CC BY
13
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2004, Том 6, Выпуск 1
УДК 517.98
РЕШЕТОЧНЫЕ ГОМОМОРФИЗМЫ В РЕШЕТКАХ БАНАХА - КАНТОРОВИЧА
И. Г. Ганиев
Памяти Юрия Александровича Абрамовича посвящается
Дается описание линейных ограниченных операторов в решетках Банаха — Канторовича, являющихся решеточными гомоморфизмами или изоморфизмами, в виде измеримого расслоения решеточных гомоморфизмов банаховых решеток.
Решеточные гомоморфизмы и операторы, сохраняющие дизъюнктность, действующие в векторных и банаховых решетках, давно привлекают внимание исследователей (см. монографии К. Алипрантиса, О. Бёркиншо [1] и А. Г. Кусраева [2]). При этом одним из центральных вопросов является возможность аналитического описания операторов из указанного класса (см., например, работы Ю. А. Абрамовича, А. И. Векслера, А. В. Колдунова [3], Ю. А. Абрамовича [4], а также литературу, указанную в [1, 2]). Результаты об операторах, сохраняющих дизъюнктность, полученные Ю. А. Абрамовичем в [4], получили дальнейшее развитие в различных направлениях (см., например, работы П. Макполлина и А. Викстеда [5], А. Г. Кусраева [6], А. Е. Гутмана [7] и др.)
В настоящей работе дается описание линейных ограниченных операторов в решетках Банаха — Канторовича, являющихся решеточными гомоморфизмами или изоморфизмами, в виде измеримого расслоения решеточных гомоморфизмов банаховых решеток. Решетки Банаха — Канторовича были введены в [8], а представление посредством измеримого расслоения банаховых решеток получено в [9, 10], см. также [И].
Пусть (Î2, Е,А) — пространство с конечной мерой, Lq = Lq(îï) алгебра классов измеримых функции на (Î2, Е,А). Рассмотрим векторное пространство Е над полем Ж действительных чисел.
Отображение || ■ || : .Е —» Lq(îï) называется Lq(Q)-значной нормой на Е7 если для любых х,у €. Е, А € Ж имеют место соотношения:
1) ||ж|| 5= 0; ||ж|| = 0 х = 0;
2) ||Аж|| = |А|||ж||;
3) \\х + у\\ < IMI + 1Ы|.
Пара (Е, || ■ ||) называется решет,очно нормированным пространством (РНП) над Lq(îï). Говорят, что РНП Е d-разложимо, если для любого х € Е и для любого разложения ||ж|| = / + g в сумму дизъюнтных элементов найдутся такие y,z € Е, что х = у + z
и 1Ы1 = /, INI = g.
© 2004 Ганиев И. Г.
Сеть {ха} элементов из Е называется Ьо-сходящейся к х € Е7 если сеть {\\ха — ж||} о-сходится к нулю В Ьо(£1).
Пространством Банаха — Канторовича (ПБК) над 1*о(0) называется Ьо-полное (¿-разложимое РНП над Ьо(И).
Определение 1 ([8; стр. 153]). Решеткой Банаха — Канторовича (РБК) называется такое ПБК (II, || ■ ||), что II — векторная решетка, а норма || ■ || монотонна, т. е. из |«11 ^ |г*21 Следует ||«1|| ^ || 1*2 ||.
Пусть X — отображение, ставящее в соответствие каждой точке ш € О некоторую, банахову решетку (Х(ш),|| ■ ||л'(ш))- Сечением X называется функция и, определенная почти всюду в 1) и принимающая значение и(ш) € Х(ш) для всех ш € с!от(«), где с!от(«) есть область определения и.
Пусть Ь — некоторое множество сечений. Следуя [11], пару (X, Ь) назовем измеримым расслоением банаховых решеток (ИРБР) над Г1, если выполнены условия:
а) А1С1 + А2С2 € I/ для всех А1Д2 € Ж и С\,С2 € I/, где А1С1 + А2С2 : ш € с!от(с1) П
(1от(с2) А1С1(ш) + А2С2(ш);
б) с\ V С2 € Ь для любых С\,С2 € I/, где с\ V С2 : ш € с!от(с1) П (1от(с2) с\ (ш) V С2(ш);
в) функция ||с|| : ш € (1от(с) ||с(ш)||х(ш) измерима при всех с € Ь;
г) для каждой точки ш € О множество {с(ш) : с € Ь,ш € с!от(с)} плотно в Х(ш).
Вместо (Х,Ь) будем писать просто X.
