CC BY
9
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Вестник Череповецкого государственного университета. 2024. № 1 (118). С. 7-25. Cherepovets State University Bulletin, 2024, no. 1 (118), pp. 7-25.
Научная статья УДК 519.25
https://doi.org/10.23859/1994-0637-2024-1-118-17 EDN: KJREWT
Тензорная модель данных для разработки траекторий сопровождения лиц с инвалидностью и лиц с ОВЗ с учетом их вариативных характеристик
Александр Анатольевич Банин1н, Ольга Юрьевна Лягинова2
12 Череповецкий государственный университет,
Череповец, Россия [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4242-1471 [email protected], https://orcid.org/0000-0003-1185-5939
Аннотация. В сфере цифрового сопровождения профориентации, образования и трудоустройства инвалидов и лиц с ОВЗ важное место занимает построение траекторий такого сопровождения с учетом вариативных характеристик данных лиц. В качестве инструментария для математического описания этих характеристик рассматривается представление данных, описывающих вариативные характеристики, в виде тензора. Для выявления кластерной структуры субъектов сопровождения и определения зависимостей вариативных характеристик друг от друга и общих причин разрабатывается тензорная модель данных с применением компонентного анализа. Компонентный анализ применяется к тензору в целом и его ¿-мерным срезам. Представленная в работе модель определения релевантной информации может быть использована для построения вариативных траекторий сопровождения инвалидов и лиц с ОВЗ.
Ключевые слова: тензор, кронекеровское произведение, векторизация тензора, компонентный анализ, профессионально значимые качества, вариативные траектории Благодарность. Работа выполнена в рамках научных исследований, включаемых в планы научных работ научных организаций и образовательных организаций высшего образования, осуществляющих научные исследования за счет средств федерального бюджета по теме «Исследование и моделирование вариативных траекторий психолого-педагогического и клинико-психологического сопровождения профессионального становления лиц с инвалидностью в условиях цифровой среды» (Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, FEGN-2023-0005). (Протокол заседания Совета Министерства науки и высшего образования Российской Федерации по вопросам повышения доступности высшего образования для инвалидов, профессиональной ориентации инвалидов и содействия в их последующем трудоустройстве от 19.12.2022.)
Для цитирования: Банин А. А., Лягинова О. Ю. Тензорная модель данных для разработки траекторий сопровождения лиц с инвалидностью и лиц с ОВЗ с учетом их вариативных характеристик // Вестник Череповецкого государственного университета. 2024. № 1 (118). С. 7-25. https://doi.org/10.23859/1994-0637-2024-1-118-17
1 Банин А. А., Лягинова О. Ю., 2024
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
ISSN 1994 0637 (print)
7
Tensor data model for the development of trajectories for accompanying physically challenged people and people with disabilities due to their variable characteristics
Alexander A. Banin1H, Olga Yu. Lyaginova2
1 ^Cherepovets State University, Cherepovets, Russia [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4242-1471 [email protected], https://orcid.org/0000-0003-1185-5939
Abstract. In the field of digital support for career guidance, education and employment of physically challenged people and people with disabilities, the construction of support trajectories plays an important role, taking into account the variable characteristics of these people. As a tool for the mathematical description of these characteristics, the representation of data describing variable characteristics in the form of a tensor is considered. A tensor data model applying component analysis is developed to identify the cluster structure of support subjects, determine the dependencies of variable characteristics and common causes. Component analysis is applied to the tensor as a whole and its ¿-dimensional slices. The model presented in the paper for determining relevant information can be used to construct variable trajectories for accompanying physically challenged people and people with disabilities.
Keywords: tensor, Kronecker product, tensor vectorization, component analysis, professionally significant qualities, variable trajectories
Acknowledgments. The work was carried out within the framework of scientific research included in the research plans of scientific organizations and educational organizations of higher education carrying out scientific research at the expense of the federal budget on the topic "Research and modeling of variable trajectories of psychological, pedagogical and clinical psychological support for the professional development of people with disabilities in a digital environment" (Following the Council session of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation on improving accessibility of higher education for disabled people, occupational guidance of disabled people and assistance in their subsequent employment from 19.12.2022)
For citation: Banin A. A., Lyaginova O. Yu. Tensor data model for the development of trajectories for accompanying physically challenged people and people with disabilities due to their variable characteristics. Cherepovets State University Bulletin, 2024, no. 1 (118), pp. 7-25. (In Russ.). https://doi.org/10.23859/1994-0637-2024-1-118-17
Введение
Моделирование и исследование траекторий сопровождения лиц с инвалидностью и лиц с ОВЗ являются одними из ключевых направлений в решении проблемы профессионализации молодых инвалидов. При этом важно учитывать вариативные характеристики субъектов сопровождения, такие как регион проживания, социальный статус, возраст, состояние здоровья, уровень образования, личностные характеристики. Математическому описанию данной информации и определению наиболее информативных данных, используемых для построения вариативных траекторий, посвящена данная статья.
