CC BY
324AYNIYAT, TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASH VA IFODALARNI SODDALASHTIRISHDA HOSILADAN FOYDALANISH
DJABBAROV Odil Djurayevich
TDTUOlmaliqfiliali katta o'qituvchisi [email protected] JONQOBILOV Jahongir Tirkashevich
TDTU Olmaliq filiali o 'qituvchisi
d https://doi.org/10.24412/2181-2993-2023-2-173-177
Ushbu maqolada matematik masalalar: ifodalarni soddalashtirish, ANNOTATSIYA ayniyat va tengsizliklarni isbotlashda hosiladan foydalanib yechish usuli
ko'rsatilgan. Bu usul klassik usullardan ancha qulayligi misollar yordamida ko'rib o'tilgan. Kalit so'zlar: Ayniyat, tengsizlik, funksiya, hosila, soddalashtirish, teorema, o'suvchi, kamayuvchi.
This article shows the method of solving mathematical problems: simplifying expressions, using derivation in proof of identity and inequalities. This method is much easier than classical methods, and it is considered with the help of examples. Key words: identity, inequality, function, derivative, simplification, theorem, increasing, decreasing.
ABSTRACT
АННОТАЦИЯ
В данной статье показан метод решения математических задач: упрощение выражений, использование вывода при доказательстве тождества и неравенств. Этот метод намного проще классических и рассматривается на примерах. Ключевые слова: тождество, неравенство, функция, производная, упрощение, теорема, возрастание, убывание.
KIRISH.
Bizga f(xvx2l... ,xn) = g(xv x2/... jX^) ayniyat berilgan bo'lsin. Ma'lumki, bu ayniyatni isbotlashda /(xltx2,... ,xn) ifodani shakl almashtirishlar yordamida g(xv x2,... ,xn) ifodani va aksincha , g(xlrx2,... ,xn) ifodani shakl almashtirishlar yordamida f(xvx2,...,xn) ifodani xosil qilishdan iborat. O'zining aniqlanish sohasida /(xiiPx2,... ,xn) = g{xlf x2,... ,хд) ayniyatni hosila yordamida isbotlash o'ziga xos qulayliklarga ega. Buning uchun хг,х2,... ,xn harfiy o'zgaruvchilardan biror Xj ni o'zgaruvchi deb, qolganlarini o'zgarmas deb olib <p(x) = f(xlrx2,... ,xn) — g(xltx2,... дп) funksiyani tuzib, Xj bo'yicha hosila olamiz. Ayniyatni isbotlashda quyidagi teoremadan foydalanamiz.
173
14 www.birunijournal .uz
MUHOKAMA VA NATI JALAR.
Teorema. Agar y = <p(x) fimksiya biror to'plamda <p'(x) = 0 bo'lsa, u holda shuto'plamda <p(x) = С bo'ladi.
Misol. Ixtiyoriy x,y G R uchun (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 +y3 ekanligini isbotlang.
Isbot. <p(x,y) = (x + y)3 - x3 - 3x2y — 3xy2 - y3 funksiyadan x bo'yicha hosila olamiz: (p\x,y) = 3(x +y)2 - x3 - 3x2 - 6xy - 3y2 = 0. Demak , <p(x,y) = С ekan, С ni topish uchun x = 0 deb olamiz va
natijaga ega bo'lamiz. Yuqoridagi teoremaga asosan: <p(x, y) = 0,ya'ni
ekanligi kelib chiqadi.
Hosila yordamida murakkab ayniyatlarni isbotlash shakl almashtirishlardan ko'ra o'z afzalliklariga ega va hisoblash jaroyonini tezlashtiradi.
Misol. sin2 x+cos2x = 1 ayniyatni isbotlang.
Isbot. f (x) = sin2 x+cos2x — 1 funksiyani tuzib, uning hosilasini topamiz: f'(x) = 2sinx cosx — 2cosx sinx = 0. Bundan f(x) = C ekanligi kelib chiqadi. С ni topish uchun x = 0 deb olib, /(0) = 0 dan С = 0 ekanligi kelib chiqadi. Demak,
ekan.
