CC BY
12
2017 Теоретические основы прикладной дискретной математики №38
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.714.5
ОДИН ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ТРАНЗИТИВНОГО МНОЖЕСТВА
БЛОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
И. В. Чередник
Московский технологический университет (МИРЭА), г. Москва, Россия
Пусть Q — произвольное конечное множество и Q(Q) —семейство всех бинарных квазигрупп, определённых на множестве Q. Преобразование Qn ^ Qn, n ^ 2, реализуемое сетью £ с одной бинарной операцией F, будем обозначать £F. В терминах строения сети £ доказан критерий биективности всех преобразований из множества {£F : F £ Q(Q)} и определено каноническое представление таких сетей. Вводится и разрабатывается аппарат разметки сетей, который позволяет сформулировать и обосновать необходимые и достаточные условия для транзитивности множества преобразований {£F : F £ Q(Q)}. Предложен эффективный способ проверки транзитивности множества преобразований {£F : F £ Q(Q)}. Изложен и обоснован алгоритм построения сетей £, для которых множество преобразований {£F : F £ Q(Q)} является транзитивным.
Ключевые слова: сети, квазигруппы, блочные преобразования, транзитивное множество блочных преобразований.
DOI 10.17223/20710410/38/1
ONE APPROACH TO CONSTRUCTING A TRANSITIVE CLASS OF BLOCK TRANSFORMATIONS
I. V. Cherednik
Moscow Technological University (MIREA), Moscow, Russia
E-mail: p.n.v.k.s@mail.ru
In the paper, a new type of block transformations is determined and investigated. These transformations can be used to construct hash functions and block ciphers. Let Q be an arbitrary finite set, and Q(Q) be the collection of all binary quasigroups defined on the set Q. We consider the mappings £F: Qn ^ Qn that are implemented by a network £ of a width n with one binary operation F £ Q(Q). The network £ is called bijective for Q if the mapping £F is bijective for each F £ Q(Q). We show that the network £ is bijective for all finite sets iff the network £ is bijective for some finite set Q such that |Q| ^ 2. Therefore, we say that the network £ is bijective if it is bijective for a nontrivial finite set. The networks £1, £2 are called equivalent for Q if the map £F coincides with the map £F for each F £ Q(Q). Moreover, we say that the networks £1, £2 are equivalent if the networks £1, £2 are equivalent for all finite sets. It is easy to define the elementary networks by analogy with the elementary matrices. We prove that every bijective network £ is equivalent to a unique
product of elementary networks. This product is called the canonical representation of S and its length is denoted by ||£||. We prove that bijective networks £1, £2 of equal width n are equivalent iff they are equivalent for some finite set Q such that |Q| ^ l|£1| + l|£2| + n. A bijective network £ is called transitive for Q if the set {£f : F G Q(Q)} is transitive. We prove that the bijective network £ is transitive for all sufficiently large finite sets iff £ is transitive for some finite set Q such that |Q| ^ ||£|| + n. In addition, we propose an effective method for verifying the network transitivity for all sufficiently large finite sets, namely the bijective network £ is transitive for Q such that |Q| ^ ||£|| + n whenever it is transitive for some two-element subset of Q. In the final section, we expound an algorithm for constructing transitive networks. For a given bijective network £ of a width n, the algorithm adds 3n — 3 elementary networks to the canonical representation of £ without changing the existing contents. As a result of these modifications, we obtain a bijective network £ that is transitive for every sufficiently large finite set Q (|Q| ^ ||£|| + n).
Keywords: network, quasigroup, block transformation, transitive class of block transformations.
Введение
Произвольная бинарная операция F : П x П ^ П называется квазигруппой на множестве П, если уравнения вида
F (x,b) = c, F (a, y) = c
однозначно разрешимы при любых a, b, c G П [1]. Множество всех квазигрупп, заданных на множестве П, будем обозначать Q(Q).
Пусть {x1,... , xn} — множество переменных и * — символ бинарной операции. Множество всех формул в алфавите {x1,... , xn, *} будем обозначать W. При сопоставлении символу «*» конкретной бинарной квазигруппы F G Q(Q) формула w(x1,... ,xn) реализует отображение wF : Пп ^ П, а набор формул (w1,... ,wm) G Wm — отображение (wf,...,wf): Пп ^ Пт
Определение 1. Пусть (v1,... , vk) G Wk и в наборе (w1,... , wm) G Wm каждая из формул wj, j G {1,... ,m}, либо имеет вид vi1 *vi2, i1 = i2, i1 ,i2 G {1,..., k}, либо является некоторой формулой Vj, i G {1,... , k}. Тогда будем говорить, что набор формул (w1,..., wm) является результатом преобразования набора формул (v1,..., vk).
Один из способов построения произвольного набора формул (w1,... , wm) заключается в последовательном преобразовании набора переменных (x1,... ,xn). Для исследования свойств отображений одного класса, соответствующего определённому набору формул, введём дополнительное представление процесса преобразований набора формул, которое отличается большей наглядностью.
Определение 2. Пусть t, n°, n1,... , nt G N и
X0 = {x1 ^, x2 ^, . . . , xn°o) }, X1 = {x1 ^, x2 ^, . . . , xn11)}, . . . , Xt = {x1 ^, x2 ^, . . . , xntt)}
— семейство попарно непересекающихся конечных непустых множеств. Тогда квазигрупповой сетью (далее — просто сетью) длины t будем называть простой ориентированный граф S с множеством вершин X° U X1 U ... U Xt, содержащий только рёбра вида (x(s 1),xjs)), s G {1,... ,t}, с тем ограничением, что степень захода каждой вершины xjs), s G {1,... , t}, равна 1 или 2. При этом если степень захода вершины xjs)
равна 2, то рёбра (ж^ ^, ж(8)) и (ж^ ^, ж(8)) имеют различные метки из множества {/, г}. Число шах{п0,... , п^} будем называть шириной сети Е. Множества Х0 и Х4 называются множествами начальных и конечных вершин соответственно. Подграф Е5 сети Е, основанный на множестве вершин Х5-1 иХ8, будем называть э-м слоем сети Е. Сеть Е называется однослойной, если она имеет длину 1.
Определение 3. Пусть Е и Е' — сети с множествами вершин Х = Х0 и Х1 и ... .. .иХ8 и X' = Х0 иХ1 и...иХ; соответственно и X ПХ' = Х5 = Х0. Тогда естественным образом можно определить сеть длины э + £ с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х5 и и Х' и ... и Х^, которую будем называть произведением сетей Е и Е' и обозначать Е ■ Е'.
Непосредственно из определений 2 и 3 следует, что произвольная сеть Е длины £ является произведением однослойных сетей: Е = Ех ■ ... ■ Е4.
Определение 4. Пусть (г1,...,гп) —произвольный набор формул и Е — однослойная сеть с множеством вершин {ж1,... , жП0)} и {ж^,... , ж^}. Тогда определим набор формул (и>г,... , ит) по следующим правилам:
(1) с. ( (0) (1)ч
— если вершине ж у инцидентно единственное ребро (ж^ , ж( ), то полагаем и( = г^;
(1) "С. ( (0) (1)ч / (0) (1)ч ,
— если вершине ж( инцидентны рёбра (ж^ ,ж( ) и (ж^„ ,ж( ) с метками 1 и г соответ-
г^ * г^.
При этом будем говорить, что однослойная сеть Е описывает преобразование набора формул (г1,... , гп) в набор формул (и^,... , ит). Произвольная сеть Е является произведением однослойных сетей, являющихся её слоями, и потому естественным образом описывает последовательность преобразований набора формул.
Пусть Г Е <2(П) —произвольная квазигруппа и сеть Е описывает последовательность преобразований набора переменных (ж1,...,жп) в набор формул (и1,...,ит). Тогда отображение (и1,... , и^): Пп ^ Пт будем обозначать Е^.
Нетрудно понять, что если Е = Е1 ■ Е2, то при выборе любой квазигруппы Г справедливо соответствующее равенство отображений Е^ = Е^ ■ Е^.
Определение 5. Будем говорить, что сети Е и Е' эквивалентны для множества П, если при выборе любой квазигруппы Г Е <2(П) отображения Е^ и Е'^ совпадают. Будем говорить, что сети Е и Е' эквивалентны, если они эквивалентны для любого множества.
Замечание 1. Если сети Е и Е' описывают преобразование набора переменных (ж1,... , жп) в наборы формул (и1,... , ит) и (и',... , и^) соответственно, то совпадение указанных наборов формул является достаточным условием для эквивалентности сетей Е и Е'.
Определение 6. Сеть Е будем называть биективной для множества П, если при выборе любой квазигруппы Г Е <2(П) отображение Е^ является биективным. Сеть Е будем называть биективной, если она биективна для любого множества.
Очевидно, что для биективности сети Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х4 необходимо, чтобы множества начальных и конечных вершин были равномощны, то есть выполнялось равенство |Х01 = |Х4|.
Определение 7. Сеть Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х4 будем называть сетью постоянной ширины, если |Х0| = |Х1| = ... = |Х4|.
В данной работе рассматриваются только сети постоянной ширины, поэтому будем использовать термин «сеть», подразумевая при этом сеть постоянной ширины.
ственно, то полагаем и
Поскольку любая сеть Е биективна для произвольного одноэлементного множества П и, более того, в таком случае любые две сети Е и Е' одинаковой ширины представляют одно и то же единственное отображение Пп м Пп, то в дальнейшем всегда будем полагать, что |П| ^ 2.
1. Строение биективных сетей
Пусть Е — сеть с множеством вершин X0 U Xi U ... U Xt. Тогда Е = Ei • ... • Et и при выборе любой квазигруппы F Е <2(П) выполняется равенство Е* = Е* • ... • Е*. Поэтому Е биективна для множества П в том и только в том случае, когда каждый слой Е8, s Е {1,..., t}, биективен для множества П.
Для однослойной сети Е с множеством вершин {ж^,..., жП0)} U {ж^,... , жП^} определим (0,1)-матрицу связности A^ = (aj)nxn по следующему правилу: aj = 1 в случае, если сеть Е содержит ребро (xi0),xj1)), и aj = 0 — в противном случае.
Напомним, что диагональю в матрице размера n х n называют всякую совокупность из n её попарно неколлинеарных элементов, при этом диагональ называется положительной, если все её элементы положительны [2, 3].
Теорема 1. Однослойная сеть Е является биективной для множества П тогда и только тогда, когда матрица A^ обладает единственной положительной диагональю.
Доказательство. Доказательство критерия проведём индукцией по ширине сети. База для сети ширины 1 очевидна. В предположении, что критерий верен для любой однослойной биективной сети ширины строго меньше чем n, докажем его для произвольной однослойной биективной сети Е ширины n.
