О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 ББК 22.16

© Р.Ю. Леонтьев

Россия, Иркутск, Иркутский государственный университет E-mail: lev_roma@bk.ru

О РЕШЕНИЯХ МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается нелинейное операторное уравнение F(x, 1) = 0 с условием F(0,0) = 0. Оператор Fx (0,0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные решения x(1) ® 0 при 1® 0 в открытом множестве S линейного нормированного пространства Л . Нуль принадлежит границе множества S.

Ключевые слова: секториальная окрестность, банахово пространство, линейное нормированное пространство, теорема о неявном операторе.

© R. Yu. Leontyev

Russia, Irkutsk, Irkutsk State University E-mail: lev_roma@bk.ru

SOLUTIONS OF NONLINEAR EQUATIONS WITH MAXIMUM SMALLNESS ORDER

We consider nonlinear operator equation F(x, 1) = 0 with condition F(0,0) ° 0. Operator

Fx (0,0) is not continuously invertible. We construct continuous solutions x(1) ® 0 as 1® 0 in open set S of normed linear space Л . Zero belongs to frontier of the set S.

Key words: Banach space, Implicit Operator Theorem, sectarian neighborhood, nonlinear operator equation, normed linear space.

В работе, продолжающей исследования работ [1, 2], рассматривается нелинейное операторное уравнение вида:

F ( x,1) = 0, (1)

где F : X хЛ® Y , X ,Y - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. Предполагается, что F (0,0) = 0, оператор F ( x, 1) имеет частную производную Фреше по первому аргументу Fx ( x, 1), а линейный оператор Fx (0,1) имеет ограниченный

обратный оператор Fx 1 (0,1) при 1 î S , где S сЛ - открытое множество, границе которого принадлежит точка 1 = 0 . В дальнейшем любое подобное множество будем называть секториальной окрестностью нуля. Будем считать, что оценка для оператора Fx_1(0,1) известна и имеет следующий вид:

( 1 Л

Fx 1 (0,1) = O ----- при S Э 1 ® 0, (2)

А1),

где функционал а(Л) ® +0 при 1 ® 0.

Основная цель исследования - поиск достаточных условий существования и единственности малого решения уравнения (1) x(1) ® 0 при S Э 1 ® 0 и предложить способ нахождения этого решения. Следует отметить, что при данной постановке задачи теорема о неявном операторе не выполняется, поскольку из условия (2) вытекает, что оператор Fx (0,0) не является непрерывно обратимым.

Пусть О = {(x, 1) є X X Л, < аіУ, 1 є S}, где константа г > 0. Далее уравнение (1)

будем рассматривать только на множестве О.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Пусть для уравнения вида (1) в области О выполнены условия:

1) оператор Г(х,1) и его производная Фреше Гх (х,1) непрерывны на О;

2) линейный оператор Гх (0,1) имеет ограниченный обратный при 1 е Я и выполнена оценка (2);

3) ||Гх (х,1) - Гх (0,1)| < .Ц1)||х|| при 1 е Я , причем Ь(1) ® 0 при Я Э 1 ® 0 ;

4) 3 элемент У0 е X такой, что линейное уравнение

Гх (0,1) х = Г(а(1)У„,1) (3)

имеет решение х (1), и выполнена оценка х (1) = о(а(1)) при Я Э 1 ® 0 .

Тогда 3 секториальная окрестность нуля Яо с Я такая, что "1е Я0 в шаре

||х — а(1)К0|| < а(1)р существует единственное решение уравнения (1) вида

х(1) = а(1)У(1) , где V(1) ® У0 при Я0 Э 1 ® 0.

Доказательство. Приведем уравнение (1) к эквивалентному виду с помощью эквивалентных преобразований:

х = х — Г-(0,1)Г(х, 1) . (4)

В уравнении (4) сделаем замену х(1) = а(1V(1) . Получим:

V = V — -1- Гх-‘(0,1)Г (а(1)У ,1). (5)

а(1)

Оператор, стоящий в правой части уравнения (5) обозначим ,1) :

Ф<’7-1) ° V —Щ Р—'(0.1)Р (a(1)V ,1).