Bizga qandaydir algebraik ifoda berilgan bo'lsin, uni hosila yordamida soddalashtirish mumkin. Algebraik ifoda bir necha harfiy o'zgaruvchilar yoki parametrlardan iborat bo'lishi mumkin, ya'ni f(xvx2l... ,xn) ko'rinishda bo'ladi. Bunday ifodalarni soddalashtirish uchun ixtiyoriy x¿ ni o'zgaruvchi, qolganlarini o'zgarmas deb, o'zgaruvchi bo'yicha hosila olamiz. Xususiy holda /(x; y; z) ifoda berilgan bo'lsa, x ni o'zgaruvchi, y va z larni o'zgarmas deb olsak, f^(x-,y,z) ni topamiz va soddalashtirishni bajaramiz.
soddalashtiring.
Yechish. Agar qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalansak yoki qavslarni ochib yuborsak , ancha qiyinchiliklarga duch kelamiz. Misolni hosila yordamida hal etish uchun x ni o'zgaruvchi , y va z larni o'zgarmas deb, x bo'yicha hosila olamiz:
fx(x; y; z) = 3(x + y + z)3 — 3(x + y — z)2 — 3(y+z — x)2 — 3(z + x — y)2 =
3[2(x + y)2z + 2(x — y)(—2z)] = 24 yz
174
www.birunijournal .uz
U holda /(x;y;z) = 24xyz + C bo'ladi, bu yerda C = C(y,z). Agar x = 0 deb olsak, /(ü;y; z) = (y + z)3 - (y - z)3 - (y + z)3 - (z - y)3 = 0 ekanligidan C = 0 kelib chiqadi. Demak,
ekan. Xuddi shu kabi algebraik ifodalarni ko'paytuvchilarga ajratish masalasini hal qilish mumkin, lekin bu yerda har qanday algebraik ifodalarni ko'paytuvchilarga ajratish mumkin degani emas. Masalan, fix-, y) = x2 + 3y2 ifodani ko'paytuvchilarga ajratish iloji yo'q.
Ayrim algebraik tengsizliklarni yechishga hosiladan foydalanib yechish mumkin. Aytaylik, qanday dir a < x < b oraliqda fix) > g(x) tengsizlikni isbotlash talab qilinsin. Ushbu <p(x) = fix) — g{x) funksiyani kiritamiz. U holda masala min (¿K.Y) = 0 ekanligini isbotlashga teng kuchli bo'ladi. Masalaning yechimi
a<x<b
quyidagi qadamlarda amalga oshiriladi:
1) <p(x) = f(x) — cj(x) funksiya kiritiladi.
2) <p'(x) = f'{x) — g'(x) hosila topiladi.
3) <p'(x) = 0 tenglama ildizi x0 topiladi.
4) Agar <p(x) funksiya x0 nuqtada minimumga ega <p(x0) > 0 bo'lsa, u holda (a, £i) ga tegishli ixtiyoriy x uchun <p(x) > 0 bo'ladi. Bundan esa fix) > g(x) ekanligi kelib chiqadi. Bunda y'(x) = 0 tenglama bitta x0 ildizga ega va x0 e (a; b) deb faraz qilinadi.
Misol. 20222023 > 2023zu^ ekanligini isbotlang.
lnjf z x lux
Isbot. 1) y = — funksiyani kiritamiz. 2) y = --
>2022
j;
3) 1 - Imc = 0; x
x > e da y' < 0 bo'ladi, demak y = ^ funksiya kamayuvchi ekan. 0 < x < e
da y' > 0 bo'ladi, demak y = ^ funksiya o'suvchi ekan. U holda x = e nuqtada funksiya maksimumga ega ekanligi kelib chiqadi. Bundan ln2°23 < ln2°22 kelib
2023
2022
chiqadi, uni shakl almashtirib, 20232O22 < 20222O23ni hosil qilamiz. Misol. Quyidagi cos 2022 < 1 + cos2023 tengsizlik o'rinlimi? Yechish. Berilgan tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz: cos 2022 + 2022 < cos2023 + 2023.
U holda f(x) = cosx+x funksiya uchun /(2022) </(2023) tengsizlik o'rinli, chunki f'(x) = —sinx + 1 dan f'(x) >0 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa/(x) funksiya o'suvchi ekanligi kelib chiqadi. Ayrim hollarda ikki ifodaning taqqoslashga
175
to'g'ri keladi. Bunday holatda ham hosila tushunchasi muhim ahamiyatga ega bo'ladi.
