ГНС-представление c*-алгебр над кольцом измеримых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал апрель-июнь, 2007, Том 9, Выпуск 2

УДК 517.98

ГНС-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С*-АЛГЕБР НАД КОЛЬЦОМ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ

В. И. Чилин, И. Г. Ганиев, К. К. Кудайбергенов

Устанавливается вариант теоремы Гельфанда — Наймарка — Сигала для С '-модулей над кольцом измеримых функций.

Ключевые слова: Модуль Гильберта — Капланского, пространство Банаха — Канторовича, измеримое расслоение С '-алгебр.

1. Введение

Одним из важных результатов в теории банаховых алгебр является теорема Гельфанда — Наймарка — Сигала, описывающая С*-алгебру и над полем комплексных чисел С как равномерно замкнутую *-подалгебру алгебры всех ограниченных линейных операторов, действующих на некотором гильбертовом пространстве.

В связи с развитием общей теории С*-алгебр Банаха — Канторовича над кольцом измеримых функций естественно возникает задача о варианте теоремы Гельфанда — Наймарка — Сигала для таких С*-модулей. Структурная теория С*-модулей начинается с работ И. Капланского [1], использовавшего эти объекты для алгебраического подхода к теории Ш *-алгебр. Рассмотрение С *-алгебр, АШ *-алгебр и Ш *-алгебр как модулей над их центрами, позволили использовать методы булевозначного анализа для описания различных свойств указанных классов *-алгебр (см., например, Г. Такеути [2] и А. Г. Кусраев [3-5]). С*-модули являются полезными примерами модулей Банаха — Канторовича, теория которых в настоящее время активно развивается (см., например, [5, 6]). Важным инструментом при изучении таких модулей Банаха — Канторовича, наряду с булевозначным анализом, стала теория непрерывных и измеримых банаховых расслоений [6]. В частности, это позволило представить С*-модуль над кольцом измеримых функций в виде измеримого расслоения классических С*-алгебр [7], что дает возможность получать свойства С*-модулей с помощью «склейки» соответствующих свойств С*-алгебр над полем С. В настоящей работе такой подход реализуется при доказательстве варианта теоремы Гельфанда — Наймарка — Сигала для С *-модулей.

2. Предварительные сведения

Пусть (П, — измеримое пространство с полной конечной счетно-аддитивной

мерой у, Ь° = Ь°(П) — алгебра всех комплексных измеримых функций на (П, £, (равные почти всюду функции отождествляются), Е — комплексное векторное пространство.

© 2007 Чилин В. И., Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К.

Отображение || ■ || : Е —► называется Ь0-значной нормой на Е, если для любых ж, у € Е, А € С имеют место соотношения:

||ж|| ^ 0; ||ж|| =0 ^^ ж = 0; ||Аж|| = |А|||ж||; ||ж + у|| ^ ||ж|| + ||у||.

Пара (Е, || ■ ||) называется решеточно-нормированным пространством (РНП) над Ь0. Говорят, что РНП Е й-разложимо, если для любого ж € Е и для любого разложения ||ж|| = А1 + А2 в сумму неотрицательных дизъюнктных элементов найдутся такие Ж1, Ж2 € Е, что ж = ж1 + ж2 и ||ж11 = А1, ||ж21| = А2. Сеть (жа)а6А элементов из Е называется (Ьо)-сходящейся к ж € Е, если сеть (||жа — ж||)а6А (о)-сходится к нулю в Ь0 (напомним, что (о)-сходимость сети из Ь0 равносильна ее сходимости почти всюду). Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над Ь0 называется (бо)-полное й-разложимое РНП над Ь0 [3, 5].

Пусть и — произвольная *-алгебра над полем С комплексных чисел и и является модулем над Ь0, причем (Аи)* = Аи*, (Аи)« = А(и«) = и(А«) для всех А € Ь0, и, V € и. Рассмотрим на и некоторую Ь0-значную норму || ■ ||, наделяющую и структурой пространства Банаха — Канторовича, в частности, ||Ап|| = |А|||и|| для всех А € Ь0, и € и.

