CC BY
94INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
ARALASH TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN AYRIM CHEGARAVIY MASALALARNING TAHLILI HAQIDA Norkulova Maftuna Normurod qizi
Termez davlat universiteti magistri https://doi.org/10.5281/zenodo.7352350 Annotasiya. Maqolada oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalar, ularning kelib chiqish tarixi hamda amaliy tadbiqlari haqida qisqacha ma'lumotlar keltirilgan. Aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechish yo'llari tahlil qilingan va umumiy g'oyasi yoritilgan. Misol sifatida umumlashgan Trikomi tenglamasini kanonik ko'rinishga keltirilishi, Trikomi masalasi yechimining yagonaligi va mavjudligi bayon qilingan. Mazkur yo 'nalishda chop qilingan bir qator maqolalar tahlil qilingan.
Kalit so'zlar: oddiy differensial tenglamalar, xususiy hosilali differensial tenglamalar, funksiya, Koshi masalasi, chegaraviy masalalar, korrekt qo'yilgan chegaraviy masala, buzilish chizig'i, elliptik va giperbolik tipli tenglamalar, xarakteristik tenglama, aralash tipdagi tenglama, parabolic buzilish chizig'i, yechimining yagonaligi, yechimning mavjudligi, Gauss tenglamasi.
АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННОГО ТИПА Аннотация. Статья содержит краткую информацию об обыкновенных дифференциальных уравнениях и уравнениях в частных производных, а также их истории возникновении и практических приложениях. Проанализированы методы решения краевых задач для уравнений смешанного типа и изложена общая идея. В качестве примера описаны каноническое представление обобщенного уравнения Трикоми, единственность и существование решения задачи Трикоми. Проанализирован ряд статей, опубликованных в этом направлении.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с частными производными, функция, задача Коши, краевые задачи, корректная краевая задача, линия вырождения, уравнения эллиптического и гиперболического типов, характеристическое уравнение, уравнение смешанного типа, параболическая линия вырождения, единственность решения, существование решения, уравнение Гаусса. ANALYSIS OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR EQUATIONS OF MIXED TYPE Abstract. The article contains brief information about ordinary and partial differential equations, their history and practical applications. Methods of solving boundary value problems for mixed-type equations are analyzed and the general idea is explained. As an example, the canonical representation of the generalized Tricomi equation, the uniqueness and existence of the solution to the Tricomi problem are described. A number of articles published in this direction have been analyzed.
Keywords: ordinary differential equations, differential equations with particular derivatives, function, Cauchy problem, boundary value problems, well-posed boundary value problem, fault line, elliptic and hyperbolic type equations, characteristic equation, equation of mixed type, parabolic fault line 'i, uniqueness of solution, existence of solution, Gaussian equation.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
KIRISH
Eng avvalo oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar haqidagi umumiy tushunchalarga to'xtalamiz. Differensial tenglamalar - bu noma'lum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli o'zgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalardir. Differensial tenglamalar nazariyasi XVII asrning oxirida differensial va integral hisobning paydo bo'lishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglamalar matematikada, ayniqsa, uning tadbiqlarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, biologiya, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini o'rganishda oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalarni (sistemalarni) yechishga olib kelinadi. Xususiy hosilali differensial tenglamalarni oddiy differensial tenglamalardan farqli bo'lgan muhim xususiyati shuki, ularning barcha yechimlari, ya'ni «umumiy yechimi» ixtiyoriy o'zgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog'liq bo'ladi. Differensial tenglamalarning tartibi noma'lum funksiyaning hosilasi tartibiga teng. Bir noma'lumli birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish oddiy differensial tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi.
Ma'lumki, hozirgi zamon texnika asri hisoblanib, uni tez rivojlanishi barcha aniq fanlar oldida yangidan-yangi vazifalar qo'ymoqda. Oddiy differensial tenglamalar, shu jumladan xususiy hosilali differensial tenglamalar sohasini rivojlantirishga e'tiborni ko'proq kuchaytirishni talab qilmoqda. Bunga asosiy sabab texnik masalalarni hal qilish yangi chegaraviy masalalarni yechish usullarini takomillashtirish va ularning amaliy tadbiqlarini ta'minlash zarur bo'lmoqda.
Differensial tenglamalarga keltirilayotgan biologik, fizik, texnik mexanik masalalardan boshqa, ekologiya, biologiya, meditsina, kimyo va boshqa fanlarni ham amaliy masalalarini matematik modellari oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalarga keladi. Tenglamalar uchun korrekt (to'g'ri) qo'yilgan chegaraviy masalani o'rganish zaruriyati ham dolzarb hisoblanadi. YUqorida aytilgan boshlang'ich va chegaraviy masalalar ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar, shundan buzilish chizig'iga ega elliptik va giperbolik tipdagi tenglamalarni ham o'rganish zarurligini namoyon qiladi.
Buzilish chizig'iga ega elliptik tipdagi tenglama deb masala qaralayotgan sohada tenglama elliptik tip, soha chegarasini bir qismi yoki chegarani o'zida boshqa turga tegishli bo'lgan tenglamaga aytiladi. Tur o'zgaradigan chiziqqa buzilish chizig'i deb aytiladi. Bu chiziqda qaralayotgan tenglama parabolik tipga tegishli yoki aniqlanmagan ham bo'lishi mumkin.
Shu o'rinda aytish joizki, O'zbekiston Prezidentining 07.05.2020 yildagi PQ-4708-sonli «Matematika sohasidagi ta'lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to'g'risida» qarorida matematika sohasida ilmiy-tadqiqotlarni ishlab chiqarish bilan birga uzviy bog'liqligini ta'minlash, amaliy matematikani rivojlantirish va iqtisodiyot tarmog'idagi muammoni modellashtirish asosida matematik yechimlarni ishlab chiqish topshiriqlari belgilangan.
