CC BY
20
Серия «Математика»
Том 2 (2009), № 1, С. 317-319
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 518.517
Разрешимость интегрально-операторного уравнения типа Вольтерры
А. В. Красник
Иркутский государственный университет
Аннотация. В работе рассматривается нелинейное интегрально-операторное уравнение типа Вольтерры. Доказана теорема о существовании и единственности решения этого уравнения.
Ключевые слова: интегральные уравнения, банаховы пространства, локальные решения.
Рассмотрим интегральное уравнение
/0
B(u(t),t)+ ( K(u(s),s,t) ds = 0, (1)
J о
где В(и, і) : Е1 ф Я ^ Е2, К(и,в,і): Е1 ф Я ф Я ^ Е2 — нелинейные операторы.
К уравнениям вида (1) редуцируются нелинейные уравнения Вольтерры 1-го рода, различные начальные задачи для дифференциальнооператорных уравнений не разрешенных относительно старшей производной а также другие некорректно поставленные задачи.
Уравнение (1) будем рассматривать в области
П(ио) = {(и, і) Є Еі ф Я : ||и — и0|| < Е, ||і|| < Р} .
Далее будем считать, что оператор, стоящий в левой части уравнения (1) непрерывен на П(ио) и непрерывно дифференцируем по и на П(ио).
Теорема 1. Пусть В(ио, 0) =0 и выполнены следующие условия
1. Вм(и,і) + /0 Ки(и,в,і) їв — Ви(ио, 0) < с [||и — ио| + |і|] на О(ио);
2. 3 В-1(ио, 0), причем |В-1(ио, 0)| < т;
3. В(ио,і) + /о К(ио,в,і) їв < к Щ, для V і Є БР(0).
Здесь с, к и т зависят только от области П(ио) и операторов В и К.
Тогда при каждом t € Sp(0), где р = min ^P,
тс (у/ 1+кт+\/кт)2
шаре Бг (ио), где г = тш ^Я, т1с ^г+кгп+^кт) ’ существует единственное решение и = и(Ь) уравнения (1), непрерывное в Бр(0) и и(0) = ио. Решение и(Ь) можно получить модифицированным итерационным процессом Ньютона-Канторовича
и„+1(г) = ип(г) — в-1(ио, в(ип(г), г) + ^ к(ип(в),в,г) й^ .
Справедлива следующая оценка скорости сходимости \\ип(Ь) — и(Ь)\\ < -г—- ткр, где д = л/1+кт .
1—Я. ^ у \/1+кт+л/ кт
Доказательство. Будем считать положительные Я и Р достаточно большими. Рассмотрим оператор
¥ (и,г) = и(г) — в-1(и0, о)в(и(г),г) — [ в-1(и0, о)к (и(в),в,г) йв.
о
Для оператора ¥ воспользуемся следствием из принципа сжимающих отображений: если ¥ отображает замкнутое выпуклое множество В С Е1 ф К в себя и на В ¥ непрерывно дифференцируем и ||¥и(и)|| < д < 1, тогда уравнение и = ¥ (и) имеет единственное в В решение, к которому сходится последовательные приближения ип+1 = ¥(ип) [1]. Рассмотрим ¥и(и,Ь)
¥и(и,г) = I — в-1(ио, о)ви(и(г),г) — ( в-1(ио, о)ки(и(в),в,г) йв =
о
= Bu1(UQ, 0)
Bu(uo, 0) - Bu(u(t), t) - f K-(u(s),s, t) ds
Jo
Оценим последнее выражение по норме с использованием первого и второго условия теоремы при ||и — ио|| < а, |г| < Ь
\\¥и(и,г)\\ < т ви(ио,о) — ви(и(г),г) — [ ки(и(в),в,г)йв
о
< тс [||и — и0|| + |г|] < тс(а + Ь).
Далее используем следствие 2 из теоремы 1 на стр. 382 [1]
<
||F(uo,t) - UoУ =
< m
Bu1(u0,0)B(u0,t) + i B-1 (u0,0)K(u0,s,t) ds
o
B(u0,t)+ K(u0,s,t) ds < mk |t| < mkb.
o
<
1
1
Исходя из полученных оценок, докажем, что а и Ь можно подобрать таким образом, чтобы тс(а + Ь) = д и ткЬ = (1 — д)а, где д € (о, 1). В этом случае по указанной теореме при каждом г € Бь(о) в шаре Ба(ио) уравнение и = ¥(и,г) будет иметь единственное решение.
Из системы тс(а + Ь) = д, ткЬ = (1 — д)а получаем, что
1 дтк ь 1 д(1 — д)
mc mk + 1 — q mc mk + 1 — q
Очевидно, что a и b зависят от параметра q, которым мы распорядимся так, чтобы время разрешимости было максимальным, т.е. b(q) ^ max, q € (0,1). При помощи стандартной процедуры исследования функции на максимум, находим, что при q = получаем максимальное значение b = — , , , 1—г,—\ о, при этом a = ——, 'fkm .
mc (VT+km+Vkm)2 ’ ^ mc vT+km+Vkm
Оценка на сходимость следует из утверждения принципа сжимающих отображений [1].
