IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING EKSTREMUMIDAN FOYDALANIB, TEKISLIKDAGI IKKITA FIGURA ORASIDAGI MASOFANI TOPISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

IKKI O'ZGARUVCHILI FUNKSIYANING EKSTREMUMIDAN FOYDALANIB, TEKISLIKDAGI IKKITA FIGURA ORASIDAGI

MASOFANI TOPISH

Bozarov Dilmurod Uralovich

Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti assistenti E-mail: [email protected]

ANNOTATSIYA

Mazkur maqolada tekislikdagi ikkita figura orasidagi masofani topish masalasi qo 'yilgan. Bunda dastlab, ikki o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari, ekstremumlari hamda eng katta va eng kichik qiymatlar haqida tushunchalar keltirilgan. Maqolada metrika tushunchasi, metrik fazo va unga doir misollar ham batafsil yoritilgan. Maqola so'ngida, metrik fazodagi ikkita to'plam orasidagi masofani ikki o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari yordamida topish masalasi ko'rilgan.

Kalit so'zlar: xususiy orttirma, ekstremum nuqtalar, metrika, metrik fazo, cheklanish, to'plam va masofa.

НАЙТИ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ФИГУРАМИ НА ПЛОСКОСТИ

В данной статье рассматривается задача нахождения расстояния между двумя фигурами на плоскости. Сначала представлены понятия специальных производных, экстремумов, наибольшего и наименьшего значений функций двух переменных. Понятие метрики, метрического пространства и связанные с ними примеры подробно рассматриваются в статье. В конце статьи была рассмотрена задача нахождения расстояния между двумя множествами в метрическом пространстве с помощью специальных производных функции двух переменных.

Ключевые слова: частным приращением, точки экстремума, метрика, метрическое пространство, предел, множество и расстояние

ПО ЭКСТРЕМУМУ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Базаров Дилмурод Уралович

Ассистент Каршинского инженерно-экономического института

E-mail: [email protected] АННОТАЦИЯ

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

FIND THE DISTANCE BETWEEN TWO FIGURES IN A PLANE USING THE EXTREMUM OF A FUNCTION OF TWO VARIABLES Bozarov Dilmurod Uralovich

Assistant of Karshi Institute of Engineering and Economics E-mail: [email protected] ABSTRACT

This article deals with the problem of finding the distance between two figures on a plane. At first, concepts of special derivatives, extrema, and the largest and smallest values of two-variable functions are presented. The concept of metric, metric space and related examples are covered in detail in the article. At the end of the article, the problem of finding the distance between two sets in a metric space using special derivatives of a two-variable function was considered.

Key words: private increment, extremum points, metric, metric space, constraint, set and distance.

1. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari

Ikkita o'zgaruvchili z = fix, y) funksiya berilgan bo'lsin. x o'zgaruchiga Ax orttirma bersak, u holda z funksiya 0%, >'□) nuqtada x ga nisbatan xususiy orttirma deb ataluvchi Axz = f(xQ + Axty0*) — f(a,yQ) orttirmaga ega bo'ladi. Agar

liniAjt-,0 — liniA^O

f(x0 +Ax,y0 )-f(x0 ,y0 J

Ax

limit mavjud bo'lsa, u holda bu limit z

funksiyadan (x0, v0) nuqtada x bo'yicha olingan xususiy hosila deyiladi va z!x yoki fxixo>y'o) laming biri kabi belgilanadi. Demak, ta'rif bo'yicha

bo'lar ekan.

Xuddi shunga o'xshahs, z funksiyadan (x0Jy0) nuqtada y bo'yicha olingan z'y xususiy hosila

kabi topiladi, bu yerda Ayz = f(x0r y0 + Ay) - fix0, y0) ifoda z = fix, y) funksiyaning (;x0f y<j) nuqtada y ning Ay orttirmasiga mos erishgan xususiy orttirmasi.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Xususiy hosilalar dastlabki x, y argumentlarning funksiyalari bo'lgani uchun bu xususiy hosilalardan yana xususiy hosilalar olinishi mumkin. Ikkinchi marta olingan xususiy hosilalar berilgan funksiyaning 2-tartibli xususiy hosilalari deyiladi. Bunda turli o'zgaruvchilarga nisbatan ketma-ket olingan hosilalar 2-tartibli aralash xususiy hosila deyiladi.

