Теорема Банаха об обратном операторе в пространствах Банаха - Канторовича Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2004, Том 6, Выпуск 3

УДК 517.98

ТЕОРЕМА БАНАХА ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ В ПРОСТРАНСТВАХ БАНАХА - КАНТОРОВИЧА

К семидесятипятилетию Юрия Григорьевича Решетняка

И. Г. Ганиев, К. К. Кудайбергенов

В статье доказывается аналог теоремы Банаха об обратном операторе для операторов, действующих в пространствах Банаха — Канторовича.

Введение

Известно [1], что всякое пространство Банаха — Канторовича (ПБК) над кольцом измеримых функций можно представить в виде измеримого расслоения банаховых пространств. В работах [2, 3] было доказано, что всякий линейный циклически компактный оператор (ограниченный оператор) в ПБК можно представить как измеримое расслоение линейных компактных операторов (ограниченных операторов). Верно и обратное: измеримое расслоение линейных ограниченных операторов порождает ограниченный линейный оператор в пространстве Банаха — Канторовича, при этом требовалось, чтобы послойные нормы операторов образовывали измеримое отображение.

В данной работе мы получим этот результат без условия измеримости этого отображения, а также докажем аналог теоремы Банаха об обратном операторе для операторов, действующих в пространствах Банаха — Канторовича.

1. Предварительные сведения

Пусть (П, £,то) — пространство с полной конечной мерой, Ьо = Ьо(П) алгебра всех измеримых функций на (П, £,то) (равные почти всюду функции отождествляются).

Рассмотрим векторное пространство Е над полем Ж действительных чисел.

Отображение || ■ || : Е ^ Ьо(П) называется Ьо(П)-значной нормой на Е, если для любых х, у £ Е, А € Ж имеют место соотношения:

1) ||х|| ^ 0; ||х|| = 0 ^^ х = 0;

2) ||Ах|| = |А|||х||;

3) ||х + у|| < ||х|| + ||у||.

Пара (Е, || ■ ||) называется решеточно нормированным пространством (РНП) над Ьо(П).

© 2004 Ганиев И. Г., Кудайбергенов К. К.

Говорят, что РНП Е ^-разложимо, если для любого х £ Е и для любого разложения ||х|| = / + д в сумму дизъюнктных элементов найдутся такие у, г £ Е, что х = у + г и

1М1 = />||г| = д-

Сеть {ха} элементов из Е называется (Ьо)-сходящейся к х £ Е, если сеть {||ха — х||} (о)-сходится к нулю в Ьо(П).

Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над Ьо(П) называется (Ьо)-полное ^-разложимое РНП над Ьо(П) [4, 5]-

Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке и £ П некоторое банахово пространство (X(и), || ■ ||х(ш)). Сечением X называется функция и, определенная почти всюду в П и принимающая значение и(и) £ X(и) для всех и £ ёош(и), где ёош(и) есть область определения и.

Пусть Ь — некоторое множество сечений.

Определение 1 ([1], см. также [5])- Пара (X, Ь) называется измеримым банаховым, расслоением (ИБР) над П, если

а) А1С1 + А2с2 £ Ь для всех А1, А2 £ М и С1, с2 £ Ь, где А1С1 + А2с2 : и £ ёош(^) П ёош(с2) ^ А1С1(и) + А2С2(и);

б) функция ||с|| : и £ ёош(с) ^ ||с(и)||х(ш) измерима при всех с £ Ь;

в) для каждой точки и £ П множество {с(и) : с £ Ь,и £ ёош(с)} плотно в X(и).

Вместо (X, Ь) будем писать просто X.

п

Сечение в называется ступенчатым, если в(и) = ^ Ха (и)с»(и), где с» £ Ь, А £ Е,

¿=1

г = 1,..., п. Сечение и называется измеримым, если найдется такая последовательность вп ступенчатых сечений, что ||вп(и) — и(и)||х(ш) ^ 0 п. в.

Пусть М(П, X) — множество всех измеримых сечений. Символом Ьо(П, X) обозначим факторизацию М(П, X) по отношению равенства почти всюду. Через и обозначим класс из Ьо(П^), содержащий сечение и. Отметим, что функция и ^ ||и(и)||х(ш) измерима для любого и £ М(П,X). Класс эквивалентности, содержащий функцию ||и(и)||х(ш) обозначим через ЦйЦ.