Определение 2.1 [7]. и называется С *-алгеброй над Ь0, если для всех и, V € и имеют место соотношения: ||и ■ «|| ^ ||и||V|; ||и* ■ и|| = ||и||2.

Если и — С*-алгебра над Ь0 с единицей е и ||е|| = 1, где 1 — единица в Ь0, то назовем и унитальной С*-алгеброй над Ь0.

Приведем примеры С*-алгебр над Ь0. Рассмотрим произвольный модуль А над Ь0. Отображение (■, •) : А х А ^ Ь0 называется Ь0-значным внутренним произведением, если для всех ж, у, г € А, А € Ь0 имеют место следующие соотношения: (ж, ж) ^ 0; (ж, ж) =0 ^ ж = 0; (ж, у) = (у, ж); (Аж, у) = А(ж, у); (ж + у, г) = (ж, г) + (у, г).

Если (■, ■) : А х А ^ Ь0 есть Ь0-значное внутреннее произведение, то формула ||ж|| = л/(ж, ж) определяет й-разложимую Ь0-значную норму на А. Пара (А, (■, ■)) называется модулем Гильберта — Капланского, если (А, ||-||) ПБК над Ь0. Аналогично определяется модуль Гильберта — Капланского над [5].

Пусть Е и Е ПБК над Ь0 Оператор Т : Е ^ Е называется Ь0-линейным

(Ь^(^)-линейным), если Т(аж + ву) = аТ(ж) + вТ(у) для всех а, в € Ь0, ж, у € Е (а, в € Оператор Т : Е ^ Е называется Ь0-ограниченным (Ь^(^)-ограниченным), если существует с € Ь0 (соответственно, с € такое, что ||Т(ж)|| ^ с|ж| для всех ж € Е.

Для Ь0-линейного Ь0-ограниченного оператора Т положим

||Т|| = 8пр{||Т(ж)|| : ||ж|| < 1}.

Имеет место нормативное неравенство ||Т(ж)|| ^ ||Т||||ж||,ж € Е [5].

Если А — модуль Гильберта — Капланского над Ь0, то Аь = {ж € А : ||ж|| € есть модуль Гильберта — Капланского над Обозначим через В (А)

(соответственно, В(Аь)) множество всех Ь0-линейных Ь0-ограниченных (соответственно, Ьте(^)-линейных Ь^(^)-ограниченных) операторов на модуле Гильберта — Капланского А над Ь0 (соответственно, Аь). Для каждого оператора Т € В (Аь) существует сопряженный оператор Т * € В (А) удовлетворяющий соотношению

(Т(ж), у) = (ж, Т*(у)), ж, у € Аь, (1)

при этом ||Т*|| = ||Т||, ||Т*Т|| = ||Т||2, и поэтому В(Аь) есть С*-алгебра над [5].

Покажем, что для всякого Т € В (А) существует оператор Т* € В(А), удовлетворяющий соотношению (1) при всех ж, у € А.

Пусть Т € В(А). Без ограничения общности, можно считать, что ||Т|| £ (П) (в противном случае следует рассмотреть 1 +Т||Т||Тогда оператор Б — сужение Т на Аь,

переводит А в себя, т. е. Б € В(Аь). Поэтому существует сопряженный к Б оператор

Б * £ В(Аь). Поскольку Аь — (бо)-плотно в А, то Б * допускает единственное продолжение

до Ь0-линейного Ь0-ограниченного оператора на А, которое обозначим через Т*. Пусть . (Ьо) (Ьо)

х, у, £ А. Возьмем такие хп, уп € Аь, что хп —► ж, уп —► у. Имеем

<Т(х),у) = 11т (Т(хп),уп) = 11т (Б(хп),Уп) = 11т (хп,Б*(уп)) = (х,Т*(у)),

т. е. (Т(х),у) = <х,Т*(у)).

Так как каждый оператор Т € В (А) можно представить как (бо)-предел последовательности операторов Тп € В(А) с ||Т|| € Ьте(П), то В(А) является (Ьо)-пополнением В(Аь). Поэтому В (А) — C *-алгебра над Ь0.

Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш € П некоторую комплексную С*-алгебру (и(ш), || ■ ||и(ш)), где по умолчанию будем считать, что и(ш) = {0} для всех ш € П. Сечением X называется функция и, определенная почти всюду в П и принимающая значение и(ш) € и (ш) для всех ш € ^ш(и), где doш(u) есть область определения сечения и.

Пусть Ь — некоторое множество сечений.

Определение 2.2 [7]. Пара (X, Ь) называется измеримым расслоением С *-алгебр, если:

1) А1С1 + А2с2 € Ь для всех А1, А2 € С и С1, с2 € Ь, где

А1С1 + А2С2 : ш € dom(cl) П doш(c2) ^ А1С1(ш) + А2С2(ш);

2) функция ||с|| : ш € doш(c) ^ ||с(ш)||и(ш) измерима при всех с € Ь;

3) для каждой точки ш € П множество {с(ш) : с € Ь, ш € dom(c)} плотно в и (ш).

4) если и € Ь, то и* € Ь, где и* : ш € doш(u) ^ и(ш)*;

5) если и, V € Ь, то и ■ V € Ь, где и ■ V : ш € dom(u) П doш(v) ^ и(ш) ■ «(ш).

п

Сечение в называется ступенчатым, если в(ш) = ^ Ха(ш)с»(ш), где с» € Ь, А» € £,

¿=1

г = 1,..., п. Сечение и называется измеримым, если найдется такая последовательность (вп)пем ступенчатых сечений, что ||вп(ш) — и(ш)||и(ш) ^ 0 для почти всех ш € П.

Пусть М(П, X) — множество всех измеримых сечений. Символом Ь0(П, X) обозначим факторизацию М(П, X) по отношению равенства почти всюду. Через и обозначим класс из Ь0(П, X), содержащий сечение и € М(П, X). Отметим, что функция ш ^ ||и(ш)||и(ш) измерима для любого и € М(П, X). Класс эквивалентности, содержащий функцию ||и(ш)||и(ш) обозначим через ||и||.

Положим и■ V = и(ш) ■ «(ш) и и* = и(ш)*. В [7] доказано, что относительно введенных алгебраических операций (Ь0(П, X), || ■ ||) является С*-алгеброй над Ь0.

Пусть £те(П) — множество всех ограниченных комплекснозначных измеримых функций на (П, и

Ь~(П) = {/ € Ь0 : ЗА € Ж, А > 0, |/1 < А1}. Положим £~(П, X) = {и € М(П, X) : ||и(ш)|и(ш) € £~(П)} и

Ь~(П,Х) = {V € Ь0(П, X) : ||V! € Ь~(П)}.

Рассмотрим произвольный лифтинг р : ^ £те(П) [5, 6].

Определение 2.3 [7]. Отображение 1& : X) ^ ^^(П, X) называется

векторно-значным лифтингом (ассоциированным с лифтингом р), если для всех й, V £ X) и А £ имеют место следующие соотношения:

1) ¿х(й) £ й, аош (й) = П;

2) \\1х(й)(ш)\\и(и) = р(НйН)С^);

3) 1х (й + V) = ¿х (V) + ¿х (V);

4) ¿х(Ай) = р(А)1х(V);

5) ¿х(й*) = ¿х(й)*;

6) ¿х(йй) = 1х(й)1х(V);

7) множество {¿х(й)(ш) : й £ X)} плотно в и(ш) для всех ш £ П.

В [7, теорема 2] показано, что для всякой С*-алгебры и над Ь0 существует измеримое расслоение С*-алгебр (X, Ь) такое, что и изометрически *-изоморфна Ь0(П, X), и на X) существует лифтинг, ассоциированный с некоторым числовым лифтингом р. Покажем, что любая С*-алгебра над *-изоморфна С*-подалгебре в унитальной С*-алгебре над Ь0. Пусть (X, Ь) измеримое расслоение С*-алгебр с векторнозначным лифтингом, Ь0 ф Ь0(П, X) = {(а, ж) : а £ Ь0,ж £ Ь0(П, X)} — прямая сумма модулей и Ь0(П, X). Операцию умножения на Ь0 ф Ь0(П, X) определим, как обычно, следующим образом:

(а, ж)(в, у) = (ав, ау + вж + жу).

