Научная статья на тему 'Локальная разрешимость интегрально-операторного уравнения типа Вольтерры'

Локальная разрешимость интегрально-операторного уравнения типа Вольтерры Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
26
8
Поделиться
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА / ЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Красник Андрей Валерьевич

В работе рассматривается нелинейное интегрально-операторное уравнение типа Вольтерры. Доказана теорема о существовании и единственности решения этого уравнения.

Solvability of Volterra type integral-operator equation

In this paper nonlinear integral-operator equation of Volterra type is considered. Theorem about existence and uniqueness of solution of this equation is proved. Keywords: integral equations, Banah spaces, local solutions.

Текст научной работы на тему «Локальная разрешимость интегрально-операторного уравнения типа Вольтерры»

Серия «Математика»

Том 2 (2009), № 1, С. 317-319

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 518.517

Разрешимость интегрально-операторного уравнения типа Вольтерры

А. В. Красник

Иркутский государственный университет

Аннотация. В работе рассматривается нелинейное интегрально-операторное уравнение типа Вольтерры. Доказана теорема о существовании и единственности решения этого уравнения.

Ключевые слова: интегральные уравнения, банаховы пространства, локальные решения.

Рассмотрим интегральное уравнение

/0

B(u(t),t)+ ( K(u(s),s,t) ds = 0, (1)

J о

где В(и, і) : Е1 ф Я ^ Е2, К(и,в,і): Е1 ф Я ф Я ^ Е2 — нелинейные операторы.

К уравнениям вида (1) редуцируются нелинейные уравнения Вольтерры 1-го рода, различные начальные задачи для дифференциальнооператорных уравнений не разрешенных относительно старшей производной а также другие некорректно поставленные задачи.

Уравнение (1) будем рассматривать в области

П(ио) = {(и, і) Є Еі ф Я : ||и — и0|| < Е, ||і|| < Р} .

Далее будем считать, что оператор, стоящий в левой части уравнения (1) непрерывен на П(ио) и непрерывно дифференцируем по и на П(ио).

Теорема 1. Пусть В(ио, 0) =0 и выполнены следующие условия

1. Вм(и,і) + /0 Ки(и,в,і) їв — Ви(ио, 0) < с [||и — ио| + |і|] на О(ио);

2. 3 В-1(ио, 0), причем |В-1(ио, 0)| < т;

3. В(ио,і) + /о К(ио,в,і) їв < к Щ, для V і Є БР(0).

Здесь с, к и т зависят только от области П(ио) и операторов В и К.

Тогда при каждом t € Sp(0), где р = min ^P,

тс (у/ 1+кт+\/кт)2

шаре Бг (ио), где г = тш ^Я, т1с ^г+кгп+^кт) ’ существует единственное решение и = и(Ь) уравнения (1), непрерывное в Бр(0) и и(0) = ио. Решение и(Ь) можно получить модифицированным итерационным процессом Ньютона-Канторовича

и„+1(г) = ип(г) — в-1(ио, в(ип(г), г) + ^ к(ип(в),в,г) й^ .

Справедлива следующая оценка скорости сходимости \\ип(Ь) — и(Ь)\\ < -г—- ткр, где д = л/1+кт .

1—Я. ^ у \/1+кт+л/ кт

Доказательство. Будем считать положительные Я и Р достаточно большими. Рассмотрим оператор

¥ (и,г) = и(г) — в-1(и0, о)в(и(г),г) — [ в-1(и0, о)к (и(в),в,г) йв.

о

Для оператора ¥ воспользуемся следствием из принципа сжимающих отображений: если ¥ отображает замкнутое выпуклое множество В С Е1 ф К в себя и на В ¥ непрерывно дифференцируем и ||¥и(и)|| < д < 1, тогда уравнение и = ¥ (и) имеет единственное в В решение, к которому сходится последовательные приближения ип+1 = ¥(ип) [1]. Рассмотрим ¥и(и,Ь)

¥и(и,г) = I — в-1(ио, о)ви(и(г),г) — ( в-1(ио, о)ки(и(в),в,г) йв =

о

= Bu1(UQ, 0)

Bu(uo, 0) - Bu(u(t), t) - f K-(u(s),s, t) ds

Jo

Оценим последнее выражение по норме с использованием первого и второго условия теоремы при ||и — ио|| < а, |г| < Ь

\\¥и(и,г)\\ < т ви(ио,о) — ви(и(г),г) — [ ки(и(в),в,г)йв

о

< тс [||и — и0|| + |г|] < тс(а + Ь).