П
Сечение в называется ступенчатым, если в(ш) = ^ Х.4; (ш)сг(ш), где с* € Ь7 А4 € Е,
1=1
i = 1Сечение и называется измеримым, если найдется такая последовательность (зп) ступенчатых сечений, что ||вп(ш) — «(ш)||л'(ш) О п. в.
Пусть М(£1, X) — множество всех измеримых сечений. Символом 1/0 (1), X) обозначим факторизацию М(£1,Х) по отношению равенства почти всюду. Через й обозначим класс из Ьо(0.,Х), содержащий сечение и. Отметим, что функция ш ||«(ш)||х(а)) измерима для любого и € М(£1,Х). Класс эквивалентности, содержащий функцию ||«(ш)||х(ш) обозначим через ||«||.
В [11; стр. 144] установлено, что X), || ■ ||) является ПБК над Ьо(£1), а в [9]
доказано, что (1/о(0,Х), || ■ ||) — есть РБК.
Пусть £°°(0) алгебра ограниченных измеримых функций на (1), Е, А), Ь°°(0,) — факторизация £°°(0) по отношению равенства п. в. Обозначим
С°°(П,Х) = {и € М(П,Х) : ||«(о;)||хИ € £°°(Л)}.
Элементы из £°°(1),Х) называются ограниченными измеримыми сечениями. Множество классов эквивалентности существенно ограниченных сечений обозначается символом Ь°°(£1,Х). Пусть р : Ь°°(0,) —> £°°(0) лифтинг [7].
Определение 2. Отображение I : £°°(0,Х) -» £°°(0,X) называется векторнозначным лифтингом, ассоциированным с лифтингом р7 если оно удовлетворяет условиям:
а) для всех й € Ь°°(И,Х) выполнено 1(и) € «, йот(1(й)) = И;
б) 11г(«)11хН = Р(Н«Н)М для всех й € Ь°°(П,Х);
в) если й,у € Ь°°(£1,Х), то 1(й + и) = 1(и) +1{у);
г) если « € L00(Í2,X) и е € 1/°°(0), то 1(еи) =р(е)1(й);
д) если й, V € Ь°°(£1,Х), то 1(йУи) = 1(и) У 1(у);
е) множество {1(й)(ш) : й € Ь°°(И,Х)} плотно в Х(ш) для всех ю (г И.
Определение 3. Решетки Банаха — Канторовича II и Ш называются порядково
изометрически изоморфными, если существует изометрический модульный изоморфизм Ф : и —» IV. для которого Ф(«) ^ 0 тогда и только тогда, когда и 5= 0.
Напомним (см. [11]), что изоморфизмом ИРБР X и У над 1) называется отображение к, ставящее в соответствие каждой точке ш € О линейную изометрию Ь(ш) : Х(ш) > У(ш) так, что к(-)(и(-)) € M(Í2,У) при и € М(И,Х) и, наоборот, если V € М(И,У), то у(-) = /1(-)(«(-)) п. в. для некоторого и € М(И,Х).
Определение 4. ИРБР X и У назовем порядково изоморфными, если X и У изоморфны и к(ш)(и(ш)) ^ 0 п. в. тогда и только тогда, когда и(ш) 5= 0 для п. в. ш € О.
В работах [9, 10] получена следующая теорема, являющаяся решеточным аналогом теоремы А. Е. Гутмана (см. [11; стр. 153]).
Теорема 1. Для любой РБК и над Ьо(£1) существует единственное с точностью до порядкового изоморфизма ИРБР (X, Ь) с векторнозначным лифтингом такое, что II порядково изоморфно Ьо(И,Х).
Пусть и = 1о(П,Х),У = 1о(П,У) - РБК нормированные нал /.„(<>). Т : и ^ V 1/0(О)-ограниченное линейное отображение (т. е. существует такое к € Ьо(£1), что ||Т«|| ^ &||«|| при всех и € II). Если ||Т«|| = ||«||, то отображение Т называют изометрией. Линейное отображение Т : и ^ V называется решеточным гомоморфизмом, если Т сохраняет решеточные операции. Если, при этом Т — биекция, то Т называется решеточным изоморфизмом II на V.
