Атомы классов множеств и векторных мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 4.2001

УДК 517.987

Атомы КЛАССОВ МНОЖЕСТВ И ВЕКТОРНЫХ МЕР И. И. Баженов

Вводится понятие атома семейства подмножеств некоторого множества. Понятие атома векторной меры совпадает с вводимым понятием, если рассматриваемое семейство состоит из множеств, имеющих нулевую векторную меру. В абстрактной форме исследуются свойства атомов векторной меры.

Векторной мерой будем называть счетно-аддитивную функцию множества т : ОС —+ X, заданную на а-кольце ОС подмножеств некоторого множества Т и принимающую значения в топологическом векторном пространстве X. Множество Е0 6 ОС называется атомом меры т, если т(Ео) ф ©.у и для каждого Е £ А, Е С Е0 либо т(Е) = Ох, либо т(Е) = т(Ео). Мера т. : А —> X называется атомической, если она имеет хотя бы один атом, и неатомической в противном случае.

В работе [1] в абстрактной форме найдено представление атомов функции множества. В частности, показано, что сумма счетного числа скалярных положительных мер, имеющих атомы, также будет иметь атомы. Последнее утверждение, вообще говоря, неверно для векторных мер со значениями в произвольных топологических векторных пространствах. Например, сумма двух неатомических мер может быть атомической мерой и, наоборот, сумма двух атомических мер может и не иметь атомов (см. [2]).

В настоящей работе мы используем предложенный в [1] абстрактный подход к определению атома произвольной векторной меры и исследуем свойство атомичности (неатомичности) меры, принимающей значения в произведениии пространств и задаваемой соответствующими координатными функциями.

Пусть Т - произвольное непустое множество и X - некоторое а-кольцо подмножеств множества Т. В дальнейшем будем считать, что

15) Баженов И. И.,'2001

все рассматриваемые нами подмножества множества Т выбираются п и-кольца X. Ниже мы будем рассматривать различные классы подмн жеств из кольца ОС и наделять их различными свойствами.

Пусть 34 С ОС. Выделим следующие свойства семейства N :

(A) если Е £ 34, то А для любого А £ ОС;

(B) если Е\, Е2 € N и Е, П Е2 = 0. то Ел и Е2 £ X;

(C) если Е\ (Е X и Е-г ^ 34, причем Ех П Е2 = 0, то Е\ и Е2 £ 34;

(Б) если Ех.Е2еЛ и Е1 ПЕ2фЛ, то Е1АЕ2 = (С, \ Е-2)и{Е2\Е1) Ф

34.

(Е) 0 € N

Всюду ниже будем считать, что все рассматриваемые нами классы

X С X обладают свойством (Е), и не оговаривать это особо.

Класс К будем называть наследственным, если он обладает свойством (А), п идеалом, если обладает свойствами (А), (В).

Пусть Е Е X и К С X. Будем обозначать 34е = {А £ X : АГ\Е € ЭД}

и

.4(34) = Р| (34^ и \ К,

Е€Х

где Ес = Т\ Е. Элементы множества А (34) будем называть 3\Г-а.томами. Если .4(34) = 0, то класс X называем неатомическим, в противном случае 34 - атомический класс.

Легко видеть, что понятие атома векторной меры т : X —*■ А' совпадает с понятием 34-а.тома., если в качестве семейства 34 рассматривать множества из X, имеющие нулевую меру т, то есть N г= [Е £ X : гн(Е) — Ох}- При этом, если т является скалярной положительной мерой (то есть А' = К+), то 34 будет всегда идеалом. Но в общем случае нуль-множества X меры т не обладают свойством наследственности. В работе [1] исследуются атомы для случая, когда семейство 34 образует идеал в некотором кольце . В настоящей работе мы отказываемся от свойства наследственности (свойства (А)) для класса 34, однако будем требовать выполнения условий (В - В), которыми естественно обладают нуль-множества, произвольной векторной меры.

Выделим вначале ряд свойств 34-атомов.