Выявление причинно-следственных связей и оценивание соответствующих зависимостей является одной из ключевых задач многомерных статистических методов. В коллективной монографии «Цифровые ресурсы профессионализации молодых ин-
8 ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
валидов»1 на основе интегрального показателя профессионально значимых качеств (ПЗК) субъекта сопровождения (сумма баллов эталонных показателей, соответствующих заданной сфере деятельности) проведена типологизация индивидуальных профессиональных профилей инвалидов и лиц с ОВЗ посредством кластерного анализа. Данный анализ выполнен с помощью следующих методов кластеризации: метод Уорда, метод межгрупповых связей, метод ближайшего соседа, метод к - средних. Также в работе представлен факторный анализ личностных предпочтений и ПЗК респондентов. Для выделения факторов и определения значимости каждого из них использовался метод экспертной оценки. В работе A. V. Demianova и А. L. Lukiyanova2 изучается влияние статуса инвалида на занятость и продолжительность рабочей недели инвалида посредством метода мэтчинга, при котором происходит объединение наборов данных, полученных из разных источников, в единый профиль респондента. При реализации этого метода применяется регрессионная модель дискретного выбора (пробит-модель), которая включает также фиктивные переменные, учитывающие демографические и социально-экономические характеристики инвалидов. В статье "Big Data for computing social well-being indices of the Russian population"3 рассматриваются большие данные (поисковые запросы в Google), представляющие собой субъективные оценки различных показателей, касающихся личной и общественной жизни. В статье предполагается, что поисковые запросы за определенный промежуток времени дают уникальный взгляд на то, что в данный момент интересует людей, и позволяют отслеживать изменения в предпочтениях и интересах. Данное исследование включает в себя группировку поисковых запросов с использованием факторного анализа, главной целью которого является построение категорий, характеризующих различные аспекты общественного мнения (социального самочувствия) на основе факторных нагрузок. Факторный анализ используется как метод обнаружения взаимосвязей между значениями переменных посредством исследования структуры ковариационных и корреляционных матриц. Применение факторного анализа позволяет существенно сократить число потенциально -объясняющих переменных. Для определения категорий поисковых запросов, которые в наибольшей степени коррелируют с показателями социального самочувствия, в данной работе применяется модель байесовского усреднения, представляющая собой совокупность уравнений множественной линейной регрессии. В статье A. G. Maksimov, M. S. Telezhkina4 выполнен анализ влияния факторов, связанных с глобализацией, на трансформацию системы высшего образования. Исследование прове-
1 Цифровые ресурсы профессионализации молодых инвалидов: опыт разработки и внедрения регионального информационно-аналитического портала «ПЕРСПЕКТИВА-PRO» / под редакцией О. А. Денисовой. Череповец: Череповецкий государственный университет, 2021. 196 с.
2 Demianova A. V., Lukiyanova A. L. The impact of disability status on labor supply in Russia // Applied Econometrics. 2016. Vol. 44. P. 50-74.
3 Fantazzini D., Shakleina M. V., Yuras N. A. Big Data for computing social well-being indices of the Russian population // Applied Econometrics. 2018. Vol. 5. P. 43-66.
4 Maksimov A. G., Telezhkina M. S. Econometric analysis of phenomenon of higher education expansion // Applied Econometrics. 2019. Vol. 55. P. 91-112.
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 9 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (piint)
дено на панельных данных, которые состоят из наблюдений по одним и тем же объектам, полученных в последовательные периоды времени. Эти данные сочетают в себе как пространственную структуру, так и временную, и представляют собой частный случай 3-х мерного тензора, у которого одна из осей - ось времени. В качестве модели для анализа таких данных выбрана линейная модель множественной регрессии с фиксированным эффектом, включающая фиктивные переменные. В работе V. Мс^кута1 выполнено моделирование межрегиональной мобильности выпускников вузов в России также на основе панельных данных. В данном исследовании рассматривается модель пуассоновской регрессии с фиксированным эффектом. В статье Е. К0880уа, М. Ко8огакоуа 2 дан сравнительный анализ многомерной рекурсивной пробит -модели и мэтчинга, которые оценивают эффект воздействия высшего образования на бинарные показатели здоровья инвалидов. При проведении процедуры мэтчинга подбор объектов, наиболее похожий на заданный объект, осуществляется на основе расстояния Махаланобиса между двумя объектами и меры склонности к воздействию. В данном исследовании мера склонности к воздействию оценивалась посредством логистической регрессии с контрольными переменными. Многомерная про-бит-модель в статье представлена в виде рекурсивной системы уравнений бинарного выбора, в которую входят отдельные уравнения для переменной исхода и для переменной воздействия. Параметры этой системы (многомерной пробит-модели) оценивались с помощью метода максимального правдоподобия. В работе Д. В. Лебедева, А. В. Воронкова3 рассматривается один из методов многомерного статистического анализа - метод главных компонент. Этот метод предлагается в качестве инструментария многомерного измерения установок по отношению к инклюзивному образованию. При этом под установками понимаются психологические выражения культурных ценностей. Данные для исследования были сформированы на основе опросов родителей и учителей. Анкеты включали несколько блоков вопросов: установки по отношению к инклюзии в образовании, социальный капитал, взгляды, опыт, социально-демографические характеристики, помощь, ресурсы и др. В исследовании «Почему дети с инвалидностью не продолжают обучение в системе профессионального образования?»4 проводится анализ вовлеченности детей с инвалидностью в систему профессионального образования. С целью установления взаимосвязей между выбором профессионального образовательного учреждения, уровнем профессионального самоопределения, ограничениями здоровья использован логистический
1 Moskvina V. Modelling interregional mobility of university graduates in Russia // Applied Econometrics. 2019. Vol. 56. P. 99-122.
2 Kossova E., Kosorukova M. Estimation of the treatment effect of higher education on health: Comparison of the multivariate recursive probit model and matching // Applied Econometrics. 2023. Vol. 69. P. 65-90.
3 Лебедев Д. В., Воронков А. В. Оценка валидности и надежности инструментария многомерного измерения установок по отношению к инклюзивному образованию детей с ООП // Журнал исследований социальной политики. 2022. Т. 20, № 4. C. 607-624.
4 Аванесян К. А. Астоянц М. С., Тарасенко Л. В., Рыжова В. С., Дикая Л. А., Боровская М. А. Почему дети с инвалидностью не продолжают обучение в системе профессионального образования? // Журнал исследований социальной политики. 2022. Т. 20, № 4. C. 625-644.
10 ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
регрессионный анализ. Базу для исследования составили данные анкет, которые включали вопросы социально-демографического, образовательного и профориента-ционного характера. В статье были выделены группы факторов - мотиваторов и де-мотиваторов образовательной траектории школьников с инвалидностью.