Необходимость. По определению сети Е каждый столбец матрицы A^ содержит хотя бы одну единицу. При этом если сеть Е биективна для множества П, то в матрице A^ найдётся хотя бы один столбец, содержащий ровно одну единицу, так как в противном случае при выборе произвольной квазигруппы F Е <2(П) отображение Е* будет действовать следующим образом:
(ai,a2,... ,a„) м (F(a^, аЛ), F(ai2, aj2),..., F(ain, aJn)).
Нетрудно понять, что при выборе квазигруппы F Е <2(П) со свойством F(a, a) = b для всех a Е П и некоторого фиксированного b Е П (указанным квазигруппам соответствуют латинские квадраты, у которых на главной диагонали стоит только элемент b), система
(F(a, a), F(a, a), . . . , F(a, a)) = (b, b, . . . , b)
будет иметь |П| ^ 2 решений, и отображение Е* не может быть биективным — противоречие. Значит, в матрице A^ существует столбец, содержащий одну единицу. Не ограничивая общности, можно считать, что это первый столбец, а единица в нём расположена на пересечении с первой строкой.
Пусть в первой строке матрицы A^ содержится r единиц; не ограничивая общности, будем считать, что они стоят на первых r местах. Тогда при выборе произвольной квазигруппы F Е <2(П) отображение Е* будет действовать следующим образом:
(ai, a2,..., a„) м (ab F'{ab a*2},..., F'{ab a*r}, F'{air+1, air+1},..., F'{a*n, ain }),
где {i2,..., jr+1,..., jn} ^ {2,..., n}, а запись F'{a^ aj} означает либо F(a^ aj), либо F(aj, ai), либо просто a^. Поскольку сеть Е является биективной для множества П, очевидно, что действие отображения Е* можно уточнить:
(ai,a2,... ,a„) м (ai, F{ai,a^2},..., F{abair},F'{air+i, aJr+i},..., F'{ain, aJn}),
где запись Г{а^,а(} означает либо Г(а^,а(-), либо Г(а(-, а^). Биективность отображения Е^ равносильна однозначной разрешимости при любых 61,...,6П Е П системы уравнений
(а1 , Г{аьа*2},..., Г{а1 ,а*г}, Г'{а^г+1 ,а(г+1},... , Г'{а^, а^ }) = (61,62,..., 6„)
относительно а1,..., ап Е П. Это, в свою очередь, равносильно однозначной разрешимости при любых 61,... , 6П Е П следующей системы:
(Г{61, а*2},..., Г{61, }, Г'{а*г+1, а^},..., Г'{а*п, а,„}) = (62,..., 6Г, 6г+1,..., 6га),
которую можно переписать в эквивалентном виде
(а^2 , . . . , агг , Г'{агг+1, а(г+1 }, . . . , Г'{агп , ( }) = (Г-1{61,62},...,Г-1{6Ъ 6г }, 6г+Ъ . . . , 6п^
где запись Г—1 {61, 6(} означает либо решение уравнения Г(61,ж) = 6(, либо решение уравнения Г(ж,61) = 6(. Однозначная разрешимость последней системы при любых 61,... , 6П Е П равносильна однозначной разрешимости системы
(а^2 , . . . , агг , Г'{агг+1, а(г+1 }, . . . , Г'{аг„ , ( }) = ^ . . . , 6ГА+Ъ . . . , 6п)
при любых 62, . . . , 6Г, 6г+1,. .. , 6П Е П.
Обозначим подграф сети Е, основанный на множестве вершин {ж20),... , жП0)} и и {ж21),... ,жП1)}, через Е'. Легко видеть, что Е' является однослойной сетью ширины (п — 1) и однозначная разрешимость системы
(а^2 , . . . , агг , Г'{агг+1, а(г+1 }, . . . , Г'К„ , ( }) = (6/2, . . . , 6ГА+Ъ . . . , 6п)
при любых 62,..., 6Г, 6г+1,...,6П Е П на самом деле означает биективность отображения Е'^. Таким образом, показано, что при выборе любой квазигруппы Г Е <2(П) биективность отображения Е^ равносильна биективности отображения Е'^. Другими словами, сеть Е является биективной для множества П в том и только в том случае, когда сеть Е' является биективной для множества П.
По предположению индукции матрица А^у = А^ (2 ' ' ' П) содержит единственную положительную диагональ, которая однозначно продолжается до единственной положительной диагонали матрицы А^.
Достаточность. Пусть матрица А^ имеет единственную положительную диагональ. Тогда в матрице А^ существует столбец, в котором содержится ровно одна единица, так как в противном случае в результате последовательного вычёркивания всех строк матрицы А^, содержащих ровно одну единицу, вместе с соответствующими
им столбцами останется подматрица АЕ "' , 2 ^ I ^ п, которая содержит
У1 ... Зч
в каждой строке не менее двух единиц и в каждом столбце ровно по две единицы. Нетрудно понять, что такая матрица содержит в каждой строке и в каждом столбце ровно две единицы и, следовательно, имеет не менее двух положительных диагоналей, которые продолжаются до различных положительных диагоналей матрицы А^, — противоречие. Значит, в матрице А^ существует столбец, содержащий одну единицу, и, не ограничивая общности, можно считать, что это первый столбец, а единица в нём расположена на пересечении с первой строкой.
Пусть в первой строке матрицы А^ содержится г единиц, будем считать, что они стоят на первых г местах. Тогда, аналогично предыдущей части доказательства,
нетрудно показать, что сеть Е является биективной для множества П в том и только в том случае, когда сеть Е' является биективной для множества П. При этом матри-
всякая положительная диагональ матрицы А^ содержит единственную единицу из первого столбца и является продолжением некоторой положительной диагонали мат-
множества П. ■
Следствие 1. Следующие утверждения являются равносильными:
1) сеть Е является биективной для некоторого множества П;
2) сеть Е является биективной.
Доказательство. 1 ^ 2. Если сеть Е с множеством вершин Х0 и X и ... и X является биективной для некоторого множества П, то каждый её слой Е8, в Е {1,...,¿}, является биективным для данного множества. Из теоремы 1 следует, что биективность однослойных сетей Е8, в Е {1,..., ¿}, для множества П не зависит от природы этого множества и его мощности, а зависит только от строения указанных однослойных сетей. Значит, каждый слой Е8, в Е {1,... , ¿}, является биективным для всех множеств и, следовательно, сама сеть Е является биективной для всех множеств.
2 ^ 1. Очевидно. ■
Ввиду следствия 1 в определении биективной сети достаточно требовать биектив-ность только для одного множества, мощность которого больше чем 1.
Следствие 2. Пусть Е — биективная однослойная сеть. Тогда:
1) сеть Е содержит вершины со степенью захода 1;
2) сеть Е содержит вершины со степенью исхода 1.
Доказательство.
1) Согласно теореме 1, матрица А^ имеет единственную положительную диагональ, и в доказательстве теоремы 1 показано, что существует столбец матрицы А^, в котором содержится ровно одна единица.
2) Согласно критерию биективности однослойной сети, в матрице А^ отсутствуют нулевые строки. Кроме того, невозможно, чтобы каждая строка матрицы А^ содержала более одной единицы, так как в этом случае каждый столбец матрицы А^ будет содержать ровно две единицы, а сама матрица А^ будет иметь не менее двух положительных диагоналей, что противоречит биективности сети Е. ■
Пример 1. Легко проверить, что преобразование набора переменных (х,..., в набор формул (х2 * (х4 * х5), £1, х4 * х5, * х3, х5, (х2 * х3) * (ж6 * х7), ж7 * х * ж6) может быть описано (при подходящей разметке дуг) сетью, приведённой на рис. 1. Также нетрудно убедиться, что это преобразование набора переменных может быть описано сетью, приведённой на рис. 2. Значит, эти сети эквивалентны.
поскольку
, и по предположению индукции сеть Е' является биективной для
Рис. 1
Рис. 2
Определение 8. Пусть Е — однослойная сеть с множеством вершин Х0иХ1. Вершину ж(0) Е Х0 сети Е будем называть неподвижной, если Е содержит ребро (ж(0), ж(1)). Сеть Е будем называть элементарной, если все вершины из множества Х0 неподвижны и ровно одна вершина из множества Х1 имеет степень захода 2.
Элементарную сеть с множеством вершин Х0 и Х1, которая содержит рёбра (ж(0),ж(1)) и (ж( ,ж(1)), будем обозначать Е{г'(}. В случае, когда ребро (ж(, ж(1)) имеет
метку I, обозначение можно уточнить как Е(г'(), а если оно имеет метку г — как Е('г).
Произвольная элементарная сеть всегда является биективной. Ещё одним важным примером биективных сетей являются сети с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х4, у которых степень захода каждой вершины ж(5), э Е {1,...,£}, равна 1. Такие сети будем называть перестановочными. Произвольная перестановочная сеть определяет
г
отображение Пп ^ Пп, не зависящее от выбора квазигруппы ^ Е <2(П) и действующее на множестве Пп как перестановка координат вектора. Отсюда следует, что любая перестановочная сеть эквивалентна однослойной перестановочной сети. Произвольная перестановочная сеть эквивалентна произведению перестановочных сетей, у каждой из которых ровно две вершины не являются неподвижными, — это следует из известного результата о представлении произвольной перестановки в виде произведения транспозиций.
Элементарные и перестановочные сети являются примерами простейших биективных сетей, однако, как показывает следующая теорема, этих примитивов достаточно для реализации произвольной биективной сети.
Теорема 2. Сеть Е является биективной в том и только в том случае, когда она эквивалентна произведению
где Ед1,..., Ед4 (Е^,..., Е^) —элементарные сети; Пд (Щ) —однослойная перестановочная сеть. При этом количество элементарных сетей в произведении равно количеству вершин сети Е со степенью захода 2.
Доказательство. Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости потребуются два вспомогательных утверждения.
Лемма 1. Пусть Е — произвольная биективная однослойная сеть, а П1, П2 — такие однослойные перестановочные сети, что корректно определить произведения П1 • Е и Е • П2. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) сеть П1 • Е эквивалентна однослойной сети;
2) сеть Е • П2 эквивалентна однослойной сети;
3) сеть Е эквивалентна произведению Ед • Пд однослойной биективной сети Ед, у которой все вершины неподвижны, и однослойной перестановочной сети Пд;
4) сеть Е эквивалентна произведению П^ • Е^ однослойной биективной сети Е^, у которой все вершины неподвижны, и однослойной перестановочной сети П^.
Доказательство. Доказательство утверждений 1 и 2, с использованием замечания 1, очевидно.
