Свойство неатомичности классов множеств и векторных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 517.987

СВОЙСТВО НЕАТОМИЧНОСТИ КЛАССОВ МНОЖЕСТВ

И ВЕКТОРНЫХ МЕР

И. И. Баженов

Вводится понятие атома семейства подмножеств некоторого множества. Понятие атома векторной меры совпадает с введенным понятием, если рассматриваемое семейство состоит из множеств, имеющих нулевую векторную меру. Приводится достаточное условие неатомичности семейства множеств в одном специальном случае. Как частный случай, получено достаточное условие неатомичности векторной меры п(Е) = ^(т(Е)), построенной с помощью линейного и непрерывного оператора ^ и неатомической векторной меры т со значениями в топологическом векторном пространстве.

1. Основные понятия. Пусть т : А ^ X - счетно-аддитивная функция множества, заданная на некоторой а-алгебре А подмножеств непустого множества Т и принимающая значения в топологическом векторном пространстве X. Счетная аддитивность функции т : А ^ X понимается в смысле сходимости в векторной топологии пространства X. Как обычно, функцию т : А ^ X будем называть векторной мерой.

Атомом векторной меры т называется множество Е0 Е А такое, что т(Е0) = Ох и Для каждого Е е А, Е с Е0 либо т(Е) = Ох, либо т(Е) = т(Е0). Мер а т : А ^ X называется неатомической, если она

т

Понятие атома векторной меры играет важную роль в теории меры. Достаточно, например, вспомнить утверждение теоремы А.А. Ляпунова [4] о выпуклости и замкнутости множества значений векторной меры со значениями в конечномерном пространстве при условии, что она не имеет атомов. Исследованию множества значений неатомической векторной меры посвящены работы [5] и [6].

© Баженов И.И., 2006.

Представляет самостоятельный интерес вопрос о неатомичности различных конструкций из неатомических векторных мер. Некоторые из известных результатов являются достаточно неожиданными. Например, сумма двух неатомических векторных мер может быть атомической мерой.

Конечно, такой пример меры т : А ^ X можно построить, специальным образом подобрав ст-алгебру А, на которой задана мера, и специальным образом выбрав пространство X, где векторная мера принимает свои значения. Для скалярных мер и для более общего случая -векторных мер со значениями в нормированных пространствах - такой пример построить нельзя. Сумма двух неатомических векторных мер со значениями в нормированном пространстве всегда будет неатомической (см,, например, [2]), В работе [1] доказано, что, если скалярная мера является суммой счетного семейства скалярных положительных неатомических мер, то она сама является неатомической. Некоторые результаты, посвященные неатомичности различных конструкций векторных мер, приведены в работе [2],

В настоящей работе мы используем достаточно общий подход к исследованию атомов векторной меры, впервые предложенный П, Чапеком в работе [1], Понятие атома векторной меры при этом подходе будет являться частным случаем более общего понятия атома относительно класса множеств.

Пусть Т - произвольное непустое множество и А - некоторая ст-алгебра подмножеств множества Т, В дальнейшем будем рассматривать только множества из ст-алгебры А, называя их измеримыми. Пусть N - некоторое семейство измеримых подмножеств, то есть N с А, Если Е Е А, то будем использовать следующие обозначения:

Е ПА = {А Е А : А с Е} и NE = {А еА : А П Е Е N1-

Зафиксируем некоторое семейство N С А и определим для него новый класс множеств

А^)= П N ^, (1)

ЕеЛ

А

N или просто Фатомами, Отметим, что в формуле (1) символ Ес обозначает дополнение множества Е, то есть Ес = Т \ Е. Если А^) = 0, то ст-алгебра А называется ^неатомической.

Пример 1. Пусть Т = {1, 2, 3}, А = 2Т и N = {0, {1}, {1, 2}, {1, з}}. Тогда А^) = {{2}, {3}, {1, 2, 3}}.

Пример 2. Пусть т : А ^ X - векторная мера. Обозначим через N семейство всех измеримых множеств, на которых мера т принимает нулевое значение, то есть N = {Е Е А : т(Е) = Ох}■ Тогда, если Е Е А^), то т(Е) = Ох и для каждого А Е А либо т(Е П А) = Ох, либо т(Е П Ас) = т(Е \ А) = Ох Но это означает, что множество Е

т

утверждение - любой атом векторной меры т является атомом ст-алге-бры А относительно класса N.