Misol. Qaysi son katta? log2022 2023 yoki log2023 2024
Yechish. Quyidagi yordamchi fimksiyani tuzamiz: fix) = logK(x + 1) yoki
/CO
inx
j: lnzx > 0,
xinx > (x + 1) ln(x + 1). Ammo x > 1 da
0<x<x + l,0 < Inx < ln(x + 1), undan esa xln x < (x + 1) ln(x + 1) kelib chiqadi. Shuning uchun x > 1 da fix) < 0 tengsizlik bajariladi. Bu esa fix) fimksiyani kamayuvchi ekanligini, ya'ni log2022 2023 > log2023 2024 ekanligini ko'rsatadi. Ma'lumki, fix) > a (/(x) < a) tengsizlik qandaydir to'plamda yechimga ega bo'ladi, faqat va faqat shundaki, agar fix) funksiyaning eng kichik (eng katta) qiymati berilgan to'plamda a dan katta (kichik) bo'lsa.
Misol. x + -> a tengsizlik a ning qanday qiymatlarida yechimga ega ?
Yechish. fix) = x + - funksiya uchun fix) = 1 — — =
X"
X
= 0, X = ±1
x = 1 nuqtada minimumga , x = — 1 nuqtada esa maksimumga ega. Bizning misolda x = 1 nuqtada /m¿n(l) = 2 = a ekanligini topamiz.
Quyidagi misollarni mustaqil yechishga tavsiya etiladi:MecTo для формулы.
1) 2)
3)
isbotlang.
4)
5)
l+2x+3x¿+...+nx" 1 ifodani hosila yordamida soddalashtiring.
1С
arcsinx + arccosx = - ayniyatni hosila yordamida isbotlang. cosx + xsinx>l.
0< x < - da tengsizlikni hosila yordamida
ееттп vae2?T sonlarni hosila yordamida taqqoslang. Ikki son o'rta arifmetigi ularning o'rta geometriyasidan katta yoki teng ekanligini hosila yordamida isbotlang.
6) 1 — - ifodani hosila yordamida hisoblang.
V 7—v'24
7)
' 22 32 2023s
<
2022 2023
tengsizlikni hosila yordamida isbotlang.
8) (l-x)(l-y)(l-z) > 8xyz tengsizlik x, y va z laming qanday shartlarida o'rinli bo'ladi?
XULOSA.
Hosila yordamida funksiyani tekshirish masalalari keng o'rganilgan. Ammo hosila tushunchasi yordamida ayniyat va tengsizliklarni isbotlashda, ifodalarni
176
soddalashtirishda klassik usullardan ancha farq bo'lib, uning qulayligi masalalarni yechishni osonlashtiradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ( REFERENCES)
1. Djurayevich, D. O., & Doniyorovich, I. S. (2021). TEYLOR FORMULASI VA UNING TURLI MATEMATIK MASALALARGA QO'LLANILISHI. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(3), 774-779.
2. Djurayevich, D. O., & O'G'Li, A. A. A. (2021). O'RTA ARIFMETIK VA O'RTA GEOMETRIK TUSHUNCHAGA BOG'LIQ KETMA-KETLIKLAR LIMITI. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(1), 196-199.
3. Djurayevich, D. O., & Qizi, J. G. A. (2021). DARAXT HAJMINI HISOBLASHNING BIR MATEMATIK USULI HAQIDA. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(1), 251-254.
4. Djurayevich, D. O., & Qizi, J. G. A. (2021). MATEMATIK O'ZGARMASLARNING TURLI KO'RINISHLARI HAQIDA. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(2), 237-240.
5. Djurayevich, D. O., & Qizi, A. M. M. (2021). MATEMATIKA FANINI O'RGANISHDA QIZIQARLI MASALALARNING O'RNI HAQIDA. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(2), 233-236.
6. Djabbarov, O. D. (2021). TEKISLIKDA UCHBURCHAK YUZASI HAQIDA AYRIM MULOHAZALAR. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(9), 857-862.
7. Азларов Т., Мансуров Х. Математик анализ. -Тошкент. Укдтувчи, 1-кисм, 1989.
8. Djabbarov, O. D., & Jonqobilov, J. T. (2023). O'RTA QIYMATLARNI O'TKAZGICHLARNI KETMA-KET VA PARALLEL ULASH MASALALARDA QO'LLANILISHI. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 3(4), 388-393.
9. Abdijalilova P.F., Djabbarov O.Dj. Elementlari o'zgaruvchili funksiya bo'lgan determinantning hosilasi. Tadqiqot.uz. №47. 135-137. 2022y.
10. Djabbarov, O. D., & Xujayev, T. X. (2022). KO'PHAD VA UNING ILDIZLARI ORASIDAGI MUNOSABAT. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 2(2), 1010-1015.
177