В работе [1; стр. 144] доказано, что (Ьо(П, X), || ■ ||) является ПБК над Ьо(П).

Пусть алгебра ограниченных измеримых функций на (П, Е,т), Ьте(П)-

факторизация по отношению равенства п. в. Положим ^^П^)={и £ М(П^) :

||и(и)||х(ш) ££~(®)}

Элементы из ^^П^) называются ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом Ь^П^). Рассмотрим произвольный лифтинг р : Ьте(П) ^ £^(<Х>) [6].

Определение 2 (см. [1]). Отображение рх : ) ^ £те(П, X) называется век-

торнозначным лифтингом, ассоциированным с лифтингом р, если:

а) для всех и £ ) выполнено рх(и) £ и, ёош(рх(и)) = П;

б) ||рх(и)|х(ш) = Р(И)(и) для всех и £ Ь~(П,X);

в) если и, V £ ), то рх(и + V) = рх(и) + рх(V);

г) если и £ ) и е £ Ьте(П), то рх(ей) = р(е)рх(и);

д) множество {рх(й)(и) : и £ Ь^П^)} плотно в X(и) для всех и £ П.

Из [1; теоремы 4.4.1 и 4.4.8] следует, что для всякого ПБК Е над Ьо(П) существует ИБР (X, Ь) такое, что Е изометрически изоморфно Ьо(П^) и на Ь^П^) существует лифтинг, для которого {рх(и)(и) : и £ )} = X(и), и £ П.

Пусть V булева алгебра всех идемпотентов в Ьо(П). Если {иа} С Ьо(П^) и {па} разбиение единицы в V, то ряд ^ паиа (Ьо)-сходится в Ьо(П,X) и сумма этого ряда

а

называется перемешиванием {па} относительно {па}. Это сумма обозначается через т1х(папа). Для К С Ьо(П,Х) через ш1хК обозначается множество всех перемешиваний произвольных семейств элементов из К. Множество К называется циклическим, если ш1хК = К. Для направленного множества А через У(А) обозначается множество всех разбиений единицы в V, заиндексованных элементами А. Пусть {па : а £ А} сеть в Ьо(П,Х). Для каждого V £ V(A) положим = ш1х(^(а)па) и получим новую сеть {п^ : V £ V(A)}.

Произвольная подсеть сети {п^ : V £ V(A)} называется циклической подсетью сети {па : а £ А}.

Определение 3 (см. [5]). Подмножество К С Ьо(П,Х) называется циклически компактным, если оно циклично и всякая сеть в К имеет циклическую подсеть сходящуюся к некоторой точке из К.

Множество называется относительно циклически компактным, если оно содержится в некотором циклически компактном множестве.

Пусть Ьо(П,Х) и Ьо(П, У) ПБК над Ьо(П). Оператор Т : Ьо(П,Х) ^ Ьо(П, У) называется Ьо(П)-линейным, если Т(ах + ву) = аТ(х) + вТ(у) для всех а, в £ Ьо(П), х, у £ Ьо(П,Х).

Ьо(П)-линейный оператор Т называется Ьо(П)-ограниченным (циклически компактным ), если для всякого ограниченного множества В в Ьо(П,Х) множество Т(В) ограничено в Ьо(П,У) (относительно циклически компактно в Ьо(П,У)).

Для Ьо(П)-ограниченного оператора Т положим |Т| = 8ир{||Т(х)|| : ||х|| ^ 1}. Известно [2, 3], что для всякого ограниченного (циклически компактного) Ьо(П)-линейного оператора Т : Ьо(П,Х) ^ Ьо(П,У) существует семейство ограниченных (компактных) операторов {Т(ш) : X(ш) ^ У(ш)} такое, что для всякого х £ Ьо(П,Х) верно (Т(х))(ш) = Т(ш)(х(ш)) для п. в. ш £ П.

