Один подход к построению кратно транзитивного множества блочных преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Теоретические основы прикладной дискретной математики №42

УДК 519.714.5

ОДИН ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ КРАТНО ТРАНЗИТИВНОГО МНОЖЕСТВА БЛОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

И. В. Чередник

Российский технологический университет (МИРЭА), г. Москва, Россия

Продолжается исследование множества преобразований {£F : F £ Q(Q)}, реализуемых сетью £ с одной бинарной квазигрупповой операцией F. В случае произвольного k ^ 2 определяются условия k-транзитивности этого множества и предлагается эффективный способ проверки этих условий. Приводится алгоритм построения таких сетей £, у которых множество преобразований {£F : F £ Q(Q)} является k-транзитивным.

Ключевые слова: сети, квазигруппы, блочные преобразования, k-транзитивное множество блочных преобразований.

DOI 10.17223/20710410/42/2

ONE APPROACH TO CONSTRUCTING A MULTIPLY TRANSITIVE CLASS OF BLOCK TRANSFORMATIONS

I. V. Cherednik Russian Technological University (MIREA), Moscow, Russia E-mail: p.n.v.k.s@mail.ru

In this work, we continue to study the cryptographic properties of block transformations of a new type, which can be used to construct hash functions and block ciphers. Let Q be an arbitrary finite set, Q(Q) be the collection of all binary quasigroups defined on the set Q, and £F: Qn ^ Qn be a mapping that is implemented by a network £ of width n with one binary operation F £ Q(Q). The network £ is called bijective if the mapping £f is bijective for each F £ Q(Q) and all finite sets Q. The networks £i, £2 are called equivalent if the map £F of £1 coincides with the map £F of £2 for each F £ Q(Q) and for all finite sets Q. It is not difficult to define the elementary networks by analogy with the elementary matrices and prove that every bijective network £ is equivalent to a unique product of elementary networks. This product is called the canonical representation of £ and its length is denoted by ||£||. A bijective network £ is called k-transitive for Q if the family {£F : F £ Q(Q)} is k-transitive. We prove that the bijective network £ is k-transitive for all sufficiently large finite sets iff £ is k-transitive for some finite set Q such that |Q| ^ k||£||+kn. In addition, we propose an effective method for verifying the network's k-transitivity for all sufficiently large finite sets, namely, the bijective network £ is k-transitive for Q such that |Q| ^ k||£|| + kn whenever it is k-transitive for some (k + 1)-element subset of Q. Also, we describe an algorithm for constructing k-transitive networks. For a given bijective network £ of a width n, the algorithm adds 6n — 7 elementary networks to the canonical representation of £ without changing the existing contents. As a result of these modifications, we obtain a bijective network £ that is k-transitive for every sufficiently large finite set Q, namely for |Q| ^ k||£|| + kn.

Keywords: network, quasigroup, block transformation, k-transitive class of block transformations.

Введение

В работе продолжается исследование множества преобразований : F G <2(П)}, реализуемых сетью Е с одной бинарной квазигрупповой операцией F, начатое в [1]. Напомним основные определения и необходимые результаты из [1].

Произвольная бинарная операция F: П х П ^ П называется квазигруппой на множестве П, если уравнения вида

F (x,b) = c, F (a, y) = c

однозназначно разрешимы при любых a, b, c G П [2]. Множество всех квазигрупп, заданных на множестве П, будем обозначать <2(П).

Пусть {x1,... , xn} — множество переменных и * — символ бинарной операции. Множество всех формул в алфавите {x1,... , xn, *} будем обозначать W. При сопоставлении символу * конкретной бинарной квазигруппы F G <2(П) формула w(x1,..., xn) реализует отображение wF: Пп ^ П, а набор формул (w1,...,wm) G Wm — отображение (wf,...,wff): Пп ^ Пт.

Определение 1. Пусть (v1,... , vk) G Wk и в наборе (w1,... , wm) G Wm каждая из формул wj, j G {1,... , m}, либо имеет вид * vi2, i1 = i2, i1, i2 G {1,..., k}, либо является некоторой формулой Vj, i G {1,... , k}. Тогда будем говорить, что набор формул (w1,..., wm) является результатом преобразования набора формул (v1,..., vk).

Один из способов построения произвольного набора формул (w1,... , wm) заключается в последовательном преобразовании набора переменных (x1,... ,xn). Для исследования свойств отображений одного класса, соответствующего определённому набору формул, введём дополнительное представление процесса преобразований набора формул, которое отличается большей наглядностью.

Определение 2. Пусть t, n0, n1,... , nt G N и

X0 = {x1 ), x2 ), . . . , xra0) }, X1 = {x1 ), x2 ), . . . , xn1}, . . . , Xt = {x1 ), x2 ), . . . , xit) }

— семейство попарно непересекающихся конечных непустых множеств. Тогда квазигрупповой сетью (далее — просто сетью) длины t будем называть простой ориентированный граф Е с множеством вершин X0 U X1 U ... U Xt, содержащий только рёбра вида (x(s 1),xjs)), s G {1,... ,t}, с тем ограничением, что степень захода каждой вершины xjs), s G {1,... , t}, равна 1 или 2. При этом если степень захода вершины xjs)

равна 2, то рёбра (x(^-1), xjs)) и (x(^-1), xjs)) имеют различные метки из множества {/, r}. Число max{n0,... , nt} будем называть шириной сети Е. Множества X0 и Xt называются множествами начальных и конечных вершин соответственно. Подграф Es сети Е, основанный на множестве вершин Xs-1 U Xs, будем называть s-м слоем сети Е. Сеть Е называется однослойной, если она имеет длину 1.

Определение 3. Пусть Е и Е' — сети с множествами вершин X = X0 U X1 U ... .. .UXs и X' = X0 UX1 U...UXt' соответственно и X flX' = Xs = X0. Тогда естественным образом можно определить сеть длины s +1 с множеством вершин X0 U X1 U ... U Xs U U X1 U ... U Xt, которую будем называть произведением сетей Е и Е' и обозначать Е - Е'.

Непосредственно из определений 2 и 3 следует, что произвольная сеть Е длины £ является произведением однослойных сетей: Е = Е1 • ... • Е;;.

Определение 4. Пусть (VI,...,гп) —произвольный набор формул и Е — однослойная сеть с множеством вершин (ж^,... , жП0)} и (ж^,... , х^г^}. Тогда определим набор формул (и>г,... , шт) по следующим правилам:

— если вершине ж^ инцидентно единственное ребро (ж(0), ж^), то полагаем ' =

(1) "С. ( (0) (1)ч ( (0) (1)( ,

— если вершине ж( инцидентны ребра (ж^ , ж( ) и (ж^2 , ж( ) с метками I и г соответственно, то полагаем ' = * у^.

При этом будем говорить, что однослойная сеть Е описывает преобразование набора формул (у1,... , уп) в набор формул (ш1,... , шт). Произвольная сеть Е является произведением однослойных сетей, являющихся ее слоями, и потому естественным образом описывает последовательность преобразований набора формул.

Пусть Г Е <2(П) —произвольная квазигруппа и сеть Е описывает последовательность преобразований набора переменных (ж1,...,жп) в набор формул (ш1,...,шт). Тогда отображение ,..., ): Пп ^ Пт будем обозначать Ер.

Нетрудно понять, что если Е = Е1 • Е2, то при выборе любой квазигруппы Г справедливо соответствующее равенство отображений Ер = Еf • Е^.

Определение 5. Будем говорить, что сети Е и Е' эквивалентны для множества П, если при выборе любой квазигруппы Г € <2(П) отображения Ер и Е'р совпадают. Будем говорить, что сети Е и Е' эквивалентны, если они эквивалентны для любого множества.

Замечание 1. Если сети Е и Е' описывают преобразование набора переменных (ж1,... , жп) в наборы формул (ш1,... , шт) и (',... , ш^г) соответственно, то совпадение указанных наборов формул является достаточным условием для эквивалентности сетей Е и Е'. Более того, верно и обратное утверждение (теорема 7 в [1]).

Определение 6. Сеть Е будем называть биективной для множества П, если при выборе любой квазигруппы Г Е <2(П) отображение Ер является биективным. Сеть Е будем называть биективной, если она биективна для любого множества.

Очевидно, что для биективности сети Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и X необходимо, чтобы множества начальных и конечных вершин были равномощны, то есть выполнялось равенство |Х01 = |Х^.

Определение 7. Сеть Е с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Xt будем называть сетью постоянной ширины, если |Х0| = |Х1| = ... = |Х^.

В данной работе рассматриваются только сети постоянной ширины, поэтому будем использовать термин «сеть», подразумевая при этом сеть постоянной ширины.

Определение 8. Пусть Е — однослойная сеть с множеством вершин Х0 иХ1. Вершину ж(0) € Х0 сети Е будем называть неподвижной, если Е содержит ребро (ж(0), ж(1)). Сеть Е будем называть элементарной, если все вершины из множества Х0 неподвижны и ровно одна вершина из множества Х1 имеет степень захода 2.

Элементарную сеть с множеством вершин Х0 и Х1, которая содержит ребра (ж(0),ж(1)) и (ж(0),ж(1)), будем обозначать Е{г'(}. В случае, когда ребро (ж(0),ж(1)) имеет

метку I, обозначение можно уточнить как Е(г'(), а если оно имеет метку г — как Е('г).

Произвольная элементарная сеть всегда является биективной. Еще одним важным примером биективных сетей являются сети с множеством вершин Х0 и Х1 и ... и Х^ у которых степень захода каждой вершины ж(8), в Е (1,...,£}, равна 1. Такие сети

будем называть перестановочными. Произвольная перестановочная сеть определяет отображение Пп ^ Пп, не зависящее от выбора квазигруппы F G <2(П) и действующее на множестве Пп как перестановка координат вектора. Отсюда следует, что любая перестановочная сеть эквивалентна однослойной перестановочной сети.

Элементарные и перестановочные сети являются примерами простейших биективных сетей, однако этих примитивов достаточно для реализации произвольной биективной сети.

Теорема 1 (следствие 7 в [1]). Сеть Е является биективной в том и только в том случае, когда она эквивалентна произведению

Eri ■ ... ■ Ега ■ Пд (или Щ ■ Eli ■ ... ■ ELi),

где Er1, ..., ERt (Eli, ..., ELt) —элементарные сети, а nR (Щ) —однослойная перестановочная сеть. При этом произведение определено однозначно с точностью до возможной перестановки элементарных сетей, а количество элементарных сетей в произведении равно количеству вершин сети Е со степенью захода 2.

Количество вершин сети Е со степенью захода 2 будем называть весом сети Е или её сложностью и обозначать ||Е||.

Учитывая теорему 1, не ограничивая общности, можно считать, что произвольная биективная сеть Е представляет собой произведение Ei ■ ... ■ Et ■ П с множеством вершин X0 U X1 U ... U Xt U Xt+1, где Ei,... , Et — элементарные сети; П — однослойная перестановочная сеть. Также, не ограничивая общности, можно считать, что П С N.

Определение 9. Если для элементов уьу2,у3 G N и частично определённого отображения F : N х N ^ N выполняется соотношение F(y1,y2) = Уз, то будем говорить, что элементы y1 и y2 содержатся в области определения отображения F, а элемент y3 —в области значений отображения F.

Определение 10. Частично определённое отображение F : N х N ^ N, удовлетворяющее условию

(F(yi,y2) = F(У!,У2)) ((yi,y2) = (У!,У2) или (yi = У!,У2 = У2))

при всех допустимых y1,y2,y'1 ,y2 G N, будем называть частично определённым отображением без противоречий (или частично определённым непротиворечивым отображением).