Утверждение 3: согласно критерию биективности однослойной сети, матрица АЕ обладает единственной ненулевой диагональю, расположенной на местах
(1,г1),..., (п,гга). Перестановка определяет перестановочную сеть Пд.
ной сети Ед, у которой все вершины неподвижны. Таким образом, сети Е и Ед • Пд описывают преобразование набора переменных в один набор формул и, согласно замечанию 1, они эквивалентны.
Доказательство утверждения 4 аналогично. ■
Лемма 2. Пусть Е — биективная однослойная сеть, у которой все вершины неподвижны и хотя бы одна имеет степень захода 2. Тогда сеть Е эквивалентна произведению элементарных сетей Е1 • ... • Е4, где £ — число вершин сети Е со степенью захода 2.
Доказательство. Пусть Е — однослойная биективная сеть ширины п, у которой все вершины неподвижны. Тогда количество вершин сети Е со степенью захода 2 равно ш(А^) — п, где ш(А^) — количество ненулевых элементов матрицы Ац.
Ед1 • ... • Ега • Пд (или Щ • Еы • ... • Е^),
Сеть Е • Пд1 описывает преобразование формул, соответствующее некоторой однослой-
Доказательство утверждения проведём индукцией по параметру ш(А^) — п. База при ш(А^) — п =1 очевидна: Е является элементарной сетью ширины п.
Предположим, что утверждение верно для любой однослойной биективной сети Е ширины п при условии ш(А^) — п < Докажем утверждение для произвольной однослойной биективной сети Е ширины п с условием ш(А^) — п =
Нетрудно понять, что ш(А^) < 2п, так как в противном случае каждый столбец матрицы АЕ содержит ровно две единицы и в сети Е отсутствуют вершины со степенью захода 1, что противоречит следствию 2. Таким образом, £ = ш(А^) — п < п и в матрице А^ в точности £ столбцов содержат две единицы; не ограничивая общности, будем считать, что это первые £ столбцов.
Поскольку все вершины сети Е неподвижны, то элементы матрицы Ац, расположенные на местах (1,1),... , (п, п), очевидно, образуют положительную диагональ. При этом все 2£ единиц, расположенных в первых £ столбцах, не могут находиться на
пересечении с первыми £ строками, так как в противном случае матрица А^
имеет две различные трансверсали, которые продолжаются до различных трансвер-салей матрицы А^, что противоречит биективности сети Е. Значит, хотя бы одна из последних (п — £) строк матрицы А^ содержит не менее двух единиц; не ограничивая общности, будем считать, что это строка с номером (£ + 1).
Пусть в (£ + 1)-й строке матрицы А^ присутствует единица на месте э Е {1,. ..,£}. Тогда обозначим через Е' однослойную сеть, полученную из сети Е удалением ребра (ж(+)1 ,ж^1)). Очевидно, что А^' = А^ — Е(4+1)8, где Е(4+1)8 — (0,1)-матрица, у которой единственная единица стоит на пересечении (£ + 1)-й строки и 5-го столбца. Поскольку матрица А^ обладает единственной трансверсалью, а её главная диагональ не содержит нулей, матрица А^у также обладает единственной трансверсалью, расположенной на главной диагонали. Последнее означает, что сеть Е' является биективной.
При выборе подходящей элементарной сети Е{5'*+1} произведение Е' • Е{5'*+1} описывает такое же преобразование набора переменных (ж1,... ,жп), что и сеть Е. Значит, согласно замечанию 1, сети Е и Е' • Е{5'*+1} являются эквивалентными. При этом ш(Аху) — п = ш(А^) — 1 — п = £ — 1 и по предположению индукции однослойная сеть Е' эквивалентна произведению элементарных сетей Е1 • ... • Е4-1.
Таким образом, доказали, что однослойная биективная сеть Е ширины п эквивалентна произведению элементарных сетей Е1 • ... • Е4-1 • Е{5'*+1}, длина которого удовлетворяет равенству £ = ш(А^) — п. ■
Теперь, для завершения доказательства теоремы, остаётся воспользоваться представлением сети Е в виде произведения собственных слоёв и применить к ним доказанные леммы. ■
Количество вершин сети Е со степенью захода 2 будем называть весом сети Е или её сложностью и обозначать ||Е||.
2. Разметка биективных сетей
Введём понятие разметки сети — инструмента, который позволяет обнаруживать особенности биективной сети, нарушающие её транзитивность, и докажем критерий эквивалентности биективных сетей и единственность указанного в теореме 2 представления.
Учитывая результаты, полученные в п. 1, не ограничивая общности, будем считать, что произвольная биективная сеть Е представляет собой произведение Е1 • ... • Е4 • П
с множеством вершин Х0 и Х1 и... и X и Х4+1, где Е1,... , Е4 — элементарные сети; П — однослойная перестановочная сеть. Также, не ограничивая общности, будем считать, что П С N.
Определение 9. Если для элементов у1,у2,уз Е N и частично определённого отображения ^: N х N — N выполняется соотношение ^(у1,у2) = у3, то будем говорить, что элементы у1 и у2 содержатся в области определения отображения ^, а элемент у3 содержится в области значений отображения ^.
Определение 10. Частично определённое отображение ^: N х N — N удовлетворяющее условию
(У1,У2) = ^Ы,у2)) ((уъЫ = (у!,у2)) или (ш = у!,У2 = у2)
при всех допустимых у1,у2,у'1 , у2 Е N, будем называть частично определённым отображением без противоречий (или частично определённым непротиворечивым отображением).
Определение 11. Разметкой сети Е = Е1 •... • Е4 • П будем называть произвольное отображение ^: Х0 и Х1 и ... и и Х4+1 — N. Пусть ^: N х N — N — частично определённое отображение. Тогда разметку ^ сети Е, которая удовлетворяет следующим условиям:
— для всех ^ Е {1,...,£} и г Е {1,..., п}:
— если deg- ж(5) = 1, то ^(ж(5)) = !));
— если deg- ж(5) = 2 и рёбра (ж(5-1),ж(5)), (ж^-1),ж(5)) имеют метки I и г соответственно, то ^(ж(5)) = ^(^(ж^ !)),^(ж^ !)));
— если deg- ж(5) = 2 и рёбра (ж(5-1),ж(5)), (ж^-1),ж(5)) имеют метки г и / соответ-
ственно, то ^(ж(5)) = ^(^(ж^-1)), ^(ж(5-1))); — если перестановочная сеть П содержит рёбра (ж^, ж^+1)), к Е {1,..., п}, то выполняются равенства ^(ж^+1)) = Мж(^), к Е {1,..., п}, будем называть правильной относительно ^. При этом само отображение ^ будем называть правилом разметки
Определение 12. Пусть ^ — разметка сети Е с правилом ^ и при этом никакое сужение частичного отображения ^ не является правилом разметки Тогда будем говорить, что ^ является минимальным правилом разметки Нетрудно понять, что минимальное правило разметки ^ определено однозначно. Правильную разметку ^ будем называть непротиворечивой, если её минимальное правило является непротиворечивым отображением.
Определение 13. Если для разметки ^ сети Е выполняется система равенств {^.(ж^= у : 3 Е 3}, то будем говорить, что ^ —разметка сети Е с условиями
{^.(ж^= у : 3 Е 3}. Система равенств ^(ж!0)) = у1, ..., ^(жП0)) = называется начальным условием разметки при этом говорят, что ^ — разметка с начальным условием (у1,... , уп).
Каждая правильная разметка сети Е однозначно определяется своим начальным условием и правилом. В тех случаях, когда при некоторой разметке вершин ж!0),... , жП0) сети Е для полного задания правильной разметки не хватает области определения частично определённого отображения ^, можно непротиворечивым образом расширить область определения ^ и тем самым определить разметку с правилом ^. Поясним это подробнее.
Пусть задана начальная разметка ^(ж10)) = г^ ..., ^(жП0)) = гп сети Е и ... , гп} 3 {у1, у2,...} — счётное множество меток, которые не содержатся ни в области определения, ни в области значений правила ^ (при этом возможно, что метки г1,... ,гп также не содержатся ни в области определения, ни в области значений правила ^). Тогда продолжим разметку ^ сети Е по следующему правилу:
— для всех ^ € {1,...,¿} при Е8 = положим ^,(ж(8)) = 1)), если I = г, а для
разметки вершины ж^ возможны следующие варианты:
- если Е8 = Е^'^ и значение ^ ^(ж^ - -определено, то пометим вершину ж^ меткой ^ ^(ж^ , в противном случае пометим вершину ж^ ранее не использованной меткой и определим ^ ^(ж^ 1)), ^(ж^5 =у8;
- если Е8 = и значение ^ ^(ж^ определено, то пометим вершину ж^ меткой ^ ^(ж^ , в противном случае пометим вершину ж^ ранее не использованной меткой и определим ^ ^(ж^ 1)), ^(ж^8 =у8;
— если перестановочная сеть П содержит рёбра (ж^^^,ж^^), к € {1,... ,п}, то положим Мж£+1)) = М^Х к € {1,..., п}.
При проведении разметки ^ сети Е описанным способом частично определённое (непротиворечивое) отображение ^ корректным образом продолжается до частично определённого (непротиворечивого) отображения, которое будем обозначать при этом построенная разметка ^ является правильной относительно ^е,^.
Определение 14. Описанную процедуру продолжения разметки ^ и расширения области определения ^ будем называть свободным продолжением начальной разметки ^(ж1_0)) = г1,... ,^(жП0)) = гп и её правила ^ относительно сети Е.
Пусть п и ^ — разметки сети Е и для отображения : N ^ N справедливо соотношение о п = то есть при всех в € {0,... , £ +1} и г € {1,...,п} выполняется равенство ам(п(ж^8))) = ^(ж^). Тогда будем обозначать это условие как : п ^
Определение 15. Правильную разметку п сети Е с начальным условием (г1,... ,гп) будем называть свободной, если для любой правильной разметки ^ сети Е с начальным условием (г1,..., гп) существует отображение удовлетворяющее условию : п ^
Непосредственно из определения свободной разметки следует, что при условии существования свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,..., гп) определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения меток.
Теорема 3. Пусть разметка п получена в результате свободного продолжения начальной разметки п(ж10)) = г1,... ,п(жП0)) = гп и пустого правила С относительно сети Е. Тогда п — свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,...,гп), а отображение Се,п — её минимальное правило.