Лемма 1. Пусть 34 С ЗС и Е0 £ 4.(34), Е С Ео. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) если Е ^ 34, то Е0 \ Е 6 34;

(Я) если N обладает свойством (В) и Е £ 34, то Ео \ Е £ X;

(111) если X обладает свойством (С) и Е £ 34, то Е £ .4(34);

(1у) если N обладает свойствами (В) и (С), а Е £ X, то Ео \ Е € *4(34);

(у) если 34 обладает свойствами (С),(Б) и Е £ 34, то Е £ 34^ для

любого Е £ ЗС.

Доказательство. Если Е£ЛиЕо\Е£Л, то Е Г\ Е0 = Е £ N ш Ес П Ео = Ео \ Е £ 34. Последнее противоречит тому, что Ео является 34-атомом. Таким образом, если Е £ 34, то Е0 \ Е £ 34 и свойство (1) выполнено.

Если Е £ 34 и Ео \ Е £ 34, то в силу (В) Ео = Е и (Е0 \ Е) £ 34, чего быть не может, так как Ео £ >1(34). Утверждение (н)доказано.

Проверим (ш). Если Е ^ -4(34), то найдется множество Л £ ЗС такое, что АГ)Е£ЛшЕ\А = ЕГ\Ас£Л. Обозначим Е = А П Е и заметим, что ЕГ\Ео = АГ\Е^Л. В силу утверждения (I) Ео \ Е £ 34. Так как Ес П Е0 = (Е0 \ Е) и (Е \ А) и Е0 \ Е £ 34, Е \ А $ 34, то в силу (С) Ес П Ео ф 34. Таким образом, мы опять получили противоречие с условием Ео £ А (34), так как ЕГ\Ео = АГ\Е^'ЛиЕсПЕо^Л.

Утверждение (1у) является прямым следствием из (11) и (ш).

Докажем свойство (у). Пусть Е С Е и Е ^ 34. Обозначим Е\ — Е,Е2 — Ео \ Е и заметим, что ^ £ 34, а £2 £ 34 в силу (1). Далее Е\ П Е2 = Е \ Е ^ 34. Действительно, в противном случае в силу (С) имели бы Е = Е и (Е \ Е) ^ 34. Теперь в силу свойства (Б) для класса 34 приходим к выводу, что Е\ ДЕ2 £ X. Но с другой стороны, Е\АЕ2 = Ео \ (Е \ Е), где Е \ Е ^ 34. В силу (1) имеем ЕхАЕ2 £ X. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Заметим, что если N является идеалом, то утверждения леммы будут выполнены без дополнительных условий на класс 34 (см. [1])-

Следующие простые примеры показывают, что условия, накладываемые на класс 34 в предыдущей лемме, являются существенными.

Пример 1. Пусть Т = {1,2,3},9С = 2Г,34 = {0, {1}, {1,2}, {1,3}}. Тогда *4(34) = { {2}; {1,2, 3} } . 34 обладает свойством (В), но свойство (С) не выполнено. Если взять в качестве Ео — {1,2,3} и надлежащим образом выбрать множество Е, то утверждения (ш), (1у), (у) леммы 1 не будут выполнены.

Пример 2. Пусть опять Т = {1,2,3}, ЗС = 2Т, а 34 = {0, {1,2}, {1,3}, {2,3}}. Тогда .4(34) = { {1}, {2}, {3}, {1,2,3} }. 34 удовлетворяет (В),

(С), но не удовлетворяет условию (О). Утверждение (у) не выполнено, если взять Е0 = {1,2,3} и Е = {1,2}.

Пусть X С X. Обозначим X* = {Е £ X : Е П Е £ X для каждого Е £ ОС}- Очевидно, что К* С X и X* ф 0 в силу принятого на.ми соглашения о том, что всегда 0 € X. В частности, для любого X имеет место вкл ючение 0 £ X*.