Определение 11. Разметкой сети Е = Е1 ■... ■ Et ■ П будем называть произвольное отображение ^ : X0 U X1 U ... U Xt U Xt+1 ^ N. Пусть F : N х N ^ N — частично определённое отображение. Тогда разметку ^ сети Е, которая удовлетворяет следующим условиям:

— для всех s G {1,... ,t} и i G {1,..., n}:

- если deg- = 1, то = ^(xis-1));

- если deg- = 2 и рёбра (xis , xis)), (xjs , имеют метки l и r соответственно, то = F(^(xis-1)),^(xjs-1)));

- если deg- = 2 и рёбра (x(s-1),x(s)), (xjs-1),x(s)) имеют метки r и l соответственно, то = F!)));

— если перестановочная сеть П содержит рёбра жк*+1)), k G {1,..., n}, то выполняются равенства ) = k G {1,..., n},

будем называть правильной относительно Ь. При этом само отображение Ь будем называть правилом разметки

Определение 12. Пусть ^ — разметка сети Е с правилом Ь и при этом никакое сужение частичного отображения Ь не является правилом разметки Тогда будем говорить, что Ь является минимальным правилом разметки Нетрудно понять, что минимальное правило разметки ^ определено однозначно. Правильную разметку ^ будем называть непротиворечивой, если её минимальное правило является непротиворечивым отображением.

Определение 13. Если для разметки ^ сети Е выполняется система равенств {^.(ж^= у : ] € 3}, то будем говорить, что ^ —разметка сети Е с условиями

{^.(ж^= у : ] € 3}. Система равенств ^(ж10)) = ..., ^(жП0)) = называется начальным условием разметки при этом говорят, что ^ — разметка с начальным условием ... , уп).

Каждая правильная разметка сети Е однозначно определяется своим начальным условием и правилом. В тех случаях, когда при некоторой разметке вершин ж^0,... , жП0) сети Е для полного задания правильной разметки не хватает области определения частично определённого отображения Ь, можно непротиворечивым образом расширить область определения Ь и тем самым определить разметку с правилом Ь. Поясним это подробнее.

Пусть задана начальная разметка ^(ж10)) = VI, ..., ^(жП0)) = сети Е и ... , ^ |у1 ,у2,...} — счётное множество меток, которые не содержатся ни в области определения, ни в области значений правила Ь (при этом возможно, что метки ,... , щ также не содержатся ни в области определения, ни в области значений правила Ь). Тогда продолжим разметку ^ сети Е по следующему правилу:

£ - Е^ положим

м

разметки вершины ж^ возможны следующие варианты:

- если Е£ = Е(г'^) и значение Ь ^(ж(£-1)), ^(ж(£-1)) ^ определено, то пометим вер-

3

(*-1)\ ,,/>-1)> 3

для всех в € {!,...,£} при Е£ = Е{г'3} положим ^(ж(£)) = 1)), если I = г, а для

шину ж^ меткой Ь I ^(ж^ ),^(жз ) 1, иначе пометим вершину ж^ ранее не использованной меткой и определим Ь 1)),^(ж3£ =;

- если Е£ = Е(3'г) и значение Ь ^(ж3£-1)),определено, то пометим вершину ж(£) меткой Ь ^(ж^ 1)),^(ж(£ , иначе пометим вершину ж(£) ранее не использованной меткой и определим Ь ^(ж^ 1)),^(ж(£ =; — если перестановочная сеть П содержит рёбра (ж(^,ж^+1)), к € {1,... ,п}, то положим Мж£+1)) = к € {1,..., п}.

При проведении разметки ^ сети Е описанным способом частично определённое (непротиворечивое) отображение Ь корректным образом продолжается до частично определённого (непротиворечивого) отображения, которое будем обозначать Ь^, при этом построенная разметка ^ является правильной относительно Ь^.

Определение 14. Описанную процедуру продолжения разметки ^ и расширения области определения Ь будем называть свободным продолжением начальной разметки ^(ж1_0)) = ь1; ..., ^(жП) = и её правила Ь относительно сети Е.

Пусть п и ^ — разметки сети Е и для отображения : N ^ N справедливо соотношение о п = то есть при всех в Е {0,... , £ +1} и г Е {1,...,п} выполняется равенство аДп^^)) = Тогда будем обозначать это условие как : п ^

Определение 15. Правильную разметку п сети Е с начальным условием (^1,... , гп) будем называть свободной, если для любой правильной разметки ^ сети Е с начальным условием (г1,..., гп) существует отображение удовлетворяющее условию : п ^

Непосредственно из определения свободной разметки следует, что при условии существования свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,..., гп) определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения меток.

Теорема 2 (теорема 3 в [1]). Пусть разметка п получена в результате свободного продолжения начальной разметки п(х10)) = г1, ..., п(жП0)) = гп и пустого правила О относительно сети Е. Тогда п — свободная разметка сети Е с начальным условием (г1,..., гп), а отображение — её минимальное правило.

Определение 16. Биективную сеть Е будем называть транзитивной для множества П, если множество отображений {Е^ : Г Е <2(П)} является транзитивным.

Нетрудно понять, что сама природа множества П в данном определении не играет никакой роли, поэтому корректно говорить, что биективная сеть Е является транзитивной для множеств мощности д. По-прежнему будем считать, что П С N а для множества {1,..., д} будем использовать обозначение Пд.

Определение 17. Разметку ^ сети Е с условиями

^(ж!0)) = г1, ..., ) = г„, ^(ж^) = ^1, ..., ^(Х?) =

будем называть разметкой сети Е с ограничениями ( г1 .'' гп ). При этом будем

... ^п/

говорить, что сеть Е допускает разметку ^ с ограничениями

г1 ... г„ ...

Теорема 3 (теорема 11 в [1]). Сеть Е допускает правильные непротиворечивые

(г1 ... г„\

разметки при всех возможных ограничениях из N в том и только в том

... WnJ

случае, когда сеть Е допускает правильные непротиворечивые разметки при всех воз-

/^1 ... г„\

можных ограничениях I _ из П2.

... гигау

Следствие 1 (следствие 12 в [1]). Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности не менее чем ||Е|| + п. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) сеть Е является транзитивной для множества П;

2) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях ( г1 | из множества П;

... wnJ

3) сеть Е допускает правильную непротиворечивую разметку элементами множества П при любых ограничениях ( г1 ... гп | из множества П2 С П;

. . . Wn/

4) множество преобразований {Е^ : Г Е 2(П)} действует транзитивным образом на подмножестве ПП С Пп.

1. 2-Разметка биективных сетей

Определение 18. Биективную сеть Е будем называть 2-транзитивной для множества П, если множество отображений {Е^ : Г Е <2(П)} является 2-транзитивным.

Нетрудно понять, что сама природа конечного множества П в данном определении не играет никакой роли, поэтому корректно говорить, что биективная сеть Е является 2-транзитивной для множеств мощности д. Не ограничивая общности, будем считать, что П С N. Очевидно

Утверждение 1. Пусть Е — произвольная 2-транзитивная для множества П сеть, а П1, П2 — произвольные перестановочные сети, для которых корректно определить произведения П1 • Е и Е • П2. Тогда сети П1 • Е и Е • П2 также 2-транзитивны для множества П.

Не ограничивая общности, будем считать, что произвольная биективная сеть Е представляет собой произведение элементарных сетей Е1 •... • Е* с множеством вершин Хо и Х1 и... и X*.

Введенный в [1] аппарат разметки сетей на самом деле позволяет проверять не только транзитивность сети, но и более сложное свойство к-транзитивности при к ^ 2. Так, например, из 2-транзитивности биективной сети Е для множества П следует, что для любых (гп,... ,г1п) = (г21,... ,г2п), (wll,..., Wln) = (w2l,... ,W2n) Е Пп сеть Е допуски ... гы\ /г21 ... г2п кает пару правильных разметок с ограничениями и

^11 . . . Wl^ \_W21 ... W2n

и общим непротиворечивым правилом.

Определение 19. Произвольную пару ^ = (^1,^2) разметок сети Е будем называть 2-разметкой сети Е. При этом метки разметок и будем называть метками 2-разметки Пусть Г: N х N ^ N — частично определённое отображение. Тогда 2-разметку ^ = (^1, ) сети Е будем называть правильной относительно Г, если каждая из разметок и является правильной относительно Г, а отображение Г будем называть правилом 2-разметки

Определение 20. Пусть ^ — 2-разметка сети Е с правилом Г и никакое сужение частичного отображения Г не является правилом 2-разметки Тогда будем говорить, что Г является минимальным правилом 2-разметки Правильную 2-разметку ^ будем называть непротиворечивой, если её минимальное правило является непротиворечивым отображением.

Определение 21. Если для 2-разметки ^ сети Е выполняются системы равенств {^(ж^>) = г^- : ] Е } и {^(ж^>) = г^- : ] Е /2}, то будем говорить, что ^ является

2-разметкой сети Е с условиями {^(ж^>) = г^- : ] Е 71} и {^2(ж^>) = г^- : ] Е /2}.

Системы равенств ^(ж^) = ги, ..., ^1(жП0)) = и ^2(ж10)) = г21, ..., ^2(жП0)) = г2п называются начальным условием 2-разметки при этом говорят, что ^ — 2-разметка с начальным условием (г11,..., г1п) и (г21,..., г2п).

В дальнейшем систему равенств ^(ж^) = г11, ..., ^1(жП0)) = г1п и ^,2(ж10)) = г21, ..., (жП0) ) = г2п также будем называть начальной разметкой сети Е (несмотря на то, что словосочетание «начальная разметка» не определено), полагая при этом, что задана 2-разметка ^1(ж10)) = ги, ..., ^1(жП0)) = и ^(ж^) = г21, ..., ^2(жП0)) = г2п начальных вершин сети Е.

Каждая правильная 2-разметка сети Е однозначно определяется своим начальным

тэ - О (0) (0) V

условием. В тех случаях, когда при некоторой 2-разметке вершин ж1 ,... , жП сети Е

для полного задания правильной 2-разметки не хватает области определения имеющегося правила, можно предложить два способа продолжения начальной разметки и непротиворечивого расширения области определения правила. Пусть задана начальная 2-разметка ^(ж^) = уп, ..., ^1(ж«0)) = ^ и ^(ж^) = У21, ..., ^2(ж«0)) = ^2«. сети Е, а также М\{уп, у21, ..., у1п, у2п} 3 {у11, у21, у12, у22,...} — счётное множество меток, которые не содержатся ни в области определения, ни в области значений правила ^ (при этом возможно, что метки у11, у21,... , у1га, у2га также не содержатся ни в области определения, ни в области значений правила ^).

Последовательное свободное продолжение разметки. С использованием множества меток {у11 ,у12,...} проведём свободное продолжение начальной разметки ^1(ж1°'>) = Уп, ... ,^1(ж«0)) = и её правила ^ относительно сети Е. Затем, используя множество меток {у21,у22,...}, проведём свободное продолжение начальной разметки ^2(ж50)) = у21, ... ,^2(ж«0)) = у2п и её правила относительно сети Е. В резуль-

тате получим 2-разметку ^ = (^1,^2) сети Е с начальным условием (у11, ... , у1п) и (^21, ... ,У2п).

Нетрудно понять, что при проведении 2-разметки ^ сети Е описанным способом частично определённое (непротиворечивое) отображение ^ корректным образом продолжается до частично определённого (непротиворечивого) отображения , которое будем обозначать ^ ^, а построенная 2-разметка ^ является правильной относительно ^ ^.

Описанную процедуру продолжения 2-разметки ^ и расширения области определения ^ будем называть последовательным свободным продолжением начальной 2-разметки ^(ж^) = у11; ..., ^1(жП0)) = и (ж10)) = у21 , ..., ^2(ж«0)) = у2п и её правила ^ относительно сети Е. При этом будем говорить, что 2-разметка ^ получена в результате последовательного свободного продолжения начальной 2-разметки ^(ж^) = Уц, ..., ^1(ж«0)) = и ^2(ж10)) = У21, ..., ^2(ж«0)) = ^2« и её правила ^ относительно сети Е.

Параллельное свободное продолжение разметки. Продолжим начальную 2-разметку ^ сети Е, пользуясь следующими правилами при всех в £ {1,... , ¿}:

если Е2 = Е{п,г2}, то при I = г положим ^1(ж(а)) = ^1(ж(5-1)) и ^,2(ж(2)) = ^2(ж(2-1)); , ¿2) „ г? Л, /™(2-1)\ ,, /™(2-1Ь

если Е2 = Е(г1,г2) и значение ^ 1)),^1(ж(^ 1)определено, то положим

^1(ж(в)) = ^ 1)),^1(ж(2' , в противном случае положим ^(ж(2)) = у12

и доопределим ^ (^1(ж(2-1)), ^(ж^2-^)) = ;

после этого, если значение ^ ^2(ж(2-1)),^2(ж(2-1))) определено,

то положим

^2(ж(2)) = ^ ^2(ж(2 1)),^2(ж(2 , в противном случае положим ^2(ж(2)) = у22

и доопределим ^ (^(ж^2-^),^(ж^2-^)) = У22.

