142ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
CHEGIRMALAR YORDAMIDA XOSMAS INTEGRALLARNI
HISOBLASH USULLARI
E. M. Mahkamov
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti "Matematika va informatika"
kafedrasi mudiri, f.-m.f.f.d.(PhD) E-mail: erkincspi@gmail.com
S. D. Eshmetova
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti "Aniq va tabiiy fanlarni o'qitish metodikasi (matematika)" yo'nalishi 2-kurs magistranti E-mail: sabohateshmetova898@gmail.com
ANNOTATSIYA
Oliy ta'limda xosmas integrallar mavzusini o'qitishning ba'zi uslub va metodlariga bo'lgan talabdan kelib chiqib, ushbu maqolada chegirmalar nazariyasi va uning ba'zi tadbiqlari asosida xosmas integrallar yechimlari bayon qilingan.
Kalit so'zlar: maxsus nuqtalar, golomorf funksiyalar , chegirmalar, xosmas integral.
ABSTRACT
In connection with the demand for certain methods and techniques of teaching the subject of integrals in higher education, this article describes the solutions of internal integrals based on the theory of discounts and some of its applications.
Keywords: singular points, holomorphic function, residue, proper integral.
KIRISH
O'zbekiston Respublikasi prezidentining "Oliy ta'lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to'g'risidagi" qarorida quyidagi asosiy masalalarni keltirilgan:
ta'lim jarayonini, oliy ta'limning o'quv reja va dasturlarini yangi pedagogik texnologiyalar va o'qitish usullarini keng joriy etish, magistratura ilmiy-ta'lim jarayonini sifat jihatidan yangilash va zamonaviy tashkiliy shakllarni joriy etish asosida yanada takomillashtirish;
oliy ta'lim muassasalari ilmiy salohiyatini mustahkamlash, oliy ta'limda ilm-fanni yanada rivojlantirish, uning akademik ilm-fan bilan integratsiyalashuvini
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
kuchaytirish, oliy ta'lim muassasalari professor-o'qituvchilarining ilmiy tadqiqot faoliyati samaradorligi va natijadorligini oshirish, iqtidorli talaba-yoshlarni ilmiy faoliyat bilan shug'ullanishga keng jalb etish.
Ushbu masalalardan ko'rinadiki qarorda asosan oliy ta'lim tizimini rivojlantirish, raqobatbardosh kadrlar tayyorlash, zamon talabi asosidagi darslar sifatini yaratish va fanlarni o'qitilishidagi zamonaviy yondashuvlarni taxlil qilish kabi bir qancha masalalar ko'rib chiqilgan. Shularni inobatga olgan holda biz ushbu ishimizda oliy ta'limning matematika mutaxassisligi yo'nalishi talabalari uchun o'rganishlarida bir qancha murakkablilik paydo qiluvchi mavzulardan biri bo'lgan "Chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallar " mavzusini o'qitishning innovatsion metodini keltiramiz. Chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallarni chegirmalar yordamida oson hisoblash mumkin.
Asosiy qism: Maxsus nuqtalar va ularning turlari. Agar a eC nuqtada /(z) funksiyaning golomorf bo'lishi sharti bajarilmasa, u holda funksiya shu nuqta atrofida o'rganiladi.
Odatda, bunday nuqta /(z) funksiyaning maxsus nuqtasi deb qaraladi.
1 -tarif([1],[2]). Agar /(z) funksiya ushbu
{z 6 C: 0 < lz - a I < r} sohada (a nuqtaning o'yilgan atrofida) golomorf bo'lsa, u holda a nuqta /(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi.
1-misol. Ushbu
/(z)=rb
funksiyani qaraylik. Ravshanki bu funksiya
{z 6 C: 0 < lz + i I < r} sohada (halqada) golomorf. Binobarin, a=- i nuqta berilgan funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'ladi.
2-ta'rif ([1],[3]). Agar /(z) funksiya ushbu
{z6C:fi< lz I < ro} sohada golomorf bo'lsa, u holda a=ro nuqta /(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi.
2-misol. Ushbu /(z) = ez funksiyani qaraylik. Bu funksiya
{z6C:fi< lz I < ro} sohada golomorf. Demak, a = ro nuqta berilgan /(z) = ez funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'ladi.
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
Aytaylik, a nuqta f(z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'lsin. Unda f(z) funksiya
{z EC: 0 < \z-a \ <r] sohada (a nuqtaning o'yilgan atrofida) golomorf. f(z) funksiyaning z ^ a dagi limitning xarakteriga qarab yakkalangan maxsus nuqtalar turlarga ajraladi. 3-ta'rif([3],[4]). Agar z ^ a da f(z) funksiyaning limiti mavjud bo'lib,
lim f(z) = m
bo'lsa, u holda a nuqta f(z) funksiyaning qutb nuqtasi deyiladi.