Доказательство. Из определения процедуры свободного продолжения начальной разметки п(ж10)) = г1,..., п(жП0)) = гп и её пустого правила С относительно сети Е следует, что разметка п является непротиворечивой и её минимальное правило Се,п удовлетворяет условию
(СЕ'П(¿1^2) = СЕ'П,4)) ((*1,*2) = (*!,4)) (1)
при всех допустимых , ¿2 € N0. Пусть ^ — произвольная правильная разметка
сети Е с теми же начальными условиями, что и разметка п. Тогда для доказательства существования отображения : п ^ ^ достаточно показать, что при совпадении меток = п(ж,г)) также выполняется равенство ^(ж(5)) = ^(ж,г)).
Не ограничивая общности, будем считать, что Е = Е1 •.. .-Е^. Докажем утверждение индукцией по длине произведения Е1 • ... • Е4. База индукции при £ =1 очевидна.
Пусть теперь Е = Е1 •... • Е4-1 • Е4 — сеть длины £ > 1 и Е4 = Е^'^. Рассмотрим все
М (г)
возможные варианты для пары вершин ж^ и ж, :
1) Если г, в < то истинность утверждения следует из предположения индукции.
2) Если г < в = £ и к = г, то выполняется равенство п(ж(5-1)) = п(ж(г)), и остаётся воспользоваться предположением индукции.
3) Если г = в < £ и к = 3,то выполняется равенство п(ж(5)) = п(ж,Г 1)), и остаётся воспользоваться предположением индукции.
4) Если г = в = £ и к € {г,3}, то выполняется равенство п(ж(5-1)) = п(ж,Г-1)), и остаётся воспользоваться предположением индукции.
5) В случае, когда в = £ и Е4 = Е{г'1}, не ограничивая общности, будем считать, что Е4 = Е(г'°. Из определения процедуры свободного продолжения разметки следует, что п(ж(5)) € {^ъ ... , гп}, а минимальное правило разметки п удовлетворяет условию (1). Значит, равенство меток п(ж(5)) = п(ж(г)) влечёт за собой совпадение упорядоченных наборов меток (п(ж(5 1)), п(ж(5 1))) и, не ограничивая общности, (п(ж,г ) ),п(ж(,г))), где г' € {0,...,г — 1} —наибольшее со свойством п(ж,г)) = п(ж,г)). По предположению индукции упорядоченные наборы меток (^(ж^ 1)),^(ж(а 1))) и )), ^(ж(,г ))) также совпадают и, следовательно, вы-
1 // ,
) = "(ж,
полняются равенства ^(ж^) = ^(ж,г +1)) = ^(ж,г)).
6) Доказательство случая, когда г = £ и Е4 = Е{,'1}, аналогично доказательству 5. Теорема доказана. ■
Замечание 2. Поскольку свободная разметка сети Е с начальным условием (^1,... , гп) определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения меток, то, не ограничивая общности, можно считать, что произвольная свободная разметка п сети Е может быть получена при помощи свободного продолжения соответствующей начальной разметки п(ж10)) = г1,... , п(жП0)) = гп и её пустого правила О относительно сети Е.
Следующая теорема фактически оправдывает название свободной разметки.
Теорема 4. Пусть п — свободная разметка сети Е, ^ — правильная разметка сети Е, и возможно определить отображение по правилу ам(п(ж^0))) = ^(ж^0)), г € {1,..., п}. Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : п ^
Доказательство. Для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что при совпадении меток п(ж(в)) = п(ж,г)) также выполняется равенство ^(ж(а)) = ^(ж,г)). Это устанавливается индукцией по длине сети Е аналогично доказательству теоремы 3. ■
Следствие 3. В условиях теоремы 4, если О и ^ — минимальные правила разметок п и ^ соответственно, то при всех допустимых € N выполняется равенство а^0^,^)) = ^ )).
Среди множества всех свободных разметок сети Е особенным образом выделяются два типа свободной разметки.
Определение 16. Свободную разметку сети Е с начальным условием (г1,... , г1) будем называть минимальной свободной разметкой сети Е и обозначать птт. Свободную разметку сети Е с начальным условием (г1,..., гп) будем называть максимальной свободной разметкой сети Е, если все метки г1,... , гп — различны, и обозначать птах.
Следствие 4. Для произвольной свободной разметки п сети Е существует отображение : п ^ птт.
Следствие 5. Для произвольной свободной разметки п сети Е существует отображение : птах ^ п.
Замечание 3. На множестве всех свободных разметок фиксированной сети Е можно естественным образом ввести отношение эквивалентности класс [п]~ содержит все свободные разметки сети Е, которые могут быть получены из свободной разметки п с помощью обратимого переобозначения меток. При этом фактор-множество всех свободных разметок по данному отношению эквивалентности является частично упорядоченным множеством с единственными минимальным и максимальным элементами [птт]~ и [птах]~ соответственно.
В п. 1 доказано, что произвольная биективная сеть эквивалентна произведению элементарных и перестановочной сетей. Однако открытым остался вопрос об однозначности такого представления:
— во-первых, какие элементарные сети в указанном произведении допустимо менять
местами?
— во-вторых, однозначен ли состав представления биективной сети в виде произведения элементарных и перестановочной сетей?
Ответ на первый вопрос дает следующее очевидное утверждение.
Утверждение 1. Пусть Е^1'^ и Е^2'7^ —различные элементарные сети одной ширины. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) сети Е{г1 71} • Е^2'72} и Е{2г2'72} • Е^1'7^ описывают одинаковые преобразования набора переменных;
2) сети Ег{;ьл} • Е{22'72} и Ег{2г2'Ы • Е?" эквивалентны;
3) ¿1 = ¿2, ¿1 = ^2 и ¿2 = .
Если для элементарных сетей Е{п '71} и Е{22'72} выполняются условия утверждения 1, то будем говорить, что для них допустима перестановка.
Введённый аппарат разметки позволяет доказать однозначность состава произведения элементарных и перестановочной сетей, представляющего биективную сеть. Для этого потребуется результат, известный как гипотеза Эванса [4] и в общем случае независимо доказанный в работах [5, 6].
Теорема 5 (В. 8ше1ашик, 1981). Если частично определённое непротиворечивое отображение ^: О х О ^ О определено не более чем на |О| — 1 наборах, то оно продолжается до квазигруппы на множестве О.
Теорема 6. Если сети Е = Е1 • ... • Е4 • П и Е' = Е1 • ... • Е5 • П' эквивалентны, то П = П', а произведения элементарных сетей Е1 • ... • Е4 и Е1 • ... • Е5, имеют одинаковый состав и могут отличаться только допустимой перестановкой множителей. В частности, эквивалентные сети имеют одинаковую сложность.
Доказательство. Пусть Е — сеть ширины n с множеством вершин X0 U X1 U ... ... U Xt U Xt+i и максимальная свободная разметка n сети Е с начальным условием (v1,...,vn) получена в результате свободного продолжения начальной разметки n(xi0)) = v1,... ,n(xi0)) = vn и пустого правила относительно сети Е. Тогда, согласно определению свободного продолжения разметки, в свободной разметке n используется множество меток П = {v1,... ,vn,y1,... , yt}, а её минимальное правило G : П х П ^ П определено на t различных наборах. Далее будем считать, что разметка n сети Е удовлетворяет условиям
П(Х1(0)) = V1, . . . , n(x„(0)) = Vn, n(x1(í+1)) = Vu , . . . , n(Xn(í+1)) = Угп ,
где {Vii,...,Vi„} С {V1 ,...,Vt}.
Пусть Е' — сеть с множеством вершин X0 U X1U... U XS U XS+1 и разметка n' сети Е' получена в результате свободного продолжения начальной разметки n'(x1(0)) = v1, ..., п'(хП(0)) = vn и её правила G относительно сети Е'; для удобства непротиворечивое правило Gs'y будем обозначать G'. Тогда, согласно определению свободного продолжения разметки, в разметке n' используются метки из множества П' = = {v1,..., vn, y1,..., yt,..., yd}, а её правило G' : П' х П' ^ П' определено на d различных наборах. Далее будем считать, что разметка n' сети Е' удовлетворяет условиям
II l(0)\ Il I (0)\ // /(s+1)\ II I (s+1)\
n(x1()) = v1,...,n(xn()) = vn, n(x1( )) = Vji ,...,n(xn( )) = Vjn,
где {Vji,..., Vjn} С {yb ...,y^..., Vd}.
Согласно гипотезе Эванса, непротиворечивое отображение G' продолжается до квазигруппы G G <2(П'), и для эквивалентных сетей Е и Е' справедливы соотношения
Е^1,... , vn) = ... ,v„) = (n(x1í+1)),... ,n(xií+1))) = (y¿i,... ,vÍ„),
..., vn) = Е'с'(V1,..., vn) = (n'(x1(s+1)),... ,n'(<(S+1))) = (yji,..., j).
Поскольку отображения Ес и Е'с совпадают, то (yii,... ,yin ) = (yji,... , yjn ). Последнее равенство означает, что на самом деле при свободном продолжении начальной разметки n'(x1(0)) = v1,... , n'(X»(0)) = vn и её правила G относительно сети Е' дополнительные метки yt+1,... ,yd не возникают и правило G' совпадает с G. Другими словами, разметка n' сети Е' является G-правильной.
Далее потребуется вспомогательное утверждение.
Лемма 3. Пусть n — максимальная свободная разметка сети Е = Е1 •... • Е4 с минимальным правилом G, а n' — G-правильная разметка сети Е' = Е1 •... • Е^ с тем же начальным условием. Тогда из равенства {n(x1(t)),..., n(xn(t))} = {n'(x1(s)),..., n'(^n(s))} следует, что t = s, а произведения элементарных сетей Е1 •.. .-Е4 и Е1 •.. .•Е^ отличаются лишь допустимой перестановкой множителей.
Доказательство. Докажем утверждение индукцией по t. База при t =1 очевидна.
Пусть теперь t > 1. Не ограничивая общности, будем считать, что максимальная свободная разметка n сети Е получена в результате свободного продолжения начальной разметки n(x10)) = y-1,... , n(xn0)) = y-n и пустого правила относительно сети Е. Согласно определению свободного продолжения разметки, минимальное правило G свободной разметки n удовлетворяет условию
(G(yi,yj) = G(yd,ym)) ((yi,yj) = (yd,ym))
при всех допустимых у^ у-, у^, ут € {у-п,... , У^, Уъ ... , У*}; при этом если выполняется равенство ) = ут, то т > шах{г, з}.
Используя указанные свойства отображения С, индукцией по длине сети Е' можно показать (аналогично доказательству теоремы 3), что для правильной С-разметки п' сети Е' выполняется свойство
(п'(хЛ = п'(4М)) (г = з). (2)
Не ограничивая общности, будем считать, что Е* = е11,2) и соответственно выполняются равенства
У* = П(х(Л = С(п(х?-1)) П(х2*-1))) = С(УьУг).
