AKADEMIK LITSEY O`QUVCHILARINING KOGNITIV KOMPETENSIYALARINI RIVOJLANTIRISHDA O`QUVCHILARNING NAZARIY BILIMGA EGA BO`LISHINING AHAMIYATI Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

AKADEMIK LITSEY OQUVCHILARINING KOGNITIV KOMPETENSIYALARINI RIVOJLANTIRISHDA OQUVCHILARNING NAZARIY BILIMGA EGA

BOLISHINING AHAMIYATI Saidova Zulfizar Askarovna

"Tabiiy va aniq fanlar"ga iqtisoslashtirilgan S.H.Sirojiddinov nomli Respublika akademik litseyi matematika fani o'qituvchisi [email protected] 97 737-06-36 https://doi.org/10.5281/zenodo.7993498 Annotatsiya. Ushbu maqolada akademik litseylarda abituriyent uchun qiyin va murakkab tuyulgan, nostandart usullarda yechiladigan, mantiqiy fikr-mulohazalar yuritishni talab qiladigan va ko'proq uchraydigan ayrim masalalarning yechilish usullari yoritib berilgan. Bu usullardan namunalar berish oquvchiga shu tipdagi masalani yechishda togri yo lni tanlay bilishda ko'maklashishdir. Oquvchining ta lim kompetentligini oshirish uchun o quvchi nazariy bilimga ega bolishi, kor-ko rona misol yechishni yodlab olish emas, balki uning mohiyatini chuqurroq anglab olishi muhimdir.

Kalit so^zlar: kognitiv, kompetensiya, analiz, sintez, analitik usul, sintetik usul, arifmetik amal, ayniyat, komponent, tenglama, sistema, didaktik, ob^yekt, gipoteza, teorema, nazariy, amaliy.

O'quvchilar sodda masalalar shartini analiz qilish va shu asosda amal tanlash malakasini egallab olganlaridan keyin murakkab masalalarni yechishga o'tish mumkin.

Analiz va sintez, bir tomondan, bilish jarayonlari bo'lib, barcha aqliy faoliyat turlari pirovard natijada ularga keltiriladi. Mana shu jihatdan ular psixologiyaning o'rganish ob'ektlaridir. Bu tadqiqotlarning asosiy natijalari didaktikada ishlab chiqilgan o'qitish tamoyillari va usullari asosida yotadi.

Ikkinchi tomondan, analiz va sintez fanda akademik litsey o'quvchilarining yangi kognitiv bilimlarini hosil qilishning mantiqiy yo'llaridir. Akademik litsey o'quvchilarining bu yo'llarni egallashlari o'quv materialini faol o'zlashtirish, mantiqiy, ijodiy fikrlashni yani kognitiv kompetensiyalarini rivojlantirishning zaruriy sharti ekanligi ravshandir. O'quvchilarni analiz va sintezga o'rgatish vazifasi ko'p darajada akademik litseylarda matematikani o'qitishda hal etilishi lozim.

Matematikada analiz deyilganda asosan isbotlanayotgan da'vodan rostligi ilgari isbotlangan yoki isbotsiz qabul qilingan da'volarga olib keladigan fikrlash tushuniladi. Analiz isbotning tuzilishiga emas, balki faqat uning g'oyasiga olib keladi.

Sintez, bu topilgan isbotlash g'oyasi asosida rost da'volar shartida berilgan ma'lumotlardan qanday qilib isbotlanayotgan da'vo hosil bo'lishini ko'rsatuvchi fikrlashdir.

Masalan, tenglama va tengsizliklarni yechish usullarini ayrimlarini korib o'taylik.

Tenglama va tengsizliklarni yechishda funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish

1-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M toplamida f(x)< a, f(x) < b tengsizliklar

(/(x) = a

orinli bo'lsa, u holda f(x) +g(x) =a+b (1) tenglama M toplamda _ ^ (2) tenglamalar

sistemasiga teng kuchli boladi.

1-misol. Sin5x-3cos2x=4 tenglamani yeching.

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

Yechish. Sin5x-3cos2x=1+3, sin5x<1, -3cos2x<3. U holda 1-teoremaga asosan tenglama

{sin5x = 1

3cos2x — 3 tenglamalar sistemasiga teng kuchli. Bundan ikkinchi tenglamani yechaylik.

