоторого множества, мощность которого строго больше чем к||Е|| + кп;
2) сеть является к-транзитивной для произвольного множества, мощность которого строго больше чем к||Е|| + кп.
Следующий результат позволяет эффективно проверять к-транзитивность произвольной биективной сети для достаточно больших множеств.
Теорема 6. Сеть Е допускает нетривиальные правильные непротиворечивые к-разметки при всех возможных ограничениях из N в том и только в том случае, когда сеть допускает нетривиальные правильные непротиворечивые к-разметки при всех возможных ограничениях из П&+1.
В заключение отметим, что аппарат к-разметки позволяет сформулировать и обосновать алгоритм модификации канонического представления произвольной биективной сети , в результате применения которого строится биективная сеть Е, к-транзи-тивная для всех множеств достаточно большой мощности.
Теорема 7. Пусть Е — произвольная биективная сеть ширины п. Тогда её модификация Е имеет вес ||Е|| ^ ||Е|| + 6п — 7 и является к-транзитивной для любого множества П, мощность которого больше чем к||Е|| + 7к(п — 1).
Следствие 5. Для любого п ^ 2 существует сеть Е ширины п и веса 6п — 7, которая к-транзитивна для всех множеств, мощность которых больше чем 7к(п — 1).
Автор благодарен А. В. Черемушкину за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чередник И. В. Один подход к построению транзитивного множества блочных преобразований // Прикладная дискретная математика. 2017. №38. С. 5-34.
УДК 519.719.1 Б01 10.17223/2226308Х/11/7
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ ГЛУСКИНА — ХОССУ И МАЛЫШЕВА НА СЛУЧАЙ СИЛЬНО ЗАВИСИМЫХ п-АРНЫХ ОПЕРАЦИЙ
А. В. Черемушкин
Доказываются аналоги теорем Глускина — Хоссу о строении п-групп и Малышева о строении п-квазигрупп с условием слабой обратимости справа и слева применительно к случаю сильно зависимых операций над конечным множеством.
Ключевые слова: п-арные группа, п-арная полугруппа, сильно зависимая операция, слабо обратимая операция.
Пусть п ^ 0 и X — непустое множество. п-Полугруппой называется п-арная операция f (х1,... , хп) = [х1,... , хп] на множестве X, удовлетворяющая тождествам ассоциативности
[х1, . . . , Хг—1, [xi, . . . , хг+п—1], хг+«о . . . , х2п—1]
[х1, . . . , 1, [xj, . . . , xj+n—1], xj+n, . . . , Х2п— 1],
1 ^ г < 3 ^ п. Если при этом п-полугруппа является п-квазигруппой, т. е. для каждого г = 1,... , п унарная функция f (а1,... , аг—1, хг, аг+1... , ап) является подстановкой по переменной хг при всех а1,..., аг—1, аг+1..., ап € X, то она называется п-группой.
Строение п-группы над произвольным, не обязательно конечным, множеством X описывается следующей теоремой Л. М. Глускина и М. Хоссу.
Теорема 1. Для любой п-группы [х1,... ,хп] найдутся некоторая групповая операция «*» на множестве X, автоморфизм в группы «*» и а € X, такие, что вп—1(х) = = а * х * а-1, в(а) = а и справедливо тождество
[х1,..., хп] = х1 * в(х2) * в2(х3) * ... * вп—2(хп—1) * а * хп, хг € X, г = 1,..., п.
Заметим, что данную теорему обычно называют обратной теоремой Глускина — Хоссу, а прямая теорема утверждает, что всякая п-квазигруппа такого вида является п-группой. С историей и различными обобщениями этой теоремы можно познакомиться в обзоре [1].