Ясно, что (1, 0) единица на Ь0фЬ0(П, X). Покажем, что на Ь0фЬ0(П, X) существует Ь0-значная норма превращающая Ь0фЬ0(П, X) в С*-алгебру над Ь0. Положим СфX : ш ^ С ф и(ш), где С ф и(ш) унитализация и(ш), ш £ П. Через Ь^фх обозначим множество всех отображений вида ш £ П ^ (р(а)(ш), ¿х(ж)(ш)), где (а, ж) £ ф X).

Покажем, что (С ф X, £с®х) измеримое расслоение С*-алгебр с векторнозначным лифтингом. Достаточно показать, что

ш ^ \\(р(а)(шУх(ж)(ш))\\ш, (а,ж) £ Ь~(П) ф ¿~(П, X),

— измеримая функция, поскольку остальные условия из определения 2.2 непосредственно следуют из свойств р и ¿х •

Согласно [8, § 2.1, с. 29] С*-норма на С ф и (ш) определяется по формуле

\ \ ( аш , жш ) \ \ Ш - йир{\ашуш + ушжш\\и : уш £ и(ш), \\уш\\ш ^ 1},

где (аш, жш) £ Сфи(ш). Пусть а £ £те(П), ж £ X). Обозначим аш = р(а)(ш), жш =

¿х(ж)(ш). Так как \\ау + уж\\ ^ |а|\у\ + \\у\\\\ж\\ ^ |а| + \\ж\\ £ Ь^(П) для всех у £ X), \\у\\ ^ 1, то существует

аир{\\ау + уж\\ : у £ ¿~(П, X), \\у\\ < 1} = с(а,ж) £ Ь~(П).

Покажем, что \\(аш, жш)\\ш = р(с(а,ж))(ш) для всех ш £ П.

Фиксируем ш £ П и е > 0. Возьмем такой элемент уш £ и(ш), что \\уш\\ш ^ 1. Поскольку множество {¿х (й)(ш) : й £ X)} плотно в и (ш), то существует такое

г £ (П, X), \\г\\ ^ 1, что для гш = ¿х(г)(ш) имеет место неравенство

\\аи У и + уи жи (аи ги + ги жи ) \\ш ^ ( |аи 1 + \\жш \\ш ) \\ уш гш \\ < е.

Тогда ||ашуш + ушжш\\ш ^ \\ашгш + гшжш\\ш + \\ аш уш + уш жш (аш гш гшжш) \\ш < р(\\аг + гж\\)(ш) + е. В силу произвольности е > 0 получим, что \\(аш,жш)\\ш ^ р(с(а,ж))(ш).

Так как единичный шар в X) цикличен [4], то существует такое у £ X),

||у|| ^ 1, что с(а, x) ^ ||ау + уж У + е1. Применяя числовой лифтинг к этому неравенству получим р(с(а, ж))(ш) ^ ||аш (у)(ш) + (у)(ш)жШ||ш + е для всех ш £ П. Следовательно, ||(аш,жш)||ш = р(с(а,ж))(ш) для всех ш £ П. Это означает, что функция ш ^ ||р(а)(ш),1х(ж)(ш)||Ш измерима.

Пусть ¿°(П, СфХ) — C*-алгебра над ¿те(П), построенная по измеримому расслоению C*-алгебр (C 0 X,Lcex)• Для (а,ж) £ ¿~(П) 0 L~(fi, X) положим ||(а,ж)|| = ||(аш, жш)||ш. Тогда ф L^ (П, X) превращается в C*-алгебру над Ясно, что

отображение ж £ X) ^ (0, ж) £ ¿°(П, Cф X) есть инъективный C*-гомоморфизм,

а отображение IceX((а, ж)) = (р(а)(ш), (ж)(ш)) является лифтингом на Cф X).