3-misol. Ushbu
z
™=irr
funksiyani qaraylik. Bu funksiya C\{z=-1}da golomorf bo'lib, a = —1 nuqta uning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'ladi. Bu funksiya uchun
z
lim-- =
z^-1Z+ 1
bo'lganligi sababli a = —1 berilgan funksiyaning qutb nuqtasi bo'ladi.
Chegirmalar va uni hisoblash. Faraz qilaylik f(z) funksiya {0 <
\z — a \ < S} da golomorf bo'lsin, ya'ni a bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'lsin.
4-ta'rif([2],[3],[4]). Ushbu
-i- <£ f(=)d=(0<p<6)
2m \ J,
integral f(z) funksiyaning a nuqtadagi chegirmasi deyiladi va res f (z) kabi
z=a
belgilanadi:
•'/(-)j f(=)d=.
res . . .
2 Tti, ,
r—a\=p
Ravshanki f(z) funksiya a nuqtada golomorf bo'lsa, res f (z) =0 bo'ladi.
z=a
Aytaylik, f(z) funksiya |r < |z| < da golomorf bo'lsin. 5-ta 'rif([2],[3],[4]). Ushbu
\-\=p
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
integral /(z) funksiyaning z = ro nuqtadagi chegirmasi deyiladi va res f (z) kabi
z=a
belgilanadi:
resf{z)=--Î- <£ f{z)dz.
:=a 1m I г
\-\=p
1-teorama([1],[2],[3],[4]). Agar /(z) funksiya {0 < lz — a I < r} sohada (halqada) Loran qatori /(z) = Y cn (z - a)n ga yoyilgan bo'lsa, u holda /(z)
n '
—x
x
c,z"
n=—x
funksiyaning z = a nuqtadagi chegirmasi c—1 gateng. Ya'ni
res f ( z) = c_! (1)
z=a
bo'ladi. Agar /(z) funksiya jr < |z| < halqada Loran qatori
x
f(z)= Y
ga yoyilgan bo'lsa, u holda
res f ( z) =—с— (2)
z=a
2-teorema([2],[3],[4]). (Chegirmalarning yig'indisi haqidagi teorema). Agar /(z) funksiya C\{a1( a2, ..., an}to'plamda golomorf bo'lsa, u holda
n
Y resf ( z ) + resf ( z ) = 0 (3)
k=1 z=ak z=X
bo'ladi.
Endi funksiyaning chegirmalarini hisoblashda foydalaniladigan formulalarni keltiramiz:
1) Agar z = a nuqta /(z) funksiyaning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo'lsa,
resf ( z) = lim( z — a)f ( z) (4)
z=a z^a
bo'ladi.
2) Agar f( z ) = uchun <( z ) va у( z ) funksiyalar a nuqtada golomorf bo'lib,
У(z)
y(a) =0, у'(a) bo'lsa, u holda
r( X <(a) resf ( z) = (5)
z=a у (a)
bo'ladi.
3) Agar z = a nuqta /(z) funksiyaning n-tartibli qutb nuqtasi bo'lsa,
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
1 dn-1
i (z - a)nf (z) resf(z) = --— • lim-!=——-^ (6)
(n -1)! z—a dz
bo'ladi.
4) Agar z = to nuqtada f(z) funksiya golomorf bo'lsa,
resf (z ) = lim z [ f («) - f ( z)] (7)
z=« z—
bo'ladi.
5) Agar f (z) = @(1) bo'lib, <p(z) funksiya z = 0 nuqtada golomorf bo'lsa,
z
resf (z) = -0/(0) (8)
z=<X)
bo'ladi.
Chegirmalar yordamida integralni hisoblash. Chegirmalar yordamida turli integrallarni hisoblash mumkin. Bunda quyidagi teorema muhim ro'l o'ynaydi. 3-teorema(Koshi teoremasi) ([1],[2],[3],[4]). Faraz qilaylik,
1) f(z) funksiya D\[a1, a2,..., an] sohada golomorf
(DcC, %, a2, ... , an e D),
2) f(z) funksiya sohaning chegarasigacha aniqlangan va D\{<a,a2>•••>an} da uzluksiz,
3) dD - to'g'rilanuvchi yopiq kontur bo'lsin. U holda
n
f f (z)dz = 2m X resf (z) (9)
•> ^^ z=a u
, ' z=ak
3D k=1 k
formula o'rinli.