'K

cos2x=-1, 2x=n+2nn, n€Z, x= - + nn,n E Z. Bu ildizlarni sistemaning birinchi tenglamasini

qanoatlantirishini tekshiramiz.

2-misol. Ushbu cosxcos2xcos4x = 1 tenglama [-2n;2n] kesmada nechta yechimga ega?

Yechish. Kosinuslar ko'paytmasini yig'indigo almashtiraylik.

i i 11

cosxcos2xcos4x = -(cosx+cos3x)cos4x = -(cosxcos4x + cos3xcos4x) = -(-(cos3x + 1

cos5x) + -(cosx + cos7x))

Demak, tenglama quyidagi ko'rinishni oladi: cosx + cos3x + cos5x + cos7x = 4.

cosx < 1, cos3x < 1, cos5x < 1, cos7x < 1 bo'lganligi sababli

cosx + cos3x + cos5x + cos7x = 1 + 1 + 1 + 1 tenglama 1-teoremaga asosan:

Ícosx = 1 cos3x = 1

cosSx — 1 tenglamalar sistemasiga teng kuchli boladi. coslx = 1

cosx = 1 tenglamani ildizlari x = 2nn, n€Z sistemaning barcha tenglamalarini qanoatlantirgani sababli, bu ildizlar sistemani yechimi boladi. Bu yechimlardan [-2n;2n] kesmaga tegishli ildizlari xo = 0, x1 = 2n, X2 = -2n boladi. Javob: 3 ta.

"K 4

3-misol. a€(0;^) va P, y € [0;n] miqdorlar 2cosy + 3s¿n2fi + tg2a+ctg2a = l tenglikni qanoatlantiradi. Ning qiymatini hisoblang.

Yechish. Bizga malumki, 2cosy < 2; 3sin2p < 3;

4 4 4

< - = 2. Demak, 1-teoremaga asosan

tg2a+ctg2a (tga-ctga)2+2 2

44

2cosv + 3sin2B +—-— =2 + 3 + 2 tenglik 2cosy = 2, 3sin2P = 3, —;-— = 2

' r tg2a+ctg2a 1 ' K ' tg2a+ctg2a

bo'lsa, bajariladi.cosy = 1 dan y = 0, sin2p = 1 dan 2P = -, P = -. —-— = 2 dan tg2a +

4 tg2a+ctg2a

ctg2a = 2, tg2a + = 2. (tg2a - 1)2 = 0, tg2a = 1, tga = 1, a = -. U holda: = =

a ' a tg2a ' & ' 4 Sy+ep 5-0+6--

11 -. Javob: -. 22

2- teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M toplamida f(x)> a, g(x)< a tengsizliklar

(f(x) = a

orinli bo'lsa, u holda M toplamda f(x)=g(x) tenglama _ a tenglamalar sistemasiga teng

kuchli boladi.

1 - misol. k ning qanday qiymatlarida |ln(x+15)|=-(x+k)2 tenglama yechimga ega boladi.

Yechish. f(x)= |ln(x+15)|>0, g(x)= -(x+k)2 <0 bo'lganligi sababli berilgan tenglama

f|ln(x + 15)| = 0 . , , rln(x+15) = 0

( (x + k)2 — 0 tenglamalar sistemasiniga teng kuchli.Bundan { v _ ^

ÍX 14 k=14 Javob. k=14. Ix = —k

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI _2023-yil 2-iyun_

2 - misol. Ushbu ( cos^px) = 13 + 4V3x + x2 tenglama [- 2n;2n] kesmada nechta ildizga ega?

Yechish. cos—nx < 1, 13 + 4V3x + x2 = (x + 2V3)2 + 1 > 1 bo lganligi sababli, 2

. ,

teoremaga asosan bu tenglama { 12 " ~ tenglamalar sistemasiga teng kuchli. Bu

((x + 2V3)2 + 1 = 1 sistemaning ikkinchi tenglamasini yechaylik:

(x + 2V3)2 = 0, bundan x = - 2V3 ildiz topiladi. Topilgan bu ildiz sistemaning birinchi tenglamasini qanoatlantirishini tekshiramiz.

cos-~3p(—2V3)) = cos^ = 0*1. Demak, x = —2V3 ildiz tenglamalar sistemasining

birinchi tenglamasini qanoatlantirmaganligi sababli bu sistema va tenglama yechimga ega emas. Javob: 0.