Лемма 2. Пусть Хс X. Имеют место следующие утверждения:

а) если X обладает свойством (С), то Л(Х* )С Л(Х);

б) если X обладает свойством (С) и (В), то Л(Х)С Л(Х* ). Доказательство. Пусть Е £ Л(Х* ), тогда Е ^ X’ и для каждого

Е £ X либо ЕГ)Е £Х* С X, либо ЕгсГ\Е £ X* С X. Осталось показать, что Е £ X. Пусть Е € Х\ X*. Тогда найдется такое множество Е С Е. что V ^ X. 'Следовательно, в силу свойства (С) Е \ Е X. Таким образом. Е Г) Е X* и Е П Е'0 ^ X*, что противоречит предположению

0 том. что Е является X*-атомом.

Докажем второе утверждение. Пусть Е Е Л(Х). Тогда Е ^ X и. следовательно, Е ^ X*. Кроме этого для каждого Е £ X либо Е П Е & X, либо Е П Е'с ^ X. Пусть Е Е X и Е П Е £ X. тогда в силу (у) леммы

1 Е П Е ЕХ*. Аналогично, если Е П Ес £ X, то Е П Ес. ^ X*. Таким образом. Е является Х*-атомом.

Следствие. Если Хс ^удовлетворяет условиям (С!) и (Б), то имеет место равенство Л(Х* ) = Л(Х).

Пусть теперь М и X два произвольных семейства множеств и* X. В силу принятого нами соглашения (условие Е) МПХ ф 0, гак как

0 £ М П X. В дальнейшем нас будет интересовать структура МПА-атомов.

Следующее утверждение содержит ряд полезных свойств и доказывается несложно.

Лемма 3. Пусть М,Хс X. Тогда

a) если М и X одновременно удовлетворяют одному из условий (А).

(В). (С) или (Б), то этому условию будет удовлетворять и семейство

МпХ.

b) семейства Ж* и X* всегда удовлетворяют условию (А), то есть являются наследственными,

c) имеет место равенство (М П X)* = М* П X*,

(1) если М и X удовлетворяют условиям (С) и (Б), то Л (МП X) = = Л(М*ПХ*).

Определение. Пусть М,Хс X и Е Е Л(М) Г) Л(Х). Множество Е

%дем называть Ж П Х-разложимым, если найдется множество Р £ X :лкое, нто ЕПР ^ Ж и ЕПЕ1С <|£ X. В противном случае будем говорить, ■■го множество Е £ Л(Ж) П Л(Х) является Ж П Х-неразложимым.

Лемма 4. Пусть Ж,Хс X и Е £ Л(Ж) П Л(Х). Для того чтобы Е £ Л(М П X). необходимо и достаточно, чтобы Е было М П X-^сразложпм ы м.

Доказательство. Пусть Е £ Л (Ж П X), тогда для любого Е £ X : :6о Е П /’ £ Ж П X, либо Е П Рс £ Ж П X и Е, очевидно, является

Г) Х-неразложимым.

Обратно, пусть Е £ Л(Ж)ПЛ(Х) и Е является ЖПХ-неразложимым. Покажем, что Е £ Л(Ж П X). Так как Е £ Л(Ж) П Л(Х), то Е ^ М и

^ X. ('ледовательно, Е ^ Ж ПК.

Пусть Е £ X н ЕПЕ £ Ж. Если РПЕеЯ, то РПЕ £ ЖПХ. Если „«е Е П Е £ X. то в силу (1) леммы 1 Е П Рс £ X. С другой стороны, в "■илу Ж П Х-неразложимости множестве! Е имеем Е П Ес £ Ж и, стало быть. Е П Рс £ Ж П X.

Если ЕС) Е £ Ж, то, рассуждая аналогично, приходим к выводу, что Е ^ Рс £ Ж П К. Таким образом, множество Е является Ж П X-атомом.