Izoh. (9) - formula «eD bo'lgan hol uchun ham o'rinlidir. Faqat bu holda z = to ni f(z) uchun maxsus nuqta deb hisoblash hamda 3D chiziq orientatsiyasini soat strelkasi yo'nalishida olish kifoyadir.
Yuqorida keltirilgan Koshi teoremasidan amaliyotda yopiq kontur bo'yicha olingan integrallarni hisoblashda foydalaniladi. 4-misol. Ushbu
--=3
dz
z' +4z
integralni hisoblang.
Bu holda integral ostidagi funksiya
1
f ( z ) =
z + 4 z
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
Integrallash konturi jz e C : |z| = aylana, D soha esa D = jz e C : |z| <
doiradan iborat. /( ) funksiyani
я_)= 1 = 1 = 1 ( z ) z3 + 4z z( z2 + 4) z( z + 2i)( z — 2i) ko'rinishida yozib, a1 = 0 , a2 = —2i, a3 = 2i lar funksiyaning 1 -tartibli qutb nuqtalari ekanini aniqlaymiz. Ravshanki, a1, a2, a3 maxsus nuqtalar D sohaga tegishli bo'ladi. Koshi teoremasining barcha shartlari bajarilib, shu teoremaga ko'ra
1 , . 1
(£ —-dz = 2л-/V i
J -I 4*7
r=3
res—-
z +4z ~l-=a„z +Az
bo'ladi.
O'ng tomondagi chegirmani (4) formulaga ko'ra hisoblaymiz:
res f (z) = res—1— = limz • —r—— = —,
z=a— z=0 z + 4z z + 4z 4
res f ( z ) = res—— = lim-1-= - —,
z=a2 z=-2iz + 4 z z^-2iz( z - 2i) 8
resf ( z ) = res—— = lim 1 1
03 ' ■ J-3
=2i zJ + 4z ^ z(z + 2i) 8
Natijada
£ 1 7 ^ Л 1 1ч О
ф —-dz = 2ш(-----) = 0
J :3+4; 4 8 8
г=3
bo'lishini topamiz.
Aniq integralni chegirmalar yordamida hisoblash. Aniq integrallarni ham chegirmalar yordamida hisoblash mumkin. Bunda aniq integral kompleks o'zgaruvchili funksiyaning kontur bo'yicha olingan integraliga keltirilib hisoblanadi.
2n
a) J R(cos x, sin x)dx ko'rinishidagi integrallarni hisoblash.
0
Ushbu
2n
I =j R(cosx,sinx)dx (10)
integral berilgan bo'lib, uni hisoblash talab etilsin, bunda ß(cosx, sinx) — cosx va s inx larning ratsional funksiyasi va u [0,2^] da uzluksiz. Eyler formulasiga ko'ra
0
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
ea + e—x . eix - e—x
cos x =-, sin x =
2 2i bo'lishini e'tiborga olib, so'ng
ix
z = e
deb belgilash kiritsak, unda
11 11 1 x e[0,2ml^ z e{z eC: Izl = 1[, cos x = —(z + —), sin x = —(z —), dx = — dz 1 ' 2 z 2i z iz
bo'lib, berilgan (10) integral quyidagicha
2 k
I = | R(cosx,sinx)dx = <j) R(z)dz o |-|=i
bo'ladi, bunda
R( z) = 1 R(1 (z +1),! (z -1)). iz 2 2 2i z
Hosil bo'lgan integral (9) - formula yordamida hisoblaniladi.
b) Xosmas integrallarni hisoblash.
Chegirmalar nazariyasidan foydalanib xosmas integrallarni ham hisoblash
mumkin. Bu quyidagi teoramaga asoslangan.
4-teorema([2],[3],[4]). f(z) funksiya {z£ C: Imz>0} sohaning chekli sondagi
maxsus nuqtalardan tashqari barcha nuqtalarida golomorf bo'lib, uning chegarasida
uzluksiz bo'lsin. Agar
lim f f (z)dz = 0, (yr = {Iz| = r,0 < argz <m}) (11)
r ^to J ' '
7r
to
bo'lsa, u holda f f (x)dx yaqinlashuvchi bo'lib,
—to
to
f f (x)dx = 2mi X resf (z) (12)
—to Im zk >0 z=zk
bo'ladi.
Bu teoremadagi (11)- shartning bajarilishini ko'rsatishda quyidagi lemmalardan foydalaniladi.
1-lemma. (Jordan lemmasi) ([2],[3],[4]). Agar
limr ■ maxlf(z)| = 0 (13)
r ^to zejr
bo'lsa,
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
lim f f (z)dz = 0 (14)
r —^x J
bo'ladi.