Если |Т| £ Ь~(П), то ру (Т(х))(ш) = Т(ш)(рх(х)(ш)) для всех х £ (П,Х), где рх и ру векторнозначные лифтинги на Ь^(П,Х) и Ь^(П,У) соответственно, ассоциированные с лифтингом р : (П) ^

Обратно, если {Т(ш) : X(ш) ^ У(ш)} такое семейство ограниченных (компактных) операторов, что Т(ш)(х(ш)) £ М(П,У) для любого х £ М(П,Х) и ||Т(ш)|| £ Ьо(П), то линейный оператор Т : Ьо(П, X) ^ Ьо(П, У), определенный равенством Тп = Т(ш)(п(ш)) является Ьо(П)-ограниченным (циклически компактным).

2. Основные результаты

Пусть {Т(ш) : X(ш) ^ У(ш)} измеримое расслоение ограниченных операторов (ИРОО), т. е. Т(ш)(х(ш)) £ М(П, У) для любого х £ М(П^). Равенство

Тп = Т (ш)(п(ш)), (1)

очевидно, определяет Ьо(П)-линейный оператор Т : Ьо(П,X) ^ Ьо(П,У). В следующей теореме показывается, что требование ||Т(ш)|| £ Ьо(П) является лишним при установлении ограниченности оператора Т.

Теорема 1. Оператор Т, определенный равенством (1), является Ьо(П)-ограниченным.

< Пусть Б = {х £ Ьо(П^) : ||х|| = 1}. Для каждого п £ N положим Vn = {п £ V : (Зх £ Б), п||Т(х)|| ^ пп}.

Пусть nn = sup Vn. Тогда существует такое дизъюнктное семейство {q^ : k £ N} в n, что \Jqn = nn. Возьмем такое жП € S, что

ЯкГ(х£)11 > Якп. (2)

Пусть хп = ^ Якхк- Тогда ||хп|| = пп, и из (2) следует, что

ПпУТ(Хп) || ^ ПпП. (3)

Из определения идемпотента пп следует, что для всякого х из 5 верно

п^||Т(хп)|| < п^п. (4)

Очевидно, что ... ^ пп ...

Положим по = пп, предположим, что по = 0. Рассмотрим измеримое множество

По = {ш е П : р(по)(ш) = 1}. Тогда т(По) > 0. Из (3) следует, что пЩТ(хп)(ш)||у(ш) ^ пп(ш)п для п. в. ш е По. Отсюда ||Т(ш)(хп)(ш)||у(ш) ^ п, и так как ||хп|| = пп, то ||хп(ш) ||х(ш) = 1 для п. в. ш е По. Это означает, что Т(ш) неограничено для п. в. ш е По. Из полученного противоречия вытекает, что по = 0. Поэтому \/^=1 п^ = (Д^=1 пп)^ = 1, где 1 — единица в булевой алгебре V.

Положим = п^, 9п = п^ Л д^, п ^ 2. Тогда \/^=1 Яп = 1, ЯпЯт. = 0 при п = т.

те

В силу (4) имеем, что дп||Т(х)|| ^ Япп для всех х е 5. Положим С = ^ Япп. Тогда

п=1

С е ^о(П) и для всех х е 5 верно

||Тж|| =

n=1

T(Eqnx) qnllTxii qn« = с.

n=1 n=1

Это означает, что Т — £о(П)-ограниченный оператор. >

Для каждого £о(П)-линейного оператора Т : ¿о(П,Х) ^ ¿о(П,К) положим как обычно, кег(Т) = {х : Тх = 0} и Д(Т) = {Тх : х е ¿о(П,Х)}.

Теорема 2. Пусть Т : ¿о(П,Х) ^ ¿о(П, К) Ьо(П)-ограниченный ¿о(П)-линейный оператор, кег(Т) = 0, Д(Т) = ¿о(П, К). Тогда Т-1 является ¿о(П)-ограниченным ¿о(П)-линейным оператором.