Основная часть
Анализ работ по применению многомерных статистических методов в изучении социальных аспектов жизни разных категорий людей показывает, что наиболее распространенными методами являются: регрессионный анализ, факторный анализ, кластерный анализ, мэтчинг. При этом большая часть данных, на основе которых проводятся исследования, относится к качественным характеристикам и носит субъективный характер. Также эти методы либо применяются к двумерным массивам данных, либо используют ковариационные или корреляционные матрицы, либо применяются к панельным данным. В отличие от рассмотренных методов компонентный анализ может использоваться и в случае многомерных массивов данных (тензоров) без перехода к интегральным характеристикам, а также не требует использования ковариационных и корреляционных матриц как, например, в факторном анализе (при использовании качественных показателей вычисление таких матриц зачастую не имеет содержательного смысла). Это позволяет выяснить тонкую структуру зависимостей переменных друг от друга и общих причин, а также выявить более точную кластерную структуру индивидуальных профессиональных профилей инвалидов и лиц с ОВЗ. С целью выявления зависимостей и построения соответствующей кластеризации на основе компонентных нагрузок строится тензорная модель данных посредством применения компонентного анализа к информации, описываемой в виде тензора.
Для построения модели определим понятия тензора, мультииндекса, матрицы, ассоциированной с тензором, векторизации тензора и матрицы развертки1. Под d-мерным тензором будем понимать многомерный массив данных, который имеет следующие параметры: 1) d - количество осей (или размерность тензора), 2) форму (, п2, ..., нл), > 1, i = 1, 2,..., d - упорядоченный набор целых чисел, описывающих количество измерений на каждой оси тензора, 3) тип данных. Для анализа данных наряду с тензором будем использовать и его ^-мерные срезы. Срез представляет собой тензор, полученный из исходного тензора фиксацией номеров измерений на выбранных d — k осях. Пусть отображение ст = (ст(1), ст(2),...,ст^)) - некоторая перестановка чисел 1, 2,..., d . Зафиксируем некоторое значение параметра размерности k, 1 <k < d, разобьем данную перестановку на группы (ст(1),...,ст(к)) и (ст(& +1),...,ст^)) (в случае к = d будет одна группа - сама перестановка ст) и упо-
1 Cichocki A., Lee N., Oseledets I. V., Phan A.-H., Zhao Q., Mandic D. Low-Rank Tensor Networks for Dimensionality Reduction and Large-Scale Optimization Problems: Perspectives and Challenges // Foundations and Trends® в машинном обучении. 2016. Т. 9, № 4-5. С. 249-429. https://doi.org/10.48550/arXiv.1609.00893_
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 11 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (print)
рядочим элементы каждой группы по возрастанию. В результате получим следующие наборы индексов: ст(х1) <... <а(Хк), тs е{1,...,к}, 5 = 1, ...,к и
а(Хк+1) < ... < а(Хё), х5 е{к +1, ..., ё}, 5 = к +1, ..., ё (если к = ё, то будет набор индексов 1, 2,..., ё ).
Мультииндексом, соответствующим лексикографическому порядку и набору индексов а(Х() <... <а(Хк), называется целое число, которое определяется следующим образом:
' = га(1)¡а(2) .'' 'а(к) = ¡а(хк) + (/а(Хк_1> 1)Па(Хк) + (/а(Хк-2) 1)Па(Хк)Па(Хк_1> + "• + + (га(Х1) - 1)п<т(Хк)Па(Хк_1) .Па(Х2).
Аналогично определяется мультииндекс для ст(Хк+() < ... < а(Хё). В частности, если к = ё , то мультииндекс будет равен:
i = iii2 ...id = id + (id_i -V)nd + (id_2 -Y)ndnd_i +... + (i -Y)ndnd_i...n1, если к = 1, то для всех s = 1,..., d мультииндекс будет равен:
I = /1/2 .+! ...1, = + (1ё- 1)пё + (/ё-2 - 1)пЛ-1 + + (/1 - 1)пё«ё-1 П+Л-1 П2 .
Матрица X0>к размера ((1) •„. • (к) )х((к +1) •„. • (ё) ) элементы которой определяются по правилу (Xак)__= X (г1,. гё), называется матрицей,
^ ' 'Уа(1)--iа(k), ¡а(к+1)--^(ё)
ассоциированной с тензором Xе ^^ "2х" *"'', соответствующей перестановке а и параметру размерности к . В частности, когда к =1, получим матрицы развертки (X) /—/—/—- по каждому из ё направлений, 5 = 1,..., ё . Если к = ё, то получим
вектор-столбец размера п1 • п2 •... • пё (X)—- = уес (X), который называется векторизацией тензора. Необходимо заметить, что если 2-мерный тензор рассматривать как q х I матрицу, то операцию векторизации тензора можно записать через операцию векторизации матрицы следующим образом:
уес (X ) = уее (X7, )= К I )уес (X), (*)
где уес (X), уес (Xт) - операция векторизации матрицы, К (q, I) - коммутационная матрица, полученная из единичной матрицы 1с/1 соответствующей перестановкой ее строк.
12 ISSN 1994 0637 (print)
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
В основу тензорной модели данных положим модель многомерного компонентного анализа1, в котором k-мерный тензор Y, имеющий форму (nh, n2,..., nkj, аппроксимируется k-мерным тензором Z с формой (n'Si, n^,..., n[tj, где n's. < ns., i = 1,2,..., k. В качестве тензора Y в данной модели может рассматриваться как исходный тензор, так и любой его k-мерный срез, где 2 < k < d . Вначале рассмотрим случай, когда Y = Y есть 2-мерный тензор (матрица) размера nr х np . Пусть
матрица Y = (y1,y2,...,y"p j, где y есть j-й столбец матрицы Y, j = 1,...,np, аппроксимируется nr х n!p матрицей Z = ( z1, z2, ..., znp j , имеющей n/p столбцов, где n'p = rang(Y) < min(nr, np j, так чтобы выполнялось равенство:
Y = ZAT + E, (1)
где А - np х n p матрица коэффициентов линейной комбинации столбцов матрицы Z , Е - nr х np матрица остатков. Используя кронекеровское произведение, векторизацию матриц и их свойства, запишем равенство (1) в следующем тензорном виде:
YT = AZT + ET ^ vec (yt j= vec (AZT j+ vec (et j = (( ® Ajvec (zt j+ vec(ET) ^
vec(Yj = (l„r ® Ajvec(Zj + vec(Ej^
У = Cz + e , (2)
где
y = vec (Yj, z = vec(Z j, e = vec(E), C = In ® A. (3)
Модель (2), (3), в которой матрицы А и Z выбираются таким образом, чтобы ATA = In, , а функция ф(С, z j = (y - Cz jT (y - Cz j принимала наименьшее значение,
назовем одномерной тензорной моделью данных, поскольку оптимизация (нахождение компонент) происходит по одному направлению. Решение данной оптимизационной задачи основано на следующей теореме Эккарта-Юнга2: минимум функции <p(C, z j достигается, когда A есть np х n!p матрица из ортонормированных собственных векторов, соответствующих n/p наибольшим собственным значениям матрицы
1 Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.