Shunday qilib,

zx = fx(x>yXzy = fy (x> y) hosilalar 1-tartibli xususiy hosilalar bo'lib, ular x va y o'zgaruvchilarga bo'g'liq funksiyalardir.

hosilalar 2-tartibli xususiy hosilalar bo'lib, bu yerda z'Jy = fjy(x,y0 va -■■'■.■ = hosilalar aralash xususiy hosilalardir.

1.1. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning ekstremum nuqtalari. z = f(x,y) funksiya berilgan bo'lib, V0) nuqta /(x, y) funksiya aniqlanish sohasining qandaydir ichki nuqtasi bo'lsin.

1-ta'rif. Agar C^ojVo) nuqtaning shunday

ochiq atrofi topilib, bu atrofning (x0,y0) dan farqli ixtiyoriy (;x, y) nuqtalari uchun f(x,y) < f(x0,y0) tengsizlik bajarilaversa, uholda (x0,y0) nuqta z = fix, y) funksiyaning (lokal) maksimum nuqtasi deyiladi.

2-ta'rif. Agar (*0jy0) nuqtaning shunday

ochiq atrofi topilib, bu atrofning (:%,y0) dan farqli ixtiyoriy (x, y) nuqtalari uchun f(x,y) > f(;x0,y0) tengsizlik bajarilaversa, uholda (x0,y0) nuqta z = fix, y) funksiyaning (lokal) minimum nuqtasi deyiladi.

Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi.

1.2. Ikki o'zgaruvchili funksiya ekstremum nuqtasi bo'lishning zaruriy sharti. Agar (x0jy0) nuqta z = fix, y) funksiyaning ekstremumi nuqtasi bo'lsa, u holda

fxx C^".' y3 5 zxv fxv0cfy) , zvx fvx0c,y) , zvv fvv (x, y)

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

bo'ladi.

Teskarisi o'rinli emas, ya'ni fx(xo>}'o) = 0 va/^'(x0jy0) = 0 tengliklardan (a :. V; ) nuqtaning ekstremum nuqta ekanligi kelib chiqmaydi. 3-ta'rif. Agar (x0jy0) nuqta:

1) berilgan z = f(x,y) funksiya aniqlanish sohasining ichki nuqtasi;

2) 1-tartibli xususiy hosilalarning noli, ya'ni

l fy(Wo) = 0

bo'lsa, u holda (x0,y0) nuqta z = f(x,y) funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.

4-ta'rif. Agar z = fix, y) funksiya uchun fJ(xo,y0) = 0, fy(xo,yo) = 0 bo'lsa,

yoki bu xususiy hosilalarning hech bo'lmaganda bittasi mavjud bo'lmasa, u holda (x0,y0) nuqta z = fix, y) funksiyaning kritik nuqtasi deyiladi.

1.3. Ikki o'zgaruvchili funksiya ekstremum nuqtasi bo'lishning yetarli sharti. z = fix, y) funksiya va uning biror JfO0,y0) statsionar nuqtasi berilgan bo'lsin, u holda fx C*o, V0) = 0 va/y'(x0,y0) = 0 tengliklar bajariladi.

A = B = £J(M), C = (M), A = AC- B belgilashlarni kiritaylik.

Yetarli shart. Agar:

A>0 va < 0 bo'lsa, u holda M nuqta z = f(x,y) funksiyaning maksimum nuqtasi bo'ladi;

A>0 va > 0 bo'lsa, u holda M nuqta z = f(x,y) funksiyaning minimum nuqtasi bo'ladi. Agarda A<0 bo'lsa, unda z = f(x,y) funksiya M(x0jy0) nuqtada ekstremumga ega emas deyiladi.

1.4. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari.

- = f\■■■:.y) funksiyaning qandaydir to'plamdagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun quyidagi amallarni bajarish kerak:

a) to'plamning barcha ichki kritik nuqtalarini topiladi;

b) funksiya aniqlanish sohasining chegarasida yotuvchi va ikkala xususiy hosilalarni ham nolga aylantiruvchi barcha nuqtalar olinadi;

c) hosil qilingan bu nuqtalar to'plamidan funksiya eng katta va eng kichik qiymatlarga erishadigan nuqtalar ajratiladi.