а(1)

(6)

Покажем, что существует секториальная окрестность нуля Я0 с Я такая, что "1 е Я0 и для некоторой фиксированной константы 0 < р < г оператор (6) является сжимающим в шаре IV — V0\\ <р. Действительно, применяя стандартные оценки и формулу конечных приращений Лагранжа, имеем следующую цепочку неравенств:

¡Ф^Щ)—Ф^ЛЦ = (V - V,)—-1- Г—1'(0,1)[Г <a<1)V1.1) - Г (аЩ^Щ)]

а(1)

(вынесем оператор Гх_1(0,1))

= Гх-'^Щ)!^ (0.Я)(V1 — V,)—-(Щ [Г <a(1)V1.1)—Г <a<1)V2.1)]

(поскольку операторы Г (х,1) и Гх (х, 1) непрерывны, то воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа)

Гх-‘(0,1)-и (0,1)^ — V, )—-М Г (а(1уу, + ®(V, — V,)), 1)^0а(1)( V — V,)

а(1)0

Fx-^<0Щ)/ [Г„ (0,1)—(аД)^, + 0( V, — — V,)

<

<

Г71(0Щ) /IГ(0,1) — Гх(а^ХГ, +0<V2 — V — Vit £

(воспользуемся условием 3) теоремы 1) <

Г—‘(0,1) /а(1)1(1)\V +0(1'2 — V,)!^0|Кк, — Т,)! <

0

0

<

^*(0,1)1 а(Л) Ц(Л) і [V - V + VII+е| V - V + У„ - ¥і\\||( V - ¥2 )||

0

(поскольку IV — ^0II < р, то)

<

<

F—l (0,1)11 а(Л)Ц(1)і (р +1V || + 2рвЩ(VI - К2 )|

(вычисляем определенный интеграл)

= 11^-‘(0,1)1 а(Л)1(Л) (2р +1IV, 11) ((V - ¥21 = q(Я)||(V - V2 )||.

Поскольку имеет место оценка (2), то 3 постоянная С > 0 такая, что "1 є S будет выполнено Fx_1(0,Я) а(Л) < С. Далее, поскольку Ц(Л) ® 0 при S Э 1 ® 0, то выбором значения 1 є S величину Ц(1) можно сделать сколь угодно малой. Но тогда 3 секториальная окрестность нуля S0 с S такая, что "1 є S0 будет выполнено 0 < q(Л) < 1 и оператор (6) "Л є S0 в шаре IV - ї^01| < р будет сжимающим.

Теперь покажем, что 3 секториальная окрестность нуля S0 с S0 такая, что "Л є S0 значения оператора Ф^,1) не выходят из шаров ||Ф^,1)-1| < р при IV-^|| < р. Действительно, в силу сжимаемости оператора Ф(У,1), имеем следующую цепочку нера-

венств:

||Ф^, 1)-V0\\ < ||Ф(К, 1)-Ф(^,1)1 + \\Ф^0,Л)-V0\\ < q\V- V,I + ||Ф(^,1)-^^| < (подставляем Ф^, 1) из тождества (6))

< qр+||ф(Vo,Л) - ^11 < qр+

1

а(Л)

(используем условие 4) теоремы)

1

< qр+

а(Л)

F—1(0,Л)Fx(0,1)х (1)

F- (0,Л)F(a(Л)Vo,Л)

x*(Л)

<

^р +

а(Л)

Поскольку из 4) условия теоремы х* (1) = о(а(1)) при Я Э 1 ® 0, то 3 секториальная окрестность нуля Я0 с Я0 такая, что "1е Я0 х*(1) ^а(1) < (1 — ц)р, и значения оператора Ф^,1) не выходят из шаров ||Ф(У,1) — V0|| < р "1е Я0 при IV — V0|| < р.

Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (5) "1е Я0 в шаре

IV — V0\\ < р будет иметь единственное решение V(1) ® V при Я0 Э 1 ® 0. И это реше-

ние можно найти методом последовательных приближений по формуле:

V =Ф<Vn—,,1) (7)

при любом начальном приближении из шара IV —1^01| <р. Но тогда и уравнение (1) "1 е Я0 будет иметь единственное решение вида х(1) = а(1)V(1) в шаре ||х — a(1)V0 || < а(1)р , где V(1) ® V0 при Я0 Э 1 ® 0. Теорема доказана.

Далее будем полагать, что оператор Г (х,1) имеет вид:

Г(х,1) = В(1)х + Я(х,1) + Ь(1) , (8)

где В(1) = В + а(1)А + а>(Я) , ||®(1)|| = о(а(1)). Следующая лемма дает достаточные условия, при которых выполняется условие 4) теоремы 1.

