CC BY
6Tengsizliklarni yechishning noodatiy usuli
A.Ibragimov O.Pulatov pulatov. sertifikat@gmail. com I.Teshaboyeva
O'zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti
Annotatsiya: Ushbu maqola minimum va maksimum tengsizliklarni, Koshi Bunyakovskiy tengsizligi hamda o'rta arifmetik va o'rta geometrik miqdorlar orasidagi munosabatlardan foydalanib isbotlash haqida.
Kalit so'zlar: Koshi Bunyakovskiy tengsizligi, o'rta arifmetik miqdorlar, o'rta geometrik miqdorlar
An unusual way to solve inequalities
A.Ibrahimov O.Pulatov pulatov. sertifikat@gmail. com I.Teshaboyeva Uzbekistan-Finland Pedagogical Institute
Abstract: This paper is about proofs of minimum and maximum inequalities, Cauchy's Buniakovsky inequality, and relationships between arithmetic means and geometric means.
Keywords: Cauchy Buniakovsky inequality, mean arithmetic quantities, mean geometric quantities
Dar haqiqat shuni aytib o'tishimiz joizki, isbotlanishi talab etiladigan tengsizliklarning juda ham ko'plab turlari mavjud. Men ushbu maqola orqali sizlarga minimum va maksimum tengsizliklarni isbotlashning bir necha usullarini taqdim etmoqchiman.
1. Keling, biz bir ixtiyoriy tengsizlik olaylik. Aytaylik, shu tengsizlik quyidagi ko'rinishda bo'lsin.
2 2 2 ,3(x - y)2 3(y - z)2 3(z - x)2, x2 + y2 + z2 -xy-yz-zx > maxp-¿2—-^-^^^-.}
4 4 4 (1)
va bu yerdagi x,y,z lar haqiqiy sonlar deb qarab, ushbu tengsizlikning o'rinli ekanligini isbotlasak.
ISBOT: Umumiylikka zarar yetkazmasdan * - y > z deb olishimiz ham mumkin.
3(x - y)2 3(y - z)2 3(z - x)2
Bundan esa, Max { 4 4 4 } ekanligi osongina kelib chiqadi.
2 2 2 3(z - x)2 x + y + z -xy-yz-zx>—-—
Demak, (1) tengsizlik, aynan 4 tengsizlikka teng kuchli
ekan. Endi ushbu tengsizliklarning chap tomonini ikkiga ko'paytirib, soddalashtiramiz.
2(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = x2 + x2 +
+y2+y2 + z2 + z2 - 2xy - 2yz - 2zx = (x2 - 2xy+y2) + (y2 - 2yz+z2) +1
+ (z2 - 2zx+x2) = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 2(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
2 2 2 X + y + z - xy - yz - zx =
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
2
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 > 3(z - x)2
Ayniyatdan foydalansak, 2 4
3
(x -y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 >-(z - x)2
2K ' (2)
shu tengsizlikni isbotlash yetarli.
Agar a=x-y , b=y-z deb belgilash kiritib olsak, (2) tengsizlikning ko'rinishi
-
a2 + Ъ2 + (y - b - y - a)2 >-(-(a + b))2
o'zgaradi. (z=y-b , x=y+a) 2
3
a2 + Ъ + (a + b)2 >-(a + b)2.l0h2^,2
2 , 1.2 , r , — ( , г.\2
2 (a + b) 2a2 + 2b2 + 2(a2 + 2ab+b2) > 3(a2 + 2ab+bz)
2a2 + 2b2 + 2a2 + 4ab + 2b2 > 3a2 + 6ab + 3b2 a2 - 2ab + b2 > 0 (a - b) > 0
Ko'rinishga keldi, albatta bu ifoda musbat. Isbotlandi.
2. Agar a,b,c,d musbat sonlar uchun abcd=1 tenglik o'rinli bo'lsa, u holda
a3 + b3 + c3 + d3 > max{a + b + c + d; — + - + - + —}
a b с d tengsizlikni isbotlang.