295

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

2. Metrika tushunchasi

5-ta'rif. X bo'sh bo'lmagan to'plam bo'lsin. Ushbu O'/lj Nomanfiylik:

(M 2) Ayniylik aksiomasi:

(M3) Simmetriya aksiomasi:

(M4) Uchburchak aksiomasi:

shartlarni qanoatlantiruvchi p-.X X X —> WL funksiya X dagi metrika deyiladi. (X,p) juftlik metrik fazo deyiladi. Qisqalik uchun ko'pincha metrik fazoni bitta X harfi orqali belgilashadi. Metrik fazoning elementlari uning nuqtalari deb yuritiladi.

1-misol. R = (—ool+o6) haqiqiy sonlar to'plami va

tenglikbilan aniqlanganp:ÄXÄ->Ä funksiyani qaraylik. p(x, >0 funksiya R da metrika bo'ladi. (R, p) metrik fazo R orqali belgilanadi. Agar (X,p) metrik fazo va Y X bo'lsa, u holda (Y,p\Vxy) juftlik ham X metrik fazoning qismfazosi deb ataluvchi metrik fazo bo'ladi. Bu yerda p\yXY orqali p funksiyaning Y X Y <= X X X qismto'plamga cheklanishi belgilangan.

2-misol. N X N ko'paytmada aniqlangan

funksiya 1-misolda aniqlangan p\ R X R —* R funksiyaning cheklaninishi, yani

funksiya W = {1j2j...jti,...}cR to'plamda metrika bo'ladi. (X- p) metrik fazoning A qismto'plamini qaraylik. Agar ushbu aniq yuqori chegara

suptpt^y):^^ EA}

chekli bo'lsa, u holda bu chegara A to'plamning diametri deyiladi va diamA kabi belgilanadi:

diamA = sup{p(x,y)ix ,y E A}.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Quyidagi misolda tekislikdagi Evklid metrikasining uchburchak aksiomasini qanoatlantirishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo'llamasdan isbotlandi. 3-misol. Haqiqiy sonlar to'plamining R2 Dekart ko'paytmasi va

tenglik bilan aniqlangan p:R^XR^—>R funksiyani qaraylik, bu yerda .V = (v..^)^- = (y-. y:) e R -. Ravshanki,

(Ml) Vx, y ex (M2) Vx, y ex (M3) Vx, y<EX

bo'ladi, yani nomanfiylik, ayniylik, simmetriklik shartlari bajariladi. Uchburchak aksiomasini, yani

tengsizlikni o'rnatish qoldi. Ushbuga egainiz

a

p(x,z) = y/(z1-xiy + (z2 -x2y = y/\z1-x1\2 + \z2-x2\2 =

s

^ Vtl^i-yil + b'l -^il)2 + fe -y2\ + \y2 -Xi\)2 *

Barcha a E R uchun o'rinli bo'lgan |a\2 = a^ tenglikdan |T] tenglik kelib chiqadi.

\2\ tenglik bajarilishi ko'rinib turibdi. |T| tengsizlik absolyut qiymatning + < |ß | + |£?| xossasidan kelib chiqadi, a, b E E.

tengsizlikni isbotlash uchun uning ikkala tarafini kvadratga oshiramiz

Ixchamlashtirgach

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Hosil bo'lgan tengsizlikning ikkala tarafini kvadratga oshirib, navbati bilan quyidagi tengkuchli tengsizliklarga ega bo'lamiz:

^ (zi - y\Y (J'2 - x2y + (z2 - y2y (yx - xj2

Oxirgi tengsizlik barcha x = (xlix2)1y = (ylry2'),z = (zi>zz) E nuqtalar

uchun o'rinli ekanligidan 4 tengsizlikning to'g'ri ekanligi kelib chiqadi. Shu bilan aksioma (uchburchak aksiomasi) isbotlandi. Shunday qilib, R2XR2 daaniqlangan

pO,y) = VÖ'i - + Ö'2 - x2y, X = Xy = Ö'i.yz) t ,

funksiya R^ dametrikabo'ladi. H2 = (R2;p) belgilash kiritamiz.

3. Metrik fazodagi ikkita to'plam orasidagi masofani topishda ikki o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalarining tatbiqi

Metrik fazodagi ikkita M va ¿V to'plamlar orasidagi masofa deb, ushbu nomanfiy songa aytiladi

p(M,N~) = inffpOr, y): x GtfjG N}.

