Теорема Гельфанда - Мазура для c*-алгебр над кольцом измеримых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2006, Том 8, Выпуск 2

УДК 517.98

ТЕОРЕМА ГЕЛЬФАНДА - МАЗУРА ДЛЯ С*-АЛГЕБР НАД КОЛЬЦОМ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ

К. К. Кудайбергенов

Установлено, что всякая С*-алгебра классов эквивалентности измеримых сечений, элементы которого с единичным носителем обратимы, изоморфна алгебре измеримых функций.

Как известно, одним из важных результатов в теории банаховых алгебр является теорема Гельфанда — Мазура о том, что всякая банахова алгебра в которой всякий ненулевой элемент обратим, изометрически изоморфна полю комплексных чисел.

В последнее время интенсивно изучаются модули Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций (см. [1-4]). При этом основными методами исследования являются: метод булевозначного анализа и метод измеримых банаховых расслоений. Применение булевозначного анализа хорошо отражено в монографии А. Г. Кусраева [2], а метод измеримых банаховых расслоений в работе А. Е. Гутмана [1]. Исследование циклических комплексных С*-алгебр, наделенных модульной структурой над алгеброй Стоуна с использованием методов булевозначного анализа предложено в работе [3] (см. также [4]). В [3] для С*-алгебр, наделенных модульной структурой над алгеброй Стоуна с использованием методов булевозначного анализа были получены векторные аналоги теорем Гельфанда — Мазура и Глисона — Желязко — Кахана. А в [5], используя метод измеримых банаховых расслоений, было дано представление С*-алгебр над кольцом измеримых функций в виде измеримого расслоения классических С *-алгебр.

В данной работе доказывается, что всякая С*-алгебра Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций, каждый элемент которой с единичным носителем обратим, изометрически *-изоморфна алгебре измеримых функций.

Пусть (П, £, — пространство с полной конечной мерой, Ь° = Ь0(П) — алгебра всех комплексных измеримых функций на (П, £, (равные почти всюду функции отождествляются).

Рассмотрим векторное пространство Е над полем С комплексных чисел.

Определение 1 [4]. Отображение || ■ || : Е —► Ь° называется £0-значной нормой на Е, если для любых ж, у £ Е и А £ С имеют место соотношения:

1) ||ж|| ^ 0; ||ж|| =0 ^ ж = 0;

2) ||Аж|| = |А|||ж||;

3) ||ж + у|| < ||ж|| + ||у||.

Пара (Е, || ■ ||) называется решеточно-нормированным пространством (РНП) над . Говорят, что РНП Е ^-разложимо, если для любого ж £ Е и для любого разложения ||ж|| = е1 + б2 в сумму дизъюнктных элементов найдутся такие Ж1, Ж2 £ Е, что ж = Ж1 + Ж2 и ||ж11 = б1, ||ж21 = б2. Сеть {жа} элементов из Е называется (бо)-сходящейся к ж £ Е,

© 2006 Кудайбергенов К. К.

если ||жа — ж|| — 0 в Ь0. Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над Ь0 называется (бо)-полное ^-разложимое РНП над Ь0 (см. [2, 4]).

Пусть Ы — произвольная *-алгебра над полем С комплексных чисел и Ы является модулем над Ь0, причем (Аи)* = Аи*, (Ап)« = А(то) = п(А^) для всех А £ Ь0, и, V £Ы. Рассмотрим на Ы некоторую Ь0-значную норму || ■ ||, наделяющую Ы структурой пространства Банаха — Канторовича, в частности, ||Ап|| = |А|||и|| для всех А £ Ь0, п £Ы.

Определение 2 [5]. Ы называется С *-алгеброй над Ь0, если для всех и, V £Ы имеют место соотношения:

1) ||п ■ ^ ||п||||«||;

2) ||и*|| = ||и||;

3) ||п* ■ и|| = ||и||2.

Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке и £ П некоторую С*-алгебру (Ы(и), || ■ ||ш). Сечением X называется функция и, определенная почти всюду в П и принимающая значение и(и) £ Ы(и) для всех и £ и, где и есть область определения п.

