О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений в секториальной окрестности нуля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.67

О РЕШЕНИЯХ МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЕКТОРИАЛЬНОЙ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЯ

Р.Ю. Леонтьев

ON MAXIMUM INFINITESIMAL ORDER SOLUTIONS OF NONLINEAR EQUATIONS IN SECTORIAL NEIGHBOURHOOD OF ZERO

R. Y. Leontyev

Рассматривается нелинейное уравнение B(X)x = R(x, Х)+Ь(Х), причем R(0,0) = 0, 6(0) = 0. Оператор В(А) не является непрерывно обратимым при А = 0, однако имеет ограниченный обратный при А 6 S, где 5 - некоторое множество, именуемое секториальной окрестностью нуля. Исследуются вопросы существования малых непрерывных решений х(Х) -> 0 при S Э А -» 0. Доказаные теоремы предоставляют конструктивный способ построения решения максимального порядка малости.

Ключевые слова: векториальная окрестность, нелинейное уравнение, теорема о неявном операторе, решение максимального порядка малости.

A nonlinear operator equation В(Х)х = R(x, А) + b(A) with conditions i?(0,0) = 0, b(0) = 0 is considered. The linear operator B{X) hasn’t a continuous inverse operator at A = 0, but it has a bounded inverse operator when A € S, where 5 is a set named a sectorial neighbourhood of zero. The question of existence of infinitesimal continuous solutions a; (A) -4 0 at A € 5 when A 0. The proved theorems propose a constructive way the solution of the maximum infinitesimal order.

Keywords: an implicit function theorem, a nonlinear operator equation, a sectorial neighbourhood, a maximum infinitesimal order solution.

Пусть X, Y - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. В работе рассматривается нелинейное операторное уравнение

B{X)x = R{x,X) + b(X), (1)

где В(А) - замкнутый линейный оператор с плотной в банаховом пространстве X областью

определения, не зависящей от параметра А. Нелинейный оператор R(x, А) непрерывен по х

и А в окрестности точки (0,0), R(0,0) = 0. Фунция 6(A) со значениями в У непрерывна в

нуле, Ь(0) = 0.

Будем полагать, что

^ при S Э А —> 0, (2)

где а(А) положительный функционал, непрерывный в окрестности нуля, а(0) = 0; S С Л

- открытое множество, границе которого принадлежит точка А = 0. Далее множество S будем называть секториальной окрестностью нуля.

а(А)

Требуется построить малое решение ж(А) —» 0 при 5* Э А —> 0 уравнения (1) максимального порядка малости или (<минимальную ветвь») малого решения.

Впервые теорема о существовании и построении в нерегулярных случаях ветвей решений нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальных окрестностях были доказаны в 2004 году в работе [1]. Ряд результатов о решениях максимального порядка малости изложен в работах [2, 3].

В этой работе, следуя методу работ [2, 3], искомая минимальная ветвь решений тоже строится в секториальной окрестности особой точки (в частности, точки ветвления решений) методом последовательных приближений в условиях, отличных от условий работ [1 -3]. Теоремы этой работы уточняют результаты теоремы 1 в работах [2, 3] и применимы в некоторых случаях к более широкому классу уравнений.

Оценка (2) занимает особое место в данной работе, поэтому следует отметить, что подобная оценка может встретиться в прикладных задачах:

Пример 1. Пусть X = Y = Н. В о - самосопряженный неотрицательный оператор, В\ -самосопряженный положительный оператор, то есть

(Вох,х)>0, (В\х,х) > 7(ж,ж); Ух € Н.

Тогда

]|(Во + а(Л)В1)-,|!=о(™у).

Пример 2. Если элементы к = 1,рг, % — 1, п образуют полный В\ - жорданов набор

фредгольмова оператора Во и р — тахр,;, тогда в некоторой области а(А) < е существует

г=1,га

ограниченный обратный оператор (Во + a(A)Bi)-1, и выполнена оценка

»(*+.(А)В1)-Ч = оуу.

Приступим к исследованию уравнения (1), после чего сформулируем теорему 1. Поскольку в области S оператор В(А) имеет ограниченный обратный, то, используя замену х = и(Х)у, где и(А) некоторый непрерывный функционал А, приведем уравнение (1) к эквивалентному виду:

У = ^Я-1(а)[ДИа)У, а) + Ь(\)}.