Из условия леммы следует, что у4 = п(х1^) = п'(х^(а)) и уг = п(х2^) = п'(х/2(а)). Согласно (2), метку уг могут иметь только вершины из множества {х/2 (0),... , х/ (в)}, а метку у* — только вершины из множества {х/ (1),...,х/(а)}. Выберем наименьшее I € {1,... , в} со свойством (1)) = ... = (а)) = У*. Тогда для метки п'(х^ (1)) = у* в правильной С-разметке п' справедливы равенства
п'(<(1)) = У* = С(у1,уг) = С(п(< (1-1)),п(х^2(1-1))).
Таким образом, п'(х^(1)) = ... = п'(х^(а)) = У*, п'(х'2(1)) = ... = п'(х'2(а)) = уг, при
/ (1) / ($-1) 1 этом все вершины х^ ,... , Х/ имеют степень исхода I, поскольку их метка не
содержится в области определения правила С. Значит, согласно утверждению I, произведение Е1 •... • Е$ эквивалентно произведению Е1 •... • Е^-1 • Е^+1 •... • Е$ • Е1, и легко видеть, что для сетей Е1 • ... • Е4-1 и Е1 • ... • Е{_ 1 • Е^+1 • ... • Е$ выполняется предположение индукции: разметка п является максимальной свободной разметкой сети Е1 • ... • Е4-1, её минимальное правило также является правилом для разметки п' сети Е1 • ... • Е{_ 1 • Е^+1 • ... • Е$ и выполняется равенство
{п(х1(*-1)),..., п(х„(4-1))} = {п'(х1($-1)),..., п'(хП($-1))}.
Значит, по предположению индукции £ — 1 = в — 1, а произведения элементарных сетей Е1 • ... • Е4-1 и Е1 • ... • Е{_ 1 • Е^+1 • ... • Е$ отличаются лишь допустимой перестановкой множителей. В таком случае Е* = Е{. ■
Из условия (п(х1т)),... ,п(хПт))) = (у/1,... ,у/п) = (п'(х1($+1)),..., п'(хП($+1))) следует, что {п(х1(4)),... ,п(х„(4))} = {у/1, ...,у/„} = {п'(х1(5)),... ,п'(х^(5))}, и при этом минимальное правило С максимальной свободной разметки п сети Е1 • ... • Е* с начальным условием (^1,... , гп) также является правилом разметки п' сети Е1 • ... • Е$ с начальным условием (^1,... , гп).
Согласно лемме 3, произведения элементарных сетей Е1 • ... • Е* и Е1 • ... • Е$ имеют одинаковый состав и могут отличаться лишь допустимой перестановкой множителей. Значит, для правильных С-разметок п и п' выполняется равенство (п(х1(*)),... , п(хга(4))) = (п'(х1(5)),... , п'(хП(в))). Поскольку выполняется также равенство (п(х1/+1)),..., п(хп+1))) = (п'(х1($+1)),..., п'(хП($+1))), очевидно, что П = П'. Теорема 6 доказана. ■
Следствие 6. Пусть Е и Е' — биективные сети ширины п. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) сети Е и Е' эквивалентны для множества П, |П| ^ ||Е|| + ||Е'|| + п;
2) сети Е и Е' эквивалентны.
Доказательство. 1 ^ 2. Пусть Е = Е1 •... • Е4 • П и Е' = Е1 •... • Е$ • П'. Тогда, как видно из доказательства теоремы 6, эквивалентности сетей Е и Е' для множества П, |П| ^ ||Е|| + ||Е'|| + п, достаточно для того, чтобы произведения Е1 • ... • Е* • П и Е1 •... • Е$ • П' имели одинаковый состав и отличались лишь допустимой перестановкой множителей.
2 ^ 1. Очевидно. ■
Теперь можно уточнить результат теоремы 2 следующим образом.
Следствие 7. Сеть Е является биективной в том и только в том случае, когда она эквивалентна произведению
ЕД1 • ... • Ет • Пд (или Щ • Еы • ... • Е^),
где Ед1,..., Ед (Е^1,..., Е^) —элементарные сети, а Пд (Щ) —однослойная перестановочная сеть. При этом произведение определено однозначно с точностью до возможной перестановки элементарных сетей, а количество элементарных сетей в произведении равно количеству вершин сети Е со степенью захода 2.
Ранее мы отмечали и неоднократно пользовались тем, что две сети Е и Е' одинаковой ширины, которые описывают преобразование набора переменных в один и тот же набор формул, являются эквивалентными. Теперь можно доказать обратное утверждение.
Теорема 7. Эквивалентные сети Е и Е' описывают преобразование набора переменных в один и тот же набор формул.
Доказательство. Из теоремы 6 следует, что представления
Е1 • ... • Е* • П и Е1 • ... • Е$ • П'
эквивалентных сетей Е и Е' имеют одинаковый состав и произведение Е1 • ... • Е$ может быть получено из произведения Е1 • ... • Е* путём конечного числа допустимых перестановок элементарных сетей. Согласно утверждению I, если в произведении элементарных сетей произведена допустимая перестановка множителей, то полученное произведение описывает такое же преобразование набора переменных, что и исходное произведение. ■
3. Транзитивность сетей
Продолжим развивать аппарат разметки и сформулируем на новом языке условия, достаточные для транзитивности сети.
Определение 17. Биективную сеть Е будем называть транзитивной для множества П, если множество отображений {Е^ : Г € <2(П)} является транзитивным.
Нетрудно понять, что сама природа множества П в данном определении не играет никакой роли, и поэтому будет корректным говорить, что биективная сеть Е является транзитивной для множеств мощности д. По-прежнему будем считать, что П С N а для множества {1,... , д} будем использовать обозначение Пд.
Поскольку действие перестановочной сети не зависит от выбора квазигруппы Г€^(П), представляется очевидным следующее
Утверждение 2. Пусть Е — произвольная транзитивная для множества П сеть, П1, П2 — произвольные перестановочные сети, для которых корректно определить произведения П • Е и Е • П2. Тогда сети П • Е и Е • П2 также являются транзитивными для множества П.
Далее, не ограничивая общности, будем считать, что произвольная биективная сеть Е представляет собой произведение элементарных сетей Е1 •... • Е4 с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х4.
Определение 18. Разметку ^ сети Е с условиями
^(ж(10)) = VI,... ,МжП0)) = г^^ж^) = .. ^(ж^) =
будем называть разметкой сети Е с ограничениями ( '.. ^ ]. При этом будем
. . • ^гау
... гга
говорить, что сеть Е допускает разметку ^ с ограничениями I
... ^га
Если биективная сеть Е транзитивна для некоторого множества П, то для любых (г1 , ...,гп), (и^,...,^) € Пп существует такая квазигруппа Г € <2(П), что Е^ (г1,... , гп) = (^1,... , В таком случае квазигруппа Г определяет правильную и
непротиворечивую разметку сети Е с ограничениями ^ г1 .'. . Другими слова-
ми, существование правильной непротиворечивой разметки сети Е при произвольных ограничениях г™ ) из множества П является необходимым условием для то-
го, чтобы сеть Е была транзитивной для множества П.
С другой стороны, известно, что не каждое частично определённое непротиворечивое отображение Г: П х П ^ П может быть продолжено до квазигруппы на множестве П. Поэтому в общем случае условие существования правильных непротиворечивых разметок сети Е со всеми возможными ограничениями из множества Пп не является гарантией транзитивности сети Е для множества П. Однако связь между существованием правильных непротиворечивых разметок сети Е и её транзитивностью существует.
Теорема 8. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности строго больше чем ||Е||. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть Е является транзитивной для множества П;
2) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях ( г1 | из множества П.
... WnJ
Доказательство. 1 ^ 2. Очевидно.
2 ^ 1. Каждой правильной непротиворечивой разметке сети Е с ограничениями г1 ... г„
из множества П соответствует непротиворечивое правило, определённое
. . .
не более чем на ||Е|| ^ |П| — 1 наборах. Согласно гипотезе Эванса, данное правило продолжается до квазигруппы на множестве П. ■
Следствие 8. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности не менее чем ||Е|| + п. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть Е является транзитивной для множества П;
2) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях ( ... ^ | из множества П;
... ^„у
3) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку при любых ограни-
/V ... г;„\
чениях из множества М
... ^„у
4) сеть Е является транзитивной для любого множества, мощность которого не менее чем ||Е|| + п.
Замечание 4. В общем случае утверждение теоремы 8 нельзя усилить, поскольку гипотеза Эванса также не допускает усиления оценки в общем случае.
Пусть п — произвольная разметка сети Е = Е1 •... • Е*. Тогда с разметкой п свяжем отношение С С М3, определённое следующим образом: отношение С содержит тройку (у, уг, уд) в том и только в том случае, когда для некоторого в € {1,...,¿} выполняются
равенства Е5 = Е^ и (п(ж(5-1)), п(ж^-1)), п(^т )) = (уг,уг,у<?).
Если в отношении С содержатся две тройки, отличающиеся только в одной координате, например (уг,уг,уд) и (у^, уг,уд/), то, заменив в разметке п все метки уд/ на уд, получим разметку п1, в которой используется на одну метку меньше, чем в разметке п. Если в отношении С1, соответствующем разметке п1, присутствуют две тройки, отличающиеся только в одной координате, то повторим эти действия, и так далее.
Таким образом построим последовательность разметок п = по, п1,... сети Е, в которой каждая следующая разметка использует на одну метку меньше, чем предыдущая. Поэтому указанная последовательность разметок оборвётся на некотором конечном шаге, например с номером к, в том смысле, что в отношении , соответствующем разметке п&, не найдётся двух троек, отличающихся только в одной координате. Такая разметка п& будет правильной и непротиворечивой разметкой сети Е.
Описанную процедуру будем называть устранением противоречий в разметке п. При этом будем говорить, что разметка п^, d € {0,1,..., к}, получена из разметки п устранением противоречий.