Далее используем следствие 2 из теоремы 1 на стр. 382 [1]

<

||F(uo,t) - UoУ =

< m

Bu1(u0,0)B(u0,t) + i B-1 (u0,0)K(u0,s,t) ds

o

B(u0,t)+ K(u0,s,t) ds < mk |t| < mkb.

o

<

1

1

Исходя из полученных оценок, докажем, что а и Ь можно подобрать таким образом, чтобы тс(а + Ь) = д и ткЬ = (1 — д)а, где д € (о, 1). В этом случае по указанной теореме при каждом г € Бь(о) в шаре Ба(ио) уравнение и = ¥(и,г) будет иметь единственное решение.

Из системы тс(а + Ь) = д, ткЬ = (1 — д)а получаем, что

1 дтк ь 1 д(1 — д)

mc mk + 1 — q mc mk + 1 — q

Очевидно, что a и b зависят от параметра q, которым мы распорядимся так, чтобы время разрешимости было максимальным, т.е. b(q) ^ max, q € (0,1). При помощи стандартной процедуры исследования функции на максимум, находим, что при q = получаем максимальное значение b = — , , , 1—г,—\ о, при этом a = ——, 'fkm .

mc (VT+km+Vkm)2 ’ ^ mc vT+km+Vkm

Оценка на сходимость следует из утверждения принципа сжимающих отображений [1].

Если окажется, что a > R или b > P, то, так как a(q), b(q) монотонно возрастают при q € (0, q), найдется число q : a(q) < R, b(q) < P, причем одно из этих неравенств оказывается равенством. Следовательно, при t € Бщ)(0) в шаре Sa(ij)(uo) существует единственное непрерывное решение. Для этого решения справедлива оценка сходимости итерационного процесса \\un(t) — u(t)\\ < 1-qmkb(q), которая мажорируется оценкой, указанной в формулировке теоремы. □

Список литературы

1. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М.: Физматлит, 2007.

A. V. Krasnik

Solvability of Volterra type integral-operator equation

Abstract.In this paper nonlinear integral-operator equation of Volterra type is considered. Theorem about existence and uniqueness of solution of this equation is proved.

Keywords: integral equations, Banah spaces, local solutions.

Красник Андрей Валерьевич, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952) 24-22-10, (krasnik_andrey@mail.ru)

Krasnik Andrew, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003 Phone: (3952) 24-22-10, (krasnik_andrey@mail.ru)

Серия «Математика»

Том 2 (2009), №1, С. 320—323

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.9

Теоремы о неявном операторе в секториальных областях

Р. Ю. Леонтьев

Иркутский государственный университет

Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение Е(ж, Л) = 0 с условием Е(0, 0) = 0. Оператор Ех(0, 0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные решения ж (Л) ^ 0 при Л ^ 0 в открытом множестве Я линейного нормированного пространства Л. Нуль принадлежит границе множества Я.

Ключевые слова: секториальная окрестность, банахово пространство, нелинейное операторное уравнение, линейное нормированное пространство, теорема о неявном операторе.

В работе, продолжающей исследования [1], [2], рассматривается нелинейное операторное уравнение вида

¥ (х,Х)=о, (1.1)

где оператор ¥ : X х Л ^ У, Х,У - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. Предполагается, что ¥ (о, о) = о, оператор ¥(х, X) имеет частную производную Фреше по первому аргументу ¥х(х,Х), а линейный оператор ¥х(о,Х) имеет ограниченный обратный оператор ¥хТ1(о, X) при X € Б, где Б - открытое множество в Л, границе которого принадлежит точка X = о. В дальнейшем любое подобное множество будем называть секториальной окрестностью нуля. Более того, будем считать, что оценка для оператора ¥“1(о, X) известна и имеет следующий вид:

|1¥я-1(о,х)|| = о(аХ>) при £ э х ^о (1.2)

где функционал а(Х) ^ +о при X ^ о.