Если окажется, что a > R или b > P, то, так как a(q), b(q) монотонно возрастают при q € (0, q), найдется число q : a(q) < R, b(q) < P, причем одно из этих неравенств оказывается равенством. Следовательно, при t € Бщ)(0) в шаре Sa(ij)(uo) существует единственное непрерывное решение. Для этого решения справедлива оценка сходимости итерационного процесса \\un(t) — u(t)\\ < 1-qmkb(q), которая мажорируется оценкой, указанной в формулировке теоремы. □
Список литературы
1. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М.: Физматлит, 2007.
A. V. Krasnik
Solvability of Volterra type integral-operator equation
Abstract.In this paper nonlinear integral-operator equation of Volterra type is considered. Theorem about existence and uniqueness of solution of this equation is proved.
Keywords: integral equations, Banah spaces, local solutions.
Красник Андрей Валерьевич, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952) 24-22-10, (krasnik_andrey@mail.ru)
Krasnik Andrew, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003 Phone: (3952) 24-22-10, (krasnik_andrey@mail.ru)
Серия «Математика»
Том 2 (2009), №1, С. 320—323
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 517.9
Теоремы о неявном операторе в секториальных областях
Р. Ю. Леонтьев
Иркутский государственный университет
Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение Е(ж, Л) = 0 с условием Е(0, 0) = 0. Оператор Ех(0, 0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные решения ж (Л) ^ 0 при Л ^ 0 в открытом множестве Я линейного нормированного пространства Л. Нуль принадлежит границе множества Я.
Ключевые слова: секториальная окрестность, банахово пространство, нелинейное операторное уравнение, линейное нормированное пространство, теорема о неявном операторе.
В работе, продолжающей исследования [1], [2], рассматривается нелинейное операторное уравнение вида
¥ (х,Х)=о, (1.1)
где оператор ¥ : X х Л ^ У, Х,У - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. Предполагается, что ¥ (о, о) = о, оператор ¥(х, X) имеет частную производную Фреше по первому аргументу ¥х(х,Х), а линейный оператор ¥х(о,Х) имеет ограниченный обратный оператор ¥хТ1(о, X) при X € Б, где Б - открытое множество в Л, границе которого принадлежит точка X = о. В дальнейшем любое подобное множество будем называть секториальной окрестностью нуля. Более того, будем считать, что оценка для оператора ¥“1(о, X) известна и имеет следующий вид:
|1¥я-1(о,х)|| = о(аХ>) при £ э х ^о (1.2)
где функционал а(Х) ^ +о при X ^ о.
Существование ограниченного обратного оператора для ¥х (о, X) при X € £ и оценка (1.2) являются основной особенностью уравнений, которые мы рассматриваем. Очевидно, что оператор ¥~1(о,\) не является ограниченным при X = о, но является ограниченным, при любом, сколь
угодно малом, фиксированном значении параметра X € £. Цель этой заметки - изучение поведения решений уравнений вида (1.1) в секто-риальной окрестности нуля £ С Л, а именно, получение достаточных условий существования и единственности решения х(\) ^ о при £ Э X ^ о в области О, описанной ниже формулой (1.3).
Один из фундаментальных результатов в исследовании уравнений вида (1.1) - это теорема о неявном операторе. Однако, в нашем случае данная теорема неприменима, поскольку, согласно её условиям, должен быть непрерывно обратим оператор ¥х(о, о).
Доказанные здесь теоремы дают достаточные условия существования и единственности в области О малого решения уравнения (1.1) х(\) ^ о при £ Э X ^ о, а предложенный способ построения этого решения методом последовательных приближений работает при любом начальном приближении из окрестности нуля.
Введем множество:
О = {(х, X) € X х Л, ||х|| < а(\)г, X € £}, (1.3)
где константа г > о.
Теорема 1. Пусть выполнены условия: 1) оператор ¥(х, X) и его производная Фреше ¥х(х,\) непрерывны на О; 2) линейный оператор ¥х(о,\) имеет ограниченный обратный при X € £ и выполнена оценка (1.2); 3) имеет место оценка ||¥х(х, X) — ¥х(о, X)! < Ь^ЦхЦ при X € £, причем Ь(\) ^ о при X ^ о; 4) 3 элемент Уо € X такой, что линейное уравнение
¥х(о,\)х = ¥ (а^УоА) (1.4)
имеет решение х*(\), и выполнена оценка Цх*^)) = о(а(\)) при £ Э X ^ о. Тогда 3 секториальная окрестность нуля £о С £ такая, что при 'X € £о в шаре ||х — а^УоЦ < а(\)р существует единственное решение уравнения (1.1) вида х(\) = а(\)У(X), где У(X) ^ Уо при во Э X ^ о.
