Неатомичность некоторых конструкций из не атомических векторных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 3.1999

УДК 517.987

Неатомичность некоторых конструкций из неатомических

векторных мер И. И. Баженов

Исследуется свойство неатомичности векторных мер. Показано, что сумма (конечная или бесконечная) неатомических ба-наховозначных мер является неатомической мерой. Аналогичный результат получен для декартовых произведений векторных мер.

1. Постановка задачи. Пусть (Т, А) - измеримое пространство, X - топологическое векторное пространство. Как обычно, под векторной .мерой понимается счетно-аддитивная функция множества т : А —> А*. Множество Е0 £ А называется атомом меры те, если т(Е0) Ф Ох и для каждого Е € Л, Е С Е0 либо т(Е) = Ох, либо т(Е) = т(Е0). Мера т : А —> X называется неатомической, если она не имеет атомов.

В связи с понятием неатомической меры возникают вопросы следующего характера. Пусть Шх : А —> X, т2 : Л —> X - две векторные меры. Будет ли неатомической мера т ~ т,\ + т2 (сумма мер определяется естественным образом), если ту и т^ являют!и тте-атомическими? Может ли быть сумма двух атомических мер мерой неатомической? Можно рассматривать и другие конструкции мер и ставить аналогичные вопросы. В частности, представляет интерес вопрос о неатомичности векторной меры т : Л —> А" х У, т = (т1,т2) и т\ : А —> X, т2 : Л ~> У в зависимости от неатомичности координатных мер т\ и т-2. Некоторые из этих задач были поставлены в [1]. Здесь мы приводим их подробное решение. Аналогичные задачи рассматривались в [3] для случая скалярных мер.

В предлагаемой общей постановке, когда множество значений меры т является произвольным топологическим пространством, ответы на поставленные вопросы не являются тривиальными. Об этом свидетельствуют два следующих примера. .

© Баженов И. И., 1999.

Пример 1. Пусть (Т\А) - измеримое пространство, 1() 6 Т и для каждого К € А гп\(Е) — Ке{Ь}- 7щ{Е) = —Ке^о), где Ке(1) ~ характеристическая функция (индикатор) множества Е £ А. Очевидно, что тих,: Л •—» К являются скалярными мерами. Каждая из них имеет атомом множество Т, но для любого Е £ А т(Е) = Ш1(£) + Ш2(£) = 0. Таким образом, сумма двух атомических мер т\ и то2 является тривиальной (тождественно равной нулю) и поэтому будет неатомической.

Пример 2. Пусть Р - бесконечное и несчетное множество, Ър —

ст-алгебра подмножеств отрезка [0,1] для каждого р £ Р. Положим

Т = [0,1]р и А — 0 Ър - произведение сг-алгебр Ър. Зафиксируем рвР

точку ¿о £ Т и определим векторные меры т0, гп\ : А —» Кг, задав их формулами

т1(Е) = КЕ{Г), I £ Т,

т0{Е) = КЕ{10)КТ{1) = КЕ{и), I £ Г,

где КеЦ) - индикатор множества £' £ Л. Обозначим т2(Е) = т0(Е) — гп\(Е), Е £ А. Мера то имеет атомом множество Г, а меры Шх и шг являются неатомическими. Действительно, если Е ф 0, Е ф Т, Е £ Л, то тх^Е) ф О и т2{Е) = т0(Е) — т1(Е) ф О. Таким образом, хотя мера т0 является суммой двух неатомических мер, она имеет атом.

2. Неатомичность меры со значениями в декартовом произведении пространств. Пусть Л", У банаховы пространства и ///.) : Л --> Л', /у?2 : Л —► К две векторные меры. В этом параграфе мы исследуем вопрос о неатомичности меры то : Л —> X х У, задаваемой формулой га(-Е) = (ш1(Е), т2(Е)), Е £ Л, в зависимости от неатомичности координатных мер т\ и т2. Сформулируем сначала несколько вспомогательных утверждений, доказательство которых непосредственно вытекает из определений.

Лемма 1. Пусть т : Л —» X - векторная мера и Е0 £ Л является атомом ш. Пусть далее Е С Е0 п Е £ А. Тогда

1) если т(Е) ф О, то Е также является атомом меры то;

2) если т(Е) = О, то множество Е0 \ Е - атом меры т, причем т(А) = О для любого измеримого множества А С Е.

