Решеточно-метрическое разложение монотонного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

РЕШЕТОЧНО-МЕТРИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МОНОТОННОГО ОПЕРАТОРА

А. Е, Гутман, А. В, Коптев

В данной заметке рассмотрено естественное понятие монотонного линейного оператора, действующего из векторной решетки в нормированное пространство, показано, что всякий такой оператор допускает «решеточно-метрическое» разложение в виде композиции решеточного гомоморфизма и линейной изометрии, и приведены несколько приложений полученных результатов к исследованию непрерывных и измеримых расслоений банаховых решеток.

Определение. Пусть X — векторная решетка, У — нормированное пространство и Т: X ^ У — линейный оператор.

(1) Оператор Т называется монотонным, если для любых € X из |х| ^ |х| следует ||ТхII ^ ||Тх||.

(2) Тройку Н, I) назовем решеточно-метрическим разложением оператора Т, если Z — нормированная решетка, Н: X ^ Z — сюръективный решеточный гомоморфизм, I: Z ^ У — линейная изо-метрия и Т = I о Н.

При доказательстве первого результата пригодятся два классических факта из теории векторных решеток, которые для удобства сформулированы здесь в виде теорем А и В.

Теорема А [1, 18.7-18.9]. Если К — порядковый идеал векторной решетки X, то векторное фактор-пространство X/K является векторной решеткой относительно порядка и ^ V, определяемого для классов и, V € X/К любым из следующих попарно равносильных условий:

(1) (3 х € и) (3 у € V) х ^ у;

© 2013 Гутман А. Е., Коптев А. В.

(2) (V х ей) (3 у е V) х < у;

(3) (V X ей) (V у е V) (3 г е К) X < у + г.

При этом каноническое отображение X ^ X/К является решеточным гомоморфизмом: [х] V [у] = [х V у] и [х] Л [у] = [х Л у] для всех х, у е X, где [х] := х + К.

Напомним, что полунорма р : X ^ К та векторной решетке X называется монотонной, если для любых е X из |х| ^ |х|

следует р(х1) ^ р(хг).

К

решетки X и пусть р — монотонная полунорма на X. Тогда фактор-полупорма п, определяемая па X/K традиционной формулой п(и) = т£{р(х) : х е и} монотонна. Если идеал К замкнут относительно сходимости по полунорме р, то X/К представляет собой нормированную решетку с нормой п.

Теорема 1. Линейный оператор, действующий из векторной решетки в нормированное пространство, монотонен тогда н только тогда, когда он имеет решеточио-метрическое разложение.

Доказательство. Достаточность очевидна. Покажем необходимость. Пусть X — векторная решетка, У — нормированное пространство и пусть Т : X ^ У — монотонный линейный оператор. Заметим, что К := кегТ — порядковый идеал X: если х е X, щ е К и |х| < |хо|, то ||Тх|| < ||Тх01| = 0 и тем самым х е К. По теореме А пространство £ := X/K представляет собой векторную решетку относительно естественного порядка, а каноническое отображение Н ■. X ^ £ является сюръектнвным решеточным гомоморфизмом. Монотонность оператора Т означает, что || -|| оТ — монотонная полунорма на X, причем идеал К замкнут по этой полунорме: если (х„)„еи С К, х е X и ||Т(хп — х)|| ^ 0, то Тх = Нт Тхп = 0. Согласно теореме В

п—

пространство £ является нормированной решеткой относительно соответствующей фактор-нормы Осталось заметить, что линейный оператор /: £ ^ У, корректно определяемый формулой /(Нх) = Тх, является изометрией:

||/(Нх)|| = ||Тх|| =т£{||Т(х + х0)|| :х0 е К} = ||Нх||г• П

Следствие 1. Пусть X — векторная решетка, У — нормированное пространство, Т: X ^ У — сюръектнвиый монотонный линейный УУ

Т

ным гомоморфизмом.

Доказательство. Пусть Н, I) — решеточно-метрическое раз-ТТ сюръективность линейной изометрии 1\ Z ^ У. Введем отношение порядка на У, полагая у\ ^ у2 ^ I— у\ ^ I—уг- Тогда, как легко видеть, У является нормированной решеткой, а оператор I служит порядковым и метрическим изоморфизмом между ^ и У. При этом оператор Т

шеточных гомоморфизмов Н и I. □

Следствие 2. Пусть X — векторная решетка, У — банахово пространство, п пусть Т: X ^ У — монотонный линейный оператор УУ

УТ

решеточным гомоморфизмом.