Обозначим оператор в правой части последнего выражения через Ф(у, А). Тогда наше уравнение примет вид

У — Ф(у> А). (3)

Выясним условия, при которых оператор Ф(у, А) является сжатием; поскольку от оператора R(x, А) существенно зависит поведение решений, а в нашем случае конкретный вид оператора R(x, А) неизвестен, то наложим следующее условие: пусть в шаре [|11 < р. р > 0. выполнено неравенство

||адА)жь А) - R(d(Х)х2, А)|| < С ■ dl(А) • р\\хх - х2\\,

где I > 1, d(А) - функционал, непрерывный в окрестности нуля, d(0) = 0, С — const, С > 0. Тогда, учитывая, что мы производим оценку в окрестности нуля ||у|| < г, имеем:

||Ф(У1, А) - Ф(у2, А)II < ||С • В-1{А) ■ ^-Х(А)|| • г ■ ||У1 - у2||.

Выберем г/(А) = 0(а1^г_1^(А)). Тогда ||С • В~1(А) • ^г_1(А)|| < С\, где С\ > 0 - const. Фиксируем 0 < q < 1 и выбираем радиус шара го < г, в котором мы исследуем уравнение (3), так, чтобы

Получим, что оператор Ф(у, А) является сжатием в шаре ||у|| < го при УА 6 5 с коэффициентом сжатия д.

Следующим шагом убедимся, что значения оператора Ф(у, А) не выходят из шаров радиуса го для всех элементов у таких, что |М| < г о. Учитывая, что оператор Ф(у, А) является сжатием, получаем:

||Ф(у, Л)II < ||ф(у, Л) - Ф(0, А)|| + ||Ф(0, А)II < дг0 + ||-1^5-1(А)6(А)||.

Так как г'(А) = 0(а1^г_1)(А)), ||Б~1(А)|| = 0(1/а(А)), то второе слагаемое в последнем выражении будет сколь угодно малой величиной при 5 Э А —> 0, если \\Ь(Х)|| = А)).

То есть, если Ц6(А)|| = о(а1^1^1ЦА)), то существует секториальная окрестность нуля 5о С Б такая, что при \/А € Бо, Уу : ||у|| < го будет выполнено неравенство

||Ф(у,А)|| < дг0 + (1 - д)г0 = г0

Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть в секториалъной окрестности нуля Б для уравнения (1) выполнено условие (2) и пусть:

1. существует непрерывная функция ь>(\) : Б Я+, г'(О) = 0 такая, что в шаре ||ж|| < г при X € Б выполнено неравенство

||Л(г/(А)а;1, А) - Н{и(Х)х2, А)|| < С • ^(Х) ■ г||ж1 - х2\\,

где I > 1, С > 0 - постоянная;

2. имеет место оценка ||Ь(А)|| = о(аТ=Т(А)).

Тогда в некоторой окрестности нуля ||ж|| < го < г для V А € 5о С Б существует малое решение уравнения (1) х = ж*(А); которое является минимальной ветвью из всех малых решений уравнения (1). Это решение можно найти по формуле х — а^ (А)у; где у является пределом последовательности

Все остальные малые решения уравнения (1) имеют при Б € А —» 0 порядок малости не выше, чем а1-т(А).

Необходимо отметить, что в данной теореме не требуется условие существования производной Фреше оператора Щх, А), однако, если такая производная существует и является непрерывной по ж и А в окрестности нуля, то получаем слудующую теорему:

Теорема 2. Пусть для уравнения (1) в секториалъной окрестности нуля Б имеет место оценка (2) и пусть:

1. существует непрерывная в нуле производная Фреше по первому аргументу нелинейного оператора Щх, А), и имеет место оценка

||Дк(ж, А)|| = 0(||ж||г) при ЦжЦ —>• О, I > 0;

(А)

•B-'iА) Гд(а^т(А) у„_ьА)+6(А)

Уо = 0.

2. имеет место оценка ||&(А)|| = о(а'-т(А)).

Тогда в некоторой окрестности нуля ||х|| < го < г для V А 6 5о С 5 существует малое решение уравнения (1) х = х*(Х), которое является минимальной ветвью из всех малых решений. Это решение можно найти по формуле х = аТ (А)у, где у является пределом последовательности

Уп = ' -В_1(А) [Е(а* (А) Уп-ь А) + &(А) , уо = 0.

Все остальные малые решения уравнения (1) имеют порядок не выше, чем аТ (А).