Лемма 2. Пусть то : Л —> X неатомическая векторная мера, не равная тождественно нулю. Тогда существует последовательность измеримых множеств (Еп) такая, что Еп Э Еп+1, т(Еп) ф О для всех п £ N и т(Еп) —> О при ге —> оо.

Лемма 3. Пусть г/гi : Л —► А", т2 : Л —> У две векторные меры, Еу и Е2 являются атомами мер mi и т2, соответственно. Тогда выполнено одно из утверждений:

1) существует измеримое множество Е С Еу П Е2 такое, что Е является атомом мер ту и т2 одновременно;

2) существуют дизъюнктные измеримые множества Ai С Еу и Л2 С Е2 такие, что А\ - атом меры mi, А2 - атом меры т2.

Лемма 4. Пусть т — (ту,т2) : Л —> X х У векторная мера, задаваемая координатными мерами : Л —» X, т2 : Л —► К. Если множество Е0 е А является атомом mj и т2 одновременно, то существует Е С Ь'о. Е б Л, являющееся атомом меры т.

Теорема 1. Пусть ту : А —+ X и т2 : Л —> V -- векторные меры, множество Ец 6 Л является атомом меры тi, а мера т2 не имеет атомов, содержащихся во множестве Eq. Тогда существует измеримое множество А С Ео такое, что mi (А) ф Ох и т2(Е) = Оу для всех Е С Л.

Доказательство. Пусть множество Е0 G Л удовлетворяет условиям теоремы. Предположим, что существует Е С Eq, Е € Л такое, что т2{Е) ф Оу. В противном случае само множество Е0 удовлетворяет утверждению теоремы.

Рассмотрим семейство множеств

X, = {Е G л : ЕС Ео, т2(Е) ф Оу и ту(Е) = Ох}

и заметим, что Xi ф 0. Действительно, если т2(Е) ф Оу и ту(Е) ф Ох, то в силу леммы 1 множество Е будет атомом меры ту. В силу неатомичности меры т2 найдется В С Е, такое, что т2{В) ф Оу и пг2(В) ф т2(Е). Тогда, если гп\(В) ~ Ох, то В £ ЭЧх. Если же ту{В) ф О, то my(E\B) = rrii(E) — mi(B) — Ох в силу того, что Е атом ту. При этом т2(Е \ В) = т2(Е) — т2(В) ф Оу и, следовательно, Е\В

Пусть теперь

h = min{n € N | ЗЕ € N, : ||m2(E)|| ^ -}

n

1

и E\ £ 3Sfi такое, что ||m2(i?i)|l ^ —. Рассмотрим множество Eq\E\ t

ki

А. Так как Еу t Hi, то mi(£o \ Ey) = mi(Eo) — mi(i?i) = mi(E0) и, стало быть, множество Eq \ еу является атомом меры ту. Если теперь т2(Е0 \ Еу) = Оу, то есть т2(В) = Оу для любого В С ¿о \ Еуу то

Е%\Е1 удовлетворяет утверждению теоремы. В противном случае мы можем построить семейство множеств

Н2 = {Е е Л : ЕсЕо\Еи т2{Е) ф 0К и т^Е) = О*},

которое также будет непустым. Обозначим

к2 = тт{п е N | ЗЕ € Н2 : ||т2(£)|| ^ -}

п

и положим Е2 6 У42 таким, что \\т2(Е2)\\ ^ -'-. Заметим, что Е2 С

к2

Е0 \ Ех, т1{Е2) = Ох

Далее рассуждаем по индукции. Пусть построена последовательность попарно дизъюнктных множеств Е\,...,Еп € Л таких, что

1) Ег С Е0\ (и Я*), к—1

3) ||т2(Д)|| ^ -, 1 ^ г < п, 6 N и < *2 < ... ^ кп.

Рассмотрим множество Е0 \ ^ у Е^ и заметим, что т\ ^Е0 \

п \\ п

и Ек)) = гпх(Ео) - £ гпх{Ек) = т^Ео) - Ох ф О*. Если теперь :=1 ;' к=1

(е0 \ ( 0 = Оу, то множество Е0 \ ^ у Е^ удовлетворяет

утверждению теоремы. В противном случае будет построено непустое семейство множеств

'к т2

Ъ[п+1 ={ЕеА:ЕсЕ0\(иЕк), т2(Е) ф Оу и тх{Е) = Ох},

к=1

а также найдены число

кп+1 = тт{п € N | ЗЕ <Е Хп+1 : \\т2(Е)\\ > -}

п

и множество Еп+\ е Э\Гп+1 со свойством ||ш2(£'п+1)|| ^ ——.