Предложение 2. Пусть дано семейство линейных ограниченных операторов Т(ш) : Х(ш) ^> У(ш), причем Т(ш) — решеточный гомоморфизм для любого ш € О и Т(ш)(и(ш)) € М(И,У) для любого и € М(И,Х) н ||Т(-)|| € ¿о(О). Тогда линейный оператор Т : Ьо(И,Х) —> 1/о(И,У), определенный равенством Тй = Т(ш)(и(ш)), является 1/0 (1))-ограниченным решеточным гомоморфизмом. Если гомоморфизмы Т(ш) — ииъ-ективны ДЛЯ ПОЧТИ всех IV (г И. п> Г также инъективный гомоморфизм. Если Т(ш) — решеточный изоморфизм X(ш) на У (ш) для почти всех ю (г И. ч Т^1 (ш) (у(ш)) € М(1), X) для всех V € М(£1, У), то Т является решеточным изоморфизмом.
<1 Линейность оператора Т очевидна. Из соотношения
||т«|| = ||ТМ(«М)||УМ ^ ||тм||||«мц*м = ||ТМ||||«М||ХИ = РШ1И1
следует, что оператор Т — 1/о(11)-ограничен.
Поскольку Т(ш) решеточный гомоморфизм, то имеем, что
Т(й V у) = Т(ш)((и V г>)(ш)) = Т(ш)(и(ш) V у(ш))
= Т(ш)и(и>) V Т(ш)р(и>) = Т(ш)и(и>) V Т(ш)р(и>) = Т(й) V Т(у),
т. е. Т является решеточным гомоморфизмом.
Пусть теперь Т(ш) инъективны для почти всех ш € О. Тогда если «1(0;), «2(ш) € М(И,Х) И Т(щ) = Т(щ), ТО Т(ш)(«1 (ш)) = Т(ш)(«2(ш)) п. В. И поэтому «1(ш) = «2(ш) П. В., Т. е. Щ = «2-
Пусть Т(ш) — решеточный изоморфизм. По условию предложения, и(ш) = Т-1 (г>(ш)) € М(И,Х) для любого V € M(Í2,У). Очевидно, что Т(й) = V. Поэтому Т — сюръективно, т. е. Т — решеточный изоморфизм. >
Теорема 3. Если Ьо(£1)-ограниченный линейный оператор Т : II ^ V является решеточным гомоморфизмом, то существует семейство линейных ограниченных операторов Т(ш) : Х(ш) —> У(ш), ш € О, являющихся решеточными гомоморфизмами, такое, что Т(й)(ш) = Т(ш)(и(ш)) п. в.
<1 Пусть ||Т«|| ^ к\\й\\ для всех й € £7 и некоторого к € Ьо(£1). Определим линейный оператор То : 10{П,Х) Ь0(Л,У) равенством Т0« = (1 + к)-1Тй. Тогда Т0 подпро-
странство Ь°°{£1,Х) отображает в Ь°°{£1,У) и является решеточным гоморфизмом из
L°°(£l,X) в L°°(£l,Y). Пусть I и I' векторнозначные лифтинги на L°°(£l,X) и L°°(£l,Y)
соответственно, ассоциированные с лифтингом р : L°°(il) —> £°°(f2).
Для каждого со (г И определим линейный оператор ф{ш) из {1(й)(со) : й € L°°(il,X)} в {l'(v)(co) : й € L°°(il,Y)} равенством (р(со)(1(й)(со)) = 1'(Tq(ü))(co). Из соотношения
\\(р{ш)(1{й){ш))\\¥{и]) = ||i'(To(«))M||y(w) =р( llTo«ll)M
= р Mp(INI) М = р (т^) IIä'(oi)
следует, что <ß(co) определено корректно и ограничено. Покажем, что <ß(co) решеточный гомоморфизм:
<р(ш)(1(Щ)(ш) V 1(Щ)(ш)) = <р(ш)(1(Щ УЩ)(ш)) = 1'(То(Щ\/Щ))(ш)
= 1'(То(Щ)УТо(Щ))(ш) = 1'(То(Щ)(ш) У 1'(То(Щ))(ш)
Так как {1(й)(со) : й € L°°(il,X)} плотно в Х(со) и {l'(v)(co) : v € L°°(il,Y)} плотно в Y(co)7 то (р(со) однозначно продолжается до отображения (р(со) на Х(со). Поскольку операция V непрерывна, то продолжение <ß(co) будет решеточным гомоморфизмом решеток X (со) и Y (со).