Лемма 4. Пусть п — произвольная разметка сети Е, ^ — правильная непротиворечивая разметка сети Е, и при этом существует отображение : п ^ Тогда для любой разметки ту, полученной из разметки п устранением противоречий, выполняется условие : п ^
Доказательство. Пусть п = п0,пъ...,% = П — последовательность разметок сети Е, полученная в результате последовательного устранения противоречий в разметке п. Для доказательства утверждения методом математической индукции достаточно показать, что для разметки п1 также выполняется условие : п1 ^
При построении разметки п1 в отношении С, соответствующем разметке п, выбираются две тройки, отличающиеся только в одной координате. Рассмотрим все возможные случаи:
1) Если выбранная пара имеет вид (уг,уг,уд) и (у,уг,уд/), то ) = ам(уд/), поскольку разметка ^ является правильной. Значит, для разметки п1, полученной из разметки п заменой всех меток уд/ на уд, также выполняется условие
: п1 ^
2) Если выбранная пара имеет вид (уг,уг,уд) и (у^, уг,уд), то (уг) = 0>(уг'), поскольку разметка ^ является непротиворечивой. Тогда при замене в разметке п всех меток уг/ на уг получается разметка п1, для которой, очевидно, выполняется условие : п1 ^
3) Если выбранная пара имеет вид (y, yr,yg) и (уг/, yr, yg), то ам(уг) = ам(уг/), поскольку разметка ß является непротиворечивой. Тогда при замене в разметке п всех меток yy на y\ получается разметка ni, для которой, очевидно, выполняется условие ам: n1 ^ ß.
Лемма доказана. ■
Следствие 9. Пусть п — произвольная разметка сети Е. Тогда правильная непротиворечивая разметка jj, полученная из разметки п устранением противоречий, определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения меток.
Доказательство. Пусть jj и ff —две правильные непротиворечивые разметки, полученные из разметки п устранением противоречий. Тогда существуют отображения а ff и а ff, удовлетворяющие условиям а ff: п ^ j и äff: п ^ ff. Согласно лемме 4, отображения af и а ff также удовлетворяют условиям а ff: ff ^ jj и а ff: rj ^ ff, что и доказывает утверждение следствия. ■
Определение 19. Правильную непротиворечивую разметку п сети Е с ограничениями ^Wl ''' будем называть свободной разметкой сети Е с ограничениями,
если для любой правильной непротиворечивой разметки ß сети Е с ограничениями vi ... vra
существует отображение : п ^
и01 ... ^^п
Из определения следует, что, при условии существования, свободная разметка сети Е с ограничениями | 1 ... Vn \ определена однозначно с точностью до обратили ... WnJ
мого переобозначения меток.
Пример 2. Рассмотрим биективную сеть Е ширины 2
Е = е(2'1) • Е(1'2) • Е(1'2)
Частично определённое правило Г
Г(1, 2) = 1, Г(2,1) = 3, Г(3, 2) = 1
ми (1 1 ). При этом свободная разметка п сети Е с теми же ограничениями (1 ^
определяет правильную, но противоречивую разметку ^ сети Е с ограничения' ми 11 2 . При этом своб определяется правилом С:
С(1, 2) = 1, С(2,1) = 1.
Пример показывает, что в определении свободной разметки с ограничениями нельзя отказаться от условия непротиворечивости правильной разметки Другими словами, свободная разметка с ограничениями не является «свободной» в классе всех правильных разметок с теми же ограничениями.
Теорема 9. Если сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку
с ограничениями ... , то существует свободная разметка сети Е с указан-
ными ограничениями.
Доказательство. Для удобства дальнейшего изложения будем считать, что М\{г1,... ,гп, и^,... , ип} = {у1, у2,...}. Пусть п0 — свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,... , гп), полученная в результате свободного продолжения начальной разметки п0 (ж10)) = г1,..., п0(жП0)) = гп с использованием меток у1,у2,...
Тогда, согласно теореме 3, для любой правильной непротиворечивой разметки ^
/ V! . . . \ .
с ограничениями I I существует отображение удовлетворяющее усло-
\и1 ... ип у
вию : п0 ^ Продолжим указанное отображение по правилу ам(и>г) = и^, г € {1,..., п}, и заменим в разметке п0 метки ^(ж^),..., п0(жг?) на ш1,...,ш„ соответственно. Таким образом, мы построили разметку п1 сети Е с ограничениями ... гп\
I и при этом для любой правильной непротиворечивой разметки ^ с этими ограничениями существует отображение удовлетворяющее условию : п1 ^ Проведём процедуру устранения противоречий в разметке п1 с двумя уточнениями:
— если при устранении противоречия требуется отождествить метки V и у^-, то будем заменять метку у^- на г^;
— если при устранении противоречия требуется отождествить метки и и у^-, то будем заменять метку у^- на и^.
Пусть п — правильная непротиворечивая разметка сети Е, полученная из разметки п1 устранением противоречий. Тогда, согласно уточнениям, все метки п(ж10)), ... , ^(жг?), П(ж1/)), ..., п(жга4)) содержатся в множестве {гь..., гп, и1,... , ип}. При этом, соглас-оо лемме 4, для любой правильной непротиворечивой разметки ^ с ограничениями
... гп\ _
I соответствующее отображение удовлетворяет условию : п ^ и1 ... у
Значит, на самом деле разметка пп является свободной разметкой сети Е с указанными ограничениями. ■
Следствие 10. Если биективная сеть Е ширины п является транзитивной для множества Пд при д ^ 2п, то при любых г1,... , гд, и1,... , ип € N существует свободная
^ (г1 ... г„
разметка сети Е с ограничениями
...
Следующая теорема фактически оправдывает название свободной разметки с ограничениями. о
Теорема 10. Пусть п — свободная разметка сети Е с ограничениями .. гп
^ (г1 ... г„
^ — правильная непротиворечивая разметка сети Е с ограничениями I _
. . . 1_п
при которых возможно определить отображение по правилу ) = г^, = и^,
г € {1,..., п}. Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : п ^
Доказательство. Для удобства дальнейшего изложения будем считать, что М\{г1,... , гп, и1,... , ип} = {у1, у2,...}. Пусть п0 — свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,... , гп), полученная в результате свободного продолжения начальной разметки п0(ж1°'>) = г1,... , п0(жП0)) = гп с использованием меток у1, у2,... Тогда, согласно теореме 4, для любой правильной непротиворечивой разметки ^ с огра-
(_1 ... _Л ,
ничениями I _ I, при которых возможно определить отображение по пра-
вилу ) = щ, а^(и^) = й^, г € {1,..., п}, указанное отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : п0 ^ Заменив в разметке п0 метки п0(ж1*>),... , п0(жга>>) на и1,... , ип соответственно, получим разметку п1 сети Е с огра-
... гп\ Л „
ничениями I I, при этом для любой правильной непротиворечивой размет-
/ ... й
ки ^ с ограничениями I _ I, при которых возможно определить отображе-
ние по правилу = ^(и^) = и^, г е {1,... , п}, отображение продолжается
таким образом, что удовлетворяет условию : п1 ^
Проведём процедуру устранения противоречий в разметке п1 с двумя уточнениями:
— если при устранении противоречия требуется отождествить метки 1 и у, то будем заменять метку у на г^;
— если при устранении противоречия требуется отождествить метки и и у, то будем заменять метку у на г^.
В доказательстве теоремы 9 показано, что правильная непротиворечивая разметка сети Е, полученная из разметки П1 устранением противоречий, является свободной
разметкой сети Е с ограничениями ^ Vl 1п ^ . Без потери общности можно счи-
тать, что при устранении противоречий в разметке п1 получается свободная разметка п. Поскольку для любой правильной непротиворечивой разметки ^ с ограничени-
/_1 ... й
ями I I, при которых возможно определить отображение по правилу
_1 . . . _п
= _г, и») = г е {1,..., п}, отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : П1 ^ то, согласно лемме 4, данное продолжение также удовлетворяет условию : п ^ ■
Следствие 11. В условиях теоремы 10, если С и Г — минимальные правила разметок п и ^ соответственно, то при всех допустимых ^ е N выполняется равенство )) = Г )).
Достаточным условием для существования правильных непротиворечивых разметок сети Е при всех возможных ограничениях из N является существование правильных непротиворечивых разметок сети Е при всех возможных ограничениях из П2п. Справедливо и более сильное утверждение.
Теорема 11. Сеть Е допускает превильные непротиворечивые разметки при всех
г1 . . . гп
возможных ограничениях I I из N в том и только в том случае, когда сеть Е
допускает правильные непротиворечивые разметки при всех возможных ограничениях
11 ... п
из 1г2.
г_1 ... 1_п/
Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность. Пусть М\{г1,..., гп, и1,..., ип} = {у1, у2,...} и п0 — свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,... , гп), полученная в результате свободного продолжения начальной разметки ^(ж!0'1) = г1,..., п0(хп0)) = гп с использованием меток у1, у2,... Тогда, согласно теореме 4, для любой правильной непротиворечивой разметки ^ с ограничениями ^ г_1 из П2, при которых возможно определить отображение по
правилу = _г, и^) = г е {1,...,п}, отображение продолжается та-
ким образом, что удовлетворяет условию : п0 ^ Заменив в разметке п0 метки п0(ж14)),... , п0(жга)) на и1е... , ип соответственно, получим разметку п1 сети Е с огра-г1 . . . гп
ничениями . . . , при этом для любой правильной непротиворечивой раз-
... п
метки ^ с ограничениями I из \12, при которых возможно определить
_1 . . . _п
отображение по правилу 0^(1») = г», ^(г») = г, г € {1,...,п}, отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : П1 ^
Проведём процедуру устранения противоречий в разметке п1 с двумя уточнениями:
— если при устранении противоречия требуется отождествить метки г» и у-, то будем заменять метку у на г»;
— если при устранении противоречия требуется отождествить метки г и у-, то будем заменять метку у на г».
Пусть ту — правильная непротиворечивая разметка сети Е, полученная из разметки п1 устранением противоречий. Тогда, согласно уточнениям, все метки ^(ж10)),... , ^(жП0)), ^(ж^),..., ^(Х?) содержатся в множестве {г1,..., гп, г1,..., }. При этом, согласно лемме 4, для любой правильной непротиворечивой разметки ^ с ограничениями
11 .. из П2, при которых возможно определить отображение по правилу
0>(г») = г, (г») = г, г € {1,..., п}, отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : ту ^
Методом от противного покажем, что правильная непротиворечивая разметка ту
будет разметкой с ограничениями г™^. Согласно сделанным уточнениям,
в ограничениях разметки 7у могли появиться противоречия только следующих типов:
— ^(х(0)) = г =
— ^(х(0)) = г = г»;
— = г = г;
ту(ж(4)) = Wj = Wj.
Разберём первый случай: У(ж(0)) = vj = Vj. Согласно условию теоремы, существует правильная непротиворечивая разметка ^ с ограничениями ($Vl,Vj + 1,... , $Vn,Vj + 1), (^w1,Vj + 1,... , ^Wn,Vj + 1) G ^ и при этом возможно определить отображение по правилу = iVi,Vj + 1, 0"m(wj) = iWi,Vj + 1, i G {1,... , n}. Значит, отображение
продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : ту ^ Получили противоречие, поскольку
My(x(0))) = (vj) = 2 = 1 = 6Vi,Vj + 1 = Mx(0)). Отсутствие противоречий остальных типов устанавливается аналогичным образом. ■
Ввиду следствия 8 становится очевидным следующее утверждение.