2-lemma. (Jordan lemmasi) ([2],[3],[4]). Agar
lim max | f (z) = 0 (15)
r—x zeyr
bo'lsa, u holda VA > 0 uchun
lim f f (z)eazdz = 0 (16)
r—x J
bo'ladi. Endi
J ellxR(x)dx
—w
ko'rinishidagi xosmas integrallarni qaraymiz.
Agar limmaxl R( z)| = 0 bo'lsa, u holda bu integralga 2 - lemmani va yuqoridagi
r—^w zey
teoremani qo'llash natijasida quyidagi formulalarni hosil qilamiz:
+x
f R(x) cos Äxdx = -2ж • Im< Y res [e1ÄZ • R(z)
Tm "7 ^П z=zk
Im zk >0
f R(x) sin Äxdx = 2n • Re \ Y res \ e1ÄZ • R(z)
J z=zk L -x
5-misol. Ushbu
Im zk >0
(17)
(18).
+x
f Sin x
I —;-dx
f x2 - 2 x + 2
integralni hisoblang. /( ) funksiya deb
f ( z )
z2 - 2z + 2 [z - (1 + i)][z - (1 - i)]
ni olamiz. Bu funksiyaning 2 ta z1 = 1 + i va z1 = 1 — i qutb nuqtalari bo'lib, ulardan z1 = 1 + i £ {Imz>0} bo'ladi.
R( z ) =
1
z2 - 2 z + 2
funksiya uchun z-> oo da R(~) ~ bo'lganidan 2-lemma
z
sharti bajariladi. Unda (18) - formulaga ko'ra
7
r
7
r
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
f —
f r2-
sin x
■dx = 2m ■ Re
resf (z)
x — 2 x + 2
—TO
bo'ladi.
(6) - formuladan foydalanib res f (z) ni hisoblaymiz:
res f (z) = lim
z=z. z —^1+i
[ z - (1 + i)][ z - (1 - i)]
z - (1 + i)]
e'(1+') e"1
— = — (sin1 — i cos1). 2i 2
Demak,
+TO i
sin x
x - 2 x + 2
■dx = 2m ■ Re
-1
6-misol. Ushbu
+TO
I=f
—(sin1 — i cos1)
dx
= me sin1
integralni hisoblang.
R( z) =
—TO (x2 +1)4 1 1
(z2 +1)4 (z — i)4( z + i)4 bu funksiya zt = i, z2 = — maxsus nuqtalarga ega bo'lib, bu maxsus nuqtalar 4-tartibli qutbdir. Yuqori yarim tekislikda faqat zt = i nuqta yotadi. n - tartibli qutb bo'lsa,
+TO
I=f
dx
—TO (x2 + 1)4
= 2mi res f (z) = 2mi res
1
2mi
=i (x"+1)4 3!
1
(z + i)4
("')
2ni, ^ 1 2mi20 5m T 5m -(-4)(-5)(-6^^T = —— = —, I = —
6 2 C 2 16 16
+TO (x_1) cos 5 x
7-misol. I = —--dx ni hisoblang.
x — 2 x + 5
—TO
r
I = _2mIm
V res (e1ÄzR(z)) „Tin z=zk
. Bunda, R( z)
z -1
z2 - 2 z + 5
VIm zk >0' k y
z2 - 2z +5=0, zu=1±2i. z1=1+2i, Imz1=2>0. z2=1 - 2i, Imz2= - 2<0.
I = 2m Im
e5 (z _ 1)
res
V z=1+2i z ^ — 2 z + 5 y
= res
z=1+2i
e5z (z _ 1) (z2 — 2 z + 5)'
= res
z=1 2i
z=1 2i
e3E (z _ 1)
2 z — 2
z=1 2i
—10
2
-Im(cos5 + i sin 5) = — me sin 5
+TO
z=i
ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 9 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-9-91-100
XULOSA
Yuqoridagilardan xulosa qilib shuni aytish mumkinki matematik analiz fanining chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallar mavzusini o'qitishda "Chegarmalar nazariyasi" mavzusidan foydalanish samarali natija beribgina qolmasdan yo'nalish talabalariga chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallarni o'qitishda bir qancha qulayliklar yaratadi.
REFERENCES
1. Sadullayev A., Xudoyberganov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiyev T. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to'plami. 3-qism (kompleks analiz) "O'zbekiston", 2000.
2. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного пременного. 3-nashri. - М. "Наука", 1975.
3. Xudoyberganov G., Vorisov A., Mansurov X. Kompleks analiz. (ma'ruzalar). T, "Universitet", 1998.
4. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 2-nashri, 1-ч.-М, "Наука", 1976.