3-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M toplamida |f(x)> a, |g(x)|> b, (yoki |f(x)< a, |g(x)|< b) bo'lsa, u holda M toplamda f(x)-g(x)=ab tenglama tenglamalarning quyidagi sistemasining birlashmasiga teng kuchli: i/(x) = a !^(x) = b r/(x) = —a

LU(X) = -ö

Misol. tgx+ctgx= V2(sin(x)+cos(x)) tenglamani yeching. Yechish. Berilgan tenglamada shakl almashtirish bajaraylik. cos(x—)^sin2x=1.

4

3-teoremani tadbiq etamiz.

{cos (x -1) = 1

l sin2x = 1 {cos(x-f) = -1

l sin2x = —1

ix = - + fceZ

4

x = - + rcn, neZ

4

' x = — + fceZ

4

I x = — ^ + rcn, neZ

x = - + fceZ T , n 4 Javob. x^ +

0 4

fceZ

Matematikadan misollar yechish metodikasining turli usullaridan foydalaninsh darslarning samaradorligini oshiradi. Misollar mazmuniga ijodiy yondashish tufayli yangi misol tuzilishi va uni yechish jarayonida innovatsion texnologiya metodlaridan, axborot texnologiya vositalaridan hamda interfaol o'qitish shaklidan foydalanish o'quvchilarning fikrlash qobiliyatini kengaytiradi. Natijada o'quvchilarning matematika fanini bilishga qiziqishilari shakllanadi.

Xuddi shuningdek, tenglama va tengsizliklarni yechishda funksiyaning o'suvchi va kamayuvchiligidan foydalanish

1-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M toplamida f(x) monoton funksiya bo'lsa, u holda M toplamda f(x) =a tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas, (yani f(x)=a tenglamaning ildizi yoki yo'q, yoki yagona bo'ladi).

1-misol. 5x + 7x = 12x tenglama nechta ildizga ega?

—»

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2G23-yil 2-iyun

Yechish. Berilgan tenglamaning ildizi x =1 ni tanlash yordamida osongina toppish

mumkin. Endi tenglamaning boshqa ildizi yo'qligini isbotlaymiz. Tenglamani ikkala qismini 12x

si

ga bo'lamiz. U holda (—)x + (—)x = l tenglama hosil bo'ladi. Tenglamaning chap qismidagi

ikkita kamayuvchi funksiyaning yig'indisi kamayuvchi funksiya bo'ladi. 1-teoremaga asosan bu tenglamaning boshqa ildizi yo'q. Javob: 1 ta.

2-misol. [5х + Vl2x = [13х tenglama nechta ildizga ega?

Yechish. Berilgan tenglamaning x = 4 ildizini tanlash orqali topamiz. Uning boshqa ildizi yo'qligini isbotlaymiz. Tenglamaning ikkala qismini [13х ga bo'lamiz. U holda s i2

( = l tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglamaning chap qismi kamayuvchi funksiyadan

iborat. Berilgan tenglamaning yagona yechimi x =4 ga teng. Javob: 1 ta. 3 - misol. Tenglamani yeching. (■il + V2)x + 2 — V2)x = 2X

Yechish. Tenglamaning x = 2 ildizini tanlash yordamida osongina toppish mumkin. Tenglamaning boshqa ildizi yo'qligini isbotlash uchun uning ikkala qismini 2x ga bo'laylik. U

holda (^2+V2)x + (^2-V2)x = l tenglama hosil bo'ladi. Tenglamaning chap qismida

kamayuvchi funksiyalarning yig'indisi kamayuvchi bo'lganligi sababli 1-teoremaga asosan bu tenglama boshqa ildizga ega emas. Javob: x=2.

2-teorema. f(x) = g(x) tenglamaning har ikkala qismi biror M to'plamda aniqlangan bo'lsin. F(x) funksiya o'suvchi, g(x) funksiya kamayuvchi bo'lsin(yoki aksincha). U holda f(x) = g(x) tenglama bittadan ortiq ildizga ega emas.