2 Там же.
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
ISSN 1994 0637 13 (print)
YTY, а Z = YA. При этом наилучшая аппроксимация матрицы Y есть матрица
Y = YAAT ранга n'p . Минимальное значение функции ф(С, z) при данных ограничениях равно сумме np - n'p наименьших собственных значений матрицы YTY. В
соответствии с этой теоремой алгоритм нахождения наилучшей аппроксимации Y для матрицы Y включает следующие шаги:
1. Не нарушая общности, будем считать, что rang (Y) = min (nr, np) = p , и пусть Xj > X2 >... > Xp > 0 - собственные значения матрицы YTY (или YYT ).
2. Пусть сингулярное разложение матрицы Y имеет вид Y = SA1/2TT , где
пг хр матрица 5 и пр хр матрица Т удовлетворяют условию £ = 7 7 = 1р, Л = ёiag|Х1,...,Хр|. При этом, если р = пг то матрицы 5, Л и Г находятся из условий (УУ7 ) = 5Л (т. е. найти собственные значения и соответствующие им ор-тонормированные собственные векторы УУ7) и 7 = У75 Л 1/2. Если р = п , то матрицы Г, Л, 5 можно найти из условий (У7У)7 = 7Л, 5 = У7Л-12.
К 0 ^
3. Представим матрицу Л в блочном виде Л = I I, где
I 0 Л2 )
Лх = ёiag ..., Xи |, Л2 = ёiag п/ +1, ..., Хр |. А матрицы 5 и 7 в соответствии с таким разбиением запишем в виде 5 = (52) и 7 = (71 7 2), где матрица имеет размер пг х Ир, а матрица 71 - размер пр х п1 . Тогда наилучшая аппроксимация матрицы У может быть найдена следующим образом:
Y = S Aj/2T7 . (4)
Матрицу Ф = 51Л[/2 из равенства (4) назовем матрицей компонентных нагрузок. При этом под компонентой будем понимать математически сконструированную переменную, которая является обобщающим показателем для латентных (ненаблюдаемых, скрытых, не поддающихся измерению) переменных. Так как столбцы матрицы 5 ортонормированные, то компоненты не коррелируют между собой.
Одномерную компонентную модель для столбцов матрицы У, рассмотренную выше, можно применить и для строк данной матрицы. Для этого необходимо рассмотреть матрицу У7 . Также можно построить модель, применив компонентный анализ одновременно для столбцов и строк матрицы У. Для этого матрицу У представим в виде:
14 ISSN 1994 0637 (print)
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
Y = BZAT + E, (5)
где B e IRn'xn', A e IRnpxn'p, Z e IRn'rxnp, E e IR"r xnp . При этом выполняются условия:
ATA = Ip , BTB = , n', n'p < rang (Y). (6)
Используя кронекеровское произведение и векторизацию матриц, представим равенство (5) в виде:
YT = AZTBT + ET ^ vec ( YT ) = vec (AZTBT ) + vec (ET ) vec ( YT ) = = B ® Avec (ZT ) + vec (ET ) vec (Y ) = (B ® A) vec (Z ) + vec (E) .
В результате получим равенство (2), где:
y = vec (Y), г = vec(Z), e = vec(E), С = B ® A . (7)
Модель (2), (6), (7), в которой матрицы A, B, Z выбираются таким образом, чтобы функция ф(С, z ) = (y - Cz )T (y - Cz ) принимала наименьшее значение, назовем
двумерной тензорной моделью данных, так как оптимизация (нахождение компонент) происходит по двум направлениям. В данном случае наилучшая аппроксимация матрицы Y также может быть получена с использованием теоремы Эккарта-
Юнга. Алгоритм построения наилучшей аппроксимации Y включает следующие шаги:
1. Пусть q = min (n', n'p ). Тогда A1 - диагональная q x q матрица, содержащая q максимальных положительных собственных значений матрицы YYT (или YTY ), S1 - nr x q матрица ортонормированных собственных векторов YYT , соответствующих q максимальным собственным значениям: (YYT )S1 = S1A1, T1 - np x q матрица ортонормированных собственных векторов матрицы YTY, которая определяется как T = YTS1A-1'2.
2. Если nГ > nP , то q = Пр . В этом случае определим матрицы A = T1, B = (S1 U ),
Z =
V 0 y - - -
ся так, чтобы выполнялось условие BTB = I, :
f A1'2 ^
1 , где 0 - нулевая (n' - q )x q матрица, а nr x (n' - q ) матрица U выбирает-
v 0 /
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 15 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (print)
BTB = (S, U)т (S, U) = (?т 1(S U) =
у
T
ST S, ST U
T
1 "1
KUTS1 итиу Таким образом, матрица и удовлетворяет условиям:
Гити = I,
] т п -д
^и = о.
При этом наилучшая аппроксимация матрицы У аналогична одномерной тензорной модели:
(Iq 0 ^
0 I
nr -q у
Y = BZAT = (S, U)
(Л1/2 ^
1
V 0 у
TT = s1л1/2тT.