Нетрудно понять, что при проведении 2-разметки ^ сети Е описанным способом частично определённое (непротиворечивое) отображение ^ корректным образом продолжается до частично определённого (непротиворечивого) отображения, которое будем обозначать ^ , а построенная 2-разметка ^ является правильной относительно ^ ^.

Описанную процедуру продолжения 2-разметки ^ и расширения области определения ^ будем называть параллельным свободным продолжением начальной 2-разметки ^1(ж10)) = у11, ..., ^1(ж«0)) = и (ж10)) = у21, ... ;^2(ж«0)) = у2п и её правила ^ относительно сети Е. При этом будем говорить, что 2-разметка ^ получена в резуль-

тате параллельного свободного продолжения начальной 2-разметки Д! (х10)) = ^ц, ... , Д'(хП0)) = ^1п и д2(х'0)) = ^21, ... , д2(хП0)) = ^2п и её правила ^ относительно сети Е.

Теорема 4. Пусть 2-разметка д' получена в результате последовательного свободного продолжения начальной 2-разметки д^х'^) = V", ..., Д'(хП0)) = ^1п и Д2(х'0)) = ^21, ..., д(хП0)) = ^2п и правила ^ относительно сети Е, а 2-размет-ка д'' — в результате параллельного свободного продолжения начальной 2-разметки Д1(х10)) = г>и, ..., Д/ (х„) = и Д2(х10)) = г>21, ... , д(хП0)) = ^ и правила ^ относительно сети Е. Тогда 2-разметки д' и д'' отличаются только обратимой заменой меток.

Доказательство. Пусть ,..., у2.,т —все метки вида у2*, которые содержатся

II П ( (51)\ П ( (зт)\

в разметке д1, и Д'(х> ) = у2^1, ..., дДх^ ) = у2^т —первые появления указанных меток в разметке д/'. Тогда нетрудно понять, что в 2-разметке д'' отсутствуют метки у1з1,..., у13т и обратимая замена меток у2^1 ^ у1з1, ..., у2^т ^ у13т переводит 2-раз-метку д'' в 2-разметку д' . ■

Замечание 2. Вообще говоря, свободное продолжение 2-разметки можно было определить не только последовательным и параллельным способами, но и любым «промежуточным способом», использующим произвольную последовательность продолжения обеих компонент 2-разметки; в результате получилась бы 2-разметка, отличающаяся от последовательного (параллельного) свободного продолжения только обратимым переобозначением меток. Другими словами, главное в свободном продолжении 2-разметки — это не порядок продолжения, а его «свобода» в каждый момент.

Пусть п = (ПЪП2) и Д = (д2, Д2) — 2-разметки сети Е и для отображения а выполняются соотношения а о П' = Д' и а о п2 = Д2. Будем обозначать это условие а: п ^ Д.

Определение 22. Правильную 2-разметку п сети Е с начальным условием (V",... , ^1п) и (^21,...,^2п) будем называть свободной, если для любой правильной 2-разметки д сети Е с начальным условием (^п,... , ^1п) и (^21 ,...,^2п) существует отображение ам, удовлетворяющее условию ам: п ^ Д.

Непосредственно из определения свободной 2-разметки следует, что при условии существования свободная 2-разметка сети Е с начальным условием (^п,... , ^1п) и (г>21,..., г>2п) определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения остальных меток.

Теорема 5. Пусть 2-разметка п получена в результате параллельного свободного продолжения начальной 2-разметки п1(х'0)) = V", ... , п'(хП0)) = ^1п и п2(х'0)) = г>21, ..., п(хП0)) = ^2п и пустого правила С относительно сети Е. Тогда п — свободная 2-разметка сети Е, а отображение — её минимальное правило.

Доказательство. Из определения процедуры свободного продолжения начальной 2-разметки п1(х'0)) = г>п, ..., п1(хП0)) = и п2(х'0)) = г>21, ..., п2(хП0)) = ^ и её пустого правила С относительно сети Е следует, что 2-разметка п является непротиворечивой, а её минимальное правило удовлетворяет условию

(се,П(¿1,22) = (¿3,^4)) ((¿1,2:2) = (¿3,^4)) (1)

при всех допустимых 24, 22, 23, 24 € N.

Пусть д — произвольная правильная 2-разметка сети Е с тем же начальным условием, что и 2-разметка п. Тогда для доказательства существования отображения ам: п ^ Д достаточно показать, что при совпадении меток п»1 (х^з)) = п»2 (х^) также выполняется равенство соответствующих меток д^1 (х^з)) = д^2 (х*:г)).

Не ограничивая общности, будем считать, что Е = Е1 •.. .-Е^. Докажем утверждение индукцией по длине произведения Е1 • ... • Е4. База индукции при £ =1 очевидна.

Пусть Е = Е1 • ... • Е4-1 • Е4 — сеть длины £ > 1 и Е4 = Е^^. Рассмотрим все

(2) (Г)

возможные варианты для пары вершин ж^ и ж^- :

1) Если г, в < то истинность утверждения следует из предположения индукции.

2) Если г < в = £ и к = г, то выполняется равенство Пг1 (ж(2-1)) = п2 (ж(г)) и остаётся воспользоваться предположением индукции.

3) Если г = в < £ и к = , то выполняется равенство % (ж(2)) = п2 (ж^Т 1)) и остаётся воспользоваться предположением индукции.

4) Если г = в = £ и к £ {г,^}, то выполняется равенство Пг1 (ж(2-1)) = п2 (ж(г-1)) и остаётся воспользоваться предположением индукции.

5) В случае, когда в = £ и Е4 = Е{,1}, не ограничивая общности, будем считать, что Е4 = Е(г,°. Из определения процедуры свободного продолжения разметки следует, что Пг1 (ж(2)) £ {у11, у21, ... , у1п, у2п}, а минимальное правило 2-разметки п удовлетворяет условию (1). Значит, равенство меток п»1 (ж(2)) = п2 (ж^г)) влечёт за собой совпадение упорядоченных наборов меток (пг1 (ж(2 1)),п»1 (ж(2 1))) и, не ограничивая общности, (п2 (ж^Т )), п2 (ж(,г ))), где г' € {0,... , г — 1} — наибольшее со свойством Пг2 (ж(г )) = п2 (ж(г)). По предположению индукции упорядоченные

наборы меток (^(ж(2 1)),^г1 (ж(2 1))) и (ж^г)),^2(ж((,г))) также совпадают и,

( (>)\ ( (г'+1)\ ( следовательно, выполняются равенства ^ (ж> ) = (ж^- ) = (ж^- ).

6) Случай, когда г = £ и Е4 = доказывается аналогично 5.

Теорема доказана. ■

Замечание 3. Поскольку свободная 2-разметка сети Е с начальным условием (у11, ..., у1п) и (у21, ..., у2п) определена однозначно с точностью до переобозначений, то, не ограничивая общности, можно считать, что произвольная свободная 2-размет-ка п сети Е может быть получена при помощи параллельного (последовательного) свободного продолжения начальной 2-разметки п1(ж10)) = у11, ..., п1(жП0)) = и П2(ж(10)) = у21, ... , п2 (ж«0)) = у2п и её пустого правила С относительно сети Е.

Теорема 6. Пусть п — свободная 2-разметка сети Е, ^ — правильная 2-разметка сети Е и возможно определить отображение по правилу ^^(п1(ж(0))) = ^1(ж(0)), 0>(п2(ж10»)) = (ж^0)), г € {1,...,п}. Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : п ^

Доказательство. Достаточно показать, что при совпадении меток п»1 (ж(2)) = = п2 (ж^г)) выполняется равенство соответствующих меток ^ (ж(2)) = (ж^г)). Это устанавливается индукцией по длине сети Е аналогично доказательству теоремы 5. ■

Следствие 2. В условиях теоремы 6 если С и ^ — минимальные правила 2-раз-меток п и ^ соответственно, то при всех допустимых 2, ^ £ N выполняется равенство )) = ^ )).

В заключение сформулируем и докажем одно простое утверждение, которое необходимо для лучшего понимания свободной 2-разметки.

Утверждение 2. Пусть п = (п1,п2) —свободная 2-разметка сети Е. Тогда каждая из разметок п1 и п2 является свободной разметкой сети Е.

Доказательство. Пусть д = (^1, д2) — 2-разметка сети £, полученная в результате последовательного свободного продолжения начальной разметки

Д1(х10)) = П1(х10)) = VII, ..., МжП0)) = П1(хП0)) = Д2(х10)) = П2(х(10)) = ^21, ... , Д2(хП0)) = П2(хП0)) =

и пустого правила. Тогда, согласно определению процедуры последовательного свободного продолжения 2-разметки, разметка д1 является свободной разметкой сети £ с начальным условием (^11,... , г>1га).

Согласно определению свободной 2-разметки, существует отображение удовлетворяющее условию : п ^ д, в частности, отображение удовлетворяет условию : п1 ^ Д1. Поскольку д1 — свободная разметка сети £ с начальным условием (г>11,... , ^1га), нетрудно понять, что П1 также является свободной разметкой сети £. Аналогичным образом доказывается, что разметка п2 является свободной разметкой сети £ с начальным условием (^21,..., г>2га). ■

2. 2-Транзитивность сетей Определение 23. 2-разметку д = (дьд2) сети £ будем называть 2-разметкой

V [уц ... г>1п\ ^21 ...

сети £ с ограничениями и , если д1 и д2 — разметки

V ^11 ... У ^21 ... ^2„У

V ^ц ... ^1га\ /^21 ...

сети £ с ограничениями и соответственно. При этом

\тП . . . ^21 . . . Ш2п/

будем говорить, что сеть £ допускает 2-разметку д с ограничениями ( Vll ...

...

^21 ...

и [ ^21 ...

2-Разметку д = (д1,д2) сети £ с ограничениями будем называть нетривиальной если д1 и д2 —различные разметки сети £, и тривиальной в противном случае. Для

„о ^ ^ц ... г>1п

правильной непротиворечивой 2-разметки д сети £ с ограничениями I

/г>21 ... .. , ,

и ее тривиальность равносильна двум равенствам (^11,... , ) =

\^21 . . . )

= (^21,... ,^2га) и (и>п,... ,^1га) = (эд21,... , ^2га). Поэтому далее будем подразумевать, что (г>11,... ,г>1п) = (^21,... , 1>2га) и (^11,... ) = (^21,... ,), когда будем говорить о нетривиальной правильной непротиворечивой 2-разметке д с ограничениями ^11 ... \ / ^21 ... ^11 ... тЫ) ^21 ... Если биективная сеть £ является 2-транзитивной для некоторого множества П, то для любых (г>11,... , ) = (^21,... , ), (^11,... , ) = (^21,... , ) € Пп существует такая квазигруппа ^ € <2(П), для которой выполняются равенства

(^11, . . . ) = (^11, . . . ) и (^21, . . . ,^2п) = (^21, . . . ).

В таком случае квазигруппа ^ определяет нетривиальную правильную и непротиворе-

о ^ о ... г^Л

чивую 2-разметку сети £ элементами множества П с ограничениями I I и

^21 ...

. Другими словами, существование нетривиальной правильной непро-

^21 . . . )

тиворечивой 2-разметки сети £ элементами множества П при произвольных ограниче-

Уц . . . Уы \ /^21 . . . \ , ,

ниях и является необходимым условием того, чтобы

\тП . . . ... ^2„У

сеть Е была 2-транзитивной для множества П.

Теорема 7. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности строго больше чем 2||Е||. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) сеть Е является 2-транзитивной для множества П;

2) сеть Е допускает нетривиальную правильную непротиворечивую 2-размет-

г> л ^11 ...