Следствие 12. Пусть Е — биективная сеть ширины n и П — множество мощности не менее чем ||Е|| + n. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) сеть Е является транзитивной для множества П;
2) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях ( Vl ... Vn | из множества П;
yWi ... Wn)
3) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях ( Vl Vn | из множества П2 С П;
\Wl ... WnJ
4) множество преобразований {Е^ : F G 2(П)} действует транзитивным образом на подмножестве ПП С Пп.
Пример 3. На первый взгляд может показаться, что результат теоремы 11 можно усилить следующим образом: если сеть Е допускает правильную непротиворечивую
разметку при всех возможных ограничениях
1
1
из П2, то она допуска-
и1 . . . ип о
/г1 ... гп чг_1 ... г_п
из П2 и, как слеоствие, допускает правильную непротиворечивую разметку с любыми
ет правильную непротиворечивую разметку с любыми ограничениями
ограничениями
г1 и1
гп
ип
из N. Однако такое предположение является неверным.
Рассмотрим биективную сеть Е = Е21'2 •Е22'1) •Е^'2 ширины 2. Нетрудно проверить, что сеть Е допускает правильные непротиворечивые разметки при всех возможных
ограничениях 1 1 из П , но при этом не допускает правильной непротиворечи-ограничениях из П2, но при этом не допускает правильной непротиворечи-
и1 и2
вой разметки с ограничениями
12 11
(рис. 3)
Рис. 3
На самом деле результат теоремы II можно усилить, воспользовавшись очевидным соображением: если сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку с огра-
ничениями
г1 и1
ип
из П2 и п — подстановка на множестве П2, то сеть Е допус-
/п(г1) ... п(гп)\
кает правильную непротиворечивую разметку с ограничениями I ( ) ( ) I.
Другими словами, для проверки того, что сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку при любых ограничениях из П2, достаточно убедиться в существовании 22п-1 правильных непротиворечивых разметок сети Е с ограничениями из П2. Данное усиление результата теоремы II примечательно тем, что оно не улучшаемо в общем случае — сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку при лю-
г1 г2 1 2 2 1
бых ограничениях из П2, за исключением и
и1 и2 2 1 1 2 2
В дальнейшем нам потребуются естественные обобщения понятия свободной разметки с ограничениями и соответствующих результатов.
Определение 20. Правильную непротиворечивую разметку п сети Е будем называть свободной разметкой сети Е с условиями
п(ж10))
гЪ ..., п(жп0)) = гп п(4?) = , ..., п(ж!к)) = ,
если для любой правильной непротиворечивой разметки ^ сети Е с аналогичными условиями ^(ж10)) = г1, ..., ^(Х?) = гп, ^(ж^) = и^, ..., = и^ существует
такое отображение , что : п ^
Аналогично теоремам 9 и 10 доказываются следующие утверждения. Теорема 12. Если существует правильная непротиворечивая разметка ^ сети Е с условиями ^(ж10)) = г1, ... , ^.(ж^) = гп, = и^, ..., ^(ж^) = и^, то существует
единственная, с точностью до переобозначений, свободная разметка п сети Е с теми же условиями п(ж10)) = г1, ... ,п(жп0)) = гп, п(ж^) = , ... ,п(ж^) = . Теорема 13. Пусть для свободной разметки п с условиями
п(ж10)) = г1, . . . , п(жп0)) = гп, п(ж1?) = , . . . , п^) = и правильной непротиворечивой разметки ^ с условиями
^(ж10)) = г_Ь . . . , ^(жп0)) = гп, = , . . . , =
возможно определить отображение по правилу а^(г^) = г^, аДи^) = Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : п ^
Следствие 13. В условиях теоремы !3, если С и ^ — минимальные правила разметок п и ^ соответственно, то при всех допустимых ^ € N выполняется равенство )) = ^)). В частности, если метка ^(ж^) не содержится в области определения ^, то метка п(ж^) не содержится в области определения С.
4. Построение транзитивных сетей
Здесь нам потребуется продолжение результата теоремы 2 о представлении биективной сети в виде произведения элементарных и перестановочной сетей.
Утверждение 3. Произвольная биективная сеть Е эквивалентна произведению
Щ (Е11 • ... • Е1йх) • ... • (Еп1 • ... • Епй„) Пд
в котором Щ, Пд — перестановочные сети, а Е11,..., Ещ,..., Еп1,..., Еп^п —элементарные сети, удовлетворяющие следующему условию: при всех в € {2,...,п}, г € € {1,...,к8} вершины ж1 ,...,ж^_1 сети Е5Г имеют степень захо-
да I.
Доказательство. Согласно теореме 2, биективная сеть Е эквивалентна произведению
Е1 • ... • Е* • Пд,
где Е1,..., Е* — элементарные сети, а Пд — перестановочная сеть. Пусть г1,... , гп — такая последовательность номеров от I до п, что при всех в € {2,... , п} и I € {1,... , ¿} для вершин сети Е1 • ... • Е* выполняется условие
ж(? = ... = ж(!) = 1) ж(1)_1 = ... = ж(!)_1 = 1).
Другими словами, г1,... , гп — порядок «окончания преобразований» вершин произведения Е1 •... • Е*. Нетрудно понять. что при выборе перестановочной сети П^, соответствующей подстановке ^ гп^ , произведение П-1 • Е1 • ... • Е* • П^ эквивалентно произведению элементарных сетей
(Е11 • ... • Ещ) • ... • (Еп1 • ... • Еп&п) ,
где Ец,..., Eik1,..., Eni,..., Enkn —элементарные сети, удовлетворяющие следующему условию: при всех s G {2, ...,n}, r G {1,...,ks} вершины x1fcl+'"+fcs-1+r), ...,
(fcl + ...+fc._ l+r) v-,
xS_i сети Esr имеют степень захода I.
Утверждение можно считать доказанным, поскольку исходная сеть Е эквивалентна произведению Щ (Еп ■ ... ■ E^) ■ ... ■ (Eni ■ ... ■ Erafcn) (П-1ПД). ■
Ввиду следствия 7 корректно дать следующее Определение 21. Указанное в утверждении 3 произведение
nL (Eii ■ ... ■ Eifc1) ■ ... ■ (Eni ■ ... ■ Enkn) nR
будем называть каноническим представлением биективной сети E. При этом сети Esi ■ ... ■ Esks, s G {1,..., n}, будем называть слоями канонического представления биективной сети E. Слой Esi ■ ... ■ ESks называется вырожденным, если ks = 0.
Замечание 5. В каноническом представлении произвольной биективной сети вырожденные слои присутствуют в том и только в том случае, когда для некоторого s все вершины xSl), i ^ 0, имеют степень захода I. При этом пустыми могут быть только первые несколько подряд идущих слоев.
Не ограничивая общности, всюду далее будем считать, что произвольная биективная сеть E равна своему каноническому представлению
(Eii ■ ... ■ Eiki) ■ ... ■ (Eni ■ ... ■ Enk„)
с множеством вершин X0 U Xii U ... U Xik1 U ... U Xni U ... U Xnkn.
Далее предложен алгоритм модификации канонического представления произвольной биективной сети, в результате работы которого получается сеть, действующая транзитивным образом для всех достаточно больших множеств. Предварительно докажем вспомогательное утверждение о свойстве процедуры свободного продолжения разметки.
Лемма 5. Пусть E = (Eii ■ ... ■ Eik1) ■ ... ■ (Eni ■ ... ■ Enkn) и ß — разметка сети
Es-i = (Eii ■ ... ■ Eik1) ■ ... ■ (E(s-i)i ■ ... ■ E(s-i)ks_1)
77 rp (k1+...+kä_ 1) (k1+...+kä_ 1) „ ••
с минимальным правилом 1. Тогда если среди xS ,... , хП найдет-
ся вершина x(k1+...+ks-1), метка которой не содержится в области определения Fsä_ 1, то при свободном продолжении разметки ß до разметки сети
Es = (Eii ' ... ' Eik1) ' ... ' (E(s-i)i ' ... ' E(s-i)ks-1) (Esi ' ... ' Esks)
(k1+...+ks) (k1+...+ks) „ .. (k1+...+ks) среди xS ,... , хП найдется вершина xj , метка которой не содер-
жится в области определения — минимального правила разметки ß сети Es.
Доказательство. Докажем утверждение индукцией по длине слоя (Esi ■... ■ Esks). База при ks = 0 очевидна.
Пусть теперь ks ^ 1 и ESks = E{1'r}, l G {s,... , n}. Тогда по предположению индук-
(k1 +...+ks-i) (k1+...+ks-i) „ .. (k1+...+ks-i)
ции среди вершин xS ,...,хП найдется вершина x j , метка
которой не содержится в области определения F^v — минимального правила разметки ß сети Es = (Eii ■ ... ■ Eik1 ) ■ ... ■ (E(s- i)i ■... ■ E( s— i) ks — 1 ) ■ (Esi ■... ■ Es(ks-i)). Рассмотрим два возможных случая:
1) Если одна из вершин ж^ или жГ имеет метку, не содержащуюся в области определения ^у/, то, согласно определению процедуры свободного продолжения разметки, вершина ж^ будет иметь метку, не содержащуюся в области определения ^у в .
2) Если метки обеих вершин ж((к1+...+кг,-1) и жГк1+."+к:г1-1) содержатся в области опре-
ть (Й1 + ...+Йв-1)
деления ^у/ , то очевидно, что метка вершины ж] отличается от меток
(Й1+...+кв-1) (Й1+...+кв-1) о (Й1+...+к3-1)
вершин ж1 и жГ . Значит, вершина ж]- и соответствен-
но вершина ж^1^"^8) будут иметь метку, не содержащуюся в области определения .