Доказательство. Аналогично, как в теореме 1 уравнение (1) приведем к виду (3). Для этого воспользуемся обратимостью оператора В~1(А) в области 5 и заменой х — и(Х)у, где параметр и(Х) - непрерывный функционал А, условия на который будут получены исходя из условий принципа сжимающих отображений. Применяя оценку нормы произведения, интегральную теорему Лагранжа и используя первое условие теоремы 2, получим цепочку неравенств:

||Ф(У1,А) -Ф(У2,А)|| = Ц^у5-1(А)[Л(1/(А)У1, А) - Щи(Х)у2, А)]|| <

< II-4-ГВ 1(А)|| ■ II J Ях(^(Х)(у2 + @(ух — уг))) А) д® ■ и(Х)(у\ — уг)|| <

1_

'и(Х)

0

1

< 1(Л)11'У'|1Д*(г/(Л)(У2 + 0(У1-У2)),А)||бг0-г/(А)||у1-у2|| <

и(Х)

о

1

< ||Б-1(А)|| • J С|^(А)|г||у2 + 0(У1 - У2)\\1 <1<д ■ ||у! - у21| <

< С\\В

1

"1(А)|| • |^(А)|'У[||У1|| + 0(||У1|| + \Ш\)]1 д,&\\у1 — Уг||-

Здесь С - некоторая константа, которая неизбежно возникает в процессе оценки, но она не влияет на дальнейшие рассуждения. Выберем в качестве ^(А) любое выражение, удовлетворяющее условию и(Х) = 0(а1!1(А)) при А -> 0. Кроме того, используем условие, что все оценки производятся в шаре ||у|| < г. Получим, что:

1

||Ф(УЬ А) - Ф(у2, А)|| < С! • г1 У*[1 + 20]г й?0||у! - у2||.

о

Константа С\ появилась после сокращения выражений ||.В_1(А)|| и |^(А)|(, которые после введения условия на и{\) в виде оценки, зависящей от а(А) стали иметь порядки 0(1/а(Х)) и 0(а(А)) соответственно. После вычисления интеграла, получаем:

||Ф(УЬ А) - Ф(у2, А)|| < С\ • ^2(ГЦГТ)НУ1 ~ ^11-

Теперь, пусть 0 < д < 1 фиксированное, выберем го = тт{г, (2д(1 + I)/(С\г1~л)}. Тогда оператор Ф(у, А) является сжимающим в шаре ||у|| < го при УА € 5.

Теперь необходимо проверить, что значения оператора Ф(у, А) не выходят из шаров 1М1 < г0. Но поскольку условие сжимаемости оператора Ф(у, А) выполнено, а условие 2 в теореме 2 такое же, как и в теореме 1, то доказательство того, что ||Ф(у, А)|| < го в некоторой секториальной окрестности нуля 5о С 5 будет как в теореме 1. Поэтому опустим эту часть доказательства.

После того, как мы показали, что к уравнению (3) можно применять принцип сжимающих отображений, будем искать решение в виде предела последовательности {уп}, п — 1,2,.., где уп = Ф(у(п—1), А), а в качестве начального приближения выберем уо = 0 или любой другой элемент из шара ||у|| < го. То, что предел последовательности существует, гарантирует принцип сжимающих отображений. Поэтому решение уравнения (3) обозначим у = Нт уп. Но тогда решение уравнения (1) будет иметь вид х = а1^(А)у. Кроме указан-

п-> оо

ного решения уравнения (1) в общем случае могут существовать и другие малые решения уравнения (1), поскольку уравнение (1) в силу оценки (2) не относится к регулярному случаю. Но из всех малых решений найденное нами решение будет решением максимального порядка малости. □

Замечание 1. Примеры 1, 2 показывают, что теоремы 1, 2 позволяют строить решения минимального порядка малости нелинейных уравнений 2-го и 1-го рода.

Работа выполнена при финансовой поддержке федеральной целевой программы <На-учные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы. Госкон-тракт по ФЦП <&Кадры» П 696 от 20 мая 2010 года.

Литература

1. Сидоров, Н.А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляризаторы / Н.А. Сидоров // Нелинейные граничные задачи. - 2004. - Вып. 14. -С. 161 - 164.

2. Леонтьев, Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений / Р.Ю. Леонтьев // Вестн. ЮУрГУ, сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2008. -№15(115), вып. 1. - С. 37 - 41.

3. Сидоров, Н.А. О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальных окрестностях / Н.А. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16. - С. 226 - 237.

Леонтьев Роман Юрьевич, кафедра «Математического анализа и дифференциальных уравнений», Иркутский государственный университет, [email protected].

Поступила в редакцию 2 ноября 2010 г.