Amaliy xarakterdagi muhim masalalarni hal qilishda, xususan, sirtlarni cheksiz bo'lgan kichik egilishlar nazariyasi, gaz dinamikasi, qobiqlarni momentsiz nazariyasiga oid masalalar zamonaviy matematik fizikani buzilish chizig'iga ega elliptik tipdagi tenglamalar sohasidagi masalalarga olib kelishini e'tiborga olsak, bu soha dolzarb ekanligi namoyon bo'ladi. Shu sababli ham bunday tenglamalar uchun boshlang'ich va chegaraviy masalalar o'rganish ko'plab xorijlik va o'zbek olimlarini e'tiborini tortmoqda. Matematik fizika fanni rivojlanishi shuni
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
ko'rsatmoqdaki, buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik, parabolik va giperbolik tipdagi tenglamalar haqiqiy fizik va biologik jarayonlarning samarali matematik modelidir. Bu o'z navbatida ko'plab xorijlik va o'zbek olimlari tomonidan fundamental tadqiqotlar mavzusi bo'lib, turli xil chegaraviy muammolarni belgilash va hal qilishni dolzarbligiga olib kelmoqda.
Aralash tipdagi tenglamalar nazariyasini markaziy muammolari yechimning silliqligi va chegaraviy masalalar nazariyasidir. XX asrda chiziqli va chiziqli bo'lmagan bitta va ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan aralash tipdagi tenglamalar nazariyasida ajoyib natijalarga erishilgan.
ASOSIY QISM
Maqolada quyidagi aralash tipdagi (elliptiko-giperbolik tip, buzilish chizig'ida parabolik tipga tegishli)
signy lylmuxx + uyy = 0,m = const > 0 (1)
tenglamani qaraymiz, bu yerda m — musbat haqiqiy son.
Xarakteristik tenglama signy lylmdy2 + dx2 = 0 ko'rinishiga ega bo'ladi (Салохитдинов М.С. Математик физика тенгламалари, Тошкент, «Узбекистан, 2002 йил, 448 б.). у > 0 yarim tekislikda (1) tenglama haqiqiy xarakteristikalarga ega emas, у < 0 yarim
m s m ч
tekislikda xarakteristik egri chiziqlar tenglamasi (dx — (—y)~dy) ((dx + (—y)~dy) = 0 bo'ladi. Uni shu ko'rinishda yozib va integrallab, у < 0 yarim tekislik ikkita x —
m+2 т m+2
2 ift+2 2
У) 2 = const,x + — (—y) 2 = const xarakteristik egri chiziqlar oilasini topamiz.
Agar umumiy holdagi ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani
. д2и . 00 d2u „ d2u =! (r ди du\ _
А, В va С koeffitsientlari beilgan D sohada yetarli silliq funksiyalar bo'lsa, x va у o'zgaruvchilarning maxsus bo'lmagan quyidagi % = %(х,у),ц = ц(х,у) almashtirishlar mavjud bo'ladiki, uni tenglama D sohada bu almashtirish yordamida quyidagicha kanonik ko'rishdan biriga keladi:
- elliptik tip: u^ + ищ + P($, ц, и, щ, uv) = 0;
- giperbolik tip: иц — ищ + ц, и, щ, uv) = 0 yoki + Р(%, ц, и, и^, щ) = 0;
- parabolik tip: илл + = 0.
Xususiy hosilali differensial tenglama tekshirilayotgan sohani har bir qismida elliptik tipga, ikkinchi qismida esa giperbolik tipga tegishli bo'lsa, uni aralash tipga tegishli tenglama deyiladi. Bu qismlar o'tish chizig'i (yoki sirti) bilan ajraladi, bu chiziqda tenglama yoki parabolalik buziladi, yoki aniqlanmagan bo'ladi. Aralash tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalani XX asrning yigirmanchi yillarida birinchi marta Italiyalik matematik Franchesko Trikomi
yuxx + Uyy 0
tenglama uchun qo'ygan va o'rgangan.
Maqolada Trikomi tenglamasining umumlashgan holi (1) tenglamani o'rganamiz.
Bu tenglama у = 0 o'qning ixtiyoriy qismini o'z ichiga olgan sohada aralash tipga tegishli bo'ladi, ya'ni у > 0 yarim tekislikda elliptic tip, у < 0 da giperbolik tip, у = 0 da parabolik tipga tegishli bo'ladi, ya'ni parabolik buzuladi ham deb aytiladi. m = 0 da (1) tenglama signyuxx + uyy = 0 ko'rinishga ega bo'ladi. Bu aralash tipdagi tenglamalarning
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
eng sodda vakili sifatida o'rganishni akademik Lavrentev M.A. tavsiya qilgan va uning uchun turli masalalar akademik Bisadze A.V. tomonidan o'rganilgan. Shuning uchun ham bu tenglama Lavrentev - Bitsadze tenglamasi deb ataladi.
Endi (1) uchun chegaraviy masalani o'rganish bilan shug'ullanamiz. (1) tenglama uchun Trikomi masalasini (T) qaraymiz. D — soha y > 0 tekislikda [-1,1] kesma va Л(—1,0) va 5(1,0) nuqtalardan chiquvchi silliq о egri chiziq bilan chegaralangan. y < 0 da [—1,1] kesma hamda Л(—1,0) va 5(1,0) nuqtalardan chiquvchi (1) tenglamaning xarakteristikalari bilan chegaralangan.