< На множествах ¿о(П,Х) и ¿о(П, К) рассмотрим метрики

/ х! — х2

--л-й ¿т, х1,х2 е ¿о(П,Х)

1 + ||х1 - х21

п

и

¿у(У1,У2) = / "У1 - ^ ,, ¿т, У1,У2 е ¿о(П,К). У 1 + 11У1 - У2 П п

Очевидно, что , ¿у — инвариантные метрики. Покажем полноту пространства (Ьо(П,Х). Пусть {хп} С ¿о(П,Х) и ^х(хп,хт) ^ 0 при п,т ^ то. Тогда ||хп — хт|| ^ 0 по мере при п, т ^ то. Поэтому существует подпоследовательность {хпк} такая, что ||хпк — хпр || ^ 0 п. в. при ^ то. Так как ¿о(П,Х) — (бо)-полно, то ||хпк — хо|| ^ 0 п. в. для некоторого хо из ¿о(П,Х). Тогда ^х(хпк,хо) ^ 0, и поэтому ^х(хп,хо) ^ 0 при п ^ то. Это означает полноту (¿о(П,Х),^х). Следовательно, линейное топологическое пространство (£о(П, X),^х) является ^-пространством.

Без ограничения общности, можно считать, что |Т| = 1. Пусть хп, х £ ) и

(хп, х) ^ 0.

Имеем

dy (Тж„,T-) = f i -—- dm ^ f —-r-- dm = dx (ж„,ж) ^ 0.

J 1 + ||T-„ - T-|| у 1 + ll-n --|| n n

Это означает, что Т непрерывное линейное отображение из (¿о(П,Х) на (£о(^, К), dy). Так как кег(Т) =0 и Й(Т) = К), то по теореме Банаха об обратном

операторе для Е-пространств Т есть изоморфизм между (¿о(^, X), dx) и (¿о(^, К), dy).

Покажем, что Т-1 — ¿о(^)-ограниченный оператор. Пусть Ь = {||Тх|| : х £ Б}. Положим = {ш £ ^ : р(Ь)(ш) = 0} и п = %п0.

Предположим, что п = 0. Тогда пЬ = 0 и {п||Тх|| : х £ Б} = 0. Так как {||Тх|| : х £ Б} — циклическое множество, то существует такая последовательность {хп} С Б, что п||Тхп|| ^ 0 п. в. Следовательно, dy (пТхп, 0) ^ 0. Так как Т-1(пТхп) = пхп, то dX (пхп, 0) ^ 0.

С другой стороны,

f /1 1

dx (пж„, 0) = ——n—тт dm = -dm = - m(fio) > 0, J 1 + п||ж„Ц J 2 2

По

что противоречит сходимости dx (пхп, 0) ^ 0. Поэтому п = 0, т. е. Ь(ш) > 0 для п. в. ш £

Пусть у £ ), ||у|| = 1. Возьмем х £ ¿о(^,Х) такое, что Тх = у. Так как

кег(Т) = 0, то х(ш) = 0 для п. в. ш £ ^ и ||х||(ш) > 0 п. в. Из определения элемента Ь имеем, что ||Т()|| ^ Ь. Отсюда ||Т(х)|| ^ Ь||х|| и Ь||Т-1(у)|| < ||у||, т. е. ||Т-1 (у)|| < Ь-1. Это означает, что Т-1 — ¿о(^)-ограниченный оператор. >

Авторы благодарны профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.

Литература

1. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН.—1995.—С. 63-211.

2. Ganiev I. G., Kudaybergenov K. K. Measurable bundles of compact operators // Methods of Func. An. and Topology.—2001.—V. 7, № 4.—P. 1-6.

3. Ганиев И. Г. Описание ограниченных операторов в пространствах Банаха — Канторовича // Материалы международной конференции «Актуальные проблемы теоретической и прикладной матаематики».—Самарканд, 1997.—С. 3-4.

4. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.

5. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

6. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике.—М.: Наука, 1985.—352 с.

Статья поступила 30 мая 2004 г-

ГАНИЕВ ИнОМЖАЫ ГУЛОМЖАЫОБИЧ, д. ф.-м. н. Узбекистан, г. Ташкент, Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта E-mail: [email protected]

КУДАЙБЕРГЕНОВ КАРИМБЕРГЕН КАДИРБЕРГЕНОВИЧ, к. ф.-м. н. Узбекистан, г. Нукус, Нукусский государственной университет