Существование ограниченного обратного оператора для ¥х (о, X) при X € £ и оценка (1.2) являются основной особенностью уравнений, которые мы рассматриваем. Очевидно, что оператор ¥~1(о,\) не является ограниченным при X = о, но является ограниченным, при любом, сколь

угодно малом, фиксированном значении параметра X € £. Цель этой заметки - изучение поведения решений уравнений вида (1.1) в секто-риальной окрестности нуля £ С Л, а именно, получение достаточных условий существования и единственности решения х(\) ^ о при £ Э X ^ о в области О, описанной ниже формулой (1.3).

Один из фундаментальных результатов в исследовании уравнений вида (1.1) - это теорема о неявном операторе. Однако, в нашем случае данная теорема неприменима, поскольку, согласно её условиям, должен быть непрерывно обратим оператор ¥х(о, о).

Доказанные здесь теоремы дают достаточные условия существования и единственности в области О малого решения уравнения (1.1) х(\) ^ о при £ Э X ^ о, а предложенный способ построения этого решения методом последовательных приближений работает при любом начальном приближении из окрестности нуля.

Введем множество:

О = {(х, X) € X х Л, ||х|| < а(\)г, X € £}, (1.3)

где константа г > о.

Теорема 1. Пусть выполнены условия: 1) оператор ¥(х, X) и его производная Фреше ¥х(х,\) непрерывны на О; 2) линейный оператор ¥х(о,\) имеет ограниченный обратный при X € £ и выполнена оценка (1.2); 3) имеет место оценка ||¥х(х, X) — ¥х(о, X)! < Ь^ЦхЦ при X € £, причем Ь(\) ^ о при X ^ о; 4) 3 элемент Уо € X такой, что линейное уравнение

¥х(о,\)х = ¥ (а^УоА) (1.4)

имеет решение х*(\), и выполнена оценка Цх*^)) = о(а(\)) при £ Э X ^ о. Тогда 3 секториальная окрестность нуля £о С £ такая, что при 'X € £о в шаре ||х — а^УоЦ < а(\)р существует единственное решение уравнения (1.1) вида х(\) = а(\)У(X), где У(X) ^ Уо при во Э X ^ о.

Доказательство. С помощью замены х(\) = а(\)У(X) и эквивалентных преобразований уравнение (1.1) сводится к уравнению вида:

У = У — ¥-1(о, X)¥(а(\)У, X). (1.5)

Оператор, стоящий в правой части уравнения (1.5), обозначим Ф(У, X). Тогда уравнение (1.5) перепишется в виде:

У = Ф(У^). (1.6)

Далее на основании принципа сжимающих отображений легко показать, что 3 секториальная окрестность нуля £о С £, такая что при

'X € £о и для некоторой фиксированной константы о < р < г в шаре ||У — Уо|| < р уравнение (1.6) имеет единственную неподвижную точку, то есть существует единственное решение уравнения (1.6), которое можно строить методом последовательных приближений при любом начальном приближении из шара ||У— Уо|| < р. Но тогда и искомое уравнение (1.1) при 'X € £о имеет в шаре ||х — а^УоЦ < а(\)р единственное решение вида х(X) = а(\)У(X), где У(X) ^ Уо при £о Э X ^ о. □

Далее будем полагать, что оператор ¥(х, X) имеет следующий вид:

¥ (х,\) = В (\)х + R(x,X) + Ь(X), (1.7)

где В(\) - линейный оператор, зависящий от параметра X. Нелинейный оператор R : X х Л ^ У предполагается непрерывным по х и X и непрерывно дифференцируемым по х в смысле Фреше в окрестности нуля. Функция Ь(\) : Л ^ У непрерывна по X. Линейный оператор В(X) имеет ограниченный обратный при X € £, причем справедлива оценка

^ при £ Э X ^ о. (1.8)

Так же будем полагать, что имеет место представление В(\) = В+ +а^)А + ш(X), где ¡¿(X) = о(а(\)) при X ^ о, В, А - замкнутые операторы, не зависящие от X, с плотными областями определения в X и со значениями в У.