Тем самым C ф X — измеримое расслоение C*-алгебр с векторнозначным лифтингом, причем соответствующая C*-алгебра унитальна, а C*-модуль ¿°(П, X) *-изоморфен C*-подалгебре в ¿°(П, C ф X).

Таким образом, при обсуждении варианта теоремы Гельфанда — Наймарка — Сигала, для C*-алгебр над L° можно считать, что исходная C*-алгебра над L° является унитальной и имеет вид ¿°(П, X).

¿°-линейный функционал f : U ^ L° называется: положительным (f ^ 0), если f (жж*) ^ 0 для всех ж £ U; L°-состоянием, если f ^ 0 и ||f || = 1.

Следующий результат является аналогом известного факта о существовании разделяющего семейства состояний C*-алгебр для случая C*-алгебр над L°.

Предложение 2.4. Пусть U — C*-алгебра над L°, а £ U. Тогда на U существует такое ¿^-состояние что ^(a*a) = ||a||2.

< Без ограничения общности, можно считать, что ||а|| £ (в противном случае

следует рассмотреть а/(1 + ||а||)). Пусть B = {ае+ва*а : а, в £ ¿те(П)}. На B определим ¿те(П)-значный функционал f по следующему правилу:

f (ае + ва*a) = а + в||a||2 (а,в £ L~(fi)).

Покажем корректность определения f.

Случай 1. Элементы {е, а*а} — V-линейно независимы, т. е. для любых п £ V и Ai,A2 £ L° из n(Aie + A2a*a) = 0 вытекает пА1 = пА2 = 0 [3, с. 197]. В этом случае элемент ае+ва*а однозначно определяется через а, в. Поэтому f (ае+ва*а) = а+в||а||2 однозначно определяется через а, в.

Случай 2. Элементы {е, а*а} — V-линейно зависимы. Без ограничения общности, можно считать, что a*a = Ае, А £ ¿те(П), А ^ 0. Тогда f (ае+ва*а) = а+в||а||2 = а+вА, и в этом случае f определено корректно.

Зафиксируем ш £ П и а, в £ Положим аш = р(а)(ш),вШ = р(в)(ш),еШ =

(е)(ш),аШ = 1х(а)(ш). Поскольку аШаш — положительный элемент C*-алгебры U(ш), то число ||аЩаш||и(ш) принадлежит спектру 5р(аЩаш) элемента аШаш. Поэтому имеет место неравенство

|аш + вш||аш||U(ш)| ^ sup {|аш + вшАш| : Аш £ 5р(а* аш)} .

Согласно формуле для спектрального радиуса нормального элемента ашеш + вшаЩ,аш £ U (ш) имеем

8ир{|аш + вшАщ| : Ащ £ 5р(аЩаш)} = ||ашеш + вшаЩаш||и(ш).

Поэтому |аш + вш||аш||U(ш)| ^ || аш еш + вша Шаш||и(ш). Отсюда и из равенства аЩ = (а*)(ш) вытекает, что |а + в||а||2| ^ ||ае + ва*а||. Это означает, что f является ¿те(П)-ограниченным на B и ||f || ^ 1. Но f (е) = 1, следовательно, ||f || = 1 = f (е). По теореме

Хана — Банаха — Канторовича / имеет продолжение ^ на и, при этом ||^>|| = 1 = f (е) = ^>(е). Это означает, что ^ есть Ь°-состояние на и и ^>(а*а) = /(а*а) = ||а||2. >

3. Основные результаты

Отображение Ф : и ^ V между двумя *-алгебрами и и V назовем ^гомоморфизмом, если для всех ж, у £ и, а, в € имеют место соотношения:

Ф(аж + ву) = аФ(ж)+ вФ(у); Ф(жу) = Ф(ж)Ф(у); Ф(ж*) = Ф(ж)*.

В случае, когда Ф — биекция *-гомоморфизм Ф называется *-изоморфизмом.