Лемма 1. Пусть для уравнения (8) в области О выполнены условия:

1) Ь(1) = а 2(1)Ь2 +Х(1), где ||Х(1)| = о(а 2(1));

0

2) оператор В(Л) непрерывно обратим при Л є S и В (Л)

О

а(Л)

при S Э Л® 0;

3) уравнение Вх = Ь2 + А(с, р) имеет решение х0 , где р е N (В), с - постоянный вектор;

4) ||Я(а(1)(с, р),1)|| = о(а2(1)) при Я Э 1 ® 0;

5) Ях (0,1) = 0, Я(0,0) = 0, Ь(0) = 0.

Тогда уравнение (3) из условия 4) теоремы 1 имеет требуемое решение при У0 = (с, р) . Доказательство. Подставим в уравнение (3) У0 = (с, р) . Тогда с учетом (8) имеем:

В(1) х = В(1)а(1)(с, р) + Я(а(1)(с, р), 1) + Ь(1)

или

В(1)х = (В + а(1)А + «(1))а(1)(с, р) + Я(а(1)(с, р), 1) + Ь(1) .

Поскольку р е N(В), то используя условие 1) леммы 1 и несложные преобразования из предпоследнего выражения получаем:

В(1) х = а2 (1)( А (с, р) + Ь2) + «(1)а(1)(с, р) + Я(а(1)(с, р), 1) + £(1)

Так как имеет место условие 3) леммы 1, то из последнего выражения получаем:

В(1) х = а2 (1) Вх0 + «(1)а(1)(с, р) + Я(а(1)(с, р), 1) + £(1).

Все преобразования проводятся на множестве О. Это значит, что 1 е Я. Поэтому оператор В(1) непрерывно обратим и получаем:

х = В-1 (1){а2 (1)Вх0 + «(1)а(1)(с, р) + Я(а(1)(с, р), 1) + Х(1)}.

Очевидно, что мы выписали явный вид решения уравнения (3) при V0 = (с,р) . Обозначим это решение х*(1). Теперь покажем, что х*(1) = о(а(1)) при Я Э 1 ® 0. Для этого воспользуемся тождеством В ° В(1) — а(1)А — а>(1) : х* (1) = В“1 (1){а2 (1)(В(1) — а(1) А — «(1)) х0 + м(1)а(1)(с, р) + Я(а(1)(с, р ), 1) + £(1)}

или

*

x* (Л) = а2(Л)x0 + В_1(Л){а2(Л)(- а(Л)А - w(Л))x0 +w(Я)a(Я)(c,ф) + К(а(Л)(с,р),Л) + £(Л)} (9) Далее из условий 1), 2), 4) леммы 1 и (8) несложно заметить, что второе слагаемое выражения (9) при S Э Л® 0 имеет оценку:

В-1 (Л){а2 (Л)(- а(Л)А - w(Л))x0 + со{Л)а(Л)(с, р) + Я(а(Л)(с, р), Л) + £(Л)}| = о(а(Л)).

А следовательно и x* (Л) = о(а(Л)) при S Э 1 ® 0. Лемма доказана.

Для уравнений вида (8) из теоремы 1 и леммы 1 получаем следующий результат:

Следствие 1. Пусть для уравнения вида (8) в области О выполнены условия:

1) оператор Я(x,Я) непрерывен на О и имеет на О непрерывную частную производную Фреше Яx (x, Л) ;

2) оператор В(1) имеет ограниченный обратный, причем В ‘(1) Я э1® 0;

3) ||Ях (хЩ)|| < 1(л]\4, где Ь(1) ® 0 при Я Э 1 ® 0

4) Ь(1) = а2 (1)Ь2 + £(1), где ||£(1)|| = о(а2 (1));

О(1 / а(Л)) при

5) уравнение Bx = Ь2 + А(с, р), где р є N (В), с - постоянный вектор, имеет решение

x,

0

6) ||Я(а(Л)(с, р),Л)| = о(а2(Л)) при S Э Л ® 0;

7) Ях (0,Л) = 0, Я(0,0) = 0, Ь(0) = 0.

1

Тогда 3 секториальная окрестность нуля Яо с Я такая, что "1е Я0 в шаре ||х — а(1)(с, р)|| < а(1)р существует единственное решение уравнения (1) вида х(1) = а(1V(1) , где V(1) ® (с, р) при Я0 Э 1 ® 0.