ку элементами множества П при любых ограничениях и

...

У21 ... ^2п

ч^21 . . . ^2пу

Доказательство.

1 ^ 2. Очевидно.

2 ^ 1. Каждой правильной непротиворечивой 2-разметке сети Е с ограничениями

У11 ... /^21 ...

I и I I соответствует непротиворечивое правило, опреде-

ленное не более чем на 2||Е|| ^ |П| — 1 наборах. Согласно гипотезе Эванса, данное правило продолжается до квазигруппы на множестве П. ■

Следствие 3. Для биективной сети Е следующие утверждения эквивалентны:

1) сеть Е является 2-транзитивной для некоторого множества, мощность которого строго больше чем 2||Е|| + 2п;

2) сеть Е является 2-транзитивной для произвольного множества, мощность которого строго больше чем 2||Е|| + 2п.

Устранение противоречий в разметке. Пусть п — произвольная 2-разметка сети Е = Е1 •.. .-Е^. Свяжем с 2-разметкой п отношение С С М3, определённое следующим образом: С содержит тройку (у , уг, уд) в том и только в том случае, когда существует в £ {1,...,£}, для которого Е2 = Е^ и выполняется хотя бы одно из равенств

(п1(ж(2-1)),п1(ж52-1)^п^т )) = (Уг,Уг) или (п2(ж(2-1)),п2(ж52-1)),п2(жтт))) = (У«,Уг).

Если в отношении С содержатся две тройки, отличающиеся только в одной координате, например (уг, уг, уд) и (уг, уг, ур), то, заменив в 2-разметке п все метки ур на уд, получим 2-разметку п(1), в которой используется на одну метку меньше, чем в 2-разметке п. Если в отношении С(1), соответствующем 2-разметке п(1), присутствуют две тройки, отличающиеся только в одной координате, то повторим описанные действия, и так далее.

Таким способом построим последовательность 2-разметок п = п(0),п(1),... сети Е, в которой каждая следующая 2-разметка использует на одну метку меньше, чем предыдущая. По этой причине последовательность 2-разметок оборвётся на некотором конечном шаге, например с номером к, в том смысле, что в отношении С(к), соответствующем 2-разметке п(к), не найдётся двух троек, отличающихся только в одной координате. Построенная таким образом 2-разметка п(к) будет правильной и непротиворечивой разметкой сети Е, хотя, возможно, тривиальной.

Описанную процедуру будем называть устранением противоречий в 2-разметке п. При этом будем говорить, что 2-разметка п(й), ^ £ {0,1,..., к}, получена из 2-размет-ки п устранением противоречий.

Лемма 1. Пусть п — произвольная 2-разметка сети £, ß — правильная непротиворечивая 2-разметка сети £ и существует отображение : п ^ ß- Тогда для любой 2-разметки jj, полученной из 2-разметки п устранением противоречий, также выполняется условие : j ^ ß.

Доказательство. Пусть п = п(0),п(1),... , = j — последовательность 2-раз-меток сети £, полученная в результате последовательного устранения противоречий в 2-разметке п- Для доказательства утверждения методом математической индукции достаточно показать, что для 2-разметки п(1) также выполняется условие : п(1) ^ ß-При построении 2-разметки п(1) в отношении G, соответствующем 2-разметке п, выбираются две тройки, отличающиеся только в одной координате. Рассмотрим все возможные случаи:

1) Если выбранная пара имеет вид (уг,уг, yg) и (уг,уг,yp), то ам(уд) = поскольку 2-разметка ß является правильной. Тогда при замене в 2-разметке п всех меток yp на yq получается 2-разметка п(1), для которой, очевидно, выполняется условие : п(1) ^ ß-

2) Если выбранная пара имеет вид (уг,уг,yg) и (yi,yp,yg), то ) = aM(yp), поскольку 2-разметка ß является непротиворечивой. Тогда при замене в 2-разметке п всех меток yp на yr получается 2-разметка п(1), для которой, очевидно, выполняется условие : п(1) ^ ß-

3) Если выбранная пара имеет вид (уг,уг,yg) и (yp,yr,yg), то ам(уг) = a>(yp), поскольку 2-разметка ß является непротиворечивой- Тогда при замене в 2-разметке п всех меток yp на y^ получается 2-разметка п(1), для которой, очевидно, выполняется условие : п(1) ^ ß-

Лемма доказана- ■

Следствие 4. Пусть п — произвольная 2-разметка сети £- Тогда правильная непротиворечивая 2-разметка jj, полученная из 2-разметки п устранением противоречий, определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения меток-

Доказательство. Пусть rj и rj—две правильные непротиворечивые 2-разметки, полученные из 2-разметки п устранением противоречий- Тогда существуют отображения а ff и а ff, удовлетворяющие условиям а ff: п ^ j и äff: п ^ j- Согласно лемме 1, отображения af и af также удовлетворяют условиям af: rj ^ jj и af: rj ^ rj, что и доказывает утверждение следствия- ■

Определение 24. Правильную непротиворечивую 2-разметку п сети £ с огради ... V1„\ /^21 ... V2„\ й „ ничениями и будем называть своооонои 2-разметкой \WU . . . W1„y \yW21 . . . W2nJ

сети £ с ограничениями, если для любой правильной непротиворечивой 2-разметки ß

v fvn ... V1n\ fv21 ... V2n\ ^

сети £ с ограничениями и существует отображение

\WU ... W1n J \W21 ... W2n/

: п ^ ß-

Из определения свободной разметки следует, что, при условии существования, сво-

(■ о V /^11 ... /^21 ... V2n\

бодная 2-разметка сети £ с ограничениями и опре-

\WU . . . W1n/ VW21 . . . W2n/

делена однозначно с точностью до обратимого переобозначения остальных меток-Теорема 8. Если сеть £ допускает нетривиольную правильную непротиворечи-

о (v>11 ... /^21 ... V2n\

вую 2-разметку с ограничениями и , то существует

\W11 ... Wn7 VW21 ... W2n J J

свободная 2-разметка сети £ с указанными ограничениями-

Доказательство. Для удобства будем считать, что М\{г>п, г>21,..., ^1га, ^2га, ^21,... = {У11,У21,У12,У22,.. .}• Пусть свободная 2-разметка п' = (п1 ,п2) се-

ти Е получена в результате свободного продолжения начальной 2-разметки п' (х10)) = = уи, •••, п'(хП0)) = и п2(х10)) = ^21, •••, п2(хП0)) = У2га с использованием меток у11,у21,у12, у22,.. .• Тогда для любой правильной непротиворечивой 2-разметки ^

/^ц ... ^1га\ /^21 ... й

с ограничениями I ^ I и I ^ ) существует отображение , удо-

влетворяющее условию : п' ^ ^ Продолжим указанное отображение по правилу ам(и>н) = и>н, = и>2^, г € {1,...,п}, и заменим в 2-разметке п' метки п' (Х^),... , п' (Х?) и п2 (х!^),... , п2 (Х?) на ... , и ... , ^2га соответственно •

Таким образом, мы построили 2-разметку п'' сети Е с ограничениями Vll ...

Wii ... Win

( V21 . . . V2n \ д „ „ „ 0

и , при этом для любой правильном непротиворечивом 2-разметки а

\w21 . . . w2n /

/ Vil ... vin\ ÍV21 ... V2„\ ,

с ограничениями I I и I I существует отображение удо-

влетворяющее условию : n'' ^ а

Проведём процедуру устранения противоречии в 2-разметке n'' с уточнениями:

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки vri и , то будем заменять метку на vri;

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки wri и , то будем заменять метку на wri.

Пусть n — правильная непротиворечивая 2-разметка сети Е, полученная из 2-разметки n" устранением противоречии. Тогда, согласно уточнениям, все метки ni(xi0)), П2(х10)), ..., П1(хп0)), n2 (хп0)), n^x^), П2(х14)), ..., n^xí?), П2(хп4)) содержатся в множестве {v11, v21,..., v1n, v2n, w11, w21,..., w1n, w2n}. При этом, согласно лемме 1, для лю-

с. - - - О (V11 ... V1„\

бои правильном непротиворечивом 2-разметки а с ограничениями I I и

V21 ... V2„\ ,

соответствующее отображение удовлетворяет условию : n ^ а

w21 . . . w2n J

Значит, 2-разметка n является свободной 2-разметкой сети Е с ограничениями

V11 ... Vin\ / V21 ... V2n W11 ... W1„y ^21 . . . W2n

Следующая теорема фактически оправдывает название свободной разметки с ограничениями.

Теорема 9. Пусть имеются свободная 2-разметка n сети Е с ограничениями

V11 ... V1n\ f V21 ... V2„\ 0

и , а также правильная непротиворечивая 2-размет-

W11 ... W1„y ^21 ... wan J

v f V11 ... Vin\ /V21 ... V2n\

ка а сети Е с ограничениями I и I , при которых воз-

^wn ... w^/ VW21 ... г«2пУ

можно определить отображение по правилу

0^(v1¿) = V1i, aM(wH) = WDü, aM(v2i) = ^2», ^(w2¿) = WÜ2¿, i G {1,... , n}. Тогда отображение допускает такое продолжение, что : n ^ а

Доказательство. Пусть N\{vn, V21,..., vin, V2n, wn, w21,..., w1n, w2n} = {У11, У21, y12,y22,...} и свободная 2-разметка n' = (ni,n2) сети Е получена в результате свободного продолжения начальной 2-разметки ni(x^) = v11, ..., n1 (хп0)) = v1n и

п2(х(10)) = г21, ..., п2(хП0)) = г2п с использованием меток уи, у21, у12, у22,.... Тогда, согласно теореме 6, для любой правильной непротиворечивой 2-разметки а с огра-

г>п ... ^ /^21 ...

ничениями и , при которых возможно определить

\Wf11 ... Мы/ ^21 ... Мп/

отображение по правилу аДгн) = гн, = г2», ) = М^, аД^) = ^2»,

г Е {1,..., п}, отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : п' ^ а. Заменив в 2-разметке п' метки п' (ж^),... , п' (X?) и п2(ж^),... , п2(X?) на и'п,..., и1п и и21,... , и2п соответственно, получим 2-разметку п'' сети Е с ограни-

/^ц ... гЫ\ /^21 ... , „

чениями и , при этом для любой правильной непро-

^11 . . . ^21 . . . Мп/

„о /^11 ... /^21 ...

тиворечивой 2-разметки а с ограничениями и , при

^11 ... ... W2nJ

которых возможно определить отображение по правилу = г^, ) = г2»,

= М^, = М2г, г € {1,... , п}, отображение продолжается таким обра-

зом, что удовлетворяет условию : п'' ^ а.

Проведём процедуру устранения противоречий в 2-разметке п'' с уточнениями:

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки и у.^, то будем заменять метку у^- на

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки wri и у^-, то будем заменять метку у^ на

В доказательстве теоремы 8 показано, что правильная непротиворечивая 2-размет-

ка сети Е, полученная из 2-разметки п'' устранением противоречий, является свободной

О - V (гц ... гы\ /г21 ... г2п\ „

2-разметкой сети Е с ограничениями и . Не ограни-

ли ... Мы/ ... и2п/

чивая общности, можно считать, что при устранении противоречий в разметке п'' получается свободная разметка п. Поскольку для любой правильной непротиворечивой

(гц ... гы\ /г21 ... г2п\ разметки а с ограничениями I и I , при которых возмож-

ен . . . М1п/ \yW21 . . . М2пУ

но определить отображение по правилу = г1», ам(г2») = г2», =

= г € {1,..., п}, отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : п'' ^ а, то, согласно лемме 1, данное продолжение также удовлетворяет условию : п ^ а. ■

Следствие 5. В условиях теоремы 9 если О и ^ — минимальные правила разметок п и а соответственно, то при всех допустимых ¿¿,¿7 Е N выполняется равенство )) = ^ )).

Достаточным условием для существования правильных непротиворечивых 2-раз-меток сети Е при всех возможных ограничениях из N является существование правильных непротиворечивых 2-разметок сети Е при всех возможных ограничениях из П4п. Однако, как и в случае с простыми разметками, справедливо более сильное утверждение.