кп+1

Таким образом, либо на каком-то шаге мы обнаружим множество, удовлетворяющее утверждению теоремы, либо построим последовательность множеств (Еп) со свойствами 1)—3), справедливыми для любого номера п £ N.

Поскольку построенная последовательность (Еп) состоит из попарно

дизъюнктных множеств, то т2(Еп) —> Оу и, следовательно, —- —> О при п —»■ оо.

Рассмотрим множество А = Е0\ ( и Ек). Очевидно, что т^А) =

оо

т^Ео) — тх{Ек) = т\{Е0) ф Ох и Л является атомом меры т\. к=1

Покажем, что Л искомое множество, то есть т2(А) = Оу.

Пусть В С А, В £ А и т2(В) ф Оу. Рассмотрим произвольное С С В, С € Л. Если т^С) = Ох, то в силу свойств последовательности (кп) будем иметь ||га2(С)|| ^ -¡— для всех п € N. А это означает,

кп

что т2(С) = Оу. Если же т^С) ф Ох, то тогда гпг(С) = т1(А), и тх(А \ С) = тх(Л) - т^С) = Ох- Так как А \ С Э В \ С, то в силу второго пункта леммы 1 будем иметь равенство т\{В \ С) = Ох-Но в этом случае, как мы только что показали, т2(В \ С) = Оу, то есть т2(В) = то2(С). Таким образом, множество В в этом случае будет являться атомом меры т2, чего быть не может. Итак, для любого В £ А, В С. А значение меры т2 равно Оу, и множество А удовлетворяет утверждению теоремы.

Заметим, что множество А, существование которого устанавливает теорема, будет являться атомом меры шх в силу леммы 1.

Следующее утверждение является основным результатом настоящего параграфа.

Теорема 2. Пусть X, У - банаховы, пространства и тх : А —> А", т2 : А —» У - векторные меры. Мера т : А —> X х У, определяемая формулой

т(Е) = (Ш1(£),т2(£)), Е 6 Л,

является неатомической тогда и только тогда, когда являются неатомическими ее координатные меры т\ и т2.

Доказательство. Неатомичность меры т при условии неатомич-ности координатных мер т\ и т2 получается непосредственно из определения атома меры.

Проверим обратное утверждение. Рассмотрим неатомическую меру т = (тх,т2) и предположим вначале, что мера тх имеет атомом множество Е\ £ Л, а у меры ш2 нет атомов среди измеримых подмножеств из Ех. Тогда по теореме 1 существует измеримое множество Ео С Ех такое, что т^Е) ф Ох и т2(Е) = Оу. Легко понять, что в этом случае множество Ео будет являться атомом меры ш, что противоречит условию.

Пусть теперь £1 £ Л атом меры ту и существует множество Е2 £ Л, Е2 С Еу, являющееся атомом меры Если при этом

7711 (Е2) = Ох, то в силу леммы 1 т1(Е2) = Ох- Тогда, очевидно, множество Е2 будет атомом меры т, чего быть не может. Наконец, пусть т1(Е2) ф Ох- По лемме 1 множество Е2 будет являться атомом меры ту. Итак, множество Е2 является атомом мер ту и т2 одновременно. По лемме 4 найдется множество Ео С Е2, которое будет, атомом меры т, и мы опять пришли к противоречию. Следовательно, из не-атомичности меры т вытекает неатомичность координатных мер ту и т2. Теорема доказана.

3. Неатомичность контролирующей меры. Пусть X - банахово пространство и т : А X - произвольная векторная мера. Говорят, что конечная положительная скалярная мера А : А —► контролирует меру т, если условие А(Еп) —> 0 влечет т(Еп) —► Ох- В этом случае также говорят, что мера т абсолютно непрерывна относительно меры А. Для банаховозначной меры т : А —» X свойство контролируемости может быть сформулировано в следующей форме: мера А : А —» М.+ контролирует меру т : А —>■ X, если из условия А(Е) = 0 следует равенство т(Е) = Ох- Тот факт, что мера т абсолютно непрерывна относительно меры А, будем обозначать символом т « А.