3. Если п'г < п'р , то д = п'г. В этом случае определим матрицы А = (Т1 V), В = ^ , 2 = (л1'2 0), где 0 - нулевая д х (( - д) матрица, а пр х (пР - д) матрица V выбирается из условия АТА = I/ , т. е. удовлетворяет условиям:
IVT V = I
\tTv = о.
Соответственно наилучшая аппроксимация матрицы У в этом случае также ана-
(4) У = В2АТ = ^ (л1/2 0)(Т о)т = S1л1/2т1т.
логична
Таким образом, матрица компонентных нагрузок для двумерной тензорной модели определяется так же, как и для одномерной модели. При этом, если количество компонент в модели равно рангу матрицы У, то используется одномерная тензорная модель. Если количество компонент меньше ранга матрицы У, то применяется двумерная тензорная модель.
Сравнивая одномерную и двумерную тензорную модель данных, видим, что равенство (2) отличается только определением матрицы С. При этом количество множителей в кронекеровском произведении, задающем эту матрицу, равно числу осей тензора, по которым происходит оптимизация (определяется количество компонент). Поэтому обобщим формулу (2) на случай к-мерного тензора У, 3 < к < ё , используя многомерную компонентную модель1. Для этого в равенстве (2) определим:
1 Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.
16
ISSN 1994 0637 (print)
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
y = vec(7), z = vec(Z) , e = vec(g) , С = A^ ® ASi ®...® ASt, (8)
где s < s2 < ... < sk, e {i, 2,..., dj, i = 1, 2,..., k . При этом ns x матрицы As удовлетворяют условию:
ATsAs = I,, n's < ns , i = 1,2, ..., k . (9)
ч ч n ч 4
Модель (2), (8), (9), в которой матрицы As , i = 1, 2,..., k, и тензор Z_ , имеющий форму (nSi, ns2, ..., n'k), выбираются таким образом, чтобы функция
ф(С, z) = (y - Cz )T (y - Cz) принимала наименьшее значение, назовем многомерной
тензорной моделью данных, так как оптимизация (нахождение компонент) происходит по более чем двум направлениям. Алгоритм нахождения наилучшей аппроксимации в данном многомерном случае основан на последовательном построении матриц As. , i = 1, 2,..., k . Он включает следующие шаги:
k k
1. Пусть n = П ns , n/ =П ns . Определим следующие параметры:
1=1 1=1
а о = 1 а1 = ^ а 2 = ^ n2, а 3 = ^ ns% n, , ..., а = n , ßo = 1, ß1 = nk , ß2 = nsknsk-1, ß3 = nsknsk-1 n4_2, ., ßk = n .
2. Зададим матрицы Qt = Iа ^ ® K (ßk; nS[), i = 1, 2, ., k , где K (ßk; nS[) -коммутационные матрицы размера ßk-(• ns , удовлетворяющие условию (*). Также определим (n / ns) x ns матрицы Yi - матрицы, для которых выполняется равенство vec (7 ) = ßy, i = 1,2, ..., k .
3. Пусть шаг итерации / = 1. Обозначим через A^, ..., A^ начальные (произвольно выбранные) значения матриц As2,..., Ak .
4. Вычислим кронекеровское произведение = A(0) ® ... ® A(J и определим n x n/ матрицу A(1) (первое приближение матрицы A ), которая составлена из ортонормированных собственных векторов, соответствующих n/1 максимальным собственным значениям матрицы 71TA(°) (A^)) 71.
5. Далее вычислим кронекеровское произведение A(0) = A(1) ® A(0) .•• ® A^ и определим ns x n матрицу Af (первое приближение матрицы As ), которая со-
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 17 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (print)
ставлена из ортонормированных собственных векторов, соответствующих n's максимальным собственным значениям матрицы Y2T A(0) (A(0)) Y2.
6. Продолжая аналогичным образом данный процесс, получим первое приближение A(1),..., Ak матриц As3, ..., Ak .
7. Вычислив A^, A^,..., A(1, построим новое приближение A(2), A(2), ..., A(2). Для этого перейдем к следующему шагу итерации t = 2 и проделаем 3 - 6 шаги алгоритма, взяв A^1',A^',...,A(1J за начальные значения матриц. Кроме того, на каждом
шаге алгоритма определим C(t' = A(' ®. ® A(' , z = (с(t') y,
Ф(С(t>,z) = (y -C(t>z)T (y -C(t>z) .
Процесс продолжим до тех пор, пока не будет выполнено условие (критерий остановки) ф(с(t', z) < s , где s > 0 - задаваемый уровень точности.
8. Пусть t„ - последний шаг итераций (выполнен критерий остановки). Определим С = С(t*'. Тогда наилучшая аппроксимация Y будет удовлетворять условию:
vec ^Y j = Cvec (Z ) = Cz = CCTy .
Рассмотренную тензорную модель данных предлагается использовать для обработки и анализа информации, относящейся к личностным, социальным, региональным и профессиональным характеристикам лиц с инвалидностью и лиц с ОВЗ. Такой анализ информации может быть учтен при разработке траекторий сопровождения указанных лиц. Для этого информацию, полученную в соответствии с комплексной методикой по выявлению профессионально значимых качеств инвалидов и лиц с ОВЗ1 (далее методика) предлагается описывать в виде d - мерного тензора. При этом оси тензора содержат следующую информацию по респондентам: 1) номер наблюдения (номер респондента), где n, - количество респондентов; 2) регион проживания, где n2 - число субъектов РФ, в которых проживают респонденты; 3) социальный статус, где n3 - количество видов социального статуса респондента; 4) возраст респондента, где n4 = max - min +1, а max и min соответственно максимальный и минимальный возраст респондентов; 5) состояние здоровья, где n5 - количе-
1 Цифровые ресурсы профессионализации молодых инвалидов: опыт разработки и внедрения регионального информационно-аналитического портала «ПЕРСПЕКТИВА-РРО» / под редакцией О. А. Денисовой. Череповец: Череповецкий государственный университет, 2021.
196 с.