Теорема 10. Сеть Е допускает нетривиальные правильные непротиворечивые

О (гц ... гы\ /г21 ... г2п\ м

2-разметки при всех возможных ограничениях и из N

. . . Мы/ \М21 . . . и2п/

в том и только в том случае, когда сеть Е допускает нетривиальные правильные

О /^11 ... гЫ\

непротиворечивые 2-разметки при всех возможных ограничениях I _ I и

^21 ... п

из П3.

^21 ...

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность. Пусть Н\{^11,^21 ,...,^1га,^2„,^11,^21,...,^1га,^2„} = {У11,У21,У12,У22,...} и свободная 2-раз-метка П = (П1, п2) сети Е получена в результате свободного продолжения начальной

2-разметки (х10)) = гп, ... , (хП0)) = г1п и п2(х10)) = г21, ... ,п2(хП0)) = г2п с использованием меток уи, у21, у12, у22,... Тогда, согласно теореме 6, для! любой правильной

„о /^11 . . . /^21 ...

непротиворечивой 2-разметки а с ограничениями и

\тП ... ^21 ...

из П3, при которых возможно определить отображение по правилу ам(г1г) = г1г, = аДг^) = г^, аД^г) = ^2», г е {1,...,п}, отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : п' ^ а. Заменив в 2-раз-метке П метки п! (х^),... , п1 (хП?) и п2(х^),... , п2(хП^) на ... , 1У1га и г21,..., 1У2га

о „ ^ ...

соответственно, получим 2-разметку п сети Е с ограничениями и

уи>11 ...

^21 ... , „ „ „

I, при этом для любой правильной непротиворечивой 2-разметки а

[уЦ ... /^21 ...

с ограничениями и , при которых возможно опреде-

^гип ... ... гУ2„у

лить отображение по правилу аДг^) = ам(г2г) = г2г, аДг^) = г^г, аД^г) = г^г, г е {1,..., п}, отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : п" ^ а.

Проведём процедуру устранения противоречий в 2-разметке п" с уточнениями:

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки ггг и у.^, то будем заменять метку у^- на ггг;

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки ггг и у^-, то будем заменять метку у^ на ггг.

Пусть п — правильная непротиворечивая 2-разметка сети Е, полученная из 2-разметки п" устранением противоречий. Тогда, согласно сделанным уточнениям, все метки п1 (х10)), п2 (х10)),..., п1 (хП0)), п2 (хП0)), п1 (х^), п2 (х^),..., п1 (ж™)), п2 (Жп)) содержатся в множестве {г11, г21,..., г1п, г2п, г11, г21,..., г2п}. При этом, согласно лемме 1, для любой правильной непротиворечивой 2-разметки а с ограничениями

гн ... гы\ /г21 ... г2„\ п ,

и из Пз, при которых возможно определить отоб-

... ^21 . . .

ражение по правилу аДг^) = гн, ам(г2г) = г2г, аДг^) = (г^г) = ^й,

г е {1,..., п}, отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : п ^ а.

Методом от противного покажем, чтм правильная непротиворечивая 2-разметка п

О - /ги ... гы\ /г21 ... г2„\ „

является 2-разметкой с ограничениями и . Согласно

\тП . . . ^21 ...

уточнениям, в разметке п могли появиться противоречия только следующих типов:

— пг (х(0)) = г^- = ггг;

— пг (ж(0)) = = гг»;

— пг (х(4)) = г^- = ггг;

— пг (х(4)) = = ггг.

Разберём подслучай п1(х(0)) = г у = г^, относящийся к первому типу противоречив Не ограничивая общности, будем считать, что ограничения ... г1п^ и

( г21 '.' г2п | не содержат элементов из • Поскольку (г11,... , г1п) = (г21,... , г2п) V м21 ... м2п}

и (и>п,... , и>1п) = (и>21,... , и>2п), то существуют такие г1,г2 € {1... , п}, что =

/о (^11 ... /^21 ...

и щъ,-- = • Заменим в ограничениях и все вхож-

2 ^ 2 Р ... тщ) ^21 ...

дения элемента г1е на 1 и все вхождения элемента г у на 2^ Полученные ограничения

будем обозначать ( ... г'п | и ( ^ ... ^ ) • Нетрудно понять, что г'^ = г>2^

1 ... и>1„/ 1 ... м2п/

и ¿2 = и>2¿2, и, не ограничивая общности, достаточно рассмотреть следующие варианты:

если г',г2^1 ¿2 € П2 и и>2¿2 € то заменим в ограничениях I '

1 ... п

1 . . . м1п

г21 ... г2п

и I ' ''' 'п I все вхождения элемента и>2¿2 на (3 — ¿2);

м21 ... ^п/

если г'¿1, г>2^ € П2 и ¿2, м>2¿2 € то заменим в ограничениях ( ...

1 ... м1га

''

и

21

г21 ... г2п

. м

если г' г' 1 .

1 .

если г'

г' 1

Ч1

'П I все вхождения элемента ^ на 1, все вхождения и^^ на 2;

2 п)

, Ч¿2 € П2 и г2г1 = Ч¿2 € то заменим в ограничениях

п \ „ / г21 ... г2п

м1п/ \м21 ... м2п

'п ) и , ... , I все вхождения элементов г2^ и щ>2¿2 на 3;

Ч¿2 € П2 и г2¿2 € ^21 = Ч¿2, то заменим в ограничениях

г1 п I I г21 . . . г2п 1 / /п / \

у I и I 21 2' I все вхождения элементов г^ на (3 — г'^) и

^п/ \м21 ... м2п

все вхождения элементов и>2¿2 на (3 — Ч¿2);

если г', Ч¿2 € П2 и г^ = Ч¿2 € то заменим в ограничениях

г'1. ... г' п\ / г2' ... г2 п Л , , „

11 1 и 21 2 все вхождения элементов г2,-, и на 3;

Ч 1 ... Чп/ \Ч1 ... Чп/ 1 1г2

если г',м2¿2 С П2 и г2, ¿2 € г2¿1 = ¿2, то заменим в ограничениях

1 ... п I / г21 . . . г2п I I /о / \

11 1п ^ 21 2 все вхождения элементов г2,-, на (3 — г' ) и

ш! 1 ... ш!^ Ы21 ... 2г1 1г1

все вхождения элементов ¿2 на (3 — м2¿2); если г'€ П2 и г^, ¿2,м2¿2 € то заменим в ограничениях ( ^^

г' . . . г'

11 1п

1 ... Цп,

/ г21 . . . г2п I / /п / \

и 21 2п все вхождения элемента г' на (3 г' ), после чего всё ана-

^21 ... ЦпУ 2г^ 1г1

логично первому или второму варианту;

у „у „,,/ „,,/ ^ о „ I 1 ... г1п

если г'¿1,г>2^,¿2,м2¿2 € то заменим в ограничениях I '' 'п I и

1 ... м1п/

г21 . . . г2п I /1 /

м' м' ) все вхождения элемента г'^ на 1, а все вхождения элемента г2¿1

на 2, после чего всё аналогично первому или второму варианту

При г'¿1,г2^1,4¿2,м2¿2 € П2, а также в заключение случаев 1, 2, 4, 6, 7, 8 следует заменить в имеющихся ограничениях все элементы, отличные от 1 и 2, на 1, а в заключение случаев 3, 5 — все элементы, отличные от 1, 2 и 3, на ТВ результате

л (гц ... гы\ /г21 ... г2„\ п „

будут получены ограничения _ и _ из П3. Согласно усло-

... г^у ^21 ... 3

мию теоремы, существует правильная непротиворечивая 2-разметка а с ограничениями

гн ... г1„\ /г21 ... г2„\ о л

и из П3, при этом отображение а,,, определённое по

гн ... ^21 ... 3' Р Р V у*

правилу а,(гн) = г^, а,(г2г) = г2г, ) = г^, аДг^г) = ^г, г е {1,... , п}, продол-

жается таким образом, что удовлетворяет условию а,: п ^ а. Получили противоречие, поскольку а,(п1(х(0))) = а,(гл) = 2=1 = г1г = а(х(0)). Отсутствие противоречий всех остальных типов устанавливается аналогичным образом. ■

Замечание 4. Интересным представляется вопрос о том, останется ли верным

утверждение теоремы 10, если в нём заменить множество П3 на П2. Нетрудно видеть,

что имеющееся доказательство теоремы 10 существенным образом использует условие

|П| ^ 3. Так, согласно доказательству теоремы 10, если Е — биективная сеть ширины 2,

то существование правильных непротиворечивых разметок сети Е при всех возможных

г11 г12 г21 г22

ограничениях _ и _ из П2 не может гарантировать существование

\тП ^12/ ^22/

1 3 1 2

правильной непротиворечивой разметки сети Е с ограничениями 1 3 и 1 1

В дальнейшем нам потребуются естественные обобщения понятия свободной 2-раз-метки с ограничениями.

Определение 25. Правильную непротиворечивую 2-разметку п сети Е будем называть свободной 2-разметкой сети Е с условиями

щ(х(10)) = гш ..., п1 (хП0)) = г1га, ^(х^) = г21, ..., п2(хП0)) = г2„, п1(х(!)) = г1г1, . . . , п1(х(;)) = г1гк , п2(х51)) = г2л , . . . , п2(х5^)) = г2Л ,

если для любой правильной непротиворечивой 2-разметки а сети Е с аналогичными условиями

а1(х50)) = гш ..., а1 (хП0)) = г1п, О^х?^) = г21, ..., а2(хП0)) = г2п, а1(х(!)) = г1г1, . . . , а1(х(1)) = г1гк , О^О^ = г2л , . . . , а2 (хЛ^)) = г2Л

существует такое отображение а,, что а,: п ^ а.

Теорема 11. Если существует правильная непротиворечивая 2-разметка а сети Е с условиями

а1 (х10)) = гш ..., а1(хП0)) = г1га, а2(х10)) = г21, ..., а2(хП0)) = г2„, а1(х(!)) = г1г1, ..., а1(х(!)) = , а^Л = г2л, ..., а^Л = г2л,

то существует единственная, с точностью до переобозначений, свободная разметка п сети Е с теми же условиями.

Теорема 12. Пусть для свободной 2-разметки п с условиями

п1(х10)) = гп, ..., п1 (хП0)) = г1п, ^(х?^) = г21, ..., п2(хП0)) = г2„, п1 (х(!)) = г1г1, . . . , п1(х(;)) = г1гк , п2(хЛ1)) = г2л, . . . , ^О*^ = г2Л

и правильной непротиворечивой разметки ß с условиями

^l(x(10)) = Vil, . . . , ßl (хП0)) = Vin, ^2(x(i0)) = V21, . . . , ^2(xi0)) = V2n, = ^1*1 , . . . , ßlfai^ = ™lifc , ^2(xi1)) = , . . . , ß2 (xi|)) =

возможно определить отображение по правилу aM(vli) = Vli, aM(v2i) = w2i, ) =

= wlis, (w2jt) = . Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : n ^ ß.

Следствие 6. В условиях теоремы 12, если G и F — минимальные правила 2-разметок n и ß соответственно, то при всех допустимых z¿, Zj G N выполняется равенство (G(zi,zj)) = F(aM(zi), )). В частности, если метка ßr(x¿s)) не содержится в области определения F, то метка nr (xis) ) не содержится в области определения G.

3. Построение 2-транзитивных сетей

Приведём алгоритм 1 модификации произвольной биективной сети Е до биективной сети Е, которая является 2-транзитивной для всех достаточно больших множеств.

Алгоритм 1. Построение 2-транзитивной сети

Вход: произвольная биективная сеть Е = ( Е (1 • ... • Е1^1 ) •......• ( Enl • ... • En¿.n ).

1: Для всех s = 1, 2,... , n — 1:

Пусть первые (s — 1) слоев канонического представления сети Е уже модифицированы, Еs—1 = ( Ек • ... • Е1^1 ) • ... • (Е(8-1)1 • ... • Е(8-1)^в-1 ), ß — свободная

разметка сети Es—1 с условиями ^(ж(0)) = , ... , ß(xi0)) = , ß(xlfcl)) = v(, ... , ß(xS—1l+-+fcs-l)) = v(. Продолжим разметку ß сети Es—l свободным образом до разметки сети ES = ( Еи • ... • Е^ ) • ... • (E(s—1)1 • ... • E(s— ^^ ) • (Esl • ... • Esfcs )

и выберем такую вершину xjfc1+"'+fcs_1+fcs), метка которой ß(x(fc1+"'+fcs_1+fcs)) не содержится в области определения Fft, — минимального правила разметки ß се-

^ ^s

ти Е s.

