Теорема о неявном операторе в секториальных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

Том 2 (2009), №1, С. 320-323

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.9

Теоремы о неявном операторе в секториальных областях

Р. Ю. Леонтьев

Иркутский государственный университет

Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение Е(х,А) = 0 с условием Е(0, 0) = 0. Оператор Ех(0, 0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные решения х(А) ^ 0 при А ^ 0 в открытом множестве Я линейного нормированного пространства Л. Нуль принадлежит границе множества Я.

Ключевые слова: секториальная окрестность, банахово пространство, нелинейное операторное уравнение, линейное нормированное пространство, теорема о неявном операторе.

В работе, продолжающей исследования [1], [2], рассматривается нелинейное операторное уравнение вида

^(х, Л) = 0, (1.1)

где оператор ^ : X х Л ^ У, X, У - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. Предполагается, что ^(0, 0) = 0, оператор ^(х, Л) имеет частную производную Фреше по первому аргументу ^л(х,Л), а линейный оператор ^Х(0,Л) имеет ограниченный обратный оператор 1(0, Л) при Л € £, где £ - открытое множество в Л, границе которого принадлежит точка Л = 0. В дальнейшем любое подобное множество будем называть секториальной окрестностью нуля. Более того, будем считать, что оценка для оператора ^—1(0, Л) известна и имеет следующий вид:

н*71(0,Л)н = 0(а[Л)) при £ э Л ^ 0 (1.2)

где функционал а(Л) ^ +0 при Л ^ 0.

Существование ограниченного обратного оператора для ^ (0, Л) при Л € £ и оценка (1.2) являются основной особенностью уравнений, которые мы рассматриваем. Очевидно, что оператор ^—1(0,Л) не является ограниченным при Л = 0, но является ограниченным, при любом, сколь

угодно малом, фиксированном значении параметра Л € £. Цель этой заметки - изучение поведения решений уравнений вида (1.1) в секто-риальной окрестности нуля £ С Л, а именно, получение достаточных условий существования и единственности решения х(Л) ^ 0 при £ Э Л ^ 0 в области О, описанной ниже формулой (1.3).

Один из фундаментальных результатов в исследовании уравнений вида (1.1) - это теорема о неявном операторе. Однако, в нашем случае данная теорема неприменима, поскольку, согласно её условиям, должен быть непрерывно обратим оператор ^Х(0, 0).

Доказанные здесь теоремы дают достаточные условия существования и единственности в области О малого решения уравнения (1.1) х(Л) ^ 0 при £ Э Л ^ 0, а предложенный способ построения этого решения методом последовательных приближений работает при любом начальном приближении из окрестности нуля.

Введем множество:

О = {(х, Л) € X х Л, ||х|| < а(Л)г, Л € £}, (1.3)

где константа г > 0.

Теорема 1. Пусть выполнены условия: 1) оператор ^(х, Л) и его производная Фреше ^ж(х, Л) непрерывны на О; 2) линейный оператор ^Х(0,Л) имеет ограниченный обратный при Л € £ и выполнена оценка (1.2); 3) имеет место оценка ||^Х(х, Л) — ^Х(0, Л)|| < £(Л)||х|| при Л € £, причем Ь(Л) ^ 0 при Л ^ 0; 4) 3 элемент Уо € X такой, что линейное уравнение

*Х(0,Л)х = ^ (а(Л)У>,Л) (1.4)

имеет решение х*(Л), и выполнена оценка ||х*(Л)|| = о(а(Л)) при Б Э Л ^ 0. Тогда 3 секториальная окрестность нуля С £ такая, что при УЛ € £о в шаре ||х — а(Л)Уо|| < а(Л)р существует единственное решение уравнения (1.1) вида х(Л) = а(Л)У(Л), где V(Л) ^ Уо при £о Э Л ^ 0.

Доказательство. С помощью замены х(Л) = а(Л)У(Л) и эквивалентных преобразований уравнение (1.1) сводится к уравнению вида:

V = V — аЛ)^ж-1(0, Л)^(а(Л)У, Л). (1.5)

Оператор, стоящий в правой части уравнения (1.5), обозначим Ф(У, Л). Тогда уравнение (1.5) перепишется в виде:

V = Ф(У,Л). (1.6)

Далее на основании принципа сжимающих отображений легко показать, что 3 секториальная окрестность нуля £о С £, такая что при

УЛ € £о и для некоторой фиксированной константы 0 < р < г в шаре (IV — < р уравнение (1.6) имеет единственную неподвижную точ-

ку, то есть существует единственное решение уравнения (1.6), которое можно строить методом последовательных приближений при любом начальном приближении из шара || V—РоЦ < р. Но тогда и искомое уравнение (1.1) при УЛ € £о имеет в шаре ||х — а(Л)^| < а(Л)р единственное решение вида х(Л) = a(Л)V(Л), где V(Л) ^ V} при £о Э Л ^ 0. □