4-misol. Tenglamani yeching. log2x = 3 - x

Yechish. Tenglamani aniqlanish sohasi x > o dan iborat. U holda f(x) = log2x funksiya o'suvchi, g(x) = 3 - x chiziqli funksiya sifatida kamayuvchi, chunki k = - 1<o bo'ladi.Bu tenglamaning x = 2 ildizini tanlash yordamida topamiz. 2 - teoremaga asosan bu tenglama yagona x = 2 ildizga ega. Javob. x = 2.

3 - teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to'plamida f(x) o'suvchi funksiya bo'lsa, u holda M to'plamda f(x) > c tengsizlikni yechish uchun f(x) = c tenglamani yechib, uning xo ildizini topsak, u holda tengsizlikni yechimini x > xo ko'rinishda bo'ladi. Bunda xo ildiz f(x) funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo'lishi lozim.

5-misol. Tengsizlikni yeching. xs + x4 + 2v[x > 4.

Yechish. Tengsizlikni aniqlanish sohasi x>0 dan iborat. xs + x4 + 2[x = 4 tenglamaning chap qismidagi f(x) = xs + x4 + 2[x funksiya aniqlanish sohasida uchta o'suvchi funksiyaning yig'indisi o'suvchi funksiyadan iborat.

xs + x4 + 2v[x = 4 tenglamaning ildizi xo = 1 ni osongina toppish mumkin. 1 - teoremaga asosan bu tenglama boshqa ildizga ega emas. Shuning uchun 3 -teoremaga asosan berilgan tengsizlikni yechimi x > xo yoko x > 1 bo'ladi. Javob: x > 1.

6-misol. Tengsizlikni yeching. Vx — l + 2X + log2x > 2

Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasini topaylik: Г - => I ~ => x>1.

V- x > 0 > 0

x>1 bo'lganda tengsizlikning chap qismi f(x) = [x — l + 2x + log2 o'suvchi funksiyadan iborat. [x — l + 2X + log2x = 2tenglamaning ildizi xo = 1 ni tanlash yordamida osongina

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKAILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

topamiz. 1-teoremaga asosan bu tenglama boshqa ildizga ega emas. U holda 3-teoremaga asosan berilgan tengsizlik x>1 yechimga ega. Javob. x > 1.

4 - teorema. Agar f(x) va g(x) funksiyalar qat'iy o'suvchi va o'zaro teskari funksiyalar bo'lsa, u holda f(x) = g(x) tenglama f(x) = x yoki g(x) = x tenglamalar teng kuchli bo'ladi.

7-misol. Vx — 9 = (x — 3)3 + 6 tenglamani yeching.

Yechish. Tenglamani Vx — 9 + 3 = (x — 3)3+9 korinishda yozaylik. U holda y = Vx — 9 + 3 va y =(x — 3)3 + 9 funksiyalarning har biri o'suvchi funksiyalardan

iborat.

y =(x — 3)3 + 9 funksiyaga teskari funksiyani topaylik. Buning uchun berilgan funksiyani x ga nisbatan yechaylik va x bilan y ni o'rinlarini almashtiraylik. y =(x — 3)3 + 9,

x - 3 = Vy — 9, x = 3 + Vy — 9. Demak, y =(x — 3)3 + 9 va y = Vx — 9 + 3 funksiyalar o'zaro teskari funksiyalar ekan. U holda 4-teoremaga asosan berilhan tenglama

(x — 3)3 + 9 = x tenglamaga teng kuchli. Bu tenglamani yechaylik. X3 - 9x2 + 26x - 18 = 0, (x-1)(x2 - 8x + 18) = 0, x = 1, x2 - 8x + 18 = (x + 4)2 + 2 >0. Javob. x = 1.

8-misol. 2x = x3 tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?

Yechish. y1=2x va y = x3 funksiyalar R da o' suvchi funksiyalardir. Bu funksiyalarning grafiklarini bitta koordinata tekisligida yasab, 1 < x < 2 oraliqda bitta ildizi borligini aniqlaymiz. x = 9 da y1(9) = 29 = 512, y2(9) 93 =729. x = 10 da y1(10) = 210 = 1024, y2(10) = 103 = 1000. Hisoblashlardan ko'rinadiki bu tenglama 9 < x< 10 oraliqda ikkinchi ildizga ham ega ekan. Javob: 2 ta.