2: Если s ^ n — 2 и j = s, то

3: выберем произвольные l, m G {s + 1,... , n}, l = m, и модифицируем s-й слой Е sl •... • Е sks следующим образом: Е sl •... • Е^ = Е sl •... • Еsfcs • E((s'¿) • Е Ss'¿) • Е^.'^. 4: Если s ^ n — 2 и j = s, то

5: выберем произвольный m G {s + 1,... ,n}, m = j, и модифицируем s-й слой Е sl •... • Е sks следующим образом: Е sl •... • Е s£s = Е sl •... • Е sfcs • Е Ss'j) • Ет^ • ЕSj's). 6: Если s = n — 1 и j = n — 1, то

7: модифицируем (n — 1)-й слой Е(п—1)1 • ... • E(n— l)kn_1 следующим образом:

V1 V1 V1 V1 l.n) ^(n— l.n)wWra.ra— 1) \4n.l)\

Е (n—1)1-...• Е(п— l)fcn_1 = Е(п— 1)С...^ Е(п—l)fcn_1 Ч ЕП '• Еп—1 И ЕП •...• ЕП 1.

8: Если s = n — 1 и j = n, то

9: модифицируем (n — 1)-й слой Е(п—1)1 • ... • Е(п— l)kn_1 следующим образом:

V V V V /-^(n.n— 1) v(n.n— l^wv(n— l.n) v(n—l'l)\

Е (n—1)C...^ е(п— l)fc„_1 = Е(п— 1)C...^ е(п— l)fc„_1 Ч Еп—1 • Еп m Еп—1 •...• Еп—1 ).

Выход: ( Е11 • ... • Е1^1 ) •......• (E(n—1)1 • ... • Е(n—1)^п_1 ) — «почти» каноническое представление биективной сети Е, сложность которой не превосходит ||Е|| + 6n — 7.

Не ограничивая общности, всюду далее будем считать, что произвольная биективная сеть Е совпадает со своим каноническим представлением

(Е11 • ... • Е1^1) • ... • (Е„1 • ... • Епкп)

с множеством вершин Х0 и Х11 и... и Хщ и... и Хп1 и... и Х^ и что первый слой имеет

V-! V-! V-! V-! ^(1,2) 1,™) 1,™) ^(1,2)

вид Е11 •... • Е1^1 = Е11 •... • Е11 • Е2 •... • Еп • Е„_ 1 •... • Е1 , в противном случае приведём его к такому виду, добавив не более 2(п — 1) соответствующих элементарных сетей.

Теорема 13. Пусть Е — произвольная биективная сеть ширины п. Тогда её модификация Е является 2-транзитивной для любого множества П, мощность которого больше чем 2||Е|| + 14п — 14.

Доказательство. Всюду далее будем полагать, что каждая свободная 2-раз-метка получена при помощи параллельного свободного продолжения соответствующих начальных условий с использованием пары множеств У1 = {у11, у12,...} и 12 = {у21, у22,...}. Описание корректности действий, выполняемых на шагах 0 и 1, сформулируем в виде следующей леммы.

Лемма 2. Для любой свободной 2-разметки п = (п1,п2) сети

^ ^ ^(1,2) ^(га-1,га) ^(п-1,п) ^(1,2)

Е1 = Е11 • ... • Е11 • Е2 • ... • Еп • Еп-1 • ... • Е1

с начальными условиями (г11,... , г1п) = (г21,... , г2п) справедливо, что

— п^0),..., п1(хПк1)) е 1 и п2(х1к1)),..., п2(хПк1)) е 12

— метки ^(х^) и п2(х1к1)) (и только они), независимо от условий (г11,... , г1п) и (г21,... , г2п), не содержатся в области определения , —минимального правила 2-разметки п. 1

Доказательство. Введём понятие уровня метки в свободной 2-разметке п произвольной сети Е = Е1 • ... • Е4. Для меток п1 (хЦ^),..., п1(хП0)); п2 (х^),..., п2 (х«) уровень Л,(п* (х»0))) полагаем равным нулю. Если метка 25 удовлетворяет соотношению Се (¿г, 2Г) = 25 для минимального правила Се 2-разметки п сети Е, то полагаем = шах{Л,(2г), Л,(2Г)} + 1. Такое определение корректно, поскольку минимальное правило Се свободной 2-разметки п удовлетворяет условию

(Се,П(21,22) = Се,П(¿3,24)) ((21,22) = (23,24))

при всех допустимых 21, 22, 23, 24 е N.

Индукцией по длине произведения элементарных сетей Е1 • ... • Е4 нетрудно показать, что для любой вершины х(в) сети Е уровни меток п1(х(5)) и п2(х(в)) совпадают. Пусть п — свободная 2-разметка сети

Е11 • ... • Е11 • Е21,2) • ... • ЕПп-1,п),

полученная в результате параллельного свободного продолжения начальных условий (г11,..., г1п) = (г21,..., г2п) с использованием пары множеств У1 = {у11, у12,...} и 12 = {у21, у22,...}. Тогда в 2-разметке п ровно две метки имеют максимальный уровень— это п1(хП+п 1)) и п2(хП+п 1)). Из максимальности уровня следует, что обе метки п1 (хП1+п 1)) и п2(хП1+п 1)) не содержатся в области определения минимального правила 2-разметки п.

Соотношение п1(хга+п 1)) е У выполняется по построению. Предположим, что п2(хП1+п 1)) е У1. Тогда, согласно построению, метка п2(хга+п 1)) впервые появилась в разметке п1 и, следовательно, в силу максимальности её уровня, должна совпадать единственно с п1(хП1+п-1)). Но в таком случае, пользуясь конструктивной особенностью свободной 2-разметки, нетрудно показать совпадение ^(х®) = п2 (х^), ..., п1(хп)) = = п2(хПг)), которое противоречит начальному условию (г11,... , г1п) = (г21,... , г2п). Таким образом, п2(хга+п 1)) е У2.

Ввиду того, что обе метки п1(хП1+п 1)) и п2(хга+"" 1)) не содержатся в области определения минимального правила 2-разметки п, при продолжении свободной 2-размет-ки п свободным образом (с использованием пары множеств У = {у11, у12,...} и У2 = {у21, у22,...}) до свободной разметки сети

V/ V V ^(1,2) ^(га-1,га) ^(™-1,™) ^(1,2)

Е1 = Е11 • ... • Е1г • Е 2 • ... • Еп • Еп-1 • ... • Е1

будут выполнены следующие условия:

— п1(х1к1)),..., п1(хПк1)) е 11 и п2(х1к1)),..., п2(хПк1)) е У2;

— метки ^(х^) и п2(х!к1)) (и только они), независимо от условий (г11,... , г1п) и (г21,... , г2п), не содержатся в области определения Се/ —минимального правила 2-разметки п. 1

Лемма доказана. ■

Ввиду леммы 2, для свободной разметки а сети Е1 = Е11 • ... • Е1^1 с начальным условием (г1,... , г1) метка а(х1к1)) (и только она) не содержится в области определения ^е/ — минимального правила разметки а и при модификации слоя Е1 = Е11 •... • Е1^1 до

сети Е1 = Е11 •... • Ещ • Е(1,г) • Е 11,г) • Етот); свободная 2-разметка п сети Е1 с начальными условиями (г11,... , г1п) и (г21,... , г2п) свободным образом продолжается до свободной

2-разметки п сети Е1 с любыми условиями ^(х^) = г11 и ^(х^) = г21, при этом:

— п1(х2^1)),...,т(хП?1)) е У1 и п2(х2^1)),...,п2(хП?1)) е У2; ^

— метки п1(х^»1)) и п2(х^»1)), независимо от условий ^(х^) = г11 и п^х^) = г21, не содержатся в области определения Сех — минимального правила 2-разметки п

сети Е1 .

Докажем корректность действий, выполняемых на шаге с номером в е {2,... , п — 2}. Пусть первые (в — 1) слоёв канонического представления сети Е уже модифицированы таким образом, что сеть

Е*-1 = ( Е11 • ... • ещ) • ... • (Е(«-1)1 • ... • Е(5-1)й3_1) допускает свободную 2-разметку п = (п1,п2) при любых условиях

п1(х!0)) = гп, ..., п1(хП0)) = гщ, ^(х?0) = гп, ..., п1 ) = «л,_1, (2)

п2(х10)) = г21, . . . , п2(хП0)) = г2п, ^(х^) = ^21, . . . , п2(х^-1+ '+кг1—1)) = ^25-1, (3) при этом:

— п1(х5е1+';;+*в"1)),... ^(х^''^-0) е У и п2(х?1+'''+^-1)),.... ,п2(хПк1+' ' '+^-1)) е У2;

(а-1+" '+£в_1) (а-1+' ' '+йв-1) (а-1+' ' '+йв-1)

— среди х5 ,... , хп существует вершина х» , метки которой

п1(х(А:1+'''+;г8-1)) и п2(х(А:1+'''+;г8-1)), независимо от условий (2) и (3), не содержатся в области определения Се —минимального правила 2-разметки п сети Е5-1.

Тогда для свободной разметки ^ сети Е5-1 с условиями

) = г>1, ..., МХ^) = гь ^(ж(1;г1)) = гь ..., ^(х«—-1-."^8"^) = г>1

метка ) также не содержится в области определения минимального пра-

вила ^ и при продолжении разметки ^ сети Е5-1 свободным образом до разметки сети

Е« = ( Е11 ■ ... ■ Е1к1) ' ... ' (Е(«-1)1 ■ ... ■ Е(5-1)й3_1 ) ' ( Е«1 ' ... ' ),

согласно лемме 5 из [1], среди вершин х« ,...,хп существует

такая вершина Ху , что метка ^(ху- ) не содержится в области

определения ^, —минимального правила разметки ^ сети Е

Поскольку разметка ^ по построению является свободной разметкой сети Е« с усло-

виями

Mx(0)) = Vb ..., ^(xi0)) = vi, Mx(i.fcl)) = vi, ..., ^(xifc_11+-+fcs-l)) =

S-i ) = V1,

то, согласно следствию 12 из [1], для продолжения свободной 2-разметки n сети ЕS с условиями (2) и (3) выполнены следующие условия:

- ni(xS^1+-+_s-1+fcs)),...,ni(xn_1+-+_s-1+fcs)) G Y;

- n2(xS_1+-+_s-1+M),...,n2(xíí1+-+_s-1+fc;)) G Y2;

/ (_1+...+_S — 1+fcSK / (_1+...+_S — 1+fcS)\ u ín\

— метки ni(xj ) и n2(xj ), независимо от условий (2) и (3), не содержатся в области определения G_, —минимального правила 2-разметки n се-

_s

ти Е S-

В каждом из возможных вариантов модификации сети ES свободная 2-разметка n сети ЕS с условиями (2) и (3) свободным образом продолжается до свободной 2-раз-метки n сети

ЕS = ( Еii ■ ... ■ Ei_1 ) ■ ... ■ (E(s-i)i ■ ... ■ E(s-i)_s-1 ) ■ (Esi ■ ... ■ ES_s )

с любыми условиями ni(xSk1+...+_s)) = wis и n2(xSk1+...+_s)) = w2s, при этом:

/ (_1+...+_s)n / (_1 + ...+_s)\ _ -ir / (_1 + ... + _s)\ / (_1+...+_s)\ ^ TT"

ni(xS+i 0,...,ni(xn Л ) GjYi и n2(xS+i y),...,n2(xn J) G Y2;

/ (_1 + ... + _s)N / (_1+...+_s)\ u / (_1 + ... + _s)\

— метки ni(xm ) и n2(xm ), независимо от условий ni(xS ) = wis и n2(xS_1+.. +_s)) = w2s, не содержатся в области определения G_ —минимального правила 2-разметки n сети Еs.