T masala. D sohada regulyar, D da uzluksiz a egri chiziqda va xarakteristikalardan bittasida, masalan ЛС da berilgan
w(x,y)L = ф($), и Uc=
qiymatlarni qabul qiluvchi (1) tenglamaning echimi topilsin, bu erda ф(/) = ^(0),/ — a egri chiziqning uzunligi, S — A va К nuqtalardan chiquvchi xarakteristikalarning kesishgan nuqtasi.
Aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning asosiy g'oyasi quyidagidan iborat. Elliptik qismda N masalasi, giperbolik qismda Koshi-Gursa (Koshi) masalasi yechiladi. Izlanayotgan funksiya, ya'ni masala shartiga ko'ra, izlanayotgan echim yopiq sohada uzluksiz, shuning uchun parabolik buzilish chizig'ida funksiyaning (U(x, +0) = U(x, —0), —1 < x < 1, bunda elliptik va giperbolik qismdan topilgan yechimlarning) qiymatlari tenglashtiriladi. Natijada funksiyani birinchi tartibli hosilasiga nisbatan integro-differensial tenglamaga ega bo'lamiz.
Masala shartidan kelib chiqsak, parabolik buzilish chizig'ida izlanayotgan funksiya hosilasining (Уу(х, +0) = i/y(x, —0), —1 < x < 1, bunda elliptik va giperbolik qismdan topilgan yechimlarning) qiymatlari o'zaro teng hisoblanadi. Olingan singulyar integro-differensial tenglama Kaleman-Vekua (Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегралные уравнения, Москва, Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1968 г., 513 с.) usuli yordamida regulyarizatsiya qilinib, Fredgolmning 2-tur tenglamasiga keltiriladi. Frelgolmning 2-tur tenglamasi berilgan funksiyalarga nisbatan tegishli shartlar bajarilganda yagona echimga ega bo'lishidan foydalanib, echimning mavjudligi isbotlaniladi. CHegaraviy masala echimining yagonaligi esa Xopf va Zaremba - Jira prinsipi hamda Darbu formulasidan foydalanilib, isbotlanadi.
T masalasining echimini mavjudligini isbotlaymiz. Ma'lumki, y < 0 yarim tekislikda (1) tenglama giperbolik tipga tegishli bo'lib, u
-(-y)7
"U
I Wyy - 0
(2)
ko'rinishga ega bo'ladi.
Asosiy maqsad (2) tenglama uchun boshlang'ich shartlar parabolic buzilish chizig'ida berilganda Koshi masalasini o'rganish hisoblanadi. (2) tenglamani A (-1; 0) 5 (1; 0) kesmada
lim u(x, y) — т (x), lim ^ — v (x)
oy
shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimi topilsin, bu yerda r(x) va v(x) - berilgan funksiyalar bo'lib, ikkinchi tartibgacha hosilalari bilan uzluksizdir.
(2) tenglama ( — x--— ( -y )(™+2)/2, ц — x + (-y)(m+2)/2 xarakteristik
2
m+2
m+2
koordinatalarda ushbu
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
d2u m 1 du m 1 du
+ 3T = ° (3)
д^д-q 2(m + 2) %-у 2(т + 2) %-у дц ko'rinishida yoziladi.
Ushbu tenglama uchun Riman funksiyasini tuzish akademik (Салохитдинов М.С. Математик физика тенгламалари, Тошкент, «Узбекистан, 2002 йил, 448 б.) va M.M.Smirnovning (Уравнение смешанного типа. Москва, Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1970 г., 296 с.) асарларида keltirilgan. YUqoridagi tenglama uchun Riman funksiyasi quyidagicha yoziladi:
R($,v; $i,Vi) = (S- rj)m/(m+2)[(s - vi)($i - v)]-m/(m+2 x
F
m m (ti-t)Ql-Vi \
2m+4 2m+4 (fi-V)(f-Vi)J
Koshi masalasini yechimini topamiz. y — Ç = ° to'g'ri chiziq xarakteristik almashtirish uchun maxsus chiziqdir, ya'ni bu chiziqda (3) tenglamaning koeffitsientlari cheksizlikka intiladi. Shu bilan birga Ç > ц + e yarim tekislikda (e — musbat son) (3) tenglama uchun Koshi masalasi oddiy usul bilan yechiladi. Koshi masalasi boshlang'ich shartlar y = ° parabolik buzilish chizig'ida berilganda maxsus tekshirishni talab qiladi.