Tenglama va tengsizliklarni yechishda funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish ba'zi hollarda, tenglama yoki tengsizliklarda qatnashayotgan funksiyalarning aniqlanish sohasini bilish, tenglama yoki tengsizliklarning yechimi mavjud emasligini bilishga, yoki yechimini topishga yordam beradi. Bunga doir teoremalar keltiriladi. Hamda o'quvchining mustaqil fikrlashi uchun bir nechta misollar beriladi. O'quvchini teoremalarni misolda qanday tadbiq qilishi kuzatiladi va xato qilsa, amaliy yordam beriladi.

1-misol. V2 — x2 • Vx2 — 4 = 0 tenglamani ildizlari sonini toping. Yechish. Tenglamani aniqlanish sohasini topaylik.

2 — x2 > 0 . (x2 < 2 . (|x| < V2

=> r2 < 2 =>{'"' < V2 0

x2 — 4 > 0 lx2 > 4 I |x| > 2 Tenglamaning aniqlanish sohasi bo'sh to'plam bo'lganligi sababli, tenglama yechimga ega emas. Javob: 0 ta.

2-misol. Vx — 2 + V2x — 1 = V3 — 2x tenglamani yeching. Yechish. Tenglamani aniqlanish sohasini topaylik.

x — 2 > 0 [x>2 !2x — 1 > 0 => jx > 0,5 0 13 — 2x > 0 (x < 1,5 Tenglamaning aniqlanish sohasibo'sh to'plam bo'lganligi sababli, tenglama ildizga ega

emas.

Javob: 0

3-misol. Vl — x + Vl+x2 + V^ — 1 = V^ tenglamani yeching. Yechish. Tenglamani aniqlanish sohasini topaylik.

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKAILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

{1 — x>0 => {x<1 => x = j

lx - 1 > 0 {x>1

Tenglamaning aniqlanish sohasi faqat bitta x = 1 nuqtadan iborat. x =1 ni berilgan tenglamaniqanoatlantirishini tekshiramiz. x = 1 bo'lsa V1-1 + V1 + 12 + V1-1 = V2, V2 = V2 tenglik to'g'ri. Demak, tenglama faqat x = 1 ildizga ega. Javob: 1

4-misol. Tengsizlikni yeching. V3x — 8 < —2

Yechish. Tengsizlikni chap va o ng qismini taqqoslaylik. Bizga malumki, aniqlanish sohasida V3x — 8 > 0 bo'ladi. Tengsizlikning chap qismi o'zining aniqlanish sohasida nomanfiy, o'ng qismi manfiy. Nomanfiy sonlar manfiy sonlardan kichik bo'lmaydi. Shuning uchun bu tengsizlik yechimga ega emas. Javob: 0 I

5-misol. I—— > —1 tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.

"\1 x 18

Yechish. Tengsizlikning chap qismi nomanfiy, o ng qismi esa manfiydir. Nomanfiy sonlar manfiy sonlardan doim katta bo'ladi. Shuning uchun berilgan tengsizlik aniqlanish

8—x x-8

sohasidagi barcha x lar uchun o'rinli. Aniqlanish sohaini topaylik. —— > 0, —— < 0 x€[8;18).

x 18 x 18

8+17

Bu oraliqqa tegishli butun sonlar yig indisi 8 + 9 + 10 + ...+17 = 10 = 125. Javob: 125

ft

6-misol. cos > (—-x) tengsizlikni yeching.

ft ft

Yechish. (—-x)'=—-»—1,5 va -1<cosx<1 bo'lganligi sababli tengsizlikning chap

qismi o'zining eng kichik qiymatini qabul qilganda ham, tengsizlik to'g'rib o'ladi. Shuning uchun berilgan tengsizlikningyechimi uning aniqlanish sohasi R dan iborat. Javob: (—&;

7-misol. x + 2x + Vx — 1 >2+Vx tengsizlikni yeching. Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasini topaylik.

=> l => x > 1 Mro)

x>0 {x > 0 x > 1 [1; )

l

x >1 bo'lsa, berilgan tengsizlik to'g'rimulohazadan iborat bo'ladi. Haqiqatdan x > 1 bo'lsa, x > Vx, 2x > 2 va Vx — 1 > 0 bo'ladi. Javob: [1;^)

8-misol. lgx < — x2 tengsizlikni yeching.

Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasi x >0 va 1 - x2 > 0 shartlarni qanoatlantiruvchi sonlardan iborat, ya'ni 0 < x < 1. Ravshanki, x = 1tengsizlik yechimi bo'la olmaydi. (0,1) oraliqdan olingan har bir x uchun lgx < 0 va tengsizlikning o'ng tomoni musbat. Demak, (0,1) oraliqtengsizlik yechimi bo'ladi. Javob: 0 < x < 1.

9-misol. Tengsizlikni yeching. arcsinx < Vx — 1

Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasini topaylik.

l

-1<x <1 (—1<x <1

x2 — 1> 1 > I lxl>1 x x -1

x = - 1 bo'lsa, arcsin(—1) < ^(—1)2 — 1, — ft<0 to'g'ri tengsizlik. Demak, x = - 1 tengsizlikning yechimi. x = 1bo'lsa, arcsin(1) < V12 — 1, ft < 0 noto'g'ri tengsizlik. X =1

tengsizlikning yechimi emas.

10-misol. Tengsizlikni yeching. x2 — 4xarccos(x2 — 4x + 5) < 0 Yechish. arccosa, |a|<1 bo'lsa ma'noga ega. x2 - 4x +5 = (x-2)2+1>1. Demak, arccosa, (x-2)2+1=1 bo'lsa ma'noga ega. Bundan tengsizlikning aniqlanish sohasi x=2 kelib chiqadi. Agar

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKAILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

x=2 bo'lsa, 22-4^2-arccos1<0. 4<0 noto'g'ri tengsizlik hosil boladi. Demak, x=2tengsizlikni yechimi bo'lmaydi. Javob: yechimi yo'q.

Bundan tashqari f(f(x))=x ko'rinishdagi tenglamalarni yechish usullari haqida ham bayon qilinadi.

f(f(x))=x ko'rinishdagi tenglamalarni yechish

Teorema. Agar y = f(x) funksiya monoton o'suvchi funksiya bo'lsa, u holda f(x)=x (1) va f(f(x))=x (2) tenglamalar teng kuchli bo'ladi. Bu teorema umumiy hol uchun ham o'rinli. Agar y=f(x) monoton o'suvchi funksiya bo'lsa, u holda istalgan k natural son uchun f(f(...f(x))...)f(f( ■ ■ ■ f(x)) ... ) = x va f(x)=x tenglamalar teng kuchli bo'ladi.

k ta

1-misol. Vx + 1 = 2(2x — 1)3 tenglamani yeching. Yechish. Tenglamaning shaklini quyidagichao'zgartiraylik:

M|ü= 2x — 1, J3^ + 1 = 2*, 1 (J^1 +1)= x. f(x)=1 (Vx + 1) desak,

+ 1) = x bo'ladi. U holda teoremaga asosan

1 3 /—

f(f(x))=x va f(x)=x tenglamalar teng kuchli, chunki f(x) = -(Vx + 1) funksiya o'suvchidir.

+ 1) = x tenglamani yechamiz. Vx + 1=2x Vx = y deb belgilash kiritsak, 2y3-y-1=0 tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglamani yechaylik. 2y3-2y2+y-1=0, 2y2(y-1)+(y-1)=0, (y-1)(2y2+1)=0, y=1. Vx=1, x=1 Javob: x=1.

2-misol. ln(1+lnx)=x-1 tenglamani yeching.

Yechish ln(1+lnx)+1=x, f(x)=1+lnx deb olsak, f(f(x))=ln(1+lnx)+1 bo'ladi. f(x)=1+lnxfunksiya x>0 bo'lganda o'suvchi funksiyadan iborat. U holda teoremaga asosan: f(f(x))=x va f(x)=x tenglamalar teng kuchli bo'ladi. Bundan 1+lnx=x tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglamaning ildizi x=1 ni tanlash yoki grafik yordamida aniqlaymiz. Javob: x=1.

y3 — 3 x + 2 = 0

3- misol. { z3 — 3y + 2 = 0 tenglamalar sistemasini yeching. x3 — 3z + 2 = 0

fy3 = 3x — 2 j y = V3x — 2 _

Yechish. {z3 = 3y — 2 => {z = ^/3y — 2 f(x)= V3x — 2 funksiyani kiritsak, bu U3 = 3z — 2 (x = 3V3z — 2 funksiya o'suvchidir. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishni oladi.