18 ISSN 1994 0637 (print)
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
ство групп по состоянию здоровья; 6) уровень образования, где п6 — количество групп по уровню образования; 7) сферы деятельности, где п7 = 10; 8) ПЗК, где п8 = 50 ; 9) оценки ПЗК, где п9 = т > 1 (в [1] т = 1 - оценки респондентами своих ПЗК, полученные в результате опроса). Обозначим данный тензор X е I К"1'"2х ^ , а его элементы X01, '2, - •, ^), е {1,. • •, П}, 5 = 1, 2,..., d (в примере выше d = 9). Кроме того, в силу специфики данных выбор номера измерения на осях 2 - 6 зависит от выбора измерения на первой оси (выбора респондента). При этом каждому респонденту соответствует только одно измерение на осях 2 - 6. Поэтому далее это зависимое от измерение будем обозначать [г^], = 1, ..., п1, = 2,3,4,5,6. Например, из такого определения тензора X следует, что его 2-мерные срезы, включающие оценки конкретным респондентом своих ПЗК, будут представлять собой матрицы вида X = X01,-•• г6,:,:,1), в которых по строкам расположены сферы деятельности, по столбцам - ПЗК. Элементы матрицы X определяются следующим образом: для всех I = 1,..., п7, , = 1,...п8
1) если , есть эталонный показатель ПЗК для сферы I и = [г^], то (X) = X01, г2, '3, г4,' 5, г6,1, ,, 1) = х„, где хи е {1, 2, 3, 4, 5} - оценки (ранги) респондентами своих ПЗК, определяемые в соответствии с методикой1;
2) в остальных случаях (X) = X(г1, г2, г3, г4, г 5, г6,1, ,,1) = 0 .
Другим примером 2-мерного среза данного тензора X является матрица X = X(:,:, г3,г4,г5,г6,г7,/8;1) размера п1 х п2, в которой представлены оценки конкретного ПЗК (г8) для выбранной сферы деятельности (г7) всеми респондентами (ось ) из всех субъектов РФ, представленных в данном тензоре (ось г2), имеющих одинаковые социальный статус (г3), возраст (г4), состояние здоровья (г5), уровень образования (г6). При этом значение г8 выбирается из эталонных ПЗК для заданной сферы деятельности г7. Кроме того, в силу специфики определения тензора X в каждой строке данного среза будет только один ненулевой элемент. Важной особенностью данного тензора является его разреженность.
В качестве примера использования тензорной модели данных для получения релевантной информации (выделения компонент и построения матрицы компонентных нагрузок) рассмотрим применение двумерной тензорной модели для 2-мерных срезов X = X (1,... г6,:,:, 1), включающих оценки конкретным респондентом своих ПЗК. Данные срезы представляют собой матрицы размера 10 х 50, по строкам которых указаны сферы деятельности (управленческая, медицинская и спортивно-
1 Аванесян К. А., Астоянц М. С., Тарасенко Л. В., Рыжова В. С., Дикая Л. А., Боровская М. А. Почему дети с инвалидностью не продолжают обучение в системе профессионального образования? // Журнал исследований социальной политики. 2022. Т. 20, № 4. С. 625-644.
ISSN 1994 0637 19
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
(print)
оздоровительная, экологическая, научная, сфера социального обслуживания, IT-сфера, производственно-технологическая, педагогическая, экономическая, художественная), а по столбцам - ПЗК, разбитые на 10 групп (личностные качества, личностные характеристики, умения, способности, внимание, память, мышление, адаптивность, взаимодействие с другими людьми, темп деятельности) по 5 показателям в каждой группе. Для каждой сферы деятельности выделяется по одному эталонному показателю из каждой группы, т. е. каждую сферу деятельности характеризует 10 профессионально-значимых качеств. Следовательно, в каждой строке будет по 10 ненулевых элементов, а в каждом столбце по 2 ненулевых элемента (одно ПЗК является эталонным показателем для двух сфер деятельности). При этом rang (X) = 10 . В методике выбор наиболее приемлемых сфер деятельности для респондента осуществляется посредством суммирования значений этих 10 показателей. Так как из двух матриц X XT и XT X наименьшую размерность имеет матрица X XT (размерность 10 х 10), то для построения тензорной модели будем находить собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы X XT . Поскольку rang (XXT ) = rang (XTX) = rang (X) = 10, то число положительных собственных значений матрицы XX (общее число компонент) равно 10. В модели оставлены только те компоненты (5 компонент, соответствующих наибольшим собственным значениям матрицы X XT ), общий вклад которых в сумму собственных значений достигает заранее заданной величины (не менее 70 %). При этом компоненты являются некоррелированными переменными. Результаты построения тензорной модели для среза по конкретному респонденту представлены в табл. 1. Для определения совместного влияния компонент на сферу деятельности по каждой строке матрицы компонентных нагрузок вычислена векторная норма (евклидова норма /2, манхеттен-норма l1, - норма, норма Гёльдера lp с показателем p = 4).
В табл. 2 представлены ранги вычисленных норм в порядке убывания их значений (наибольшему значению - ранг 1 и т. д.), а также сумма рангов, на основе которой ранжированы сферы деятельности по степени успешности для респондента профессионально самореализоваться в данной сфере и в наибольшей степени реализовать личностный потенциал (наименьшему значению суммы присваивается ранг 1 и т. д.). Также в таблице представлено ранжирование сфер деятельности на основе методики. Сравнивая ранги, полученные по модели и по методике, можно отметить, что по большинству сфер деятельности ранги либо совпадают, либо отличаются одной-двумя позициями. Такая же ситуация наблюдается при сравнении тензорной модели с результатами, полученными по методике, и по другим респондентам. Сравнительный анализ ранжирования сфер деятельности (ранги) представлен в табл. 3 (1-модель, 2-методика).