D orqali % = ц + s,e > ° to'g'ri chiziqning Q(^1 + ^'Vi)Q1(^1'^1 — e) kesmani va (3) tenglamaning QP: ц = ц1, Q1P: Ç = xarakteristikalari bilan chegaralangan sohani belgilaymiz (1-chizma):
1-chizma
(3) tenglamaning ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi u(Ç, v¡) yechimi uchun quyidagi
ayniyat o'rinli bo'ladi:
11 u(tl'Vl) =2и(Ч1 + £'Vl)R(Vl + Z'Vl'tl'Vl) + 2 u(Çi'Çi Ю
ЩьЬ— ï'ti'Vi) +
(dutfri fr r ч (r ^dWwJi'Vj
— R(Ï'V> ^1'V1)—U(K'V)-M
1 m 1 di)
2т+4%-ц dn 2m+4 dnJ)
Ushbu ^ds = —dij, ^ds = va QQ1 da dt, = dn hamda
1/2^ {^R&r,; +
a
ds+^ ds = (± — ±)dÇ
dN dÇdn дц dn \dÇ d^J ъ
tengliklarni e'tiborga olib, avvalgi ayniyatni
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
i
= 2U(lh + £,qi)R(lli + £,lli,(i,qi) +
ko'rinishda yozib olamiz. Gipergeometrik funksiyalarning xossasidan foydalanib, sodda hisoblashlarni bajargandan so'ng
dR dr 2m 1 „s^ ^ \i
— R&n; Si.nDU^ =
di] m+2 ^-■q 4 r(-2/(m+2))
m+2rH-iarn+i-» «i- n)l/(m+2)№i- m-ni)]-™-tenglikni hosil qilamiz. Ushbu T(1 + x) = x T(x) formula va boshlang'ich shartlarning birinchisiga asosan,
4
(Si - rn)2/(m+2)[(S - m)(Si - 0]-(m+4)/(2m+4) T(Ç)
(m+2)r2 (m/(2m+4)
bo'ladi. Ikkinchi boshlang'ich shartga asosan
Remo>(^- Ifrrt-o&s-*' Si,^ =
= ( 4 )m/(m+2) -4-[(£ - - f)]-rn/(2m+4) V(C)
m+2 (m+2)r2 (m/(2m+4) us nJ^1 WJ
ega bo'lamiz. Shu bilan birga lim R(^,^ - e; = 0, lim R(^1 + e,^1 ; =
0. YUqoridagi tengliklarga ko'ra, e ^ 0 da quyidagi formulaga ega bo'lamiz:
m/(m+2) r(m/(m+2)) r^
w 4 yn/(m+2) r(m/(m+2)) f 1/rnrrc „ MF fX\-m/(2m+4) df
+ r2(m/(2m+4)) V V(0[(( - VlXïl - 0] /( ) ^
ç = Ïiz0it + k+üi almashtirishni bajarib, so'ngra & = x + y)(m+2)/2,
= x--—(y)(m+2)/2 larga asosan oldingi (x,y) o'zgaruvchilarga qaytsak, ushbu
u(x7> = f-iT [x + (_y)(m+2)/2 t ] (1 -
t2)-(m+4)/(2m+4)dt
+ 2(m+2)/2 r((m+4)/(m+2)) y f1 y + _^( )(m+2)/2t ](i - t2yrn/(2rn+4) dt (4) r2((m+4)/(2m+4)y J-1 1 m+2y 7 J JV J v J
formulani hosil qilamiz. Ushbu formula Darbu formulasi deyiladi.
Berilgan x(x) va v(x) funksiyalar ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, (4) formula bilan aniqlangan u(x,y) funksiya x va y bo'yicha ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo'lib, (2) tenglamani hamda boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradi. Bu (4) formula Koshi masalasi yechimining yagonaligi, (2) tenglamani Ç > ^ yarim tekislikda o'zining ikkinchi tartibgacha hosilalari bilan uzluksiz bo'lgan ixtiyoriy yechimi uchun o'rinli bo'lgan ayniyatning natijasi ekanligidan kelib chiqadi. (4) formulani ko'rinishidan yechim boshlang'ich shartlarga uzluksiz bog'langanligi, ya'ni turg'unligi ham darhol kelib chiqadi.
Endi (1) tenglamani yechilishini elliptik sohada o'rganamiz. Tenglamani y > 0 yarim tekislikda, ya'ni tenglama elliptik bo'lganda u
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
E(u) = ymuxx + uyy = 0 (5)
ko'rinishga ega bo'ladi.
(5) tenglamaning fundamental yechimlarini ko'rib chiqamiz. Ma'lumki, Laplas
i
tenglamasi, ya'ni (5) da m = 0 bo'lganda, ikki nuqta orasidagi masofaga bog'liq bo'lgan l^
fundamental yechimga ega. Xuddi shunga o'xshash, (5) tenglamaning ham ikki nuqta orasidagi masofalarga bog'liq bo'lgan fundamental yechimlari mavjud. Bu yechimlarni topish maqsadida ushbu
a m+2 m+2 ..2
\ 2 i 4 , - . -.. 2
»2 -J- - '■«'2 ± n 2 *2
] = (S-vr+ -TT^ (y 2 ±V2)2, P=-^ ß =
(m+2)2 J ' r rf r 2(m+2)
belgilashlarni kiritib, (5) tenglamaning yechimini
u = (r2)-ß a(p)
ko'rinishda izlaymiz. Bu funksiyani ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblab, (5) tenglamaga qo'yganimizdan keyin w(p) funksiyaga nisbatan
p(1 - p)a" + [1-(1 + 2ß)p]a' - ß2M = 0 (6)
tenglamaga ega bo'lamiz. (6) tenglama Gauss tenglamasidan ibborat bo'lib, u p = 1 atrofida ikkita chiziqli bog'liq bo'lmagan
^i(p) = F(ß,ß, 2ß, 1 - p), U2(p) = (1- P)1-2ß F(1-ß,1-ß,2- 2ß, 1 - p) yechimlarga ega. Bulardan (5) tenglamaning ikkita yechimini hosil qilamiz:
gi(x,y;t,ri) = h(r?)-ß F(ß,ß,2ß,1-p),
92(x,y^,ri)= (k2^)4ß-2(r?yß(1-p)1-2ß F(1-ß,1-ß,2-2ß,1-p), bu yerda k1 va k2 - o'zgarmaslardir. Gipergeometrik funksiyalar xossasidan foydalanib, yechimlarni logarifmik maxsuslikka ega ekanligi ko'rsatish mumkin.
Demak, ular (5) tenglamaning fundamental yechimlar barcha x lar uchun
dgi(x,y;t,v)
= 0, g2(x,0;Ç,V) = 0
y=0
dy
shartlarni qanoatlantirishini tekshirib ko'rish qiyin emas. Shu bilan birga fundamental yechimlar (x, y), (Ç, ^) nuqtalarga nisbatan simmetriklikdir. Bundan tashqari, k1 =
±(4/(m + 2))2ßG^y k2= 41~n(4/(m + 2))2-2^^-g deb hisoMaymiz.