Таким образом, понятие атома векторной меры т : А ^ X совпадает с понятием атома ст-алгебры А относительно класса N нуль-мерных множеств, В работе [1] исследуются атомы скалярных положительных мер с помощью этого более общего понятия атома относительно класса множеств,

т:

А ^ X, даже в самом общем случае, обладает рядом дополнительных свойств, то уместно выделить эти свойства и наделить ими рассматриваемое семейство N. относительно которого строится семейство атомов ст-алгебры А, Так в работе [3] выделяются следующие свойства, накладываемые на класс N\

(A) если Е Е N,10 Е П А Е N для любо го А Е А;

(B) если Е1, Е2 Е N и Е1 П Е2 = 0, то Е1 и Е2 Е N

(C) если Е1 Е N, Е2 / N. причем Е1 П Е2 = 0, то Е1 и Е2 / N

(I)) если Е1, Е2 е N и Е1 П Е2 / N,10 Е1АЕ2 / N

(Е) 0 е N

Всюду ниже будем предполагать, что свойство (Е) выполнено для любого рассматриваемого класса N Семейство N называется наследственным, если оно обладает свойством (А), и называется идеалом, если выполнены (А) и (В) одновременно,

В настоящей работе мы будем использовать еще одно свойство семейства N которое по существу является усилением свойства (В), Приведем его в следующей формулировке:

(Вх) если (Еп) последовательность попарно дизъюнктных мно-

ТО

жеств ИЗ N то и Еп е N.

п=1

Легко показать, что если семейство N удовлетворяет свойству (Вх), то оно будет удовлетворять и свойству (В).

Заметим, что нуль-мерные множества произвольной векторной меры свойством (А), вообще говоря, не обладают. Свойство (А) будет иметь место для нуль-мерных множеств в случае, если мера т : А ^ X является скалярной и положительной, то есть X = И+, Все другие выделенные выше свойства для семейства нуль-мерных множеств N выполнены автоматически в случае произвольной векторной меры т : А ^ X,

В заключение этого параграфа приведем формулировку леммы из

[3], которая будет использоваться ниже.

Лемма 1. Пусть N С А и Е0 Е А(^), Е с Е0. Тогда имеют место следующие утверждения:

(‘1) если Е / N, т о Е0 \ Ее N;

(гг) если N обладает, свойством (В) и Е Е N т о Е0 \ Е / N

(Ш) если N обладает, свойством (С) и Е / N то Е Е А(^);

(го) если N обладает свойствами (В),(С) «Ее N т оЕо \ Е Е А(^);

(о) если N обладает, свойствами (С) и (Б). а, Е Е N то для любого

Ее А выполне но Е Е ЛЕ.

2. Атомы счетно порожденной ст-алгебры. В этом параграфе мы рассмотрим простейший случай, когда семейство N состоит только из одного множества. Всюду ниже будем обозначать N0 = {0}, а элементы А(.М0) называть атомами ст-алгебры А,

Лемма 2. Множество Е Е А является атомом а-алгебр ы А тогда, и только тогда, когда, Е = 0 и для любого А Е Е П А ли5о А = 0, ли^о А=Е

Действительно, если Е Е А(.М0), то Е / N0 = {0} и для любого А Е Е П А то определению А(АУ либо А П Е = А Е N0 = {0}, либо

Ас П Е = Е \ А Е N0 = {0}, то есть А = Е,

Лемма 3. Если N с М с А, то А(^) \ Мс А(М).

Если Е Е А^ДМ, то Е / М и для любого А Е А АПЕ Е N с М

или А П Ес Е N с М. Но это и означает, что Е Е А(М).

В следующей теореме содержится описание атомов счетно порож-а

Теорема 1. Пусть А - счетно порожденная а-алгебра и ^ = {Еп}

А

утверждения:

ТО

(■-,) А(«,) с { П Е1* : £к Е {-1, 1} и Ек = Ек, Е-1 = Ек};

к=1

ТО

(и) А(^0) = {П Екк: Е {—1,1} ^ Ек = Ек, Ек1 = Ек} \^0;

к=1

(ш,) Если 0 Е N с А т° для, любого Е Е А(^) существует множество Е0 Е А(АУ такое, ч,то Е0 с Е.

Доказательство. (!) Если Е Е А(.М0), то Е = 0 и для любого п Е N либо Е П Еп = 0 либо Е П ЕП = 0 Положим еп =1, если Е П ЕП = 0, и еп = —1, есл и Е П Еп = 0 Для каждого п Е N обозначим ЕП = Еп, Е-1 = Е^ тогда, очевидно, Е П Епп = Е для всех п Е N.