Доказательство. Преобразуем уравнение (8), используя условие 2) следствия 1 и замену х(1) = а(1)V(1) . Получим:

V = —Щ В-‘(1){Я (а (Щ)У ,1) + Ь(1)}.

а (1)

Обозначим оператор в правой части выражения (10), как Ф^,1) :

(10)

Ф(У ,1) = —-Л■ В ~'(Л){Я(а(Л)У ,1) + Ь(1)}. а(Л)

(11)

Покажем, что 3 секториальная окрестность нуля S0 с S такая, что в шаре IV - (с,р) < р , где 0 < р < г - некоторая фиксированная константа, оператор (11) является сжимающим. Действительно, имеем цепочку неравенств:

1-1,

Ф(^,Л) -Ф(^,Л) =

ВЛЯИЛЖ,, 1) - Я(а(1) V,, 1)}

а(Л)

<

(поскольку операторы Я( х, 1) и Ях (х, 1) непрерывны, то воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа)

1 1

—В-1 (1)/ Ях (аДХ^^ + 0(V, — У)).1)d0 аЦ!' — V

а(1) 0

<

<

<

В-‘(1) л Я (а(Л)(^2 +0(Г, - У2)),Щ ¿0IV - V

<

(используем условие (3) следствия 1)

<

В_1(Л) а(Л)Ц(Л)ЦV + 0(^ - V2)\\¿01|V - V2|| <

(поскольку V - (с,р)| < р , то)

<

В-1(Л) а(Л)Ц(Л)(2р + (с,р)) 1^1 -< q(Л)|V - V2|

Так как выполнена оценка (2) следствия 1, то 3 постоянная С > 0 такая, что а(Л) В_1(Л) < С при 1 є S. Далее, поскольку Ц(1) ® 0 при S Э Л ® 0, то выбором значения 1 є S величину q(Я) можно сделать сколь угодно малой. Но тогда 3 секториальная окрестность нуля S0 с S такая, что "Л є S0 будет выполнено 0 < q(Я) < 1 и оператор (11) "Л є S0 в шаре IV - (с, р)|| < р будет сжимающим.

Покажем теперь, что 3 секториальная окрестность нуля S0 с S0 такая, что "Л є S0 значения оператора Ф^,1) не выходят из шаров ||Ф^,Л) -(с,р)|| <р при IV - (с, р)| < р . Действительно в силу сжимаемости оператора Ф^,1) имеем следующую цепочку неравенств:

||Ф^, Л) - (с, р)|| < qр + ||Ф((с, р), Л) - (с, р)| <

< qр+ < qр+

-1- В-‘а^аЛКе, р), 1)+Ь(Л)}- (с, р) а(Л)

<

- -1- В-‘(Я){Я(a(Я)(C, р), 1)+Ь(Л)+a(Я)B(Я)(C, р)} а(Л)

<

0

0

(воспользуемся условием 4) следствия 1 и тождеством В (1) ° В + а (1) А + а (1) , с учетом, что ре N (В))

<

др +

----V В_1 (Л){я(а(Л)(С, р), Л) + а2(Л)Ъ2 + £( Л) + а(Л)(а(Л) А + «(Л))(с, р) ]

а(Л)

<

(используем условие 5) следствия 1)

-1

< ЧР +

В _1(Л){к(а(Л)(с, р), Л) + а2 (Л)Вх0 + £(Л) + а(Л)«(Л)(с, р)]

а(Л)

<

(воспользуемся тождеством В (1) ° В + а (1) А + а(1))

< ЧР +

1 -В“1'

а (Л)

(Л)\я(а(Л)(є, р), Л) + а2 (Л)(В(Л) - а(Л)А - «(Л))х0 + £(Л) + а(Л)«(Л)(с, р)]

<

(выполним преобразования и применим правило треугольника для норм)

< др + | |а(Л) х0|| +

В-1 (Л){к(а(Л)(с, р), Л) + а2 (Л)(-а(Л)А - «(Л))х0 + £(Л) + а(Л)«Л)(с, р)}

а(Л)

Далее из условий 2), 4), 6) следствия 1 и (8) несложно заметить, что второе и третье слагаемые последнего выражения при S "Л® 0 стремятся к нулю. Следовательно, выбором Л е £0 их можно сделать в сумме сколь угодно малыми. Но тогда 3 секториальная

окрестность нуля £0 е £0 такая, что "1 е £0 будет выполняться:

||а(Л) х0|| +

В-1 (Л){к(а(Л)(с, р), Л) + а2 (Л)(-а(Л)А - «Л))х0 + £(Л) + а(Л)«Л)(с, р)}

а(Л)

< (1 - д)р

и значения оператора Ф(У,1) не выходят из шаров ||Ф(К,1) - (с,р)|| <р "1е £0 при IV - (с ,р)|| <р.

Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (10) "1 е £0 в шаре IV - (с,р)|| <р будет иметь единственное решение такое, что V(1) ® (с, р) при £0 " 1 ® 0. И это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле Vn = Ф(Уn-1,Л) при любом начальном приближении из шара IV-(С,р)||<р. Но тогда и уравнение (8) "1 е £0 будет иметь единственное решение вида х(1) = а(1)У(1) в шаре ||х - а^Хс, р)|| < а(1)р, где V(1) ® (с, р) при £0 " 1 ® 0. Следствие доказано.

Пример 1. Покажем, что уравнение

11

| tsх(s) ds + хъ (^) ds - / (^, 1) = 0,

00

где х^) е С[01], /^,1) = ш(1 )12, ш(1) е С[01], £ - проколотая окрестность нуля, имеет непрерывное решение х1^) ® 0 при £ " 1 ® 0.

Обозначим левую часть уравнения Г(х, 1) . Здесь дифференциал Фреше имеет вид:

11 Гх (х, 1)И = | tsh(s)ds + Лh(t) - 3х2 (s)h(s)ds .

При этом

Из(12) очевидно, что

рх-\0,Л)И ^-1(0,Л) = о

к(г)

Зі

О Л

л (зл+1)Л 0

при Я "Л® 0.

І sh(s)ds.

(12)

0

0

Проверим, что выполняются все условия теоремы 1. Действительно, F(х,Л) и ¥х (X, Л) непрерывные операторы по х и Л. Далее Fx (0,1) непрерывно обратим при Л ф 0 и вы-

полнена оценка

= O

, 0 < ll < r . Следовательно условие 2) теоремы 1 вы-

полнено. Проверяем условие 3) теоремы 1:

(х,Л) - Fx (0,1)1 =

31J" x2 (s)[-] ds

< L(1)\xll

где Ь(Л) = СЛ, С -константа, и Ь(Л) ® 0 при £ "Л® 0. Проверяем последнее условие теоремы 1. Покажем, что при

3

Vo(t) = m(t)-

-J sm(s)ds

3Л +10

уравнение (3) из условия 4) теоремы 1 будет иметь требуемое решение х (Л) такое, что будет выполняться оценка х (Л) = о(Л) при £ " Л ® 0. Выпишем вид уравнения (3) для

(13)

рассматриваемого примера:

1

J tsx(s) ds + 1x(t) = 1J tsV0(s) ds + lV0(t)-1 J V0 (s) ds - m(t)1 = 0. (14)

Если подобрать V0(t) так, чтобы выполнилось равенство:

J tsV0 (s) ds + 1V0 (t) = m(t )1,

то уравнение (14) примет вид:

J tsx(s) ds + 1x(t) = -1J V03 (s) ds,

решением которого будет:

x (t):

313t 61 + 2

-1

J V03(s)ds.

(15)

(16)

(17)

/0

Осталось получить V0(t). Решив уравнение (15), получим выражение (13). Далее, очевидно, что условие 4) теоремы 1 выполнено, поскольку уравнение (14) имеет решение вида (16), где V0(t) имеет вид (13) и выполнена оценка х*(Л) = o(l) при S " Л® 0. Следовательно, по теореме 1 данное уравнение будет иметь непрерывное решение х(Л) ® 0 при

S "Л® 0.

Литература

1. Леонтьев Р.Ю. Теоремы о неявном операторе в секториальных квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных уравнений // Вестник Южно-Уральского государственного университета. -2008. - № 15 (115). - С. 37 - 41.

2. Сидоров Н.А. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические регуляри-заторы // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. - Донецк, 2004. - С. 161 - 164.

References

1. Leontyev R.Yu. Implicit Function Theorem in Sectorial Quasi-neighborhoods and minimal branches of solutions // Vestnik Yuzhno-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2008. - № 15(115). - P. 37 - 41.

2. Sidorov N.A. Minimal branches of solutions of nonlinear equations and asymptotic normalizers // Neli-neynie granichnie zadachi: Sb. nauchn. tr. - Donetsk, 2004. - P. 161 - 164.

0

1

0

0

0

0

0

0