Asosiy tenglama uchun chegaraviy masalalarni qo'yilishi, yechimning mavjudligi va yagonaligini o'rganamiz. D orqali x o'qining (-1,1) = I kesmasi va y > 0 yarim tekislikda yotuvchi, uchlari A va B nuqtalarda bo'lgan silliq a egri chiziq bilan chegaralangan sohani belgilab olamiz.
Elliptik tenglama uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo'yiladi: D sohada regulyar, yopiq D sohada uzluksiz va
u \a = (p(s), u\j = t(x)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi (5) tenglamaning yechimi topilsin, bu yerda s - B nuqtadan hisoblanadigan a egri chiziq yoyining uzunligi, p(s) va t(x) - berilgan uzluksiz funksiyalar, shu bilan birga t(A) = p(l), t(B) = ty(0), l bu a - egri chiziq uzunligi.
N masalasi. D sohada regulyar, yopiq D sohada uzluksiz va
du(x, y)
u \a = v(s), lim—--= v(x), xEl
y^o dy
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi (5) tenglamani yechimi topilsin, bunda ty(s), 0 < s < 1 da berilgan uzluksiz funksiya, v(x) esa I da berilgan uzluksiz funksiya bo'lib, bu intervalning chetki nuqtalarida 2/(m + 2) dan kichik bo'lgan tartibda cheksizlikka intilishi mumkin.
Bu masalalar yechimlarining yagonaligini isbotlash uchun elliptik tipdagi tenglamalar nazariyasidan ikkita dalilni keltirib o'tamiz.
Chegarasi S bo'lgan D sohada
d2u „, d2u d2u du , du _
a— + 2b—— + c—— + a-L— + b-^— + cLu = 0 (7)
dx2 dxdy dy2 1 dx 1dy 1 v y
tenglamani o'raganmiz. D sohada ady2 + 2bdxdy + cdx2 = 0 shakl musbat aniqlangan, ya'ni (5) tenglama elliptik tipga tegishli bo'lsin.
Xopf prinsipi. Agar u(x,y) funksiya (7) tenglamaning aynan nolga teng bo'lmagan D sohada regulyar, DUS da uzluksiz yechimi bo'lib, cx < 0 shart bajarilsa, u holda barcha D sohada |u| < maxslul, agarda cL = 0 bo'lsa minsu <u < maxslul tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Zaremba - Jiro prinsipi. u(x,y) funksiya elliptik tipga tegishli bo'lgan (7) tenglamani D sohadagi regulyar yechimi bo'lsin. Agar D soha S chegarasini P nuqtasida u(x,y) o'zining ekstremal qiymatini qabul qilib, S kontur shunday xossaga ega bo'lsaki, D da yotuvchi P nuqtadan k aylanacha o'tkazish mumkin bo'lsa, u holda k aylanachani markaziga qarab
yo'nalgan r radius bo'yicha olingan ^ hosila (agar mavjud bo'lsa) P nuqtada noldan farqli
bo'ladi. Shu bilan birga maksimum bo'lgan holda ^ < 0, minimum bo'lgan holda esa 0 bo'ladi.
Demak, ushbu lemmalardan Dirixle masalasining yechimi yagona bo'lishi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar uL(x,y) va u2(x,y) funksiyalar (5) tenglamani chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi ikkita yechim bo'lsa, bularning ayirmasi u = u1 — u2 (5) tenglamani va u\ff = 0, u\~j = 0 bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Bundan, Xopf prinsipiga asosan u = 0, ya'ni uL = u2 ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunga o'xshash N masala ham bittadan ortiq yechimga ega bo'lmaydi. Bu fikrning to'g'riligi yuqorida keltirilgan ikki prinsipdan darhol kelib chiqadi.
Ushbu
uE (v) - vE (y) = £ [ym(u — +(u
ayniyatni tekshirib ko'rish qiyin emas. Bu ayniyatning har ikki tomonini y > 0 yarim tekislikda yotuvchi a egri chiziq bilan chegaralangan D soha bo'yicha integrallab, so'ngra Gauss - Ostrogradskiy formulasini qo'llaymiz:
J^M - vE(v)]dxdy = JG [ym (u £ -v^)] cos(n,x) +
+(u cos^y^d^
bu yerda n — a egri chiziqqa o'tkazilgan tashqi normal, ^ = cos(n, x), ^ = -sin(n, x), tengliklarni e'tiborga olib, As [•] = ym — belgilanishni kiritsak, avvalgi tenglik
quyidagicha yoziladi:
JD[uE(v) - vE(v)]dxdy = JD (uAs[v] — vAs[v]) ds. (8)
Bu formula Grin formulasi deyiladi.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Gi(ï,v;x,y)le= 0, — U=0 = 0,(x,y)ED
Agar и, v — (5) tenglamaning yechimlari bo'lsa, (8) dan
jD (uAs[v] — vAs[v])ds = 0 (9)
formula hosil bo'ladi.
Odatda As [•] ifoda konormal hosila deyiladi. (8) formulada v = 1 bo'lib, и funksiya (5) tenglamaning yechimi bo'lsa, и ni u2 bilan almashtirib ushbu
î»[ym Щ2 + (^)2]dxdy = /o^Mds
formulaga ega bo'lamiz. Nihoyat, (9) formulada v = 1 desak, j As [u]ds = 0 bo'ladi. Ya'ni (5) tenglama D sohadagi yechimining konormal hosilasidan sohaning chegarasi bo'yicha olingan integral nolga teng.