Пусть Ь — некоторое множество сечений.

Определение 3 [5]. Пара (X, Ь) называется измеримым расслоением, С *-алгебр, если

1) А1С1+А2с2 £ Ь для всех А1, А2 £ С и С1, с2 £ Ь, где А1С1+А2с2 : и £ doш С1 Пdoш с2 — А1С1(и) + А2С2 (и);

2) функция ||с|| : и £ domс — ||с(и)||ш измерима при всех с £ Ь;

3) для каждой точки и £ П множество {с(и) : с £ Ь,и £ doшс} плотно в Ы(и).

4) если и £ Ь, то и* £ Ь, где и* : и £ ёош и — и(и)*;

5) если и, V £ Ь, то и ■ V £ Ь, где и ■ V : и £ domи П dom V — и(и) ■ «(и).

п

Сечение в называется ступенчатым, если в(и) = ^ Ха(и)с»(и), где с» £ Ь, А» £ Е,

¿=1

г = 1,..., п. Сечение и называется измеримым, если найдется такая последовательность {вп} ступенчатых сечений, что ||вп(и) — и(и)||ш — 0 почти для всех и £ П.

Пусть М(П, X) — множество всех измеримых сечений. Символом Ь0(П, X) обозначим факторизацию М(П, X) по отношению равенства почти всюду. Через и обозначим класс из ^(П^), содержащий сечение и. Отметим, что функция и — ||и(и)||ш измерима для любого и £ ). Класс эквивалентности, содержащий функцию ||и(и)||ш, обозначим

через ||и||. Положим и ■ V = и(и) ■ v(и) и и* = и(и)*.

В работе [5] доказано, что (Ь0(П^), || ■ ||) является С*-алгеброй над Ь0.

Пусть £'(П) алгебра ограниченных измеримых функций на (П, Е,^), Ь'(П) — факторизация £'(П) по отношению равенства почти всюду. Положим

¿'(П^) = {и £ ) : ||и(и)||ш £ ¿'(П)}.

Элементы из ¿'(П, X) называются существенно ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом .¿"(П^).

Рассмотрим произвольный лифтинг р : Ь'(П) — £'(П) (см. [1]).

Определение 4 [5]. Отображение 1Х : ^(П^) — ¿'(П^) называет-сявекторнозначным лифтингом (ассоциированным с лифтингом р), если для всех V, V £ Ь'(П, X) и А £ Ь'(П) имеют место следующие соотношения:

1) 1х(V) £ V, ёош 1Х(V) = П;

2) |1х(й)(и)|ы = р(||й||)(и);

3) 1Х (V + V) = 1Х (V) + 1Х (V);

Теорема Гельфанда — Мазура для С *-алгебр над кольцом измеримых функций 2-47

4) 1х (Ай) = р(А)1х (й);

5) 1х (й*) = 1х (й)*;

6) 1х (йй) = 1х (й)1х (г));

7) множество {1х(й)(ш) : й £ )} плотно в и(ш) для всех ш £ П.

Пусть и и V — С*-алгебры над Оператор Т : Ы ^ V называется:

(a) Ь°-линейным,, если Т (ах + ву) = аТ (ж) + вТ (у) для всех а, в £ и ж, у £Ы;

(b) изометрией, если ||Т(ж) У = ||ж|| для всех ж £ Ы;

(c) *-гомоморфизмом, если Т(жу) = Т(ж)Т(у) и Т(ж*) = Т(ж)* для всех ж, у £ Ы.

Говорят, что Ы изометрически *-изоморфно V, если существует Ь°-линейный изометрически *-изоморфизм из Ы на V.

Известно [5, теорема 2], что для всякой С*-алгебры Ы над существует измеримое расслоение С*-алгебр (X, £) такое, что Ы изометрически *-изоморфна ), и на

) существует лифтинг, ассоциированный с некоторым числовым лифтингом р.

Далее везде Ь°(П, X) есть С*-алгебра над с единицей е и ||е|| = 1, где 1 — единица в Заметим, что на ) можно ввести числовую норму, полагая

||ж||го = ж £ ).

