117KVADRAT FUNKSIYAGA KELADIGAN TENGLAMA VA
TENGSIZLIKLAR
Dilnavoz Shaymaxammad qizi Quchqarova
TVCHDPI "Aniq va tabiiy fanlarni o'qitish metodikasi"(matematika) 1-kurs
magistranti
Annotatsiya: Ushbu maqolada bir qarashda qiyin,murakkab ko'rinadigan ba'zi tenglama va tengsizliklarni kvadrat funksiya va uning xossalaridan foydalanib yechish usullari qaraladi.
Ba'zi tenglamalar va tengsizliklarni yechishda qiyinchilik ko'p uchraydi shu vaziyatlarda kvadrat funksiyani qo'llab osonroq hisoblash mumkin. Tarif: a^0,b
л
va c-haqiqiy sonlar bo'lsa, y=ax +bx+c ko'rinishdagi funksiya kvadrat funksiya ,uning grafigi hammamizga malumki paraboladan iborat.
л
Kvadrat funksiyani y=a(x+n) korinishga keltirish, a> 0 bo'lsa funksiya doim y> 0 o'suvchi, a< 0 bo'lsa aksi y< 0 kamayuvchi bo'ladi. Ushbu tenglamalarni qaraylik : 1)Tenglamani yeching x - k(2x2+1)-x+k2=0.
Yechish: Bu tenglamani k ga nisbatan ishlasak kvadrat tenglamaga keladi
ya'ni
9 9 A
k2-k(2x2 +1)+x -x=0.Endi buni k ga nisbatan yechimlari
, 2x2 + 1+j(2x2 + -\:)2--ax2+ax 2xz + 1±(2x+1) , , , 2 ^ , 2
ku=-—2—^-=-Y--,bundanki=x+X+1, k2=x-X .
k ga nisbatan kvadrat funksiya bo'lib,uni (k-k1)(k-k2) ko'rinishda yozish mumkin. Topilgan k larni o'rniga qo'ysak
[k - O2 +x + l)][/c - (x2 — x)]=(x2+x+l-k)(x2-x-k)=0 tenglamalar hosil bo' ladi va har biri 0 ga tenglanib x lar topiladi
a) x2+x+l-k=0 bu tenglama yechimlari X|.2= 1±v4A" 3 bo'ladi.
b) b) x2-x-k=0 bu tenglama yechimlari bo ldi.
2)Agar x va y sonlari x2+y2+(y-1)2=2xy ni qanoatlantirsa x+y nechiga teng bo'ladi. Endi hammasini bir tomonga o'tkazamiz x2+y2-2xy+(y-1)2=0 hosil
9 9 9 9
bo'ladi (x-y) +(y-l) =0 ;f(x)=(x-y) ,g(x)=(y-l) bu tenglama a> 0 bo'lgan f(x) va g(x) kvadrat funksiyalar yig'indisidan iborat bo'ldi va bu funksiyalar doim
musbat bolgani uchun yani:f(x)+g(x)=0 bo'lsa f(x)>0,g(x)>0 shartlar bajarilsa, f(x)=0,g(x)=0 deb ishlanadi _ q '{y = l >Х=1>У=1 bo'ldi.
3) k ning qanday qiymatlarida x2-(k2+k)x+5k2-6=0 kvadrat tenglamaning ikkila ildizlari ham 2 dan kichik boladi?