Положим Т(со) = (1 + к)(со)(р(со). Тогда Т(со) — решеточный гомоморфизм из Х(со) в Y(u;) для п. в. со € f2. При этом, если последовательность 1(й^)(со) € {1(й)(со) : й € L°°(il,X)} такова, что со) и(со), то
Т(со)и(со) = (1 + к)(со)(р(со) (и(со)) = (1 + к)(со) lim (р(со)(1(й^)(со))
п—>оо
= (1 + к)(оо) lim (l'(Tqü^)(oj) = (1 + к)(оо) lim (Tqü^)(oj)
n—¥ OO n—¥ oo
= (1 + к)(со)(Т0й)(со) = (1 + = (Tü)(co)
(1 + k)(co)
п. в. для любого й € Lo(il,X). >
Следствие 4. Если Lg (fl)-ограниченный линейный оператор Т : U ^ U является изометрическим решеточным изоморфизмом, то операторы Т(со) : Х(со) —> Х(со), построенные по Т согласно теореме 3, также являются изометрическими решеточными изоморфизмами.
<1 Согласно теореме 3 оператор Т(со) является решеточным гомоморфизмом. Покажем, что T(uj) — изометрия. Поскольку Т — изометрия, то k = 1 и То = |Т, поэтому
1Иы)(*(«)М)||хм = \\1(Tq(ü) (ш))||х(о)) =р(||Т0«||)Н = \р(\\й\\)(ш) = ^1К(«)МНхн-
Из этих равенств имеем, что если последовательность 1(й^)(со) € {1(й)(со) : й € L°°(il,X)} такова, что 1(й^)(со) и(со), то
__ 1 __________________________
||Т(ш)«(ш)||х(а)) =2 lim ||<?М(*(ип)М)||л-(ь,) =2 - - lim \\1(и„)(ш)\\х{и1) = ||«М||х(ш),
v ' n^-oo v ' I n^-oo v ' v '
т. е. Т(со) — изометрия.
Теперь покажем, что Т(ш) — изоморфизм. Так как Т(ш) — изометрия, то Т(ш) инъ-
ективпо. Пусть u(u>) € X(u>), а последовательность 1(й^)(ш) € {1(й)(ш) : й € такова, что 1(й^)(ш) и(и>). Тогда из сюръективности Т получим, что существует
дп € L°°(f2, Y)7 для которой й„ = и
и(и>) = lim 1(й^)(ш) = lim 1(Тод^)(ш) = lim (р(ш)(1(д^)(ш)).
П—¥ ОО П—¥ ОО П—¥ оо
Из равенств
I\К9п)(ш) II = Ыш){1{дп){ш)) - <p(w)(l(gm)(w))|| = |MHa-(w)
следует, что последовательность {1(дп)(ш)} фундаментальна. Так как Х(ш) — полно, то 1(дп)(ш) д(ш) для некоторого д(ш) € Х(ш). Поэтому
и(ш) = lim ip{u){l{g^){и)) = 1р{ш){д{ш))./
П—¥ ОО
т. е. оператор Тр(ш) а, следовательно, и оператор Т(ш) сюръективны. >
Автор благодарен профессору В. И. Чилину за полезное обсуждение результатов.
Литература
1. Alipraatis С. D., Burkinsbaw О. Positive operators.—New York: Acad, press, 1985.—367+xvi p.
2. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
3. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Т. 248, № 5.-С. 1033-1036.
4. Abramovich Yu. A. Multiplicative representation of disjointness preserving operators // Indag. Math. N. S.—1983.—V. 45, № 3.-P. 265-279.
5. McPolin P. T. N., Wickstead A. W. The order boundedness of band preserving operators on uniformly complete vector lattices // Math. Proc. Cambrige Philos. Soc.—1985.—V. 97, № 3.—P. 481-487.
6. Кусраев А. Г. Об аналитическом представлении мажорируемых операторов // Докл. АН СССР.— 1987.—Т. 294, № 5.-С. 1055-1058.
7. Gutman А. Е. Disjointness preserving operators // Vector lattices and integral operators / Ed. Kutateladze S. S.—Dordretch etc.: Kluwer, 1996.—P. 361-454.
8. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.—Новосибирск: Наука.—1985.—256 с.
9. Ганиев И. Г. Измеримые расслоения банаховых решеток // Узб. мат. журн.—1998.—Т. 5.—С. 14-21.
10. Ганиев И. Г. Измеримые расслоения решеток и некоммутативных Ьр-пространств и их приложения: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук.—Ташкент, 2002.—199 с.
11. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.—С. 63-211.
Статья поступила 30 января 2004 г-
Ганиев Иномжан Гуломжанович, д. ф.-м. н. Узбекистан, г. Ташкент, Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта E-mail: inam@comuz.uz