В силу теоремы Бартла-Данфорда-Шварца (см., например, [2], с.14) любая банаховозначная мера т : А —» X контролируется некоторой скалярной мерой А : А —> Ясно, что контролирующая мера для данной векторной меры определяется неоднозначно. Несложно показать (см., например,[4]), что контролирующую меру А : А —»■ Е+ для векторной меры т : А —> X можно построить так, чтобы она удовлетворяла дополнительному условию:

А(Е) ^ зир{||т(Л)|| : Л С Е, А е А}, Е € А. (1)

В дальнейшем меру А : Л —» контролирующую меру т : А —> X и удовлетворяющую дополнительному условию (1), будем называть эквивалентной скалярной мерой и обозначать этот факт символом т ~ А. Заметим, что, если т ~ А, то га « А и А « т.

В этом параграфе мы исследуем свойство неатомичности векторной меры и контролирующей ее скалярной меры.

Теорема 3. Пусть т : Л —»• X векторная мера со значениями в банаховом пространстве X и А : Л —> эквивалентная ей скалярная мера. Мера т является неатомической тогда и только тогда, когда А - неатомическая мера.

Доказательство. Если предположить, что мера т имеет атомом множество Еа € Л, а мера Л является неатомической, то в силу теоремы 1 можно найти атом А С Е0 меры т такой, что А(А) = 0. Но это противоречит условию т « А, так как т(А) ф Ох-

Если же предположить, что мера А имеет атом Е0 € Л, а мера т - неатомическая, то в силу теоремы 1 найдется атом А С Е0 меры А такой: что т{А) = Ох- Последнее противоречит условию (1) эквивалентной меры А, А(А) ф 0. Теорема доказана.

Замечание 1. В доказательстве неатомичности меры т при условии неатомичности А мы использовали лишь свойство абсолютной непрерывности т относительно А. Таким образом, векторная мера т является неатомической, если хотя бы одна контролирующая ее скалярная мера А является неатомической.

Замечание 2. В доказательстве неатомичности меры А при условии неатомичности меры т мы существенно использовали свойство (1) эквивалентной меры. Следующий пример показывает, что утверждение теоремы в этой части не будет выполнено, если заменить условие ш ~ А более слабым т « А.

Пусть Т = [0,1] и {2}, Л — ег-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств множества Т, А : Л —> К - мера Лебега на Т. Рассмотрим меру /г : Л —► К, задав ее формулой

ц{Е) = Х(Е) + А'б(2), Ее А.

Очевидно, что А << /г, мера А является неатомической, а мера у. имеет атомом множество {2}.

4. Неатомичность суммы векторных мер. Пусть гпх : А —»

X и т2 : А —у X - две векторных меры со значениями в банаховом пространстве X. Пусть далее Ах : Л —» , Х2 : Л —> Е.+ скалярные меры, эквивалентные мерам т\ и т2, соответственно. Если и т2 являются неатомическими, то в силу теоремы 3 меры Ах и \2 также не имеют атомов. Покажем, что в этом случае их сумма \{Е) = Х\(Е) + А2(Е), Е Е А также будет неатомической мерой.

Если Е0 6 Л атом меры А и А1(/Б0) = 0 или Х2(Е0) = 0, то множество Е0 будет атомом меры Х2 и Ах, соответственно. Если же Хх(Ео)Х2(Е) ф 0, то Е0 будет атомом мер Ах и А2 одновременно. В этих рассуждениях существенно используется свойство монотонности положительной скалярной меры.

Теперь заметим, что А контролирует сумму векторных мер т(Е) = т^Е) + т2{Е), Е е Л. Действительно, если А(Е) - 0, то Ах(Е) =

\2(Е) = 0 и т1(Е) = т2(Е) = Ох, так как Л, >> т\ и Х2 » т2. Учитывая замечание 1 к теореме 3, мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть тх : А —X, т2 : А X - неатомические векторные меры со значениями в банаховом пространстве X. Тогда мера т — т\ + гп2 является также неатомической.

Последнее утверждение может быть обобщено на случай счетного числа слагаемых. Пусть тп : А X некоторая последовательность векторных мер, обладающая тем свойством, что для произвольной по-

I оо

следовательности (х„), хп € сд{тп(Е) : Е £ Л} ряд хп сходится

71=1

в X. Такую последовательность векторных мер называют контрольной системой или системой управления. Любая контрольная система определяет новую векторную меру тп • А —^ X, задаваемую формулой

оо

т(Е) = £ тп(Е), Е е А.