fy = /(x)

z = /(y) bundan ketma-ket o'rniga qo'yish yo'li bilan x=f(f(f(x))) tenglama hosil X = /(z)

bo'ladi. Bu esa teoremaga asosan f(x)=x tenglamaga teng kuchli. V3x — 2=x tenglamani yechamiz. Bundan x3-3x+2=0, x3-x-2x+2=0, x(x2-1)-2(x-1)=0, (x-1)(x2+x-2)=0, x-1=0, x=1. x2+x-2=0, x2=-2, x3=1.Demak, tenglamalar sistemasining yechimi x=1, y=1, z=1 yoki x=-2, y=-2, z=-2 bo'ladi. Javob: (1;1;1), (-2;-2;-2).

Yuqorida biz matematika fanining ayrim tenglama va tengsizliklarini ishlashdagi nazariy bilimlarni amaliyotga qo'llashni bir metodini ko'rdik xolos.

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKAILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, akademik litsey o'quvchilarining kognitiv kompetensiyalarini rivojlantirish uchun hozirgi jadal ravishda rivojlanayotgan jamiyatimizda hayot o'quvchidan faol harakat qilishni, mustaqil qaror qabul qilishni, hayotning o'zgarayotgan sharoitlariga moslashishni talab qiladi. O'z navbatida hayotning bunday tarzi o'quvchi malum sifatlarga ega bo'lishini talab qiladi. Xususan:

• zarur bilimlarni mustaqil egallashni, egallangan bilimlarni turli muammolarni yechishda mahorat bilan qo'llashni;

• axborotlar bilan savodli ishlashni ахборотлар билан саводли ишлашни (malum masalani tadqiq qilish uchun zarur faktlarni yig'ishni bilish, ularni tahlil qilish, muammolarni yechishga qaratilgan gipotezalarni taklif qilish, qonuniyatlarni aniqlash va yechish);

• olingan bilimlarning qayerda va qanday qo'llanishi mumkinligini aniq bilish va bu bilimlarni qo'llash sohasini anglay olish;

• mustaqil tanqidiy fikrlash, real dunyoda мустакил танкидий фикрлаш, реал misol va masalada paydo bo'layotgan qiyinchiliklarni ko'ra bilish va ularni bartaraf etishning optimal yo'llarini izlash;

• ijodiy fikrlash, yangi g'oyalar yaratish qobiliyatiga ega bo'lish;

• turli kichik guruhlarda birgalikda ishlashni bilish yoki nostandart vaziyatlardan chiqishni bilish;

• o'zining ma'naviyati, intellekti va madaniy salohiyati ustida mustaqil ishlash. Yuqorida aytilgan sifatlarga ega o'quvchini shakllantirishga nafaqat ta'lim mazmuni,

balki qo'llanilayotgan o'qitish usullari ham muhim rol o'ynaydi.

REFERENCES

1. О.К.Тихомиров. Психология мышления М.МГУ, 1984.

2. Методика преподавания математики. Под редакции В.Мышина. МД 986.

3. R.A.Habib. O'quvchilarning matematik taffakurini shakllantirish. Toshkent 1971 yil.

4. Alixonov S. Matematika o'qitish metodikasi. Т., O'qituvchi, 2001y.

5. S.A.Gasteva, B.I.Krelshteyn va boshqalar. Matematika o'qitish metodikasi. Т., 1960 y.

6. А.В.Хуторский. Ключевые компетенции:технология конструирования. Народное образование. -2003. -№5.

7. О.Е.Лебедев Компетентностный подход в образовании/ О.Е.Лебедев Школьные технологии.-2004.-№5.

8. Ibragimov, X., & Sh, A. (2008). Pedagogika nazariyasi (darslik). T.: Fan va texnologiya, 288.

9. Ибраимов, Х. И. (2018). Креативность как одна из характеристик личности будущего педагога. Наука, образование и культура, (3 (27)), 44-46.

10. Хонимкулова, М. Х. К., & Ибраимов, Х. И. (2018). Необходимость изучения иностранных языков: теория и практика. Вопросы науки и образования, (27 (39)), 8083.