(5) tenglama uchun N masalasining Grin funksiyasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G1(^,^;x,y) funksiyaga aytiladi: 1) G1(^,^;x,y) funksiya (x,y) nuqtadan tashqari barcha D sohada (5) tenglamaning yechimidan iborat; 2) Ushbu
dG1 дц
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi; 3) G1(^,^;x,y) = g1(^,^;x,y) +v1(^,^;x,y) ko'rinishga ega bo'ladi, bunda g1(^,V';x,y) (5) tenglamaning fundamental yechimi, v&.wx.y) esa barcha D sohada (5) tenglamaning (x,y) bo'yicha ham, bo'yicha ham
regulyar yechimidir. Grin funksiyasi tuzilishiga ko'ra,
Vl(S,V;X,y)l* = —gi(S,V;X,y)la, ^^ ^ = 0,(x,y) G D
shartlarni qanoatlantiruvchi v1(^,^;x,y) regulyar qismini topishga keladi. Egri chiziq normal egri chiziq deb ataluvchi a0: x2 + ym+2 = 1 egri chiziq bilan ustma-ust tushganda
Grin funksiyasini darhol yozib olishimiz mumkin. U ushbu
Gi(Ç,-n;x,y) = gi(Ç,-n;x,y) — R-2? g^.^x.y)
1 , • • 1 1 ,1 1- 1 1 П? 2 . 4 _ X _m+2 y(rn+2)/2
ko rinishga ega bo ladi, bu yerda R2 = x2 +--—ym+2, x = —, y-=--—.
+2) R 2 R
N masalani yechimini yozib olamiz (Салохитдинов М.С. Математик физика тенгламалари, Тошкент, «Узбекистон, 2002 йил, 448 б.) а0 normal egri chiziq va y = S to'g'ri chiziqning kesmasi bilan chegaralangan sohani Ds orqali belgilaymiz. y = S to'g'ri chiziqning a0 bilan kesishish natijasida hosil bo'lgan nuqtalarning abssissalarini x1 va x2 orqali belgilaymiz. Ds sohaning (x,y) nuqtasini markaz qilib yetarli kichik e radiusli va Ds da to'la yotuvchi CE aylana chizamiz. a0, x1x2 va CE bilan chegaralangan sohada Grin funksiyasi G1(^,^;x,y) (5) tenglamaning regulyar yechimidan iborat bo'ladi. u(x,y) funksiya berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi (5) tenglamaning regulyar yechimi bo'lsin. Bu ikki funksiyaga (9) formulani qo'llaymiz:
io+x^ + Q (UAS [°l] — G1AS M) ds = 0.
Berilgan shartlarni etiborga olsak,
<p(s)As[Gi]ds + SXx2 v (OGi (^,0,x,y)d^ + j (uAt[Gi] — GiAt[u])dt = 0
°0 Л1 c£
yoki
— (uAt[Gi]—GiAt[u])dt = —j*2 v (OGi (ï,0,x,y)dÇ — fa y(S)As[Gi]ds
Л1 °0
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
tenglik hosil bo'ladi. CE tenglamasini hozircha % = %(t), desak, bevosita
hosilalarni hisoblash natijasida ushbu
Ar[gi(^,0,x,y)] = d-f1^'(t)= ulV-1(m + 2) [(f-
*)^2Vm+W(t)-
4?(t) B+2 , B+l B+l 4 В B+l h(x,y,t)
Л 2 (Л 2 - y 2 y 2 -zr-
- П 2 (4 2 - У 2 )]-~im+2
olamiz, bunda
Щ= FW. 2(3,1-p), U2= F(fi,fi, 2(3 + 1,1 - p),
h(x,y,t)=2($-x)2^--n'(t) + +$'(t)($-x)2-(цт+2 - ym+2).
2^V'(t) + +f'(tXf-x)2-
m+2 1 y J ъ v J (m+2)2
Endi CE aylananing tenglamasini qutb koordinatalarda % -x = e cost, ц - y = e sint yozib olamiz. U holda (y + esint)(m+2^/2 = у(т+2У2 £ym/2 sint + a1(y,t,a) tenglikni inobatga olib va bir qator hisoblashlardan so'ng asosiy formulada e ^ 0 va 5^0 da limitga o'tsak
u(x,y) = -fQ v (O Gi (S, 0,x,y)d$ - fao V(S)As[G1] ds
formulaga ega bo'lamiz. Bu formula bilan aniqlangan u(x,y) funksiyaning haqiqatan ham N masalaning yechimi ekanligiga bevosita tekshirib ko'rish bilan ishonch hosil qilish mumkin. Asosiy tenglama uchun chegaraviy masalaning echimining yagonaligi va mavjudligi yuqorida qayd qilib o'tilgan g'oya yordamida amalga oshiriladi.
T masalasining echimini mavjudligi yuqorida aytib o'tilgan usul yordamida amalga oshiriladi. YA'ni, elliptik va giperbolik qismdan keltirilgan echimlarning x = 0 dagi qiymati hisoblanib, ular tenglashtiriladi. Funksiyaning shu o'qdagi hosilasiga nisbatan singulyar integral tenglama olinadi. Singulyar integral tenglama regulyarizatsiya qilinib, Frelgolmning 2-tur tenglamasiga keltiriladi va uning echimi mavjudligidan o'rganilayotgan tenglamaning echimi mavjudligi haqida xulosa qilinadi.
Endi bitta va ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan ayrim aralash tipdagi (sohaning bir qismida elliptik, bir qismida giperbolik tipga tegishli) tenglamalar uchun o'rganilgan chegaraviy masalalarni tahlil qilamiz.