Yechish: j* ^ + ^ ^ sistemani yechish kerak buni
ishlab chiqish juda ko'p qiyinchilik olib keladi buni osonlashtirish uchun funksiya
qollab ishlaymiz ya ni shartlarni tekshiramiz.a)x0~^ 2+k <2 va
b)22-2 (k2 + k)+ 5k — 6 > 0 tengsizliklarni yechimlarini topsak.
a) — 2< 0 bundan k€( 1 v17; 1"^v17) oraliq kelib chiqdi.
b) 22-2(k2 + k)+ 5k2 - 6 > 0 bu tengsizlikdan esa k€(—00; и ( quydagi oraliq kelib chiqadi. Endi ikkita oraliqlarni umumiy kesishma yechimini olsak
k€( 1 v17; -у-) и (—1"^v17) quydagi oraliq kelib chiqadi.Demak к ning
qiymatini shu oraliqlardan olsak kvadrat tenglamani ikkita ildizi ham 2 dan kichik boladi. Tengshirib koramiz k ni oraliqdan olib masalan k=-1 ni tenglamaga qo yamiz х^к^х+Зк^бЮ; x2-((-l)2-l)x+5(-l)2-6=0 -^x2-l=0 -^xu=±l< 2. Demak qanoatlantirdi shu kabi tenglamalarda bemalol ishlatsak bo'lar ekan. Endi shu tenglamani ikkala ildizi 2 dan katta bo'lishini koramiz;
4) k ning qanday qiymatlarida x2-(k2+k)x+5k2-6=0 kvadrat tenglamaning ikkila ildizlari ham 2 dan katta boladi?
Yechish; jX ^ +>2 ^ ^ sistemani yechish kerak ,bu
tenglamada ham funksiyani qollaymiz, ^^>2 s'iart'arn' tekshiramiz.
20 7
l)xo~ „ >2 va 2)2'-2{kL + k)+5fcz - 6 tengsizliklarni yechimlarini
topsak. а)~2> 0 bundan k€(—00; 1 ч17)( 1^vl7;+oo) oraliq kelib chiqdi. b) 22-2(k2 + k)+ Sk2 - 6 > 0 bu tengsizlikdan esa k€(—00; и ( quydagi oraliq kelib chiqadi.
Endi ikkita oraliqlarni umumiy kesishma yechimini olsak k€(—00; 1 vl7)( 1+vl7;+co) quydagi oraliq kelib chiqadi.
Endi tengsizlikda kvadrat funksiyani qo'llanishini ko'rsak ;
l)3x2-6x+ll> 0 tengsizlikni yeching. Yechish: 3x2-6x+ll=3x2-6x+3+8=3(x-l)2+8 bo'lgani uchun 3(x-l)2+8> 0
л
ko'rinishda yozish mumkin,x ning har qanday qiymatida f(x)= 3(x-1)
Kvadrat funksiya musbat bo'lgani uchun tengsizlikning yechimi barcha haqiqiy sonlar to'plamidan iborat.
2)Tengsizlikni yeching: 2 7 < 0. Bu tengsizlikda surat 7> 0 bo'lgani
л
uchun maxrajni tekshirib qo'ysak bo'ldi. x -6x+9< 0 shartni tekshiramiz
л
f(x)= x -6x+9, f(x) kvadrat funksiyani to'la kvadrat shaklga keltiramiz ya'ni,
л
f(x)=(x-3) bundan f(x) doim musbat bo'lganligida uchun bizdan so'ralayotgan tengsizlik manfiy bo'lgani uchun tengsizlik yechimga ega emasligi kelib chiqadi.
Xulosa: Yuqoridagilardan xulosa qilib shuni aytish mumkinki tenglama va tengsizliklar mavzusidagi misollarni ishlashni o'qitishda "Kvadrat funksiya" mavzusidan foydalanish samarali natija beribgina qolmasdan shu mavzularni o'qitishda bir qancha qulayliklar yaratadi.
REFERENCES
1.SH.N.Ismoilov."Sonlar nazariyasi"Toshkent -2008
2.NorjigitovJ,A.Bahromov."Matematik olimpiada masalalarini yechish uchun qo'llanma"
3.SH.N.Ismoilov.O.Ibragimov."Tengsizliklar-II isbotlashning zamonaviy usullari",Toshkent -2008.
4."Algebra va matematik analiz asoslari" O'zbekiston 2004.