Представлением С*-алгебры и над назовем пару (А, Ф), состоящую из модуля Гильберта — Капланского А над и *-гомоморфизма Ф из и в Б(А).

Опишем теперь модификациею классической конструкции Гельфанда — Наймарка — Сигала для случая С*-алгебр над

Предложение 3.1. Если и есть С*-алгебра над и £ и, то существует такое представление (А^, Фи) алгебры и, что

1) Фи(е) — тождественный оператор в Б(Аи);

2) ||Фи(ж)|| ^ ||ж|| для всех ж £ и;

3) ||Фи(и)|| = ||и||.

< В силу предложения 2.4 существует такое £°-состояние ^ на и, что ^>(и*и) = ||и||2. Ясно, что = {у £ и : ^>(жу) =0 V ж £ и} есть (Ьо)-замкнутый подмодуль в и. На и рассмотрим отношение эквивалентности Ж1 ~ Ж2 ^ Ж1 — Ж2 £ Класс содержащий элемент ж £ и, обозначим через ж и положим и = {ж : ж £ и}.

Обычным образом, проверяется, что формула (а, 6) = ^>(Ь*а), а, Ь £ и, задает значное внутреннее произведение на -модуле и.

Обозначим через Аи — модуль Гильберта — Капланского над являющийся (Ьо)-пополнением (и, (■, ■)).

Для каждого ж £ и определим £°-линейный оператор Фи(ж) : и ^ А полагая Фи(ж)а = жа, а £ и. Ясно, что Фи(ж1)Фи(ж2) = Фи(ж1ж2) для любых ж1,ж2 £ и, в частности, Фи(е) — тождественный оператор на и.

Кроме того, ||Фи(ж)|| ^ ||ж||, ж £ и, т. е. Фи(ж) — £°-ограничен, и поэтому допускает продолжение до £°-линейного ^-ограниченного оператора, обозначаемого также Фи(ж), заданного модуля Гильберта — Капланского А^, являющегося пополнением и.

Обычным образом, проверяется, что Фи(ж*) = Фи(ж)* для всех ж £ и и ||Фи(и)|| =

||и|. >

Используя предложение 3.1 и повторяя схему известного доказательства теоремы Гельфанда — Наймарка — Сигала для классических С *-алгебр, получаем следующий вариант этой теоремы для С *-алгебр над

Теорема 3.2. Всякая С *-алгебра над *-изоморфна (Ьо)-замкнутой *-подалгебре в С*-алгебре Б(А) для некоторого модуля Гильберта — Капланского над

Замечание. Утверждение теоремы 3.2 сохраняется и для не конечных мер обладающих свойством прямой суммы, т. е. в случае, когда существует семейство С £, 0 < < то, I £ 1, такое, что для любого А £ £, ^(А) < то,

найдутся счетный набор индексов 1° С I и множество Б нулевой меры, для которых А = и (А П а) и Б.

¿6/0

Литература

1. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.—1953.—V. 75, № 4.—P. 839-858.

2. Takeuti G. C'-algebras and Boolean valued analysis // Japan. J. Math.—1983.—V. 9.—№ 2.—P. 207-246.

3. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.

4. Кусраев А. Г. Булевозначный анализ инволютивных банаховых алгебр.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1996.—96 с.

5. Кусраев А. Г. Мажорирумые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

6. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.—Т. 29.—C. 63211.

7. Ганиев И. Г., Чилин В. И. Измеримые расслоения C '-алгебр // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 1.—С. 35-38.

8. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статическая механика.—М.: Мир, 1982.—512 с.

Статья поступила 16 февраля 2007 г.

Чилин Владимир Иванович, д. ф.-м. н. Национальный университет Узбекистана Ташкент, 700095, УЗБЕКИСТАН E-mail: [email protected]

Ганиев Инамжан ГуломджАнович , д. ф.-м. н. Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта Ташкент, 700109, УЗБЕКИСТАН E-mail: [email protected]

Кудайбергенов Каримберген Кадирбергенович, к. ф.-м. н. Институт математики АН Руз Ташкент, 700125, УЗБЕКИСТАН E-mail: [email protected]