ТОТО

Следовательно, Е П ( Р| Епп) = Е и значит Е с П Епп. Но так как

п=1 п=1

X] = {Еп} - счетная система образующих а-алгебры А, то множество не может содержать собственных измеримых подмножеств, а значит

ТО

Е = п Епп-

п=1

ТО

(п) Пусть Е = П Епп = 0 и А с Е. Так как ^ = {Еп} - система

п=1

образующих а-алгебры А то либо А = 0 либо А = Е, Но тогда по лемме 2 Е является атомом а-алгебры А,

(ш) Пусть 0 Е N с А и Ее А(^). Следовател ьно, Е / N и Е = 0 , Зафиксируем произвольную точку £ Е Е. Тогда для каждого п Е N одно из множеств Е П Еп пли Е П Еп обязательно содержат точку £, Будем обозначать Еп = Еп и Е-1 = Еп. Для каждого п Е N возьмем

ТО

еп Е { — 1,1} так, что бы £ Е Е П Епп. Тогда множе ство Е = П Е П Епп =

п=1

ТО

Е П П Епп будет содержать точку £. Поскольку X] = {Еп} - семейство

п=1

ТО

образующих а-^тгебры А т0 имеет место включение Р| Епп с Ей

п=1

ТОТО

множество П Епп содержит точку £. Пусть Е0 = Р| Епп. Так как Е0 =

п=1 п=1

0. то в силу пункта (п) Е0 Е А(.М0) и Е0 с Е, Утверждение теоремы доказано.

Следующее утверждение усиливает последний результат теоремы 1,

Аа N с А удовлетворяет уеловиям (Вх) и (С). Тогда для, любого Е0 Е А(^) существует множество Е с Е0 такое, ч,то Е Е А^Д причем Е также является, N-атомом а-алгебры А.

Доказательство. Покажем вначале, что, если N удовлетворяет условию (В1 ), то для любой последовательности Еп е N такой, что

ТО

Еп С Еп+1 для всех п е N будет выполняться включение У е N.

П=1

Как уже было отмечено, из условия (Вц.) для семейства N вытекает условие (В). Если обозначить А1 = Еь Ап = Еп \ Еп-1 для всех п > 2, то из свойства (С) будет следовать, что Ап е N. Множества из последовательности (Ап) попарно дизъюнктны, тогда по свойству (В1) для

ТО ТО

семейства N имеем включение и Е„ = и А„е N.

П=1 П=1

Выделим еще ОДНО СВОЙСТВО, связанное С условием (В1): если Ап /

ТО

N. Ап С Е0 е Д^) и Ап+1 С Ап для всех п е N т0 П Ап / N.

П=1

Для его доказательства обозначим Еп = Е0 \ Ап, Так ка к Ап С Е0 е Д^), то то лемме 1 = Е0 \ Ап е N. Так как Еп С Еп+1, то, как

ТО

было показано выше, У Еп е N. Из пункта (п) леммы 1, будем иметь

П=1

ТОТО

П = Е0 \ Ш Е„) / N.

п=1 п=1

Пусть теперь ^ = {Еп} - счетное семейство образующих ст-алгебры Д, Обозначим Е^ = Еп и Е-1 = Е£. В силу свойства (В) и условия Е0 е Д^) будет выполнено только одно из следующих двух условий: либо Е^ П Е0 е N. либо Е-1 П Е0 е N. Но в первом случае будем иметь Е-1 П Е0 / N а во втором случае - Е{ П Е0 / N Положим е1 = 1, если Е^ П Е0 / N и £1 = — 1, есл и Е-1 П Е0 / ^^а к Е^1 П Е0 / N и, следовательно, по лемме 1 (Ш) Е1 = Е^1 П Е0 е Д(N),

Аналогичные рассуждения проводим для множества Е1 е Д(N). То есть найдем е2 е { — 1,1} так, что бы Е2 = Е2"2 П Е1 = Е^1 П Е|2 П Е0 / N. Продолжая рассуждения по индукции, построим последовательность

П

множеств Еп = П Екк П Е0 то свойств ом Еп / N Посколь ку Еп+1 С Еп, к=1

Еп / N и Еп С Е0 е Д(N), то в силу доказанного выше будем иметь

ТОТО

П Еп = Е0 П ( П ЕПП) / N Так как X] = {Еп} - семейство образующих

П=1 П=1

ТОТО

ст-алгебры Д, то Е0 П ( Р| ЕПП) = П ЕПП.

