Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОМ ОПЕРАТОРЕ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ КВАЗИОКРЕСТНОСТЯХ И МИНИМАЛЬНЫЕ ВЕТВИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Р.Ю. Леонтьев

Рассматривается нелинейное операторное уравнение Р(х, А) = Ос условием ^(0,0) = 0. Оператор Рх(0,0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные решения х(Х) —> 0 при А —» 0 в открытом множестве 5 линейного нормированного пространства Л. Нуль принадлежит границе множества 5. Доказанные теоремы существования решений иллюстрируются примерами.

Ключевые слова: векториальная квазиокрестность, банахово пространство, нелинейное операторное уравнение, линейное нормированное пространство, двухточечная краевая задача, теорема о неявном операторе

Пусть X, У - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. Рассматривается нелинейное операторное уравнение

А) = 0, (1)

где Р : X ® Л —> У, ^(0,0) = 0, оператор Рх(0,0) не является непрерывно обратимым. В работе, продолжающей исследования [1], [2], доказано существование непрерывных решений уравнения х(Х) -» 0 при А —>• 0 в секториальной квазиокрестности нуля и дан способ их построения. Результатом работы являются теоремы существования минимальных ветвей максимального порядка малости решений нелинейных уравнений и дополняют результаты [11-

Определение 1. Секториальной квазиокрестностью точки 0 € Л будем называть открытое множество Б С А, такое что 0 € дБ.

Далее пусть а(А) некоторая функция а(Х) : 5 —> Д+, а(А) —> 0 при Я Э А —>• 0. Вводится множество О = {(ж, А) Е X ф Л, ||ж|| < а(А)г, А € 5}, где г > 0. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть в О, выполнены условия: 1) оператор Р(х, А) непрерывен по х и А и имеет частную производную Фреше Рх(х, А), непрерывную по х и А; 2) ^(0,0) = 0, оператор ^ж(0, А) непрерывно обратим при А Е Б, причем ||-РаГ1(0, А)|| = О();

3) ||^(Ж,А)-^(0,А)||<^|Ж||;4) ||^(0,А)|| = о(а2(А)).

Тогда найдется число го € (0, г) и секториальная квазиокрестность нуля 5о С £ такие, что для каждого А Е Бо уравнение (1) имеет в шаре ||ж|| < а(А)го непрерывное решение х(А) —>■ 0 при Бо Э А —»■ 0.

Доказательство. Уравнение (1) с помощью замены х = а(А)У приводится к эквивалентному уравнению

V = Ф(У, А), (2)

где оператор Ф(У, А) имеет вид

Ф(У, А) = V - А)Е(а(А)У, А).

о(А)

Нетрудно видеть, что оператор Ф(У, А) при А £ 5, ||У|| < го < г является сжатием. Действительно, применяя формулу конечных приращений Лагранжа и условие 3) теоремы, получим цепочку неравенств

1

||Ф(УьА)-Ф(У2,А)|| < \\Р~1(0, А)|| I ||^х(О,А)-^х(а(А)(^+в(71-^)),А)||<г0 ||(^-У2)|| <

<ClJ {||V2|| + ©(И Vi И + ||V2||)}d0 II Vi - V2\\ < 2CLro]\Vi - V2||,

0

здесь С, L - const. Выберем ro < 2Ul> тогДа оператор Ф(У, А) при А Е S и ||V|| < го будет сжатием.

Более того, при достаточно малых А в силу оценки 4) оператор Ф(У, А) переводит шар 11^11 < П) в себя. Действительно,

||Ф(У,А)|| < ||Ф(7,А)-Ф(0,А)||+||Ф(0,А)|| <gr0+-L||F-1(0,A)F(0,A)|| < gr0+^y||F(0, А)||.

Далее, в силу условия 4), можно выбрать множество So С S так, что при VA Е So будет выполнено ^y||F(0, А)|| < (1 - q)r0.

Поэтому на основании принципа сжимающих отображений операторное уравнение (2) имеет единственное решение F(A) —> 0 при А -> 0. Возвращаясь к переменной х получаем, что уравнение (1) имеет малое непрерывное решение, вообще говоря, не единственное. □

Если Fz(0,0) ф 0, то следующий результат позволяет в приложениях ослаблять условие

4) теоремы 1.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) — 3) теоремы 1 и пусть выполнено условие:

5) линейное уравнение Fx(0,0)ж = F(0, А), где А Е S, имеет решение х*(А), причем выполнены оценки ||х*(А)|| = о(о(А)) и ||Fi(0,0) — Fx(0, А)|| = 0(а(А)) при А Е S.