Лемма 5. Если классы Ж,Хс X удовлетворяют условию (В), а множество Е £ Л(Ж) ПЛ(Х) является Ж П Х-неразложимым, то Хк =

Доказательство. Пусть Е £ X#, то есть £ П Е £ X. Тогда в '-илу (н) леммы 1 Е \ (Е П Е) — Е П Ес X. Так как Е является

П Х-неразложимым, то Е П Р £ Ж, то есть Е £ Жя и X# С Же-Обратное включение верно в силу полной симметрии в рассуждениях

1 гноептельно семейств Ж и X .

Формулировка следующего утверждения приведена в [1].

Лемма 6. Пусть Ж,Хс X и X - наследственный класс. Тогда

ч) л(Ж) пхе л(жпх),

-го л(Жпх) пх = л(Ж) пх.

Отметим, что свойство наследственности (условие А), накладывае-на семейство X в последнем утверждении, является существен-:-:км. Это показывает следующий простой пример.

Пример 3. Пусть Т = {1,2}, X = 2Т, Ж - { {2},0 }, X = «;1.2}.0 }. Тогда ЖПХ= {0}, Л(Ж) = { -[1}, {1,2} }, Л(ЖПХ) = * Л}, {2} }. Л(Ж)ПХ = { {1,2} } и Л(ЖПХ)ПХ = 0 .

Лемма 7. Для произвольных семейств Ж и X из X имеет место :-„тк>чение Л(ЖПХ) С (Л(Ж) и Ж) П (Л(Х) и X).

Доказательство. Пусть Е £ Л(М П X), тогда Е ^ М П 34. Есл Е £ Ж, го Е € Л(М), так как для каждого Е £ X либо Е П Е М П X см, либо ^'ПйбМП^ГсМ. Если же Е е Ж, то, очевидна Е Е Л(М) и ЗУГ. Аналогичное рассуждение может быть проведено 1 относительно семействаХ. Таким образом. Е Е (Л(М)иМ)П(Л(Х)иХ) и лемма доказана.

Правую часть доказанного в последней лемме включения можно несколько упростить п записать в другом виде: (Л(М) и М) П (Л(Х) и X) = (Л(М) П Л(Х)) и (Л(Х) П М) и (Л(М П X) и (М П X). Учитывая, что (Л(М) П X) П (Ж П X) = 0, результат леммы 7 может быть записан так:

(*) Л(М П X) С [А(Ж) П Л(Х)) и (Л(Х) П Ж) и (Л(М) П X).

В следующей теореме приводится полное описание семейства МПХ-атомов.

Теорема. Пусть классы множеств М и X выбраны из элементов кольца % и удовлетворяют условиям (С) и (О). Пусть далее Ж* = {Е Е М : ЕПЕ £ Ж УЕ € %} и X* = {Е £ X : ЕГ\Е Е X УР' £ %}. Тогда имеет место следующее равенство

Л(М П X) = {Е £ Л(М) П Л(Х) : £' - ЖПХ- неразложимо}и

и(Л(Х) П М*) и (А(Ж) П X*).

Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу леммы 3 Л(М ПХ) = Л(М*П X* ). Далее, в силу результатов леммы 7, а точнее включения (*), имеем: Л(М* П X*) = Л(М* П X*) П ((Л(М*) Г) Л(Х*)) и (Л(М*)ПХ*)и(Л(Х*)ПМ*)) = (Л(М*ПХ*)ПЛ(М*)ПЛ(Х*))и(Л(М*П

х*) п л(М*) п х*) и (л(м* пх*)п л(х*) п м*).

Рассмотрим отдельно каждое из трех семейств, представленных в последнем объединении. Первое семейство в силу результатов леммы 2 и леммы 4 может быть записано в следующем виде:

Л(М* П X’) Л А(Ж*) П Л(Х*) = Л(Х П Ж) П А(Ж) П Л(Х) =

= {Е £ А(Ж) П Л(Х) : Е — М П X — неразложимо).

Упростим второе семейство. Используем свойство наследственности классов М* и X*, а также результат леммы 6. Получим Л(М* П

X*) П Л(М*) П X* = Л(М*) П Л(М*) П X* = А(Ж*) П X* = Л(М) П X*.