у й
Лемма доказана. ■
Алгоритм построения транзитивной сети
Вход: произвольная биективная сеть Е = ( Е11 • ... • Е1^1) • ... • (Еп1 • ... • Еп^п). Ш!аг в ^ п — 2. Пусть первые (в — 1) слоев канонического представления сети Е уже модифицированы таким образом, что сеть
Ев_1 = ( Е11 • ... • Е1^1) • ... • (Е(5-1)1 • ... • Е(5-1)^_1) допускает свободную разметку п при любых условиях
п(ж10)) = г1,..., п(жп0)) = гп, п^) = иь ..., п^"^-1)) = и- € ^
(й1+...+йв _1) (А-1+...+к _1) (£1+...+£в _1)
и при этом среди ж« ,..., жп существует вершина ж; , метка
которой п(ж(А:1+...+;гг1 -1)), независимо от условий г1,... ,гп, и1,... , из-1 € П2, не содержится в области определения Су — минимального правила разметки п сети Ез-1. Пусть ^ — свободная разметка сети Ез-1 с условиями
^(ж10)) = г1,... ,^(жп0)) = гьМж^) = г1,..., ^(ж«^"^= г1 €
ласти определения минимального правила ^у 1. Продолжим разметку ^ сети Ез-1 свободным образом до разметки сети
Тогда, согласно сделанному предположению, метка ^(ж( 1 ... 8 ) не содержится в об-
У в _1'
Е ' = ( Е11 • ... • Е1Й1 ) • ... • (Е(«-1)1 • ... • Е(5-1)^ _1 ) • ( Е «1 • ... • ). гл г (Аи+...+А:в -1+А: в) (Аи+...+А:в — 1+кв)
Согласно лемме 5, среди вершин ж' ,... , жп существует такая
(Аи+...+А:в — ) / (^1+...+^ -1+к в )\ г
вершина ж] , что метка ^(ж] ) не содержится в области опре-
деления ^у, —минимального правила разметки ^ сети Е'. Поскольку разметка ^ по построению является свободной разметкой сети Е' с условиями
^(ж10)) = г1,... ,^(жп0)) = гь ^(ж^) = г1,..., Мж^"^_1)) = г1 €
то, согласно следствию I3, для любой свободной разметки п сети Е' с условиями п(ж10)) = г1,..., п(жп0)) = гп, п(ж?°) = ..., п^«-^_1)) = и- €
^ ГЛ I (&1+...+А:в — 1+^8 )\
независимо от условий г1,... ,гп, и1,...,из-1 € 1г2, метка п(ж] ) не содер-
жится в области определения Су, —минимального правила разметки п сети Е'. Рассмотрим два возможных варианта модификации в-го слоя Е з1 • ... • Е в:
1) Если j = s, то выберем произвольные l, m G {s + 1,... , n}, l = m, и модифицируем s-й слой Е81 • ... • Е^ следующим образом:
v Е ~ _ V V V(s,1) v(s,1) v(1,m)
Е«1 ^ ... ^ Е sks = Е«1 ^ ... ^ • Е1 • Е« • Ет .
2) Если j = s, то выберем произвольный m G {s+1,...,n}, m = j, и модифицируем s-й слой Е81 • ... • Е^ следующим образом:
Е«1 . . . Е sks = Е«1 . . . Е« Ет Е« .
В каждом из этих случаев свободная разметка п сети ЕS с произвольными условиями n(x10)) = v1, ..., п(хП0)) = vn, n(x1^l)) = W1, ..., n(xi;-11+'"+fcs —1)) = Ws—1 G П2 продолжается до свободной разметки п сети
Es = ( Е11 • . . . • Е1^1 ) • . . . • (Е(5-1)1 • . . . • Е(5_1)кз_1)(Ез1 • . . . • ^ ) с любым условием
fcs)) = Ws G П2, при этом метка n(xim1+"'+fcs)), независимо от выбора условий v1,... , vn, W1,... , Ws-1, Ws G П2, не содержится в области определения Gg —минимального правила разметки п сети Еs.
Ш!аг n — 1. Пусть первые (n — 2) слоев канонического представления сети Е уже модифицированы таким образом, что сеть
Еn—2 = (Е 11 • . . . • Е1^1 ) • . . . • (Е(П—2)1 • . . . • Е(П—2)fcn_2) допускает свободную разметку п при любых условиях
n(x10)) = V1,..., п(хП0)) = Vn, п(х?°) = W1,..., п(хП^1+-+"и-2)) = Wn—2 G П2 (fc1 + ... + fc^_ 2) (k1 + ...+kn- 2) (fc1 + ... + fcn-2)
и при этом среди хП_ 1 , хП существует вершина xj , метка кото-
рой n(x(fc1+...+fcn —2)), независимо от условий v1,... , vn, W1,... , Wn—2 G П2, не содержится в области определения Gg —минимального правила разметки п сети ЕП—2. Пусть ^ — свободная разметка сети Еn—2 с условиями
Mx10)) = V1,... ,^(хП0)) = V1,^(x1^1)) = V1,... ,МхП-2+..+п—2)) = V1 G П2.
Тогда, согласно сделанному предположению, метка ^(x(fc1+...+fcn—2)) не содержится в области определения минимального правила Fg . Продолжим разметку ^ сети Еп—2 свободным образом до разметки сети
ЕП—1 = ( Е11 • . . . • Е 1k1) • . . . • (Е(п—2)1 • . . . • Е(п—2)fcn-2) • (Е(п—1)1 • . . . • Е (n—1)fc„-1). /'Ч г (k1+...+kn — 2+&n — 1) (k1+...+kn — 2+&n — 1)
Согласно лемме 5, среди вершин хП_ 1 , хП существует такая
(k1 +...+kn — 2+&n — 1) ! (k1+...+kn — 2+&n —1)4 г
вершина xj , что метка ^ (xj ) не содержится в области опре-
деления минимального правила Fg, . Поскольку разметка ^ по построению является
n — 1
свободной разметкой сети Еn_ 1 с условиями
Mx10)) = V1,... ,^(хП0)) = V1,^(x1^1)) = V1,... ,Mxnk-2+...+kn—2)) = V1 G П2,
то, согласно следствию !3, для любой свободной разметки п сети Е'п-1 с условиями п(ж10)) = г1,..., п(жп0)) = гп, п^) = иь ..., п(жп1+..+п_2)) = ии-2 € П2,
независимо от условий г1,... ,гп, и1,... ,ип-2 € П2, метка п(ж] ) не со-
держится в области определения минимального правила Су, .
уп_1
Рассмотрим два возможных варианта модификации слоя Е(п-1)1 • ... • Е(п-1)^п_1:
1) Если 3 = п — 1, то модифицируем (п — 1)-й слой Е(п-1)1 •... •Е
(п-1)кп_1 следующим
образом:
у! у! _ у! у! у!(п-1,п) у!(п-1,п) у!(п,п-1)
Е(п-1)1 • ... • Е (п-1)йп_1 = Е(п-1)1 • ... • Е(п-1)&П_1 • Еп • Еп-1 • Еп .
2) Если 3 = п, то модифицируем (п — 1)-й слой Е (п-1)1 • ... • Е
(п-1)кп_1 следующим
образом:
V V V V у,(п,п-1) \т(п,п— 1) у,(п-1,п)
Е(п-1)1 • ... • Е (п-1)йп_1 = Е(п-1)1 • ... • Е(п-1)йп_1 • Еп-1 • Еп • Еп-1 .
В каждом из указанных случаев свободная разметка п сети Е'п-1 с произвольными условиями
п(ж10)) = г1,..., п(жп0)) = гп, п^) = иь ..., п^-+..+п_2)) = ип-2 € П продолжается до свободной разметки п сети
Е = ( Е11 • ... • Е1Й1 ) • ... • (Е(п-2)1 • ... • Е(п-2)/гп_2 ) ^ (Е(п-1)1 • ... • Е(п-1)£„_1)
с любыми условиями п(жп_1+...+кп_1)) = ип-1, п(жпг1+...+А:П_1)) = ип € П2.
Выход: модифицируя каноническое представление исходной сети , мы построили «почти» каноническое представление
( Е11 • ... • Е1Й1) • ... • ( Е(п-1)1 • ... • Е (п-1)£„_1 )
новой биективной сети Е, сложность которой равна ||Е|| + 3п — 3. При этом сеть Е
допускает свободную разметку с произвольными ограничениями иТ^ из П2.
Теорема 14. Пусть Е — произвольная биективная сеть ширины п. Тогда её модификация Е транзитивна для любого множества П, мощность которого не менее чем ||Е|| + 4п — 3.
Доказательство. Модификация Е произвольной биективной сети Е допускает свободную разметку с произвольными ограничениями ^г1 гп^ из П2. Значит,
согласно теореме II, модификация Е допускает свободную разметку при любых огра-
г1 . . . гп ничениях из N.
... ип/
Поскольку выполняется соотношение ||Е|| = ||Е|| + 3п — 3, то для проведения свободной разметки сети Е с произвольными ограничениями ^^ из N потребуется не более чем ||Е|| + 4п — 3 различных меток, и при выборе любого множества П,
из П. Последнее утверждение, согласно следствию 8, равносильно тран-
мощность которого не менее чем ||Е|| + 4п — 3, можно считать, что сеть Е допус-нает свободную разметку элементами множества П при произвольных ограничениях
11 ... г™ г ...
зитивности сети Е для множества П. ■
Следствие 14. Для любого п ^ 2 существует сеть Е ширины п и веса 3п — 3, транзитивная для всех множеств, мощность которых не менее чем 4п — 3.
Сеть на рис. 4 служит иллюстрацией к описанному алгоритму и следствию 14, её
11 12 гз 14 г1 г2 г3 г4/
непротиворечивой.
разметка при любых ограничениях
из N является правильной и
Рис. 4
Автор выражает благодарность профессору А. В. Черемушкину за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967.
2. МинкХ. Перманенты. М.: Мир, 1982.
3. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000. 448 с.
4. Evans T. Embedding incomplete latin squares // Amer. Math. Monthly. 1960. No. 67. P. 959-961.
5. Smetaniuk B. A new construction on latin squares I. A proof of the Evans conjecture // Ars Combinatoria. 1981. No. 11. P. 155-172.
6. Anderson L. D. and Hilton A. J. W. Thank Evans! // Proc. London Math. Soc. 1983. No. 47. P. 507-522.
REFERENCES
1. Belousov V. D. Osnovy teorii kvazigrupp i lup [Foundations of the Quasigroups and Loops theory]. Moscow, Nauka Publ., 1967. (in Russian)
2. Mink Kh. Permanenty [Permanents]. Moscow, Mir Publ., 1982. (in Russian)
3. Sachkov V. N., Tarakanov V. E. Kombinatorika neotritsatel'nykh matrits [Combinatorics of Nonnegative Matrices]. Moscow, TVP Publ., 2000. 448 p. (in Russian)
4. Evans T. Embedding incomplete latin squares. Amer. Math. Monthly, 1960, no. 67, pp. 959-961.
5. Smetaniuk B. A new construction on latin squares I. A proof of the Evans conjecture. Ars Combinatoria, 1981, no. 11, pp. 155-172.
6. Anderson L. D. and Hilton A. J. W. Thank Evans! Proc. London Math. Soc., 1983, no. 47, pp. 507-522.