Тогда найдется число го Е (0, г) и секториальная квазиокрестность нуля So С S такие, что для каждого А Е So уравнение (1) имеет в шаре ||ж|| < а(А)го непрерывное решение ж(А) -» 0 при So Э А —> 0.

Доказательство. Уравнение (1) с помощью замены х = a(X)V приводится к эквивалентному уравнению (2).

Сжимаемость оператора Ф(У,А) вытекает из условий 1)-3). (см. док-во теоремы 1). Покажем, что при достаточно малых А Е So С S, оператор Ф(У, А) переводил шар || V II < П> в себя. Действительно, в силу условия 5) имеем цепочку неравенств

mV,X)\\<qr0 + -j-A\F-1(0,X)F(0,\)\\ = а\л)

А){^(0,0) -F*(0, А) +^(0,А)р(А)|< qr0 + ^у11**(А)11-

В силу оценки из условия 5) при достаточно малых А Е So С S выполнится неравенство щу||ж*(А)|| < (1 — q)ro, где С - const. Следовательно, ||Ф(V, А)|| < го при ||У|| < го и А Е So-

□

1

= qro +

Пример 1. Покажем, что уравнение

і

F(x,X) = J tsx(s) ds + \x(t) — J x3(s) ds — f(t,X) = 0, (6)

о о

где x(t) € С^од], f(t, A) = m(t)\n, m(t) G С^од]; n > 2, 5 - суть проколотая окрестность нуля, имеет малое непрерывное решение x\(t) —» 0 при S Э А —> 0. Здесь дифференциал Фреше имеет вид

1 1 Fx(x, X)h = J tsh(s) ds + Xh(t) — 3 J x2(s)h(s) ds, о о

при этом

F-HO ,Л)Л = М__|_|,М8)Л.

О

Далее, Fx(0,0) = 0 и выполнена оценка

II-ftHo, А)Ц = о (щ)-

Условия 1), 2) очевидно выполнены. В силу неравенств

1

\\Fx(x,X)h-Fx(0,X)h\\ = ||з J x2(s)h(s)ds

< Зг|Ы

условие 3) тоже выполнено. Если п > 2, то выполнено условие 4), и по теореме 1, уравнение имеет малое непрерывное решение x\(t) —> 0 при А —> 0. Если п = 2, то условие 4) не выполняется, но будет выполнено условие 5), если m(t) = const ■ t. Таким образом, для того, чтобы данное уравнение при п = 2 имело решение x\(t) —>■ 0 при А —> 0, достаточно, чтобы m(t) = const • t.

Пример 2. Покажем, что двухточечная краевая задача для интегро-дифференциальной системы

~y"(t) = x(t), у{0) = у(1) =0, 0 < t < 1 1

y(t) + Ax{t) + tf x(s)p(s) ds + f(t, X) = 0, A > 0 о

где f(t, A) = m{t)A”, m(t) € £2[o,i]> n > 2, имеет малое непрерывное решение

{жа(*)>Уа(*)} (0,0) при А ->• +0.

1

Из первого уравнения системы имеем y(t) = / G(t, s)x(s) ds, где

о

пп / <(!-«)> 0 <t<s

1 \ (1 -t)s, s<t< 1.

Подставляя полученное выражение для у(Ь) во второе уравнение получим нелинейное интегральное уравнение:

і її F(x, А) . / G(t, .Ж.) * + Лх« +, J ф) j G(s, * * + /С*. А) = О-

О о

Проверим выполнение условий теорем. Очевидно, -Р(ж, А) и Рх(х, А) непрерывные операторы по ж и А. Далее, ^(0,0) = 0, а оператор ^(0, А) непрерывно обратим при А > 0, причем выполнена оценка Н-РдТ^О, А)|| = О (^). Таким образом, выполнены условия 1), 2). Условие 3) справедливо ввиду оценки:

і і

\\Fx(x, X)h — .Fx(0, X)h\\ = ||t J J G(s,z)(x(s)h(z) + h(s)x(z))dzds <

о о

і і

< Ilill • 1Ы1

■ J!2\\0(8,г)\\йгй8 < Ц\х\\ о о

Условие 4), очевидно, выполнено при п > 2. Поэтому, по теореме 1, при п > 2 уравнение имеет малое непрерывное решение {жд(<),г/д(<)} —> (0,0) при А —>■ +0. Если п = 2, то условие 4) не выполняется, но выполнится условие 5), если т(Ь) дважды дифференцируемая функция, причем т(0) = т( 1) = 0. Таким образом, для того, чтобы данное уравнение при п = 2 имело решение {жл(^), ул(£)} -*■ (0,0) при А —> +0 достаточно, чтобы т{{) была дважды дифференцируемой функцией, причем т{0) = т{ 1) = 0.

При проверке условий теорем 1, 2 в ряде приложений можно использовать следующий результат Н.А. Сидорова об обратимости оператор функций в окрестности фредгольмовых точек.

Рассматривается оператор-функция В — А А, где В, А — замкнутые линейные операторы, действующие в банаховых пространствах, с плотными областями определения,

Т>(В) С Т>(А). Фредгольмов оператор В имеет канонический полный Л-жорданов набор (см.

[3, гл. 9], [4]). Пусть {у»!1*}, г = 1 ,п — базисы в М{В) иМ(В*) соответственно, про-

екторы

71 Рг 71

2 = ЕЕ(--#)4я, г = ЕЕ(■ .%0))*>?’.

i=l з=1 г=1 з=1

где В<р\^ = А<р^~г\ В*фФ = А*ф\:>~1\ 7^ = А^ъ+1~^\ = А*ф^'+1~^ и ограниченный

оператор

г = (в+Ё(-лР)Ь(Т1

г—1

соответствуют этому жорданову набору. Известно, что канонические полные наборы существуют и проекторы V и Q могут быть построены, если А = 0 — изолированная особая фредгольмова точка, т.е. оператор В — А А непрерывно обратим в окрестности 0 < |А| < р (или, эквивалентно, цВ — А, в окрестности К < |^| < +оо).

Теорема 3. Оператор В—ХА непрерывно обратим в окрестности 0 < |А| < р тогда и только тогда, когда В имеет канонический полный А-жорданов набор. Причем при X < |щ^

п Pi з

(.В - ХАГ1 = Г (/ — ХАГ)-1 (1-0.)- ЕЕЕ*Ч^+,~“,К'+1"Й- <п>

i=l з=1 э=1

Теорема дополняет один известный результат о жордановых наборах (см. [3, гл. 9], [4]), так как здесь приводится компактное явное представление обратного операто-

ра (В — ХА) 1. Доказательство тождества (11) использует {V, 2}-сплетаемость операторов В, А, Г и представление единственного решения уравнения (В — АЛ) х = / в виде х = Гу + ]Г”=1 где у = (I - ХАГу1 (I - о.) /. Вектор С из простран-

ства ДР1+-+Р» определяется из системы линейных алгебраических уравнений с обратимой блочно-диагональной матрицей.

Следствие 1. Оценка (В — АЛ.)-1 ~ при X —> 0 (соответственно, оценка (цВ — А)~1 ~ С |д1|р_1 при ц —> -Ьоо) выполнена тогда и только тогда, когда

р = тах(р1,...,р„).

Замечание 1. р = 1 тогда и только тогда, когда ^ ф 0.

Автор благодарен профессору Н.А. Сидорову за постановку задачи и ценные замечания.

Литература

1. Сидоров, Н.А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы / Н.А. Сидоров // Нелинейные граничные задачи. - 2004. - Вып. 14. -С. 161 - 164.

2. Леонтьев, Р.Ю. Теорема о неявном операторе в секториальных областях / Р.Ю. Леонтьев // Материалы конференции «Ляпуновские чтения». - Иркутск, 2007. - С. 20.

3. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. - М: Наука, 1969.

4. Логинов, Б.В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления / Б.В. Логинов, Ю.В. Русаков // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и приложения. - Ташкент, 1978. - С. 133 - 148.

5. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М: Физматлит, 2002.

Кафедра математического анализа,

Иркутский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 28 февраля 2008 г.