Совершенно аналогично поступаем с последним классом в объединении: Л(М* П X*) П Л(Х*) ПМ’ = Л(Х) п ж*.

Таким образом, требуемое равенство получено.

Полученное в геор.еме представление МПМ-атомов позволяет описать атомы векторной меры, принимающей значения в некотором декартовом произведении топологических векторных пространств и представляющей собой две координатные функции со значениями в соответствующих пространствах.

Пусть (Т. X ) - измеримое пространство, ?п : X —> Л’ и п : X —» У - две векторные меры, заданные на ст-кольце % и принимающие значения в топологических векторных пространствах X и У, соответственно. Пусть, далее. // : X —> X х У - векторная мера, задаваемая формулой и(Е) = (т(Е), п{Е)), Е € ОС. Представляет интерес вопрос о наличии атомов у построенной меры // , в зависимости от того, есть ли атомы у координатных векторных мер т и п.

Обозначим М = {Е Є X : т(Е) = ©д} и N = {Е Є X : п(Е) = ©к}. Тогда Ж П X = {Е Є X : т{Е) = Од и п{Е) = ©у} = {Е Є X : и(Е) = ©А'хг}- Понятно, что Л(М), Л(Э\Г), Л(МПХ) образуют семейства атомов векторных мер т, п и и. соответственно. Из последней теоремы следует, что если координатные меры т и п не имеют атомов, то есть Л(М) = Л(Х) = 0, то мера и не может иметь атомов ( Л(М П X) = 0). Далее, если Е Є X является атомом меры г/, то он обязательно является атомом меры т или меры п, или, наконец, общим атомом для обеих мер. При этом теорема полностью описывает каждый из этих случаев. Однако теорема не дает ответа на следующий вопрос: если хотя бы одна из координатных мер имеет атомы, будет ли атомической рассматриваемая выше конструкция?

Следующий пример показывает, что ответ на поставленный вопрос может быть отрицательным.

Пример 4. Пусть Р - бесконечное и несчетное множество, Ър —

-т-алгебра подмножеств отрезка [0,1] для каждого р Є Р. Положим

Т = [0,1]я и X = 0 3р - произведение сг-алгебр Ър. Зафиксируем рбР

ючку /0 Є І її определим векторные меры т,п : X —> К.г, задав их формулами

гп(Е) — КЕ(£), г € Г, п(Е) = КЕ(і0)Кт(і) = Ке{іо), і Є Г, где Ке(1) ~ индикатор множества Е Є X. Мера п имеет атомом множество 7\ а мера т является неатомической. Мера у(Е) = т(Е), п(Е)). Е Є X также не имеет атомов. Таким образом, хотя координатная мера т является атомической, мера и является неатоми-

ТРСКОЙ.

Приведенный выше пример является модификацией примера. 2 и»

[2]. В этой же работе показано, что если координатные меры ш и и принимают свои значения в нормированных пространствах, то неато-мичность меры и = (т,п) влечет неатомичность каждой из координатных мер. Отметим также, что в статье [1] в абстрактной форме получеи аналогичный результат для пересечения счетного семейства идеалов с одним дополнительным условием (условие счетной цепи). Насколько существенно условие наследственности (условие А), накладываемое на рассматриваемые семейства множеств в работе [1] ? Этот вопрос остается открытым.

Литература

1. Capek P. The atoms of a. countable sum set functions // Math. SIo-vaca. 39.1989. №1. P.81-89.

2. Баженов И.И. Неатомичность некоторых конструкций из неат мических векторных мер // Вестник Сыкт. ун-т.а. Сер.1. 1999. ВипЛ С.5-Ц.

Summary

Bazhenov I. I. Atoms of set families ancl of vector measures

An abstract definition of atom of a family of sets is given. A new notio coincides with the notion of atom of vector measure if the family in question contains only sets of zero measure. Characteristics of atoms of a set measu are investigated.

Сыктывкарский университет Поступила 15.09.20