ISBOT: Bu tengsizlikni isbotlash uchun
a3 + b3 + с3 + d3 > a + b + с + d
(3)
„3 , Z.3 , „3 , 1 1 1 1
a + b + с + d + —
a b с d (4)
tengsizliklarning har ikkalasini ham isbotlash zarur va yetarlidir. Avval (3) tengsizlikni isbotlaymiz. S=a+b+c+d bo'lsin. O'rta arifmetik va o'rta geometrik miqdorlar orasidagi munosabatlarga ko'ra,
a + b + с + d .!—,—-
-> v aЪcd .1——
4 a+Ъ + с + d > 4 •4 a^d abcd=1 ekanidan S = a + b + с + d > 4
1 Курбон Останов, Ойбек Улашевич Пулатов, Джумаев Максуд, «Обучение умениям доказать при изучении курса алгебры,» Достижения науки и образования, т. 2 (24), № 24, pp. 52-53, 2018.
ISSN 2181-0842 / IMPACT FACTOR 3.848 20 [М^^^И
shu tengsizlik ya'ni S > 4 o'rinli. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko'ra, (a3 + b3 + c3 + d3) • (1 +1 +1 +1) • (1 +1 +1 +1) > (a + b + c + d)3 (5)
Ya'ni, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi quydagi ko'rinishga ega :
(a + a2 +...+an)• (b1 + b2 +... + bn)+ c2 +... + c) > (*/a b1
+ Va2 b2 • • • c1 + k4an К ■ ■ ■ cn)k
Bu yerda, a'^' . > 0; 1 1 n Shu asosida (5) tengsizlikni hosil qildik.
SL
(a3 + b3 + c3 + d3) • 4 • 4 > (a+b + c + d)3 a + b + c + d > 16
a3 + b3 + c3 + d3 > -
S3 > =s
tenglik o'rinli. S > 4dan foydalansak, 16 16 ga ya'ni a + к + c + d3 > S ga
1 a 1 1 л 1
a =- b =- c =- d =
ega bo'lamiz. bcd ; acd ; abd ; abc 2
Larni topib olamiz va (4) tenglikka olib borib qo'yamiz.
a + b + C3 + d3 > bcd + acd + M + abc ekanligi kelib chiqadi.O'rta arifmetik va o'rta geometrik miqdorlar orasidagi munosabatdan foydalansak,
a3 + b3 + c3 > 3abc b3 + c3 + d3 > 3bcd c3 + d3 + a3 > 3cda d3 + a3 + b3 > 3dab
ga ega bo'lamiz. Bularni qo'shib yuborsak, a + b + c + d3 > abc + bcd + cda + dab kelib chiqadi. Isbotlandi.
1) Musbat a,b,c sonlar berilgan. Agar x=max{a,b,c} va y=min{a,b,c} bo'lsa, x y 18abc
y X (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ni isbotlang.
ISBOT: Umumiylikkka zarar yetkazmagan holda a >b >c deb olamiz. Bundan
x=a , y=c ekanligi kelib chiqadi. Endi , (a - c) > 0 deb olib, a - 2ac + c2 > 0
a2 + c2 >2ac ekanligini keltirib chiqaramiz. Yoki, o'rta arifmetik va o'rta
2 2 a + c
-> ac 22
geometrik miqdorlar orasidagi munosabatlarga ko'ra, 2 ^ a +c >2ac va
a + b + c , 1 i ■ > V abc
3 ^ (a+b + c) > 27abctengliklar o'rinli. Bulardan foydalansak,
2 Курбон Останов, Ойбек Улашевич Пулатов, Алижон Ахмадович Азимов, «Вопросы науки и образования,»
Использование нестандартных исследовательских задач в процессе обучения геометрии, т. 1, № 13, рр. 120-121, 2018.
