CC BY
29
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517
ТЕОРЕМА О ВИДЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
© 2О11 г. О.А. Кузенков, С.А. Мулюкин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
msaleksandr@gmail. com
Поступила в редакцию 01.08.2011
Рассматривается проблема вида предельного асимптотически устойчивого распределения систем динамики положительных мер, для которых уравнение квазиположительности выполняется в виде равенства. Доказывается, что такое распределение обязательно будет чисто атомической мерой.
Ключевые слова: устойчивость, естественный отбор, предельное распределение, наследование, носитель.
Введение
Дифференциальные уравнения в классах положительных и вероятностных мер широко используются при моделировании многочисленных процессов физики (в теории волновой турбулентности [1]), химии (уравнения химической кинетики [2]), биологии (теория естественного отбора [3, 4]). Так, в физике данные уравнения описывают, к примеру, поведение системы возбужденных волн, в биологии - поведение биологически изолированного сообщества животных. Частным случаем таких систем являются системы с наследованием. В своих работах для систем с наследованием А.Н. Горбань рассмотрел и доказал теорему о виде предельного распределения [3, 4]. В данной статье этот вопрос решается для более широкого класса уравнений: уравнений динамики мер, для которых уравнение квазиположительности выполняется в виде равенства.
Основные определения
Пусть X - произвольное множество, X - о -алгебра множеств из X. Пара (X, X) называется измеримым пространством, элементы множества X - измеримыми множествами. Функция ц: X ^ R измеримых множеств называется мерой.
Определение. Вариацией меры ц называется неотрицательная функция | ц |:Х ^ R , определенная на всех измеримых множествах равен-
k
ством | ц | (B) = sup^ЦВ)|, где B1,...,Bk -
j=1
различные непересекающиеся элементы из X, содержащиеся в B .
Определение. Мера ц называется неатомической, если для любого измеримого множества A є X, такого, что |ц|(A) > О, существует такое измеримое подмножество B с A , что о < |Ц(В) < |m|(A).
Определение. Множество A є X в пространстве (X,Х,ц) называется атомом, если
|ц|(A) > 0 и если для любого множества B є X, такого, что B с A , либо |ц|(В) = 0, либо
M(b) = H(A).
Определение. Если мера в пространстве (X,X,m) целиком сосредоточена на атомах, то такая мера называется чисто атомической. Чисто атомическая мера может иметь не более чем счетное число атомов [5].
Рассмотрим множество M(X,Х) всех конечных мер на измеримом пространстве (X, X). Справедлива следующая теорема Сакса: Теорема. Пусть (X,X,m)- измеримое пространство с мерой, ц - конечная положительная неатомическая мера, A є X . Тогда существует такая функция B :[0,1] ^ X, что
В(а) с B(P) , если 0 < а < в < 1, В(0) = 0, В(1) = = A и ц(В(а)) =a^(A) для всех а є [0,1]. Доказательство приведено в [6].
Теорема. Множество М(X,Х) всех конечных мер на измеримом пространстве (X,Х) с введенной нормой меры ц, равной вариации этой меры на множестве X: ||ц|| = ), являет-
ся банаховым пространством [6, 7].
В [8] развита теория дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
Введем функцию ц[?]: R+ ^ М(X,Х) - функцию времени со значениями в множестве мер. Пусть на множестве М (X ,Х) определен следующий оператор: Р[ц]: М(X, X) ^ М(X, X).
Тогда можно рассмотреть дифференциальное уравнение:
ц = Р (ц) (1)
с начальными условиями
ц[?о] = Цo, Цо еМ^,1 о е Т. (2)
Определение. Оператор Р[ц] называется квазиположительным, если выполняется неравенство Р[ц](А) > 0 для любого ц -нулевого множества А.
Условие квазиположительности является необходимым, а иногда и достаточным условием положительности решения задачи Коши, если в начальный момент времени мера была положительной [7].
Определение. Мера ц* называется асимптотически устойчивой, если для любого £ > 0 существуют 5 > 0 и Т, такие, что для любого времени 10 е Т и для любой меры ц(?0) е М(X^)
если ||ц(?0)-ц*|| <5, тогда ||ц(?)-ц*|| <£ и ц(/) ^ц*
для любого t > (0.
Теорема о виде предельного распределения
Теорема. Пусть условие квазиположительности для системы (1) выполняется в виде равенства, т.е.
Р[ц](А) = 0 (3)
для любого ц-нулевого множества А.
Тогда предельное асимптотически устойчивое распределение ц* для системы (1) будет чисто атомической мерой.
Доказательство. Предположим, что предельное распределение не является атомическим, т.е. ц - неатомическая мера. Так как все условия теоремы Сакса для ц выполняются, то для любого у > 0, такого, что 0 < у < 8, существует такое непустое множество D е X, что
|ц |(-0) = у. Пусть для определенности у = —,
1*1 5
|ц |(^) = —. Построим ц5 следующим образом:
0, А с D, А є Е, ц5 (А) = < ц* (А), А п D = ф, А єЕ, ц*(В), В = А п D, А є Е.