20 ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
Таблица 1
Двумерная тензорная модель данных для 2-мерного среза
Показатели Матрица компонентных нагрузок Векторные нормы
Компонента, векторная норма 1 2 3 4 5 12 k l. lP
Собственные значения 260,8 231,0 137,8 112,5 99,6
Вклад в общую сумму собственных значений, % 23,7 21,0 12,5 10,2 9,1
Управленческая сфера 6,99 -5,34 -1,63 1,28 -5,41 10,53 20,65 6,99 7,99
Медицинская и спортивно-оздоровительная сфера 4,20 5,65 1,48 -6,46 -3,01 10,13 20,81 6,46 7,50
Экологическая сфера (ЭКЛ) 5,12 6,01 7,29 -0,18 -0,07 10,75 18,68 7,29 8,33
Научная сфера 0,36 -0,01 -0,27 -0,10 0,31 0,55 1,05 0,36 0,42
Сфера социального обслуживания 5,52 7,65 -1,70 6,72 1,41 11,79 23,00 7,65 8,95
1Т-сфера 2,04 1,05 -2,21 1,97 0,13 3,75 7,39 2,21 2,75
Производственно- технологическая сфера 4,58 3,87 -8,17 -3,17 0,03 10,62 19,83 8,17 8,50
Педагогическая сфера 9,21 -7,32 2,00 0,56 0,49 11,96 19,58 9,21 10,03
Экономическая сфера 4,81 -2,48 -0,30 -2,99 7,65 9,84 18,22 7,65 7,99
Художественная сфера 2,10 0,03 1,03 0,83 0,57 2,55 4,56 2,10 2,14
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 21 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (print)
Таблица 2
Ранжирование сфер деятельности в двумерной тензорной модели
Сфера деятельности Ранг ¡г Ранг ¡1 Ранг Ранг ¡р Сумма рангов Ранг по модели Баллы методике Ранг по методике
Управленческая сфера 5 3 6 6 20 5 32.0 6
Медицинская и спортивно-оздоровительная сфера 6 2 7 7 22 7 33.0 5
Экологическая сфера (ЭКЛ) 3 6 5 4 18 4 35.0 3
Научная сфера 10 10 10 10 40 10 14.0 10
Сфера социального обслуживания 2 1 4 2 9 2 37.0 2
1Т-сфера 8 8 8 8 32 8 24.0 8
Производственно- технологическая сфера 4 4 2 3 13 3 34.0 4
Педагогическая сфера 1 5 1 1 8 1 38.0 1
Экономическая сфера 7 7 3 5 22 7 31.0 7
Художественная сфера 9 9 9 9 36 9 22.0 9
Таблица 3
Сравнительный анализ ранжирования сфер деятельности
Сфера деятельности Респонденты
№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Вклад в общую сумму собственных значений, % 76.5 71.8 72.9 70.2 72.0
Управленческая сфера 5 6 2 2 4 4 2 6 4 7
Медицинская и спортивно-оздоро-вительная сфера 7 5 3 3 7 7 6 3 6 4
Экологическая сфера (ЭКЛ) 4 3 4 4 8 9 1 1 10 9
Научная сфера 10 10 6 7 9 8 4 5 1 1
Сфера социального обслуживания 2 2 8 6 5 2 5 2 8 7
1Т-сфера 8 8 10 9 3 6 8 8 9 10
Производственно-технологическая сфера 3 4 5 5 6 4 10 8 5 7
22 ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
Педагогическая сфера 1 1 7 9 2 4 7 10 2 3
Экономическая сфера 7 7 9 9 10 10 3 4 3 3
Художественная сфера 9 9 1 2 1 1 9 10 7 7
Таблица 3
Сравнительный анализ ранжирования сфер деятельности (продолжение)
Респонденты
Сфера деятельности № 6 № 7 № 8 № 9 № 10
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Вклад в общую сумму собственных значений, % 70.8 73.5 72.4 71.5 75.1
Управленческая сфера 6 7 2 1 6 6 3 2 4 3
Медицинская и спортивно-оздоровительная сфера 4 3 8 8 5 8 10 10 6 6
Экологическая сфера (ЭКЛ) 3 2 1 3 7 9 7 9 7 7
Научная сфера 7 5 9 9 4 2 8 5 8 9
Сфера социального обслуживания 9 8 10 10 9 8 5 7 2 2
1Т-сфера 1 1 6 6 1 1 9 9 9 9
Производственно-технологическая сфера 10 10 5 5 8 5 3 4 10 10
Педагогическая сфера 8 9 3 3 4 4 1 1 1 1
Экономическая сфера 2 5 4 4 10 10 6 7 5 6
Художественная сфера 5 5 7 8 2 3 4 4 4 4
Выводы
Полученные результаты применения данной модели к 2-мерным срезам, включающим оценки респондентом своих ПЗК, позволяют сделать вывод, что тензорная модель данных согласуется с комплексной методикой по выявлению профессионально значимых качеств инвалидов и лиц с ОВЗ, а значит может служить теоретическим обоснованием данного подхода. Кроме того, применение данной модели позволяет сократить количество факторов, принимаемых во внимание при определении сферы деятельности, в которой инвалид или лицо с ОВЗ сможет наиболее успешно реализовать свой личностный и профессиональный потенциал. Также тензорная модель дает возможность точнее выбрать эту сферу деятельности.
Таким образом, применение тензорной модели данных для описания вариативных характеристик субъектов сопровождения дает метод обработки этих данных с использованием аппарата многомерного компонентного анализа. В результате исходные данные могут быть представлены в виде линейных комбинаций математически сконструированных некоррелируемых переменных (компонент), количество которых значительно меньше, чем число измерений на осях тензора. Это позволяет определить релевантные данные (матрицу компонентных нагрузок), которые могут быть
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 23 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (print)
использованы для разработки вариативных траекторий сопровождения инвалидов и лиц с ОВЗ, а также обеспечения требуемого качества решений.
Список источников
Аванесян К. А., Астоянц М. С., Тарасенко Л. В., Рыжова В. С., Дикая Л. А., Боровская М. А. Почему дети с инвалидностью не продолжают обучение в системе профессионального образования? // Журнал исследований социальной политики. 2022. Т. 20, № 4. С. 625-644.
Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.