R.T.Zunnunov va I.U.Xaydarovlarning maqolasida («Краевая задача со смещением для обобщенного уравнения Трикоми со спектралным параметром в неограниченной области» // Вестник КРАУНС. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. с.55-64.) quyidagi aralash turdagi tenglamani ko'rib chiqilgan:
signylylmUxx + Uyy - Á2lylmu = 0,m = const > 0, (10)
ü = ü1UABUü2 - chegaralanmagan cheksiz soha, bu yerda ü = {(x,y): -rn <x < +^,0 <y <1}, AB = {(x,y):-1 < x < 1,y = 0}, ü2 - sohasi y <0 tekislikda joylashgan bo'lib, AB segment va xarakteristikalari bilan chegaralangan:
-i jm+2) г т -i jm+2)
md (-y)_2~ = -1, BC x + Ы (-y)-2~ =1
Л - haqiqiy son, Л = Л¡(j = 1,2). Quyidagi belgilashlar kiritiladi:
i
i
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
l1 = {(x,y~)\ —ж < x < -1, у = 0} l2 = {(x,y)\ 1 < x < +ж,у = 0},
n r \ (X-1 \m+2 х+2~\т+г\ n r л (1+x \m+2 1_x"|m+2\
в-1(х) = (—-[—~\ ), в1(х) = (—-[—~\ J'
Ko'rinib turibdiki, 6_1(x) va 01(x) (x,0)eAB nuqtadan chiquvchi (10) tenglama xarakteristikasining mos ravishda AC va ВС xarakteristikalari bilan kesishish nuqtalaridir.
TDm masalasi. Quyidagi xossalarga ega u(x,y) funsiyani toping:
1) u(x,y) e c(tt и i0u i1u i2u ÄH и Wc) n c1(n) n c2(tt1 и tt2), A(-1,0),B(1,0) nuqtalar yaqinida ymux(x,y),uy(x,y) funksiyalari 1-2ß dan kam tartibli cheksizlikka intilishi mumkin;
2) ü1va ü2 sohalarda (10) tenglamani qanoatlantiradi;
3) Quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi:
u(x, 0) = 'ф1(х), —ж < x < —1; u(x, 0) = ^2(x), 1 < x < +ж; u(x, 1) = ^з(х), —ж < X < +ж; lim u(x,y) = 0,
a(x)A-1x{Dß_lx(1 + x)2ß-1[u(0-i(x))]} +
bu erda у Е [0,1];
,х
b(x)A1:\2x[D^(1 — х)2Р-1[и(01(х))]} = с(х)и(х, 0) + d(x),
— 1 < х < 1, bu yerda ^í(x), ^2(х), ty3(x), a(x), b(x), c(x), d(x) — berilgan funksiyalar, a2(x) + b2(x) Ф 0,-1 < x < 1.
(10) tenglama uchun ushbu masalani qo'yish va o'rganishda quyidagi integral operatorning xususiyatlaridan foydalanilgan:
A1sxÁ[f(x)] = f(x) — gf(t) [A^(x — s)(x — t)] dt.
O.A.Repinning («Нелокальная задача А.М.Нахушева для уравнения смешанного типа», Вестник Самарского государственного технического университета, сер. физико -математические науки. 2001 г., №13, с.5-9.) maqolasida quyidagi chegaraviy masala o'rganilgan:
GmU = signyly\mUxx + Uyy = 0, m>0. (11)
l — sohasi yuqori yarim tekislikda, ya'ni у > 0 da x = 0 va x = 1 lar, quyi yarim tekislikda esa Л(0,0) va B(1,0) nuqtalaridan kelib chiqadigan (11) tenglamaning
-i jm+2) г t -i jm+2)
—] (—y)~^+~ = 0 BO. x + ^^ (—y)~+~ = 1
xarakteristikalari bilan chegaralangan.
Quyidagi belgilashlar kiritilgan: üjva l2 mos ravishda Q: Ah=Ah(0,h), Bh = Bh(0,h), h> 0 sohaning elliptic va giperbolik qismlari ülh - to'rtburchakning ochiq uchlari A,Ah,Bh,B; üh = ülhUABUl2 0o(x) va 0x(x) (11) tenglamaning AC va ВС xarakteristikalarining (x, 0) nuqtadan chiquvchi affikslari, nuqta I — bu у = 0 to'g'ri chiziqdagi birlik kesma; (Dq+v)(x), (D1c-^)(x) — Riman-Liuvil ma'nosida kasr integro differensiallashning operatorlar.
Masala. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) funksiyani toping: 1) U l2
sohada (10) tenglamani qanoatlantiradi, ya'ni GmU = 0; 2) u(x,y) Е C(l) П C1(l\AB) П
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
С2(П \АВ); 3) lim ux(x,y) =0 teng (x E I); 4) lim ux(x,y) = lim uv(x,y) (x E I); 5)
y^m y^0+0 y^0-0
U(0,y) = V±(y),u(l,y) = <p2(y) 0<у<ы; 6) a(x)(D0^+-^u[eo(t)])(x) + b(x) •
{Dl-Pu[e1(t)])(x) = c(x) - x^b(x)(Dl-pu[e1(t)])(x),
Vx E I, bu yerda ^1(y),^2(y), a(x),b(x),c(x) berilgan funksiyalar, shuningdek ular quyidagi sinflarga tegishli: ^1(y),^2(y) E [0,^), y3m/4^1(y),y3m/4 ф2(у) E L[0,m); a(x),b(x),c(x), С (Г) П C2(l), (l - x)Pa(x) + x^b(x) ± 0, Vx E I, 0 = m/(2m + 4).
Berilgan funksiyalarga tegishli shartlar qo'yilib, masalalarning yechimi mavjudligi va yagonaligi isbotlangan.
XULOSA
Ushbu maqolada keltirilgan chegaraviy masalani yechish g'oyasi, [1-39] ilmiy izlanishlarda keng qo'llanilgan bo'lib, echimning yagonaligi va mavjudligini isbotlashda Eylerning gipergeometrik va gamma funksiyalari xossalari, karrali integrallar va kompleks analiz elementlaridan foydalanilgan.