Далее будем полагать, что оператор ^(х, Л) имеет следующий вид:

^(х, Л) = В(Л)х + К(х, Л) + Ь(Л), (1.7)

где В(Л) - линейный оператор, зависящий от параметра Л. Нелинейный оператор К : X х Л ^ У предполагается непрерывным по х и Л и непрерывно дифференцируемым по х в смысле Фреше в окрестности нуля. Функция Ь(Л) : Л ^ У непрерывна по Л. Линейный оператор В (Л) имеет ограниченный обратный при Л € £, причем справедлива оценка

^ при £ Э Л ^ 0. (1.8)

Так же будем полагать, что имеет место представление В(Л) = В+ +а(Л)А + ш(Л), где ш(Л) = о(а(Л)) при Л ^ 0, В, А - замкнутые операторы, не зависящие от Л, с плотными областями определения в X и со значениями в У.

Следующая лемма дает достаточные условия для выполнения условия 4) теоремы 1.

Лемма 1. Пусть для оператора (1.7) в области О выполнены условия: 1) Ь(Л) = а2(Л)Ь2 + С(Л), где ||£(Л)|| = о(а2(Л)) при Л ^ 0; 2) оператор В (Л) имеет ограниченный обратный при Л € £, для которого выполнена оценка (1.8); 3) уравнение Вх = 62 + А(с, ф) имеет решение хо, где ф € N (В), с - постоянный вектор; 4) ||К(а(Л)(с, ф), Л)|| = о(а2(Л)) при £ Э Л ^ 0; 5) К(0, 0) = 0, Кх(0, Л) = 0, 6(0) = 0. Тогда уравнение (1.4) имеет требуемое решение при Ро = (с, фс).

Доказательство. Для доказательства мы подставляем = (с, ф) в уравнение (1.4) и с учетом представления (1.7) получаем уравнение:

В(Л)х = В(Л)а(Л)(с, ф) + К(а(Л)(с, ф), Л) + Ь(Л), (1.9)

для которого выписываем решение в явном виде. Далее, используя условия леммы, показываем, что для выписанного решения справедлива оценка ||х|| = о(а(Л)) при £ Э Л ^ 0. □

Тогда на основании теоремы 1 и леммы 1 в случае оператора ^(х, Л) вида (1.7) получаем следующий результат:

В-1(Л)|| = О

а(Л)

1

Теорема 2. Пусть для оператора вида (1.7) в области О выполнены условия: 1) оператор К(х, Л) и его производная Фреше Кх(х, Л) непрерывны в области О; 2) оператор В (Л) имеет ограниченный обратный при Л € Э, и выполнена оценка (1.8); 3) ||Кх(х,Л)|| < £(Л)||х||, где Ь(Л) ^ 0 при £ Э Л ^ 0; 4) 6(Л) = а2(Л)Ь2 + {(л), где ||£(Л)|| = о(а2(Л)) при Л ^ 0; 5) уравнение Вх = 62 + А(с, ф) имеет решение хо, где ф € N (В), с - постоянный вектор; 6) ||К(а(Л)(с, ф), Л)|| = о(а2(Л)) при £ Э Л ^ 0; 7) К(0, 0) = 0, Кх(0, Л) = 0, 6(0) = 0. Тогда 3 секториальная окрестность нуля £о С £ такая, что УЛ € £о в шаре ||х — а(Л)( с, ф)|| < а(Л)р существует единственное решение соответствующего уравнения (1.1) вида х(Л) = а(Л^(Л), где V(Л) ^ (с, ф) при £о Э Л ^ 0.

Доказательство теоремы 2 так же использует применение принципа сжимающих отображений.

Список литературы

1. Сидоров Н. А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы / Н. А. Сидоров // Нелинейные граничные задачи. — Донецк: 2004. — Вып. 14. — С. 161-164.

2. Леонтьев Р. Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений / Р. Ю. Леонтьев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. — Челябинск: 2008. — Вып. 1. № 15 (115). — С. 37-41.

R. Yu. Leontyev

Implicit function theorem in sectorial quasi-neighborhoods

Abstract. We consider nonlinear operation equation F(x,A) = 0 with condition F(0, 0) = 0. Operator Fx(0, 0) is not continuously invertible. We construct continuous solutions x(A) ^ 0 as A ^ 0 in open set S of linear normalized space Л. Zero belongs to frontier of set S.

Keywords: Banach space, implicit function theorem, sectorial quasi-neighborhoods, nonlinear operator equation, linear normalized space.

Леонтьев Роман Юрьевич, аспирант кафедры математического анализа, Институт математики,экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, (lev_roma@bk.ru)

Leontyev Roman, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, postgraduat student, (lev_roma@bk.ru)