Доказательство. Воспользовавшись следствием 1, снабдим об-У Т У

рованную решетку, а оператор Т : X ^ У) — в решеточный гомо-

У

УУ

У

□

Лемма 1. Пусть Е — векторная решетка, X н У — Е-иормн-рованпые решетки, Т : X ^ У — линейная нзометрия, и,у € X, |и| Л |у| = 0, Ти ^ Ту ^ 0. Тогда \и + пу| ^ \и + V| для всех и € М, а если решетка Е архимедова, то V = 0.

п

видно. Предположив |и + пу| ^ |и + у|, покажем |и+(п+1)у| ^ \и + у\. В силу очевидных соотношений — Ти ^ 0 ^ Ти — Ту и — (п+ 1)Ту ^

О ^ пТ« имеем

—Ти — пТ« ^ Ти — (п + 1)Т« ^ Ти + пТ«.

Следовательно, |Ти — (п + 1)Т«| ^ Ти + пТ« = |Ти + пТ«|, а значит,

|и — (п + 1)«| = |Ти — (п + 1)Т«| ^ |Ти + пТ«| = |и + п«| ^ |и + V

Учитывая равенство |и| Л |«| = О, заключаем, что |и + (п + 1)«| = |и — (п + 1)«|, поэтому |и + (п + 1)«| = |и — (п + 1)«|. Если решетка Е архимедова, то из п| = |п«| < |и + п«| + |и| < |и + «| + |и| (п е М) следует | = 0. □

Замечание. Приведенное выше обоснование леммы 1 идейно повторяет фрагмент доказательства теоремы 1 из [3].

Теорема 2. Пусть Е — архимедова векторная решетка, X и У — Е-нормированные решетки н Т: X ^ У — положительная линейная нзометрия. Тогда Т является порядковым изоморфизмом X па ппТ.

Доказательство. Если х е X и Тх > 0, то и := х+ и « := х-удовлетворяют условиям леммы 1 (в силу того, что Ти — Т« = Тх ^ 0), а значит, « = 0 и тем самым х ^ 0. □

Е

Е

иыми решетками является порядковым изоморфизмом.

В случае Е = М последнее утверждение совпадает с теоремой 1 из [3].

Теорема 3. Пусть X — векторная решетка, У — нормированная решетка, и пусть линейный оператор Т : X ^ У положителен,

Т

Т

метрическое разложение Н, /). Покажем, что оператор /: £ ^ У положителен. Действительно, если х е X и Нх ^ 0, то Нх = (Нх)+ = Н(х+), а значит, /(Нх) = /Н(х+) = Т(х+) ^ 0 в силу положительности Т. Кроме того, го сюръектпвностп Т вытекает сюръективность /.

Таким образом, I служит положительным метрическим изоморфизмом между нормированными решетками ^ и У. Согласно следствию 3 оператор I является порядковым изоморфизмом и, в частности, решеточным гомоморфизмом. Следовательно, композиция Т = I о Н также

□

В качестве одного из приложений установленных выше фактов докажем техническую лемму о введении порядка в слоях банахова расслоения, множество сечений которого имеет заданную решеточную структуру-

Лемма 2. Пусть Q — произвольное множество, Е — векторная подрешетка М9, Ж — банахово расслоение над Q,0?/ — послойно плотное в Ж векторное подпространство Я^, Ж), и пусть ^ — такое отношение порядка на *?/, что (*?/, | • |, является Е-нормированной решеткой, где !• | : ^ Е — поточечная норма. Тогда в каждом слое Ж(ц) можно ввести отношение порядка так, что Ж'(ц) превратится в банахову решетку, а (*?/, окажется подрешеткой ЯЖ') относительно поточечного порядка:

(1) и < V ^ (Vц € Q) и{ц) <

(2) (и V у)(ц) = и(ц) V (и Л у)(ц) = и(ц) Л для всех ц € Q■

Доказательство. Для произвольной точки ц € Q рассмотрим линейный оператор Тч : <?/ ^ Ж'(ц), определенный формулой Тчи = и(ц) и имеющий всюду плотный в Ж'(ц) образ. Как легко видеть, оператор Тч монотонен: еели |и| ^ |у|, то |и| ^ |у|, поэтому

||Т,и|| = ||и(д)|| = |иКц < |укч) = |Кц)|| = ||Т,у||.