П=1 П=1

ТО

Обозначим Е = П ЕПП. Тогда Е С Е0 и Е / N а значит Е = 0.

П=1

Таким образом, по теореме 1 Е е Д(^), Учитывая, что N0 С N и Е / N по лемме 3 дополнительно получим Е е Д^).

3. Свойство неатомичности ст-алгебр относительно некоторых семейств измеримых множеств. Пусть N С Д произвольное семейство измеримых множеств. Множество А е Д будем назвать .^-пренебрежимым, если А П Ее N для любо го Ее Д. В используемых нами обозначениях условие .^-пренебрежимости множества А е Д можно также записать так: Д С N4 или А П Д С N. Измеримые множества А и В будем называть ^"-эквивалентными, если множество А Д В = (А\В) и (В \ А) является ^"-пренебрежимым множеством. Для обозначения .^-эквивалентности множеств А и В будем использовать символ А В.

Очевидно, что любое измеримое подмножество ^"-пренебрежимого множества также является ^"-пренебрежпмым. Отсюда, в частности, будет следовать, что, если А В, то А П Е В П Е для любого измеримого множества Ее Д. Отметим также, чт о если А В, то

Ас Вс, Кроме этого, если семейство обладает свойством (В), то

объединение конечного числа .^-пренебрежимых множеств будет М-пренебрежимым множеством. Последнее замечание позволяет нетрудно проверить, что .^"-эквивалентность множеств является транзитивным свойством, а значит имеет место следующее утверждение.

Лемма 4. Если семейство N С Д удовлетворяет условию (В), то свойство N-эквивалентности является, отношением эквивалентности на ст-алгебре Д.

Пусть в ст-алгебре Д выделена некоторая ст-под^тгебра Д°, Будем говорить, что Д0 плотна в Д относительно N или, просто, .^"-плотна Д Е Д А Д0

А Е, Будем также использовать следующее обозначение № = {Е е Д0 : существует А е N такое, что А Е}. Выделим следующее

полезное утверждение.

Лемма 5. Пусть ст-алгебра Д0 плотна в Д относительно N, а семейство измеримых подмножеств N удовлетворяет условиям (В) и (С). Если Е е Д0, Е / N и Е Е, то Е / №.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Е е и Е Е. Тогда то определению семейства ^0 найдется такое множество А е N,410 Е А. В силу леммы 4 будет выполнено условие А Е. Заметим, что А\Е е N и Е\А е N. как подмножества .^’-пренебрежимого множества А Д Е, Тогда А ПЕ е N. Действительно, если бы АП Е / N. то в силу свойства (С) мы бы имели А = (АПЕ) и (А\Е) / N. Осталось

отметить, что в силу свойства (В) будем иметь Е = (АПЕ)и(Е\Е) е N. Получили противоречие с условием леммы.

Последнее утверждение может быть усилено и сформулировано в следующей форме.

Лемма 6. Пусть N С М два фиксированных семейства, мно-стД

ст-алгебра Д0 плотна в Д относительно N. Если Е е Д0, Е / М и Е Е, то Е / М0, где М° = {Е е Д0 : существует А е МА ^ Е}.

Следующие две леммы будут играть ключевую роль при доказательстве основного утверждения этого параграфа.

Лемма 7. Пусть ст-алгебра Д0 плотна в Д относительно N, а семейство измеримых подмножеств N удовлетворяет условиям (В) и (С). Для того чтобы Е е Д(^) необходимо и достаточно, чтобы существовало множество А е Д° такое, ч,то А е Д°(№) и А Е.

Доказательство. Пусть Е е Д(^), В силу того, что Д° N-плотна в Д, найдется А е Д° такое, что А Е. Покажем, что выделенное множество А е Д° является атомом ст-алгебры Д0 относптельно №. Прежде всего отметим, что Е / N. а значит А / № в силу леммы 5,

Пусть теперь Ее Д° произвольное множество и пусть А П Е / №. Поскольку А Е и семейство N обладает свойством (В), то (А П Е) (Е П Е) и (А П Ес) (Е П Ес), Так ка к Е П А / №. то

по определению семейства № будем иметь Е П Е / N. Следовательно, в силу условия Е е Д(^) будем выполнено включение Е П Ес е N. а значит А П Ес е Но это и означает, что А е Д0^0), Необходимость условия проверена,

Е Д А Д0 А

Д°(№) и А Е, Покажем, что Е е Д^), Так как А е Д0(№), то

А / № и то определению сем ейства № будем им еть Е / N.