Доказательство. С помощью замены х(\) = а(\)У(X) и эквивалентных преобразований уравнение (1.1) сводится к уравнению вида:
У = У — ¥-1(о, X)¥(а(\)У, X). (1.5)
Оператор, стоящий в правой части уравнения (1.5), обозначим Ф(У, X). Тогда уравнение (1.5) перепишется в виде:
У = Ф(У^). (1.6)
Далее на основании принципа сжимающих отображений легко показать, что 3 секториальная окрестность нуля £о С £, такая что при
'X € £о и для некоторой фиксированной константы о < р < г в шаре ||У — Уо|| < р уравнение (1.6) имеет единственную неподвижную точку, то есть существует единственное решение уравнения (1.6), которое можно строить методом последовательных приближений при любом начальном приближении из шара ||У— Уо|| < р. Но тогда и искомое уравнение (1.1) при 'X € £о имеет в шаре ||х — а^УоЦ < а(\)р единственное решение вида х(X) = а(\)У(X), где У(X) ^ Уо при £о Э X ^ о. □
Далее будем полагать, что оператор ¥(х, X) имеет следующий вид:
¥ (х,\) = В (\)х + R(x,X) + Ь(X), (1.7)
где В(\) - линейный оператор, зависящий от параметра X. Нелинейный оператор R : X х Л ^ У предполагается непрерывным по х и X и непрерывно дифференцируемым по х в смысле Фреше в окрестности нуля. Функция Ь(\) : Л ^ У непрерывна по X. Линейный оператор В(X) имеет ограниченный обратный при X € £, причем справедлива оценка
^ при £ Э X ^ о. (1.8)
Так же будем полагать, что имеет место представление В(\) = В+ +а^)А + ш(X), где ¡¿(X) = о(а(\)) при X ^ о, В, А - замкнутые операторы, не зависящие от X, с плотными областями определения в X и со значениями в У.
Следующая лемма дает достаточные условия для выполнения условия 4) теоремы 1.
Лемма 1. Пусть для оператора (1.7) в области О выполнены условия: 1) Ь(X) = a2(X)Ь2 + C(X), где ||^(X) | = o(a2(X)) при X ^ о; 2) оператор В(X) имеет ограниченный обратный при X € £, для которого выполнена оценка (1.8); 3) уравнение Вх = Ь2 + А(с,ф) имеет решение хо, где ф € N (В), с - постоянный вектор; 4) (^(а^^с, ф), X)! = о(а2(А)) при £ Э X ^ о; 5) R(0, о) = о, Rx(0, X) = о, Ь(о) = о. Тогда уравнение (1.4) имеет требуемое решение при Уо = (с,ф).
Доказательство. Для доказательства мы подставляем Уо = (с, ф) в уравнение (1.4) и с учетом представления (1.7) получаем уравнение:
В(\)х = B(X)a(X)(с, ф) + R(a(X)(с, ф)^) + Ь(\), (1.9)
для которого выписываем решение в явном виде. Далее, используя условия леммы, показываем, что для выписанного решения справедлива оценка ||х|| = о(а(\)) при £ Э X ^ о. □
Тогда на основании теоремы 1 и леммы 1 в случае оператора ¥(х, X) вида (1.7) получаем следующий результат:
а(\)
1
Теорема 2. Пусть для оператора вида (1.7) в области О выполнены условия: 1) оператор R(x,X) и его производная Фреше Rx(x,X) непрерывны в области О; 2) оператор В(X) имеет ограниченный обратный при X € Э, и выполнена оценка (1.8); 3) < Ь^НхН, где
Ь(\) ^ о при £ Э X ^ о; 4) Ь(\) = а2^)Ь2 + С^), где ||^(X)| = о(а2^)) при X ^ о; 5) уравнение Вх = Ь2 + А(с,ф) имеет решение хо, где ф € N (В), с - постоянный вектор; 6) ^(а^^с, ф), X)! = о(а2(\)) при £ Э X ^ о; 7) R(0, о) = о, Rx(0, X) = о, Ь(о) = о. Тогда 3 секториальная окрестность нуля £о С £ такая, что VX € £о в шаре ||х — а(\)(с, ф)|| < а(\)р существует единственное решение соответствующего уравнения (1.1) вида х(X) = a(X)У(X), где У(X) ^ (с,ф) при £о Э X ^ 0.
Доказательство теоремы 2 так же использует применение принципа сжимающих отображений.
Список литературы
1. Сидоров Н. А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы / Н. А. Сидоров // Нелинейные граничные задачи. — Донецк: 2004. — Вып. 14. — С. 161-164.
2. Леонтьев Р. Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений / Р. Ю. Леонтьев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. — Челябинск: 2008. — Вып. 1. № 15 (115). — С. 37-41.
R. Yu. Leontyev
Implicit function theorem in sectorial quasi-neighborhoods
Abstract. We consider nonlinear operation equation F(x,A) = 0 with condition F(0, 0) = 0. Operator Fx(0, 0) is not continuously invertible. We construct continuous solutions x(A) ^ 0 as A ^ 0 in open set S of linear normalized space Л. Zero belongs to frontier of set S.
Keywords: Banach space, implicit function theorem, sectorial quasi-neighborhoods, nonlinear operator equation, linear normalized space.
Леонтьев Роман Юрьевич, аспирант кафедры математического анализа, Институт математики,экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, (lev_roma@bk.ru)
Leontyev Roman, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, postgraduat student, (lev_roma@bk.ru)