В завершение проведем обоснование корректности действий, выполняемых на шаге с номером (n — 1). Пусть первые (n — 2) слоев канонического представления сети E уже модифицированы таким образом, что сеть

Еn-2 = ( Eii ■ ... ■ Ei_1) ■ ... ■ (E(n-2)i ■ ... ■ E (n-2)_n-2),

допускает свободную 2-разметку n = (ПъП2) при любых условиях

ni(xi0)) = Vii, ..., ni(xi0)) = Vin, ni(xi_1)) = wii, ..., ni(x!_1+...+_n-2)) = Win-2, (4) n2(x(0)) = V2i , . . . , n2(xn0)) = V2n, n2(xik1)) = W2i, . . . , n2(x^-^"^"2)) = W2n-2, (5) при этом:

— п1(х?-+''+п -2)),п1(хП?1+'''+Я1 -2)) е 11 и п2(хП^1+'''+"п -2)),п2(х?1+''+п -2)) е У2;

(к1+'"+кп—2) (к1+'"+кп—2) (к1+'"+кп—2)

— среди хп-1 ,хп существует вершина х» , метки которой п1(х(к1+'''+кп-2)) и п2(х(к1+'''+кп-2)), независимо от условий (4) и (5), не содержатся в области определения Се —минимального правила 2-разметки п сети Еп-2.

Тогда для свободной разметки а сети Еп-2 с условиями

а(х10)) = г1, ..., а(хП0)) = г1, а(х1^1)) = г1, ..., а(хП^12+'''+кп-2)) = г1,

согласно сделанному предположению, метка а(х(к1+'''+кп-2)) не содержится в области определения минимального правила и при продолжении разметки а сети Еп-2

свободным образом до разметки сети

ЕП-1 = ( Е11 • ... • Е1к1) • ... • (Е(™-2)1 • ... • Е(„-2)кп-2) • (Е(п-1)1 • ... • Е (п-1)кп-1), г Г1 1 (к1 +'"+кп — 2+кп — 1) (к1+'"+кп— 2+кп — 1)

согласно лемме 5 из [1], среди вершин хп-1 , хП существует та-

(к1 + '"+к^_ 2 +кп — 1) ! (к1+'"+кп — 2+кп —1)4 Г

кая вершина х} , что метка а (х} ) не содержится в области

определения минимального правила ^Е/ .

п-1

Поскольку разметка а по построению является свободной разметкой сети ЕП_ 1 с условиями

а(х10)) = г1, ..., а(хП0)) = г1, а(х1^1)) = г1, ..., а(x!i2+'''+kn-2)) = г1,

то, согласно следствию 12 из [1], для продолжения свободной 2-разметки п сети ЕП_ 1 с условиями (4) и (5) выполнены следующие условия:

— nl(x!í_+'''+kn-1+kn-l)),nl(xíí1+'''+kn-2+kn-l)) е У1;

— n2(x!í_+'''+кn;2+kn-l)),n2(xn^1+'''+кn-22+kn-l)) е У2;

— метки п1 (х}к1+'''+кп-2+кп-1)) и п2(х5к1+'''+кп-2+кп-1)), независимо от условий (4) и (5), не содержатся в области определения Се/ — минимального правила 2-разметки п

п-1

сети ЕП-1.

В каждом из возможных вариантов модификации сети ЕП_ 1 свободная 2-размет-ка п сети ЕП_ 1 с условиями (4) и (5) свободным образом продолжается до свободной 2-разметки п сети

Е = ( Е11 • ... • Е1к1 ) • ... • (Е(™-2)1 • ... • Е(п-2)кп-2 ) ^ (Е(п-1)1 • ... • Е(п-1)кп-1)

/ (к1+'"+к^_ 1)4 / (к1+'"+кп_ 1)4

с произвольными условиями п1(хП-1 ) = г1п-1, п1(хП ) = г1п и

п2(х;Ъ+'''+кп-1)) = г2п-1, n2(xní1+'''+кn_l)) = г2п.

Таким образом, в результате работы алгоритма каноническое представление исходной сети Е модифицировано до «почти» канонического представления

( Е11 •... • Е1к1) •... •( Е (п-1)1 •... •Е (п-1)кп-1)

новой биективной сети Е, сложность которой не превосходит ||Е|| + 6п — 7. При этом построенная сеть Е допускает свободную 2-разметку с произвольными ограничениями

( Vl1 ' ' ' Vin | и | v21 ' ' ' V2n | из N. Поскольку ||Е|| ^ II Sil + 6n — 7, для проведи . ' ' Win) \W21 ' ' ' W2n/

^ „ О Е / Vii ' ' ' Vln

дения свободной 2-разметки сети S с произвольными ограничениями

\Wii ' ' ' Win

и ( V2i ''' V2n | из N потребуется не более чем 2 II Sil + 14n — 14 различных меток. yW2i '" W2n/

Значит, при выборе любого множества П, мощность которого больше 2||S|| + 14n — 14,

можно считать, что сеть Е допускает свободную 2-разметку элементами множества П

fvii ''' VinN /V2i ''' V2n\ n т-г при произвольных ограничениях и из П. Последнее

^Wii ' ' ' WinJ \W2i ' ' ' W2n/

утверждение, согласно теореме 7, равносильно 2-транзитивности сети Е для множества П. ■

Следствие 7. Для любого n ^ 2 существует сеть Е ширины n и веса 6n — 7, которая 2-транзитивна для всех множеств, мощность которых больше чем 14n — 14.

4. k-Транзитивность сетей

Определение 26. Биективную сеть S будем называть k-транзитивной для множества П, если множество отображений {S F : F Е <2(П)} является k-транзитивным.

Как уже было отмечено, аппарат разметки сетей позволяет проверять не только транзитивность сети, но и более сложное свойство k-транзитивности при k ^ 2. При этом понятия аппарата k-разметки биективных сетей и основные результаты, полученные с их помощью, являются очевидным обобщением соответствующих понятий и результатов для 2-разметки. Поэтому далее приведены только необходимые определения и точные формулировки основных результатов.

Определение 27. Произвольный набор ß = (ßi, - - - , ßk) разметок сети S будем называть k-разметкой сети S. При этом метки разметок ßi,''' , ßk будем называть метками k-разметки ß. Пусть F: N х N ^ N — частично определённое отображение. Тогда k-разметку ß = (ßi,''' , ßk) сети S будем называть правильной относительно F, если каждая из разметок ßi,''' , ßk является правильной относительно F, а отображение F будем называть правилом k-разметки ß.

Определение 28. Пусть ß — k-разметка сети S с правилом F и при этом никакое сужение частичного отображения F не является правилом k-разметки ß. Тогда будем говорить, что F является минимальным правилом k-разметки ß. Правильную k-раз-метку ß будем называть непротиворечивой, если её минимальное правило является непротиворечивым отображением.

Пусть п = (пъ ''' , ) и ß = (ßi,''' , ßk) — k-разметки сети S и для отображения а выполняются соотношения а о ni = ßi,''' , а о пк = ßk. Будем обозначать это условие как а: п ^ ß.

Определение 29. Правильную k-разметку п сети S с начальным условием (vii,''' , vin),''' , (vki,''' , vkn) будем называть свободной, если для любой правильной k-разметки ß сети S с начальным условием (vii,''' , vin),''' , (vki,''' , vkn) существует отображение ам, удовлетворяющее условию ам: п ^ ß.

При k ^ 2 естественным образом определяются процедуры последовательного и параллельного свободного продолжения разметки, относительно которых сохраняются основные результаты.

Теорема 14. Пусть k-разметка получена в результате последовательного свободного продолжения начальной k-разметки

^i(x(0)) = Vii, ..., ^i(xn0)) = Vin, ..., ^fc(x(0)) = V2i, ... ,mufc(xn0)) = Vfcn

и правила F относительно сети E, а k-разметка получена в результате параллельного свободного продолжения начальной k-разметки

^i(x(0)) = Vii, ..., ^i(xn0)) = Vin, ..., ^fc(x(0)) = V2i, ... ,mufc(xn0)) = Vfcn

и правила F относительно сети E. Тогда k-разметки и отличаются только обратимой заменой меток.

Теорема 15. Пусть k-разметка n получена в результате параллельного свободного продолжения начальной k-разметки

ni(xi0)) = Vii, . . . , ni(xn0)) = Vin, . . . , nfc(x(0)) = Vfci, . . . , nfc(xn0)) = Vfcn

и пустого правила G относительно сети E. Тогда n — свободная k-разметка сети E, а отображение G_,n — её минимальное правило.

Теорема 16. Пусть n — свободная k-разметка сети E, ^ — правильная k-разметка сети E и возможно определить отображение по правилу

Mni(x(0))) = ^itó0^ ..., Mnfc(x(0))) = ^fc(x(0)) iG í1,...,n}.

Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : n ^

Следствие 8. В условиях теоремы, если G и F — минимальные правила k-раз-меток n и ^ соответственно, то при всех допустимых z¿, Zj G N выполняется равенство aM(G(Zi,Zj)) = F (^(zí ),aM(Zj)).

Определение 30. k-разметку ^ = (^i,... , ) сети E будем называть k-размет-

v /Vii ... /Vfci ... Vfcn\

кои сети E с ограничениями , ..., , если ш,..., nk —

\Wii . . . WinJ ^Wfci . . . wknj

v /Vii . .. Vin\ f Vki ... V^

разметки сети с ограничениями , . . . , соответствен-

yWii . . . Win/ \Wki . . . Wkn/

но. При этом будем говорить, что сеть E допускает k-разметку ^ с ограничениями

Vii . . . Vin Vki . . . Vkn

Нетривиальной будем называть такую к-раз-

^11 ... ' ' уи^ ...

метку ^ = ... , ) сети Е, у которой ... , ^ — различные разметки сети Е^

Теорема 17. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности строго больше чем к||Е| Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) сеть Е является к-транзитивной для множества П;

2) сеть Е допускает нетривиальную правильную непротиворечивую к-разметку

'ьп ... гО /г^ ...

элементами из П при любых ограничениях

... ' \Wfc1 ...

Следствие 9. Для биективной сети Е следующие утверждения эквивалентны:

1) сеть Е является к-транзитивной для некоторого множества, мощность которого строго больше чем к||Е|| + кп;

2) сеть Е является к-транзитивной для произвольного множества, мощность которого строго больше чем к||Е|| + кп

Для к-разметки аналогичным образом определяется процедура устранения противоречий, относительно которой сохраняется основной результат.

Лемма 3. Пусть п — произвольная к-разметка сети Е, я — правильная непротиворечивая к-разметка сети Е и при этом существует отображение : п ^ Я Тогда для любой к-разметки полученной из к-разметки п устранением противоречий, также выполняется условие : / ^ я

Следствие 10. Пусть п — произвольная 2-разметка сети Е. Тогда правильная непротиворечивая к-разметка //, полученная из к-разметки п устранением противоречий, определена однозначно с точностью до обратимого переобозначения меток.

Определение 31. Правильную непротиворечивую к-разметку п сети Е с огранили ... г>1„\ /г^ ... . , „ , чениями , ..., будем называть свободной к-разметкой \тп ... ...

сети Е с ограничениями, если для любой правильной непротиворечивой к-разметки я

сети с ограничениями , . . . , существует отображе-

\тп ... г^у ... гикп)

ние : п ^ Я

Теорема 18. Если сеть Е допускает нетривиальную правильную непротиворечи-

, ^п ... /г^ ...

вую к-разметку с ограничениями , . . . , , то существует

... ^„у ... г„У'

свободная к-разметка сети с указанными ограничениями.

Теорема 19. Пусть имеются свободная к-разметка п сети Е с ограничениями г>п ... /г^ ...

а также правильная непротиворечивая 2-раз-

ги ... и>1„/' ' \Wfc1 ... г^/'

^ / ^ц ... \ ( ... \

метка я сети Е с ограничениями _ ,...,_ _ , при которых

У^и ... г1„у ... «^„у

возможно определить отображение по правилу

(^1г) = аДг^) = г^1г, ..., аД^) = аДг^) = г^, г € {1,..., п}.