Пусть теперь Ее Д произвольное множество и Е ПЕ / N. Покажем, что Е П Ес е N. Так как ст-алгебра Д0 плотна в Д, то найдется С е Д0 такое, что С Е. Тогда будет выполнена следующая цепочка эквивалентностей (Е П Е) (С П Е) (С П А), Учитывая, что

С П Ее Д0и Е П Е / N по лемме 5 будем иметь С П А / №. Так как множество А является №-атомом ст-алгебры Д0, то А П Сс е №0, Учитывая цепочку (А П Сс) (А П Ес) (Е П Ес) и результат

леммы 5, приходим к выводу, что Е П Ес е N Значпт Е е Д^) и лемма доказана.

Д

N С М, удовлетворяющих условиям (В) и (С). Пусть далее ст-алгебра Д0

плотна в Д относительно N. Тогда, если Д имеет атомы относиМ Д0

М0, где М0 = {Ее Д0 : существует А е М такое, что А Е}.

Доказательство. Пусть А е Д(М), В силу того, что Д0 .^-плотна в Д, найдется Ее Д0 такое, что А Е. Покажем, что выделенное

А Д0 ст Д0 М0

Так как А / М, то Е / М0 в силу леммы 6. Пусть теперь Ее Д0 произвольное множество и пусть Е П Е / М0. Так как (Е П Е)

(А П Е), то по определению семейства М0 будем иметь А П Е / М, Но тогда А П Ес е М, а значит Е П Ес е М0, Но это и означает, что Е е Д0(М0).

Для изложения основного результата этого параграфа введем еще одно понятие. Пусть N С Д фиксированное семейство измеримых множеств, Будем называть ст-алгебру Д №-cyщecтвeннo счетно порожден-

ст Д0

является плотной в Д относительно семейства N.

Теорема 3. Пусть Д - ст-алгебра и N, М - два семейства, измеримых множеств, которые удовлетворяют условиям (В1) и (С), причем 0 е N С М. Пусть Д является, N-существенно счетно порожденной ст-алгеброй. Тогда, если Д является, N-неатомической, то Д Мст

Д0 ст

рая является плотной в ст-алгебре Д относительно семейства N и пусть Д(М) = 0. Тогда по лемме 8 найдется м ножество Ее Д0, являющееся Д0 М0 = {Е Д0 : А

М такое, что А Е}. Так как Д0 - счетно порожденная ст-алгебра,

Е0 С Е ст Д0

причем Е0 е Д0(М0), Но так как № С М0 и Е0 / М0, то Е0 / №. Поскольку N0 = {0} С №, то по лемме 3 любой атом ст-алгебры Д0, то есть №-атом, будет являться атомом Д0 относительно семейства №, если он не является элементом семейства №. Таким образом, Е0 е Д0(№), Осталось заметить, что в силу леммы 7 будем иметь Е0 е Д(^), Итак, если Д(М) = 0. то существует Е0 е Д(^), что и доказывает утверждение теоремы,

4. Неатомичность некоторых конструкций векторных мер.

Здесь мы сформулируем основные следствия из результатов предыду-

щего параграфа, касающиеся свойства неатомичности векторных мер. Близкие по содержанию результаты приводятся в работе [5], Однако, здесь они получены, как частный случай более общих утверждений предыдущего параграфа.

Пусть т : Д — X - векторная мера и N - семейство всех нульмерных множеств т, то есть N = {Е е Д : т(Е) = Ох}■ Мно-

жество Ее Д называется т-иреиебрежимым, если Е является N пренебрежимым относительно семейства N то есть т(А) = Ох для любого А е Е П Д. Множества Е и Е называются т-эквивалентными, если множество Е Д Е является т-пренебрежимым. Через [Е]т обозна-

т

Е е Д. Обозначим Д™ = {[Е]т : Е е Д}.

Будем назвать ст-^тгебру Д т-существенно счетно порожденной, ес-

ст Д0 С Д

любого Ее Д найдется А е Д0 со свойством Е е [А]т, В этом случае, очевидно, Дт = {[Е]т : Е е Д0}, Заметим, что понятия т-существенно счетной порожденное™ и №-cyщecтвeннo счетной порожденностп будут совпадать.

Пусть X, У - топологические векторные пространства и р : X — У некоторый линейный и непрерывный оператор. Очевидно, что функция п : Д —— У, определяемая равенством п(Е) = р(т(Е)), будет также являться векторной мерой.