п=1

Теорема 5. Если контрольная система тп : А —> X, п € N состоит из неатомических векторных мер со значениями в банаховом пространстве X, то векторная мера т : А —*■ X, определяемая

оо

равенством т(Е) = ^ тп(Е), Е 6 А, также является неатомичс-

п—1

скои.

Доказательство.В силу теоремы Вартла-Данфорда-Шварца существует последовательность скалярных положительных мер Ап : Л —> таких, что для каждого и € N Ап ~ тп. Более того, если контрольная система состояла из неатомических векторных мер, то в силу теоремы 3 каждая мера Хп также является неатомической. Очевидно,

что функция А : Л —> К+, определяемая равенством

Еел'

является скалярной положительной мерой.

Заметим, что если А(Е) = 0, то для каждого та 6 N Ап(Е) = 0 и, стало быть, тп(Е) = Ох для каждого п € N. Таким образом, мера А »т. В силу замечания 1 к теореме 3 осталось проверить неатомич-ность меры А.

Для каждого п £ N равенство цп{Е) — ~~ |, Е € Л, за-дает неатомическую положительную меру. Покажем, что мера А(Е) =

^ /лп{Е) является неатомической, при условии, что меры не имеют

п=1

атомов.

Пусть Ео £ Л и А(_Е0) ф 0, следовательно, найдется номер п0 такой, что цпо(Е0) ф 0. Так как мера цПо является неатомической, то существует множество Е С Ео, Е £ А такое, что 0 < цПо{Е) < ^п0(Ео). При этом в силу монотонности мер -для каждого п ф п0 0 ^ р1п(Е) ^ цп(Ео). Таким образом,

оо оо

0 < £ Цп(Е) + 11П0(Е) < ^ цп(Е0)

Т1=\,пфпъ - П = 1

и, следовательно, 0 < А(Е) < А(Е0). Последнее означает, что мера А не имеет атомов. Теорема доказана.

4. Скалярно неатомические меры. В этом параграфе мы приводим еще одно приложение теоремы 3 к исследованию класса скалярно неатомических векторных мер.

Будем говорить, что векторная мера га : Л —> X является скалярно неатомической, если для любого линейного непрерывного функционала / £ X* скалярная мера /то : Л —► Е, определяемая формулой /т(Е) = }{т(Е)),Е £ Л, является неатомической. Если Ео £ Л является атомом меры га, то легко построить функционал / £ X* такой, что множество Ео будет атомом скалярной меры /т. Таким образом, скалярно неатомическая мера всегда является неатомической.

Когда X является произвольным локально выпуклым пространством, обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. [5], пример 1). Однако для векторных мер со значениями в банаховых пространствах семейства неатомических и скалярно неатомических мер совпадают. Это непосредственно вытекает из следующего более общего утверждения.

Теорема 6. Пусть X, У - банаховы пространства и Е : X —* У линейный ограниченный оператор. Если векторная мера га : Л —► X является неатомической, то мера тр : А —> У, определяемая формулой тр{Е) F(m(i?)), Е £ А, также является неатомической.

Доказательство. Пусть А : Л —> К+ скалярная мера, эквивалент-лая мере гп : А —» X. В силу теоремы 3 она является неатомической. Если А(Е) = 0, то т(Е) = Ох и тГ(Е) = ^(Ох) = Оу. Следовательно, >> тр и в силу замечания 1 к теореме 3 мера тр не будет иметь ¿томов.

Литература

1. Баженов И.И. О некоторых проблемах, связанных с понятием неатомической векторной меры // Тезисы докладов Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам. Нижний Новгород. 1997. С. 12-13.

2. Diestal J., Uhl J.J. Vector measures. Providence, 1977. 322 pp.

3. Capek P. The atoms of a countable sum set functions // Math. Slo-vaca. 1989. V.39. №1. P. 81-89.

4. Порошкин А.Г. Векторные меры. Учебное пособие по спецкурсу. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1990, 52 с.

5. Kluvanek I. The range of vector-valued measure /¡Math. Systems Theory. 1973. V.7.

Summary

Bazhenov I. I. The property of nonatomicity under some constractions of nonatomic vector measures

Various properties of nonatomic and atomic measures are considered. It is proved that every measure obtained by a sum or a product from nonatomic measures with values in the Banach space is nonatomic.

Сыктывкарский университет Поступила 15.09.98