Так как (0,Х), || ■ ||) ПБК над Ьи(П), то из [4, теорема 7.1.2(1)] следует, что ), || ■ ||и) банахово пространство. Кроме того, для ж, у £ ) имеем

||ж ■ уУ~ = ||||ж ■ уННь~(п) < < ||||ж||||ь~(п)||||у||||ь~(п) = У^ЫМИ

||ж ' ж||и = ||||ж ' ж||||Ьто(П) = ||||ж| = ||||ж||||Ьто(П) = ||ж|и.

Следовательно, ), || ■ ||и) является С*-алгеброй над С.

Для ж £ Ь°(П, X) положим Ах = {ш £ П : ||ж||(ш) = 0}. Идемпотент пх = %ах называется носителем элемента ж. Если пх = 1, то ж называется элементом с единичным носителем. Отметим, что носитель элемента ж это наименьший идемпотент из V со свойством пхж = ж, где V — полная булева алгебра всех идемпотентов из

Следующий результат является векторным аналогом теоремы Гельфанда — Мазура.

Теорема 1. Пусть Ь°(П, X) — С *-алгебра над Ь°. Если всякий элемент из (П, X) с единичным носителем обратим, то ^(П^) изометрически *-изоморфно .

< Пусть ж £ (П^) и ж = аа* ^ 0. Покажем, что ж = ||ж||е. Пусть у = ||ж||е — ж. Положим Ау = {ш £ П : ||у||(ш) =0} и пу = \АУ. Элемент пу^е + пуу является элементом с единичным носителем. Поэтому существует г £ £°(П, X) такое, что е = (п^е + пуу)г = г(пУ~е + пуу). Отсюда почти для всех ш £ Ау имеет место у(ш)г(ш) = г(ш)у(ш) = е(ш). Следовательно, почти для всех ш £ Ау имеем

(||ж(ш)||ш е(ш) — ж(ш))г(ш) = г(ш)(||ж(ш)||ш е(ш) — ж(ш)) = е(ш). (1)

Так как ж = аа* ^ 0, то ж(ш) = а(ш)а*(ш) ^ 0 почти для всех ш £ П. Поэтому из [6, теорема 11.28] число ||ж(ш)||ш почти для всех ш £ П принадлежит спектру элемента ж(ш) £ Ы(ш), где Ы(ш) комплексная С*-алгебра, соответствующая точке ш £ П в измеримом расслоений С*-алгебр над П. Отсюда в силу (1) вытекает, что пу = 0. Следовательно, | ж| е — ж = у = 0 или ж = | ж| е.

Всякий элемент ж комплексной С*-алгебры Lи(П,X) можно представить в виде

ж = ¿1ж1 + ¿2ж2 + ¿зжз + ¿4ж4,

где ^ е С, ж, е Ь^(П,Х), ж, ^ 0, г = 1,..., 4. Поэтому ж = ^Цж^е + ¿2||ж2||е + ¿зНжзНе + ¿4||х4||е. Отсюда ж = Аже, где Аж = ¿1 Нж1 Н + ¿гЦжгЦ + ¿з||жз|| + ¿4||ж4Н е (П).

Так как ||ж|| = |Ах|||е|| = |АХто ж ^ Ах изометрия из Ь^(П,Х) на Ьте(П).

Для ж, у е (П,Х) имеем жу = АхеАуе = АХАУе и ж* = (Ахе)* = Ахе. Поэтому соответствие ж ^ Ах есть *-изоморфизм из Ь^(П,Х) на Ьте(П).

Так как Ьте(П, X) (бо)-плотно в Ь°(П, X), то соответствие ж ^ Ах имеет продолжение на Ь°(П,Х), которое будет изометрическим *-изоморфизмом из Ь°(П,Х) на Ь°. >

Следствие 2. Пусть Ь^(П,Х) есть С *-алгебра над Ьте(П). Если всякий элемент из Ь^(П,Х) с единичным носителем обратим в Ь°(П,Х), то Ь^(П,Х) изометрически *-изоморфно Ьте(П).