Quyidagi misol to'plamlar orasidagi masofa tushunchasining ahamiyatini oshirishga xizmat qiladi. Bu misolda umumiy o'rta ta'lim va oliy ta'lim

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

muassassalari matematika kurslarida uchraydigan amaliy masalalardan biri - ikkita egri chiziq orasidagi masofani topish metodikasi keltiriladi.

4-misol.

dagi x2 = — giperbolaning ikkita shoxlari orasidagi masofani

toping.

Yechish. Ushbu to'plamlar

giperbolaning shoxlari bo'ladi.

x = Üijy = (yu~) N ~ ixtiyoriy nuqtalar bo'lsin. Ushbuga egamiz

Ikkita x1 va y± o'zgariivcliining p (x, y) = pO^yO funksiyasining eng kichik qiymatini topish talab etiladi. Xususiy hosilalarni topamiz:

- 2 (.vi-.vi .■■via >1 + 2 (>1 -.vi:

*l3yl

dp _ __

Ushbu tenglamalar sistemasini yechamiz

ekanligidan

Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, hosil bo'lgan tenglamani y± ga nisbatan yechamiz:

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Bunda x1 Ф 0,у± Ф - y± Ф 0 ekanligi e'tiborga olindi. x^y^ + 1 = 0 tenglamada y± ning o'rniga —qo'yib, x± ni va unga mos y± ni topamiz:

-1

Biroq M ekanligidan xx > 0 bo'ladi. Shuning uchun xx = 1. Bundan

У1 = — 1. Shunday qilib, stasionar nuqta: (1,-1).

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:

bc^yi-lx^+lxiyjl

Эд?н 2

8ж1Эу1

Ushbularni topamiz:

^ = АС - 3: = 2^-- = 22-.

А > 0, А > 0 bo'lgani uchun (1,-1) - minimum nuqtasi bo'ladi. Shunday

qilib,

REFERENCES

1. А.А. Заитов. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие. - Ташкент: «Zuxra baraka biznes." - 123 с.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 11 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

2. А. А. Заитов. Элементы дифференциального исчисления. Учебное пособие.

- Ташкент: изд-во ТГПУ. - 131 с.

3. A. A. Zaitov, A. Ya. Ishmetov. Matematika 1. O'quv qo'llanma. - Toshkent: "Zuxra baraka biznes" - 225 bet.

4. Бозаров, Д. У. (2022). DETERMINANTLAR MAVZUSINI MUSTAQIL OQISHGA DOIR MISOLLAR. Журнал Физико-математические науки, 3(1).

5. Uralovich, B. D. (2022). CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMALARIGA OID MASALALAR. Science and innovation, 1(A2), 163-171.

6. Uralovich, B. D., Normamatovich, R. B., & O'Gli, A. Z. A. (2021). SONLARDAN ILDIZ CHIQARISH HAQIDA. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(4), 1428-1432.

7. Бозаров Д. У. MATRITSALAR MAVZUSINI MUSTAQIL O'ZLASHTIRISHGA DOIR MISOLLAR //МуFаллим хам узликсиз билимлендириу. - 2022. - Т. 3. - №. 3.

8. Bozarov D. U. CHIZIQLI VA KVADRATIK MODELLASHTIRISH MAVZUSINI MUSTAQIL O'RGANISHGA DOIR MISOLLAR // EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES. -2022. - Т. 2. - №. 6. - С. 24-28.

9. Olimovich T. E., Uralovich B. D., Matlubovich M. J. Effective Methods in Teaching Mathematics //International Journal on Orange Technologies. - Т. 3. - №. 3.

- С. 88-90.

10. Uralovich B. D., Normamatovich R. B., Kholmatovich K. J. Development Of Mathematics In Different Periods //European Journal of Research Development and Sustainability. - 2021. - Т. 2. - №. 3. - С. 53-54.

11. Maxmudovna G. M., Olimovich T. E., Uralovich B. D. Types and uses of mathematical expressions //ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal. - 2021. - Т. 11. - №. 3. - С. 746-749.

12. https://t.me/zaamath

13. https://in-academy.uz/index.php/EJMTCS/article/view/2606