"Science and Education" Scientific Journal / www.openscience.uz December 2023 / Volume 4 Issue 12 x + y_a + c_a2 + c2 _(a2 + c 2)b > 2abc _ 54abc
y x c a ac abc (a + b + c)3 (a + b + c)3
27 ko'rinishga keladi. Endi
54abc 18abc ->-
biz, (a + b + c) {a + b + c){a + b + с ) ni isbotlasak yetarli bo'ladi. Bu esa,
3(a + b + c ) >(a+b+c) ga teng. Bu tenglikni soddalashtiramiz:
3a2 + 3b2 + 3c2 > ((a + b) + c)2 3a2 + 3b2 + 3c2 > (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 3a2 + 3b2 + 3c2 > a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ac (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc+c2) + (c2 - 2ac+a2) > 0 (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 > 0 ga ega bo'lamiz. Isbotlandi.
2) Musbat ai'a2' -'a» sonlar berilgan, bunda n > 2, n G N va
a + a2 +... + an)(— + — +... + —) < (n + -1)2
ai a2 an 2 shartlar o'rinli bo'lsa,
maxl^i,a2,...,an} < 4 • minimi,an} ^ isbotlang.
ISBOT: Umumiylikka zarar yetkazmasdan,
ai < a2 < a < - < a-i < an ; m = ai ; M = an deb olishimiz mumkin. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib,
(n + -1)2 > (a + a +...+a)(~ + ~ +...+~) = (m+a +...+м)(—+— +...+—) >
2 a a a M a m
12 n 2
^ /- m i i i m\2 / m о м. 1Л2
>477 +1 +1 +... +1 + л _)2 W77 + n-2+ J—)2 <(n+ -)2
Vм Vm ni, ya'ni VM Vm 2
ni hosil qilamiz. Buni soddalashtirib,
Гm M 1 [m M 5 m „ M 25 m M 17
J—+ n - 2 + —< n + — J—+ J— <— — + 2 + — <— — + — < — \M V m 2 \M \ m 2 M m 4 M m 4
4m2 -17mM + 4M2 < 0 (4M - m)(M - 4m) < 0 ga ega b0'lamiz. M > m dan
ekanligidan, 4M -m > 0 bo'lib, M-4m < 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa M< 4m demakdir. Isbotlandi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. A.V.Pogorelov, Analitik geometriya., T.O'qituvchi,, 1983 y.
2. Курбон Останов, Ойбек Улашевич Пулатов, Джумаев Максуд, «Обучение умениям доказать при изучении курса алгебры,» Достижения науки и образования, т. 2 (24), № 24, pp. 52-53, 2018.
3. Rajabov F.,Nurmatov A.,Analitik, geometriya va chizikli algebra, T.O'qituvchi, 1990y.
4. OU Pulatov, MM Djumayev, «In volume 11, of Eurasian Journal of Physics,,» Development Of Students' Creative Skills in Solving Some Algebraic Problems Using Surface Formulas of Geometric Shapes, т. 11, № 1, pp. 22-28, 2022/10/22.
5. Курбон Останов, Ойбек Улашевич Пулатов, Алижон Ахмадович Азимов, «Вопросы науки и образования,» Использование нестандартных исследовательских задач в процессе обучения геометрии, т. 1, № 13, pp. 120-121, 2018.
6. АА Азимзода, ОУ Пулатов, К Остонов, «Актуальные научные исследования и разработки,» МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МЕТРИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ТРЕУГОЛЬНИКА, т. 1, № 3, pp. 297-300, 2017.
7. OU Pulatov, HS Aktamov, MA Muhammadiyeva, «Development of Creative Skills of Students in Solution of Some Problems of Vectoral, Mixed and Double Multiplications of Vectors,» Eurasian Research Bulletin, т. 14, № https://www.geniusjournals.org/index.php/erb/article/view/2659, pp. 224-228, 2022/11/24.