Aytish joizki, O'zbekiston Respublikasi Prezidentining 07.05.2020 yildagi PQ-4708-sonli «Matematika sohasidagi ta'lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to'g'risida» qarorinining ijrosini ta'minlash ishlari ham faollashib bormoqda. Qarorda berilgan ko'rsatmalarning ijrosini ta'minlash borasida [40-57] ilmiy izlanishlar olib borilgan.
REFERENCES
1. Rasulov X.R. Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladigan chegaraviy masalalar haqida // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.46-54.
2. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.
3. Салохитдинов М.С., Расулов Х.Р. (1996). Задача Коши для одного квазилинейного вырож-дающегося уравнения гиперболического типа // ДАН Республики Узбекистан, №4, с.3-7.
4. Rasulov H. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.
5. Расулов Х.Р. (1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №12, с.12-16.
6. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020), с. 6-9.
7. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.
8. Мирсабуров М. Нелокальная краевая задача для вырождающегося эллип-тического уравнения // Дифференциальные уравнения, 38:1 (2002), 129-131.
9. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа с условием Бицадзе-Самарского на параллельных характеристиках // Дифференциальные уравнения, 37:9, (2001), 1281-1284.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
10. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek Mathematical Journal, №4, pp.126-131.
11. Исломов Б., Расулов Х.Р. (1997). Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5-9.
12. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Задача типа задач Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Scientific progress, 2:1 (2021), р.42-48.
13. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.
14. Расулов ТД., Расулов Х.Р. (2021). Узгариши чегараланган функциялар булимини укитишга доир методик тавсиялар. Scientific progress. 2:1, 559-567 бетлар.
15. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi haqida // «Zamonaviy ta'lim tizimini rivojlantirish va unga qaratilgan kreativ g'oyalar, takliflar va yechimlar», 35-sonli Respublika ilmiy-amaliy on-line konferensiyasi, 2022, 192-195 b.
16. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik tenglama uchun chegaraviy masalaning yechimi haqida // Models and methods for increasing the efficiency of innovative research, Germany, 10 (2022), p. 184-186.
17. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. (2022) Ikkita buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli elliptic tenglama uchun chegaraviy masala haqida // Central Asian Academic Journal Of Scientific Research, 2(5), 544-557 b.
18. Rasulov, R. X. R. (2022). Бузилиш чизигига эга булган квазичизикли аралаш типдаги тенглама учун Трикоми масаласига ухшаш чегаравий масала хдкида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
19. Rasulov, X. (2022). Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
20. Rasulov, X. (2022). Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
21. Rasulov, X. (2022). О динамике одной квадратичной динамической системы с непреривным временем. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
22. Rasulov, X. (2022). Об одном краевом задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
23. Rasulov, X. (2022). Об одной задаче для вырождающеюся квазилинейного уравнения гиперболического тип. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
24. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
25. Rasulov, R. X. R. (2022). Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
26. Rasulov, R. X. R. (2022). Квази чизикли гиперболик турдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
27. Rasulov, X. (2021). Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
28. Rasulov, R. X. R. (2021). Гиперболик типдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
29. Rasulov, R. X. R. (2022). О краевых задачах для уравнений эллиптического типа с линией искажения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
30. Rasulov, R. X. R. (2022). Иккита бузилиш чизигига эга булган аралаш типдаги квазичизикли тенглама учун Нейман масаласига ухшаш чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
31. Rasulov, H. (2021). Funksional tenglamalarni yechish bo'yicha ba'zi uslubiy ko'rsatmalar. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
32. Rasulov, H. (2021). «Kompleks analiz» fanida mustaqil ta'limni tashkil qilish. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
33. Rasulov, H. (2021). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
34. Rasulov, R. X. R. (2022). Buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli elliptik tenglama uchun Dirixle-Neyman masalasi. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
35. Rasulov, R. X. R. (2022). Иккита перпендикуляр бузилиш чизигига эга булган аралаш типдаги тенглама учун чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 22(22).
36. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Модуль катнашган баъзи тенглама, тенгсизлик ва тенглама-лар системаларини ечиш йуллари // Science and Education, scientific journal, 2:9 (2021), р.7-20.
37. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Айрим рационал тенгламаларни ечишда интерфаол усул-ларни кулланилиши хакида // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р. 586-595.
38. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Айрим иррационал тенгламаларни ечишда интерфаол усулларни кулланилиши // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р.596-607.
39. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020) с.29-32.
40. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики, № 53:2 (2021), с. 7-10.
41. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Математические модели и законы в биологии // Scientific progress, 2:2 (2021), р.870-879.
42. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяция ва унинг математик модели хакида // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р.81-96.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
43. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяциянинг динамикаси хдкида // Scientific progress, 2:1 (2021), р.665-672.
44. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 77:22 (2021) с.27-30.
45. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. Ayrim dinamik sistemalarning tahlili haqida // Scientific progress, 2:1 (2021), р.448-454.
46. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с не-прерывным временем // Наука, техника и образование, 77:2-2 (2021) с. 19-22.
47. Расулов Х.Р., Ф.М. Джуракулова (2021). Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хдкида // Scientific progress. 2:1, 455-462 бетлар.
48. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.
49. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века. 53:6-1, 2019. С.16-18.
50. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 77:2-2 (2021) с.23-26.
51. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Об одном квадратично стохастическом операторе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.145-146.
52. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об одной динамической системе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.115-116.
53. Rasulov, H. (2021). Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хдкида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 2(2).
54. Rasulov, H. (2021). Funksiyaning to'la o'zgarishini hisoblashdagi asosiy qoidalar. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 6(6).
55. Rasulov, H. (2021). One dynamic system with continuous time. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
56. Raupova, M. (2021). Роль математики в биологических науках. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
57. Raupova, M. (2021). Математические модели и законы в биологии. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