Теорема 4. ([5]) Пусть Д - ст-алгебра, т : Д — X - неатомическая

Дт

денной. Тогда, для, любого линейного непрерывного оператора р : X — У векторная мера п = р о т также является, неатомической.

Доказательство. Обозначим N = {Ее Д : т(Е) = Ох} и

М = {Е е Д : п(Е) = р(т(Е)) = Оу}, ^^^^вдно, что N С М и каждое из семейств обладает свойствами (В1) и (С), Заметим также, что ст-алгебра Д является №-cyщecтвeннo счетно порожденной, Неато-мичность меры т отсутствие ^^^том в ^^^^гебре Д, Таким

стД

М

меры п = р о т. Теорема доказана.

Следующий пример показывает, что условие счетной порожденностп стД

Пример 3. Пусть Р - бесконечное и несчетное множество, -ст-алгебра лебеговских подмножеств отрезка [0, 1] для каждого р е Р.

Положим Т = [0, 1]Р и Д = ® - произведение ст-алгебр Вр, Заметим,

реР

что точки из множества Т не будут измеримыми множествами.

Обозначим X = Ит и будем рассматривать в X произведение топологий на II, Можно считать, что X есть пространство всевозмож-

Т

логией поточечной сходимости. Топология в X является слабейшей из всех топологий, в которых будут непрерывными все оценочные функционалы, то есть функционалы Е4 : X — И,, задаваемые равенством ЕеОФ)) = ж(£).

Определим т : Д — X. задав те формулой т(Е) = К#, где -индикатор множества Е е Д. Легко понять, что т является векторной мерой и она не имеет атомов. Но, если взять произвольный оценочный функционал Е4 и построить новую меру п(Е) = ЕДт(Е)), то п : Д — И будет являться атомической скалярной мерой. Множество Т, будет п

т

стД

нее также подтверждает, что утверждение теоремы 3 без условия №-

стД

В заключение приведем формулировку еще одного утверждения из работы [5], Оно может быть получено, как следствие из теоремы 4, а, значит, является частным случаем доказанной нами теоремы 3,

Теорема 5. ([5]) Пусть X метризуемое локально выпуклое пространство и т : Д — X - неатомическая векторная мера. Тогда для, любого линейного непрерывного оператора р : X — У векторная мера п=рот

Если выполнены условия приведенной выше теоремы, то векторная мера т : Д — X имеет контролирующую ее скалярную меру Л : Д — И+, причем меру Л можно построить так, что она также будет неатомической мерой. Несложно проверить, что мера Л будет также

п=рот

лярной меры влечет отсутствие атомов самой векторной меры. Именно так выглядит ход доказательства последней теоремы в работе [5],

Отметим, что связь свойств неатомичности векторной меры и контролирующей ее скалярной меры можно также установить в самом общем случае, доказав это утверждение для атомов классов множеств.

Литература

1, Сарек P. The atoms of a contable sum set functions // Math. Slovaca. 39. 1989. №1. P. 81-89.

2, Баженов И.И. Неатомичность некоторых конструкций из неатомических векторных мер // Вестник Сыктывкарск. ун-та. Сер.1: Мат. Мех. Инф. 1999. Вып.З. С. 5-143, Баженов И.И. Атомы классов множеств и векторных мер // Вестник Сыктывкарск.ун-та. Сер.1: Мат. Мех. Инф. 2001. Вып.4-С. 5-12.

4, Ляпунов А.А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Известия АН СССР. Сер. магпем. 1940. Т.4- №6. С. 465-478

5, Kluvanek I. The range of vector-valued measure // Math. Sistems Theory. 1973. V.7. Ml. P. 44-54.

6, Turpin Ph. On the range of atomless vector measures // Annales Socitetis Mathematicae Polonae, series 1: Commentationes Mathematicae XXIII. 1983. V.23. #1. P. 155-171.

Summary

Bazhenov 1.1. The property of nonatomicity for set families and vector measures

We introduce the new concept of atom for family of subsets of some set. This notion coincides with the notion of atom of vector measure if the family in question contains only sets of zero measure. Sufficient conditions of nonatomicity of family of sets are given for one special case. We also establish sufficient conditions of nonatomicity of the vector measure n(E) = ф(т(Е)) constructed % means of linear and continuous operator ф and vector measure m with values in topological vector space.

Сыктывкарский университет

Поступила 24-02.2006