11. Ibragimovich, I. K. (2020). Theoretical and methodological basis of quality control and evaluation of education in higher education system. International journal of discourse on innovation, integration and education, 1, 6-15.

12. Ибраимов, Х. И. (2019). Теоретические аспекты социально-психологической адаптации студентов-первокурсников к обучению в вузе. Вопросы науки и образования, (26 (75)), 12-16.

RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR DAVRIDA TILLARNI INTENSIV O'QITISHNING PSIXOLOGIK-

PEDAGOGIK JIHATLARI RESPUBLIKAILMIY-AMALIY ANJUMANI 2023-yil 2-iyun

13. Ибраимов, Х. И. (2018). Коммуникативная компетентность как механизм профессионального саморазвития будущего педагога. Проблемы педагогики, (2 (34)), 7-10.

14. Ibragimov, X., & Abdullaeva, S. H. (2008). Theory of pedagogy. Science and Technology.

15. Ибрагимов, Х. И. (2020). Организация самостоятельной работы студентов в условиях цифровизации вузовского образования. Наука и образование сегодня, (7 (54)), 74-75.

16. Ibragimovich, X. I. (2021). O 'ZBEKISTON OLIY TA'LIM TIZIMIDA KREDIT-MODUL TEXNOLOGIYALARINI QO 'LLASHNING O 'ZIGA XOS XUSUSIYATLARI. INTEGRATION OF SCIENCE, EDUCATION AND PRACTICE. SCIENTIFIC-METHODICAL JOURNAL, 209-214.

17. Ibragimov, X. I., Yo'ldoshev, U. A., & Bobomirzayev, X. (2009). " Pedagogik Psixologiya" O'quv qo'llanma. O'zbekiston faylasuflari milliy jamiyati nashiriyoti Toshkent.

18. Ибраимов, Х. И. (2019). Педагогические и психологические особенности обучения взрослых. Academy, (10 (49)), 39-41.

19. Атауллаев, Ф. Ф. У., & Ибраимов, Х. И. (2019). Понятие профессионально-коммуникативной компетентности будущих учителей в психолого-педагогических исследованиях. Вопросы науки и образования, (1 (42)), 70-74.

20. Ibragimovich, I. K. (2018). Intensive methods of teaching foreign languages at university. Вопросы науки и образования, (27 (39)), 78-80.

21. Ibragimovich, I. K., Kholboevna, I. F., Amrilloevich, I. A., & Rakhmonovich, U. S. (2021). PEDAGOGICAL ABILITIES OF A TEACHER, STRUCTURE AND

DEVELOPMENT. (48(12).

22. Ибрагимов, Х. И. (2021). ПЕДАГОГИКА И ВОСПИТАНИЕ. Экономика и социум, (1-1 (80)), 608-611.

23. Ibragimov, X. I., & Salimova, Z. K. (2021). Relevance of english language science and teaching structure. ASIAN JOURNAL OF MULTIDIMENSIONAL RESEARCH, 70(4), 883887.

24. Ibragimov, X. I., & Salimova, Z. K. (2021). Intensive in teaching english characteristics of application of methods. ACADEMICIA: An International Multidisciplinary Research Journal, 77(4), 1588-1594.

25. Rahmanovich, O. A., Yusufovich, E. H., Dilshodqizi, S. S., Almasovna, S. A., & Ibragimovich, H. I. (2020). Linguistic features of compound words in english and Uzbek languages. European Journal of Molecular and Clinical Medicine, 7(2), 925-932.

26. Bahtiyorova, F. Н. USING FOLK LITERATURE IN THE PRIMARY ENGLISH AS A FOREIGN LANGUAGE CLASSROOMS.

27. Ибраимов, Х. И. (2018). НЕЙРОПЕДАГОГИКА КАК НОВОЕ ПРИКЛАДНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ В ПЕДАГОГИКЕ. In INTERNATIONAL SCIENTIFIC REVIEW OF THE PROBLEMS OF PHILISOPHY, PSYCHOLOGY AND PEDAGOGY (pp. 6-10).

28. Ibragimovich, I. H., & Ghazzali, I. Increasing the Classical Activity of Future Teachers as a Pedagogical and Psychological Problem. JournalNX, 98-102.