Приведем еще один векторный аналог характеризации поля С в классе банаховых алгебр (ср. с [6, теорема 10.19]).

Теорема 3. Пусть Ь°(П,Х) есть С*-алгебра над Ь и существует М е Ь° такое, что для всех ж, у е Ь°(П,Х) имеет место неравенство ||ж||||у|| ^ М||жу|• Тогда Ь°(П,Х) изометрически *-изоморфно Ь°.

< Случай 1. М е Ьте(П). Тогда существует с е Ж, с > 0 такое, что М ^ с1. Отсюда для всех ж, у е Ьте(П, X) имеет место неравенство

||ж||||у|| < сНжуН. (2)

Пусть и е П. Применяя числовой лифтинг р на Ьте(П) к (2), имеем

р(||(ж)||)(и)р(||у||)(и) < ср(||жу||)(и). (3)

Используя свойства 2) и 6) векторнозначного лифтинга 1х на Ь^(П,Х), из (3) получим

||1х(ж)(и)||„||1х(у)(и)||„ < с||1х(ж)(и)1х(у)(и)||„. (4)

Из свойства 7) лифтинга 1х множество = {1х (ж)(и) : ж е Ь^(П,Х)} плотно в и (и). Так как вш (жш, уш) = || жш Н Ш Н уш Н Ш с|жшуш Н Ш непрерывная функция на и (и) X и (и) , а из (4) следует, что вШ ^ 0 на X , то вШ ^ 0 на и (и) X и (и). Это показывает, что для всех жШ, уШ е и (и) верно

||жШ Н<Ш ||уШ НШ ^ с||жШ уШ НШ •

Поэтому из [6, теорема 10.19] следует, что и (и) изоморфно С. Теперь из [7, теорема 1] вытекает, что Ь°(П,Х) изоморфно Ь°. Отсюда для каждого ж е Ь°(П,Х) найдется такое Ах е Ь°, что ж = Ахе. Как и в теореме 1 показывается, что соответствие ж ^ Ах является изометрическим *-изоморфизмом из Ь°(П,Х) на Ь°.

Случай 2. М е Ь° \ Ь^(П). При ж = у = е из неравенства ||ж||||у|| ^ М||жу|| вытекает М ^ 1. Для каждого п е N положим

Пп = {и е П: п ^ М(и) <п + 1}, = %пп.

Тогда пп = 1 и ппМ ^ Пп(п + 1) для каждого п е N. Отсюда для всех ж, у е

Ь°(П,Х),п е N имеет место

Пп||ж||||у|| < Пп(п + 1)||жу||.

Из случая 1 вытекает, что ппЬ°(П,Х) изометрически *-изоморфно ппЬ°, а так как по построению \/п=1 пп = 1 и = 0 при г = ^, то Ь°(П,Х) изометрически *-изомор-фна Ь°. >

Теорема Гельфанда — Мазура для C*-алгебр над кольцом измеримых функций 2-49

Следствие 4. Пусть X) — С*-алгебра над и существует М £ Ь0 такое,

что для всех х, у £ ) имеет место неравенство ||х||||у|| ^ М\\ху\\. Тогда (П,Х)

изометрически *-изоморфно Ь^(^).

Автор благодарен профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.

Литература

1. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно-нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН.—1995.—Т. 29.—С. 63211.

2. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.

3. Кусраев А. Г. Булевозначный анализ инволютивных банаховых алгебр.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1996.—96 с.

4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

5. Ганиев И. Г., ЧилинВ. И. Измеримые расслоения С*-алгебр // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 1.—С. 35-38.

6. Рудин У. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1977.—442 с.

7. Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К. Конечномерные модули над кольцом измеримых функций // Узб. мат. журн.—2004.—№ 4.—С. 3-9.

Статья поступила 18 мая 2005 г.

кудайбергенов каримберген кадирбергенович, к. ф.-м. н. Узбекистан, Ташкент, Институт математики АН Республики Узбекистан E-mail: [email protected]