Воспользовавшись следствием 2, снабдим Ж'(ц) отношением порядка, превращающим Ж(ц) в банахову решетку, а оператор Тч : "?/ ^ Ж'(ц) — в решеточный гомоморфизм. Последнее обстоятельство обеспечивает условие (2), а условие (1) вытекает из (2), поскольку

и < V ^ и V у = у ^ (V ц € Q) (и V у)(ц) = ^ (Vц € (О) и(ц) V у(ц) = у(ц) ^ (Vц € (О) и(ц) < у(ц). □

Замечание. В рамках доказательства леммы 2 совпадение порядка ^ с поточечным порядком на можно также вывести из

следствия 3. Действительно, тождественный метрический изоморфизм между решетками (<?/, |• |, и (*?/, ^|, будучи

положительным (благодаря положительности операторов Тд), является порядковым изоморфизмом.

На базе леммы 2 может быть реализована основная часть намеченной в работе [4] программы по развитию теории представлений решеток Банаха — Канторовича. В качестве простого примера приведем соответствующую реализационную теорему для случая С(ф)-значной нормы.

Теорема 4. Пусть E := где Q — экстремально несвязный

Е

порядково п метрически изоморфна пространству Ж') непрерывных сечений некоторого просторного непрерывного расслоения Ж банаховых решеток над ф.

Доказательство. Согласно [5, 3.4.2] (см. также [6, 2.4.10]) для любой Е-нормнрованной решетки Банаха — Канторовича X существует такое просторное непрерывное банахово расслоение Ж над ф, что Е-нормпрованное пространство (X, |-|х) изометрично пространству У/ := снабженному поточечной нормой |-1. С помощью имеющегося изоморфизма /: X ^ <?/ введем отношение порядка на полагая щ ^ щ ^ /-1и /-1 иг- Воспользовавшись леммой 2, превратим слои расслоения Ж в банаховы решетки, а порядок на — в поточечный порядок. В результате Ж окажется непрерывным расслоением банаховых решеток с решеточной непрерывной структурой %, а Е-пормироваппая решетка X будет изоморфна Ж') не

□

Введение понятия лифтинга (•)^ : ЕТО(П, ^ , Ж') клас-

сов измеримых сечений измеримого расслоения Ж банаховых решеток на пространстве с мерой Л сопровождается требованием согласованности лифтинга с решеточными операциями (см. [7, определение 2.2]):

(и V V= и^ V для всех и, V е Vх(£1, Ж).

В качестве еще одного приложения полученных выше результатов покажем, что это требование избыточно и может быть заменено условием

положительности:

u^ ^ 0 для положптельпых u G L'(fi, Ж').

Теорема 5. Пусть Ж — измеримое расслоение банаховых решеток над пространством с мерой Л п (•)^ : L'(fi, Ж) ^ J?"(fi, Ж) — такой лпфтнпг в измеримом банаховом расслоении Ж, что и^ ^ 0 на П для положительных и G L'(fi, Ж). Тогда (и V v= и^ V v^ н (и Л V= и^ Л V^ па П для всех и, v G L'(fi, Ж').

Доказательство. Достаточно фиксировать произвольную точку ш G О и применить теорему 3 к векторной решетке X := L'(fi, Ж), нормированной решетке Y := Ж'(ш) и оператору Т: u G X^и^ (ш) G Y, сюръективность которого следует из [5, 4.4.1] (см. также [6, 2.4.2(5) и 2.5.10]). □

ЛИТЕРАТУРА

1. Luxemburg W. А. X, Zaanen А. С. Riesz spaces. V. I. Amsterdam; London: North-Holland Publ. Co., 1971.

2. Kawai I. Locally convex lattices // J. Math. Soc. Japan. 1957. V. 9, N 3. P. 281-314.

3. Абрамович Ю. А. Об изометриях нормированных решеток // Оптимизация. 1988. Вып. 43(60). С. 74-80.

4. Kusraev A. G., Tabuev S. N. Banach lattices of continuous sections // Владикавк. мат. журн. 2012. Т. 14, № 4. С. 41-44.

5. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточпо нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком / Тр. Ин-та математики. Новосибирск: Ин-т математики, 1995. Т. 29. С. 63-211.

6. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. М.: Наука, 2003.

7. Ганиев И. Г. Измеримые расслоения решеток и их приложения // Исследования по функциональному анализу и его приложениям. М.: Наука, 2005. С. 9-49.

г. Новосибирск

15 октября 2013 г.