И пусть ц(^) = ц5, тогда
ЦцЛ) -ц'|| = |К< 0. X) -ц‘( X)| = =Иф) +ц'(х \D)-ц( х \=1<5
В силу условия (3) правая часть системы (1) равна нулю на множестве D: F(ц(?0), D) = 0 , следовательно, ц(D) = 0, т.е. мера данного множества не изменяется и ц^, Ґ) = 0 в любой момент времени t є Т. Из этого следует, что ||ц(?) - ц*|| = |ц& X) - ц*(X)| = |ц*|(Я) + |ц(^ X \ D) -* к 5
- ц (X \ D)> —, таким образом, норма разности ||ц^) - ц|| не стремится к нулю, что противоречит условию асимптотической устойчивости ц*. Следовательно, предположение о не*
атомичности ц неверно.
Теперь покажем, что ц - чисто атомическая. Предположим противное, что ц* не чисто атомическая. Значит, множество X распадается на объединение непересекающихся атомов и
*
непустое подмножество, на котором мера ц неатомическая. Обозначим совокупность всех атомов через А, а подмножество, на котором ц неатомическая, - через В; А п В = ф, А и В = X. Тогда, так как множество В неатомическое, то, по аналогии, существует такое подмножество
D є В , что |ц |^) = у, 0 <у < 5, и можно построить ц5, равное нулю на множестве D и совпадающее с ц* на его дополнении. Взяв некоторое ц^), такое, что ц(^) = ц5, и проверив условие асимптотической устойчивости, получим, что норма разности ||ц(^) - ц* || < 5, однако
норма разности ||ц^) - ц*|| > 5 и не стремится к нулю, следовательно. условие асимптотической ** устойчивости ц нарушено. Следовательно, ц может быть только чисто атомической мерой.
Пример
Известно, что множество X может содержать не более чем счетное число попарно неэквивалентных атомов [8]. Рассмотрим систему (1), для которой множество X - отрезок на действительной прямой: X = [а,Ь] с Я1. Возьмем некоторый атом А меры ц*(А) на данном отрезке. Для любого измеримого множества А1 с X, А1 є X справедливо одно из двух утверждений: либо |ц*|(А1 пА) = |ц*|(А), либо |ц*|((X\А1)п пА) = |ц*|(А). Разделим отрезок [а,Ь] пополам так, что [а,Ь] = [а,с] и (с,Ь], |с - а| = |Ь - с|, и обозначим через А1 ту его часть, для которой |ц*|(А1 пА) = |ц*|(А). Видно, что мера ц* на
атоме А сосредоточена в части А1 п А, то есть в одной половине отрезка. Далее разделим отрезок А1 пополам таким же образом и через А2
обозначим часть, для которой мера ц* не ноль. Повторив данную процедуру п раз, получим конечную совокупность вложенных друг в дру-
п
га отрезков Ап = ^ Ак . В силу выбора под-
к=1
множеств Ап будет выполняться следующее
равенство: |ц*|(Ап п А) = |ц*|(А), мера ц* на
атоме А сосредоточена в соответствующем отрезке Ап . Продолжая процедуру до бесконечности получим последовательность вложенных
друг в друга отрезков, длины которых убывают до нуля и пересечением которых является единственная точка. Следовательно мера ц* атома A сосредоточена в одной единственной точке. То же выполняется и для других атомов меры
ц . А так как атомов не более чем счетное
*
множество, мера ц целиком сосредоточена на не более чем счетном множестве точек.
Список литературы
1. Захаров В.Е., Львов В.С., Старобинец С.С. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения // Успехи физических наук. 1974. Т. 114. № 4. С. 609—654.
2. Горбань А.Н. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ. Новосибирск: Наука, 1984. 256 с.
3. Gorban A.N. Selection theorem for systems with inheritance. E-print. Vol. 2, No. 4. 2007. P. 1—45. URL: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0405451v4 (дата обращения: 28.03.2011).
4. Gorban A.N. Systems with inheritance: dynamics
of distributions with conservation of support, natural selection and finite-dimensional asymptotics. 2004. URL: http://cogprints.org/3815/ (дата обращения:
28.03.2011).
5. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 310 с.
6. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
7. Кузенков О.А., Новоженин А.В., Уравнения динамики меры. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 2010. 110 с.
8. Богачев В.И. Основы теории меры. Том 1. М. —Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. 544 с.
THEOREM ON THE FORM OF ASYMPTOTICALLY STABLE DISTRIBUTION
O.A. Kuzenkov, S.A. Mulyukin
The problem of the form of asymptotically stable distribution for systems of dynamics of positive measures, for which the quasipositivity equation holds as an equality, is considered. It is proved that such a distribution must be a purely atomic measure.
Keywords: stability, natural selection, limit distribution, inheritance, support.