Лебедев Д. В., Воронков А. В. Оценка валидности и надежности инструментария многомерного измерения установок по отношению к инклюзивному образованию детей с ООП // Журнал исследований социальной политики. 2022. Т. 20, № 4. С. 607-624.
Цифровые ресурсы профессионализации молодых инвалидов: опыт разработки и внедрения регионального информационно-аналитического портала «ПЕРСПЕКТИВА-PRO» / под редакцией О. А. Денисовой. Череповец: Череповецкий государственный университет, 2021. 196 с.
Cichocki A., Lee N., Oseledets I. V., Phan A.-H., Zhao Q., Mandic D. Low-Rank Tensor Networks for Dimensionality Reduction and Large-Scale Optimization Problems: Perspectives and Challenges. PART 1 // Foundations and Trends in Machine Learning. 2016. Vol. 9. No. 4-5. P. 249-429. https://doi.org/10.48550/arXiv.1609.00893
Demianova A. V., Lukiyanova A. L. The impact of disability status on labor supply in Russia // Applied Econometrics. 2016. Vol. 44. P. 50-74.
Fantazzini D., Shakleina M. V., Yuras N. A. Big Data for computing social well-being indices of the Russian population // Applied Econometrics. 2018. Vol. 50. Р. 43-66.
Kossova E., Kosorukova M. Estimation of the treatment effect of higher education on health: Comparison of the multivariate recursive probit model and matching // Applied Econometrics. 2023. Vol. 69. P. 65-90.
Maksimov A. G., Telezhkina M. S. Econometric analysis of phenomenon of higher education expansion // Applied Econometrics. 2019. Vol. 55. P. 91-112.
Moskvina V. Modelling interregional mobility of university graduates in Russia // Applied Econometrics. 2019. Vol. 56. P. 99-122.
References
Avanesian K. A., Astoiants M. S., Tarasenko L. V., Ryzhova V. S., Dikaia L. A., Borovskaia M. A. Pochemu deti s invalidnost'iu ne prodolzhaiut obuchenie v sisteme professional'nogo obrazovani-ia? [Why are children with disabilities not continuing their education in the system of professional training?]. Zhurnal issledovanii sotsial'noipolitiki [The Journal of Social Policy Studies], 2022, vol. 20, no. 4, pp. 625-644.
Magnus Ia. R., Neidekker Kh. Matrichnoe differentsial'noe ischislenie s prilozheniiami k statis-tike i ekonometrike [Matrix differential calculus with applications to statistics and econometrics]. Moscow, 2002. 496 p.
Lebedev D. V., Voronkov A. V. Otsenka validnosti i nadezhnosti instrumentariia mnogomernogo izmereniia ustanovok po otnosheniiu k inkliuzivnomu obrazovaniiu detei s OOP [Assessing the validity and reliability of an instrument for multidimensional measurement of attitudes towards inclusive education of children with SEN]. Zhurnal issledovanii sotsial'noipolitiki [The Journal of Social Policy Studies], 2022, vol. 20, no. 4, pp. 607-624.
24 ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1
Tsifrovye resursy professionalizatsii molodykh invalidov: opyt razrabotki i vnedreniia region-al'nogo informatsionno-analiticheskogo portala «PERSPEKTIVA-PRO» [Digital resources for pro-fessionalization of young disabled people: experience of development and implementation of the regional information and analytical portal "PERSPECTIVA-PRO"; ed. by O. A. Denisova]. Cherepovets: Cherepovetskii gosudarstvennyi universitet, 2021. 196 p.
Cichocki A., Lee N., Oseledets I. V., Phan A.-H., Zhao Q., Mandic D. Low-Rank Tensor Networks for Dimensionality Reduction and Large-Scale Optimization Problems: Perspectives and Challenges. PART 1. Foundations and Trends in Machine Learning, 2016, vol. 9, no. 4-5, pp. 249-429. https://doi.org/10.48550/arXiv.1609.00893
Demianova A. V., Lukiyanova A. L. The impact of disability status on labor supply in Russia. Applied Econometrics, 2016, vol. 44, pp. 50-74.
Fantazzini D., Shakleina M. V., Yuras N. A. Big Data for computing social well-being indices of the Russian population. Applied Econometrics, 2018, vol. 50, pp. 43-66.
Kossova E., Kosorukova M. Estimation of the treatment effect of higher education on health: Comparison of the multivariate recursive probit model and matching. Applied Econometrics, 2023, vol. 69, pp. 65-90.
Maksimov A. G., Telezhkina M. S. Econometric analysis of phenomenon of higher education expansion. Applied Econometrics, 2019, vol. 55, pp. 91-112.
Moskvina V. Modelling interregional mobility of university graduates in Russia. Applied Econometrics, 2019, vol. 56, pp. 99-122.
Сведения об авторах
Александр Анатольевич Банин - кандидат физико-математических наук, доцент, https://orcid.org/0000-0003-4242-1471, [email protected], Череповецкий государственный университет (д. 5, пр-т Луначарского, 162600 Череповец, Россия); Alexander A. Banin - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, https://orcid.org/0000-0003-4242-1471, [email protected], Cherepovets State University (5, pr. Lunacharskogo, 162600 Cherepovets, Russia).
Ольга Юрьевна Лягинова - кандидат педагогических наук, доцент, проректор по научной работе, заведующий кафедрой математики и информатики Череповецкого государственного университета, Череповецкий государственный университет (д. 5, пр-т Луначарского, 162600 Череповец, Россия); Olga Yu. Lyaginova - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Vice-Rector for Research, Head of the Mathematics and Informatics Department, Cherepovets State University (5, pr. Lunacharskogo, 162600 Cherepovets, Russia).
Заявленный вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 01.12.2023; одобрена после рецензирования 29.12.2023; принята к публикации 12.01.2024.
The article was submitted 01.12.2023; Approved after reviewing 29.12.2023; Accepted for publication 12.01.2024.
Вестник Череповецкого государственного университета • 2024 • № 1 ISSN 1994-0637 25 Cherepovets State University Bulletin ^2024 • No. 1 (print)