Тогда отображение допускает продолжение, удовлетворяющее условию : п ^ Я Следствие 11. В условиях теоремы, если О и ^ — минимальные правила разметок п и я соответственно, то при всех допустимых ^^ € N выполняется равенство )) = ^ )). Сформулируем и докажем один из немногих результатов из области к-разметки, доказательство которого существенным образом отличается от соответствующего доказательства в случае 2-разметки.

Теорема 20. Сеть Е допускает нетривиальные правильные непротиворечивые

^н ... г>1„\ /^1 ... ^„^

... г1„у , ..., ...

из N в том и только в том случае, когда сеть Е допускает нетривиальные правильные

^н ... У1„ч

к-разметки при всех возможных ограничениях , . . . ,

непротиворечивые к-разметки при всех возможных ограничениях

угуц ... гУ1„

...

из Пк+1.

... «^„у +

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Будем считать, что N^11,..., ^1,......, ..., ... ,г„} = {уп,... ,у12,... ,...}.

Пусть свободная к-разметка п' = (п1,..., п'к) сети Е получена в результате свободного продолжения начальной к-разметки п'(х10)) = ^11, ... ,п'(х„0)) = г>1п, ..., п'(Х0) = г>к1,

... , nk (хП0)) = vkn с использованием меток у(1,... , yki, у12,... , yk2,.... Тогда, согласно теореме 19, для любой правильной непротиворечивой k-разметки а с ограничениями ... Vin\ f Vfci ... vfcra\ n ми _ , ... , _ из sík+i, при которых возможно определить ^Wii ... Win/ ^Wki ... Wkn/ +

отображение по правилу

0>(vi¿) = Vii, ... , ^(v^) = Vfci, aM(wi¿) = Wii, ... , aM(wfci) = Wb, i G {1,... , n},

отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : n' ^ а. Заменив в k-разметке n' метки n' (x^), ..., ní (Х?), ..., nk(xi^), ..., nk (хП?) на wii, ..., iüin, ... , Wki, . •. , Wkn соответственно, получим k-разметку n'' сети E с ограничениями

vii ... fvki ... Vk„\ , „

, ..., , и при этом для любой правильной непроти-

Wii ... Win/ \Wki . . . WknJ

„ , /Vii ... Win\ /Vki ... v^

воречивой k-разметки а с ограничениями _ ,...,_ _ , при

\UJii ... Win/ \Wki ... Wkn/

которых возможно определить отображение по правилу

0>(vi¿) = Vii, ... , ^M(vk¿) = Vki, aM(Wi¿) = Wi¿, ... , ^(Wkí) = Wb, i G {1,... , n},

отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : n'' ^ а. Проведём процедуру устранения противоречий в k-разметке n'' с уточнениями:

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки vri и , то будем заменять метку на vri;

— если при устранении противоречия требуется отождествить метки Wri и , то будем заменять метку на Wri.

Пусть n — правильная непротиворечивая k-разметка сети E, полученная из k-раз-метки n'' устранением противоречий. Тогда, согласно сделанным уточнениям, метки

n i(x i0)),... ,nk(x S0)),... ,ni(хП0)), ... ,nk(хП0)), n i(x(/)),... ,nk(x^),... ,ni(хП^), ..., nk(xn)

содержатся в множестве {v ( (,...,vk (, ...,v in,...,vkn,W ( (,...,Wk (,...,W in,...,Wkn}. При этом, согласно лемме 3, для любой правильной непротиворечивой 2-разметки а

/v 1 1 ... v in\ / vk 1 ... v^ о

с ограничениями _ , ... , _ из s¿k+(, при которых возмож-

. . . Win/ \Wki .. . Wkn/ +

но определить отображение по правилу

0>(vi¿) = vii, ... , aM(vk¿) = vki, aM(Wi¿) = Wi¿, ... , aM(Wk¿) = Wki, i G {1,... , n},

отображение продолжается таким образом, что удовлетворяет условию : n ^ а.

Методом от противного покажем, что правильная непротиворечивая k-разметка n

^ , „ /vii ... vi^ /vki ... vkn\ p

будет k-разметкой с ограничениями , ... , . Согласно

yWii . . . W(nJ \Wki . . . Wkn/

уточнениям, в разметке n могли появиться противоречия только следующих типов:

— пГ (х(0)) = vsj = vr¿; пГ (х(0)) = Wsj = vr¿;

Пг (x(t)) = vsj = Wr¿;

— Пг (x(t)) = Wsj = Wri.

Разберём подслучай n((x(0)) = v1j = v(i, относящийся к первому типу противоречий. Предварительно докажем два вспомогательных утверждения.

Лемма 4. Пусть v( = (v(1,... , vin),... , vk = (vki,... ,vkn) G Nn — различные векторы. Тогда существует такое отображение а: N ^ Qk, при котором все векторы а (vi) = (a(vn),... , a(vin)),... ,a(vk) = (a(vki),... , a(vto)) различны.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что векторы V!,..., ^ не содержат элементов из множества П.

Докажем индукцией по в существование отображения а.: N ^ П., при котором множество {а.^),... , )} содержит не менее в различных векторов.

База при а1: N ^ {1} очевидна — множество векторов {а1^1),... , а^^)} является одноэлементным.

Предположим, что построено такое отображение а.: N ^ П., при котором множество {а.^),... , )} содержит г ^ в различных векторов. Не ограничивая общности, будем считать, что а.^^,... , ) —все различные элементы множества {а.^),... , а.(^)}. Если г = к, то утверждение доказано, в противном случае, не ограничивая общности, можно считать, что ) = а.^г+1). Поскольку V, = vr+1, то = для некоторого ]; полагая

получим, что множество {а.^^),..., а.+1(^)} содержит как минимум (г+1) ^ (в+1) различных векторов: а.^^),... , а.+1^г+1). ■

Лемма 5. Пусть v1 = (111,... , 11п),... , ^ = (1к1,... , 1к„) € N — различные векторы и ^ = (г11,... , г1п),... , wfc = (гк1,... , гк„) € N — различные векторы. Тогда существует такое отображение а: N ^ П, при котором все векторы а^^,... , а(^) различны и все векторы а^^,... , а^^) различны.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что векторы v1,... , ^, w1,... , Wfc не содержат элементов из множества П.

Докажем индукцией по в существование отображения а.: N ^ П., при котором каждое из множеств {а.^),... , )} и {а.^^,... , )} содержит не менее в

различных векторов.

База при а1: N ^ {1} очевидна — множества векторов {а1^1),..., а^^.)} и {а..^1),... , а.)} являются одноэлементными.

Предположим, что построено такое отображение а.: N ^ П., при котором |{а.^1),... , )}| ^ в и |{а.^1),... , а.^)}| ^ в. Если |{а.^1),... , а.^)}| = к или [{а.^^,... , а.^^)}| = к, то дальнейшее построение отображения а осуществляется согласно доказательству леммы4, в частности, если [{а.^),... , )}| = = |{а.... , )}| = к, то утверждение доказано. В противном случае доста-

точно рассмотреть два возможных случая.

Случай 1. Если существует такой а € N при котором для отображения

выполняются оба неравенства [{а.^^),... , а.+1(^)}| > |{а.... , )}| и |{а.+1^1),..., а.+1 )}| > |{а.^1),..., )}|, то отображение а.+1 является ис-

в + 1, если х = , а. (х), если х = ,

а.+1(х)

в + 1, если х = а, а.(х), если х = а,

комым.

Случай 2. Если при любом а € N для отображения

а.+1(х)

в + 1 , если х = а, а.(х), если х = а,

выполняется одно из равенств |{as+i(vi),... , as+i(vk)}| = |{as(v^,... , as(vk)}| или (wi),..., (wk )}| = |{as (w1),..., as(wk )}|, то выберем произвольное a G N, для которого выполняется неравенство

|{^s+i(vi),... , a.+i(vfc)}| > |{a.(vi),... ,a.s(vfc)}|,

и произвольное b G N, для которого выполняется неравенство

|{a.+i(wi),... ,a.+i(wfc)}| > |{a.(wi),... , a.(wfc)}|.

В таком случае искомым является отображение

Is + 1, если x = a или x = b,

aS + i(X) = ) f \ / 7

I as(x), если x = a, b,

для которого выполняются оба неравенства |{as+i(vi),... , as+i(vk)}| > |{as(vi),... , a.(vfc)}| и |{a.+i(wi),... , a.+i(wfc)}| > |{a.(wi),... , a.(wfc)}|. ■

Из последнего результата следует, что для произвольных нетривиальных ограни-

„ fvii ... vi„\ fvki ... vfcra\ чении , ... , существует отображение a: N —> ъи, при

\Wii . . . WinJ \VJki . . . wkn)

f a(vii) ... a(vinA f a(vki) ... a(vtoA котором , , , , ..., , , , — нетривиальные ограни-

\a(wii) ... a(win)/ Va(wki) ... a(wkn) /

чения из Hk. Если a(vij-) = a(vii), то корректно переопределить a так, что a(vii) = k+1.

a(vn) ... a(vin)

В результате будут получены нетривиальные ограничения . , . , ,

\а(гц) ...

а(1Н) ... а(1кга)\

, ч , ч из Пк+1. Согласно условию теоремы, существует правиль-

а(гк1) ...

, /М^п) ... ^1„)\

ная непротиворечивая к-разметка я с ограничениями I ( ) ( ) I, ... ,

а(1И) ... а(1кга)\

) )\ из Пк+1, и при этом отображение определенное по прави-

лу 0>(г>н) = аД^) = (гн) = аДг^) = г^, г е {1,... ,п}, продолжается

таким образом, что удовлетворяет условию : п ^ Я Получили противоречие, поскольку ам(п1(ж(0))) = а(1у) = а (11) = я(х(0)). Отсутствие противоречий всех остальных типов устанавливается аналогичным образом. ■

Следствие 12. Пусть Е — биективная сеть ширины п и П — множество мощности не менее чем к||Е|| + кп. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) сеть Е является к-транзитивной для множества П;

2) сеть Е допускает нетривиальную правильную непротиворечивую к-размет-

П £ /111 . . . 11п

ку элементами множества П при любых ограничениях

\тп ... «Л„

... \ о

из множества П;

гк1 ... гкга у

3) сеть Е допускает нетривиальную правильную непротиворечивую к-размет-

П £ 111 . . . 11п

ку элементами множества П при любых ограничениях

... г«1га

/. . . Укп А о ^ О

из множества Пь+1 С П; V гУк1 ... гкга/ +

4) множество преобразований {ЕF : F G Q(H)} действует транзитивным образом

на подмножестве ПП+1 ^ Пп. Замечание 5. Вспомогательные леммы 4 и 5 из доказательства теоремы 20, по всей видимости, сами по себе являются интересными результатами, допускающими эквивалентные формулировки в разных областях дискретной математики. Так, например, лемму 4 можно переформулировать на языке теории графов следующим образом: «хроматическое число графа, содержащего не более — 1)/2 рёбер, не превышает k».

В заключение отметим, что приведённый в работе алгоритм построения 2-транзи-тивной сети на самом деле строит сеть, которая k-транзитивна для всех достаточно больших множеств.

Теорема 21. Пусть Е — произвольная биективная сеть ширины n. Тогда её модификация Е является k-транзитивной для любого множества П, мощность которого больше чем k||E|| + 7k(n — 1).

Следствие 13. Для любого n ^ 2 существует сеть Е ширины n и веса 6n — 7, которая k-транзитивна для всех множеств, мощность которых больше чем 7k(n — 1).

Автор выражает благодарность А. В. Черемушкину за постановку задачи и внимание к проводимым исследованиям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чередник И. В. Один подход к построению транзитивного множества блочных преобразований // Прикладная дискретная математика. 2017. №38. С. 5-34.

2. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967.

REFERENCES

1. Cherednik I. V. Odin podhod k postroeniyu tranzitivnogo mnozhestva blochnyh preobrazovanij [One approach to constructing a transitive class of block transformations]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2017, no.38, pp. 5-34. (in Russian)

2. Belousov V. D. Osnovy teorii kvazigrupp i lup [Foundations of the Quasigroups and Loops Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1967. (in Russian)