Следующая лемма дает достаточные условия для выполнения условия 4) теоремы 1.

Лемма 1. Пусть для оператора (1.7) в области О выполнены условия: 1) Ь(X) = a2(X)Ь2 + C(X), где ||^(X) | = o(a2(X)) при X ^ о; 2) оператор В(X) имеет ограниченный обратный при X € £, для которого выполнена оценка (1.8); 3) уравнение Вх = Ь2 + А(с,ф) имеет решение хо, где ф € N (В), с - постоянный вектор; 4) (^(а^^с, ф), X)! = о(а2(А)) при £ Э X ^ о; 5) R(0, о) = о, Rx(0, X) = о, Ь(о) = о. Тогда уравнение (1.4) имеет требуемое решение при Уо = (с,ф).

Доказательство. Для доказательства мы подставляем Уо = (с, ф) в уравнение (1.4) и с учетом представления (1.7) получаем уравнение:

В(\)х = B(X)a(X)(с, ф) + R(a(X)(с, ф)^) + Ь(\), (1.9)

для которого выписываем решение в явном виде. Далее, используя условия леммы, показываем, что для выписанного решения справедлива оценка ||х|| = о(а(\)) при £ Э X ^ о. □

Тогда на основании теоремы 1 и леммы 1 в случае оператора ¥(х, X) вида (1.7) получаем следующий результат:

а(\)

1

Теорема 2. Пусть для оператора вида (1.7) в области О выполнены условия: 1) оператор R(x,X) и его производная Фреше Rx(x,X) непрерывны в области О; 2) оператор В(X) имеет ограниченный обратный при X € Э, и выполнена оценка (1.8); 3) < Ь^НхН, где

Ь(\) ^ о при £ Э X ^ о; 4) Ь(\) = а2^)Ь2 + С^), где ||^(X)| = о(а2^)) при X ^ о; 5) уравнение Вх = Ь2 + А(с,ф) имеет решение хо, где ф € N (В), с - постоянный вектор; 6) ^(а^^с, ф), X)! = о(а2(\)) при £ Э X ^ о; 7) R(0, о) = о, Rx(0, X) = о, Ь(о) = о. Тогда 3 секториальная окрестность нуля £о С £ такая, что VX € £о в шаре ||х — а(\)(с, ф)|| < а(\)р существует единственное решение соответствующего уравнения (1.1) вида х(X) = a(X)У(X), где У(X) ^ (с,ф) при £о Э X ^ 0.

Доказательство теоремы 2 так же использует применение принципа сжимающих отображений.

Список литературы

1. Сидоров Н. А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы / Н. А. Сидоров // Нелинейные граничные задачи. — Донецк: 2004. — Вып. 14. — С. 161-164.

2. Леонтьев Р. Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений / Р. Ю. Леонтьев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. — Челябинск: 2008. — Вып. 1. № 15 (115). — С. 37-41.

R. Yu. Leontyev

Implicit function theorem in sectorial quasi-neighborhoods

Abstract. We consider nonlinear operation equation F(x,A) = 0 with condition F(0, 0) = 0. Operator Fx(0, 0) is not continuously invertible. We construct continuous solutions x(A) ^ 0 as A ^ 0 in open set S of linear normalized space Л. Zero belongs to frontier of set S.

Keywords: Banach space, implicit function theorem, sectorial quasi-neighborhoods, nonlinear operator equation, linear normalized space.

Леонтьев Роман Юрьевич, аспирант кафедры математического анализа, Институт математики,экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, (lev_roma@bk.ru)

Leontyev Roman, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, postgraduat student, (lev_roma@bk.ru)