Теневой сектор экономики как составляющая экономической безопасности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3; 517.984

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ПОДПРОСТРАНСТВ В (БЕв)-СПЕКТРАХ

А. В. Абанин, К. А. Михайлов

Получены достаточные условия того, что данная последовательность подпространств является абсолютно представляющей системой подпространств в пределе приведенного проективного спектра (^^£)-пространств.

Пусть Г — локально выпуклое пространство (ЛВП), Н = (Н)О=1 — последовательность нетривиальных векторных подпространств Г. Следуя [1], будем называть Н абсолютно представляющей системой подпространств (АПСП) в Г, если любой элемент х из Г представим в виде суммы ряда

О

х = ^2 х(к) (х(к) е Пк ,к € ^ >

к=1

абсолютно сходящегося к х в Г.

В настоящей работе уточняются достаточные условия для АПСП в пределах проективных спектров (ДГ^)-пространств, анонсированные ранее в [2]. Будем использовать обозначения и определения из [2], комментируя их по мере необходимости.

Пусть Е = (Ет ,С+1) — проективный спектр полных отделимых (ЬБ)-пространств Ет. При этом каждое Ет является внутренним индуктивным пределом последовательности банаховых пространств

(Ет,п> У ' ^ш,п)п=1 и

||х 11 т,п+1 ^ ||х||т,п ^х € Ет,п (т? п € ^) ? (1)

а С+1 — линейные непрерывные инъективные отображения из Ет+1 в Ет. Положим

ОО ч

х (хт)о=1 Ет • хт ^т+1хт+1 ^т € ^ Г ?

т=1 '

Рго^ Е :=

(О \

П Ет/в(Е),

т=1 '

е

^ оо оо

В(Е) :^(«т)0=1 Є П Ет | 3 (6т)0=і Є П Е

т = 1 т = 1

Обозначим через *т отображения проектирования из Рго]0 Е в Ет, а через Е — пространство Рго]0 Е, наделенное топологией проективного предела пространств Ет относительно отображений *то. Это пространство называют пределом проективного спектра Е. Спектр Е = (Ет,С+1) называется приведенным, если для каждого т € N множество *тЕ плотно в Ет. Далее, говорят, что Е = (Ет, С+1) является (ЕЕ5)-спектром, если Ет п компактно (вполне непрерывно) вложено в Ет)„+1 для всех т, п € N.

Всюду ниже считаем, что Е = (Ет, *т+1) — приведенный (ЕЕб')-спектр, а Е — его предел.

Рассмотрим последовательность Н = (Е^)^=1 нетривиальных векторных подпространств в Е, для которой *тЕ^ вложено в пространстве Ет,1, замкнуто в нем (к,т € N и

1- Н* х||т,п+1 пи г- Т^Т /г)\

пт эир ——------р----= 0 Vт,п£Тч. (2)

||^тх||т,п

Образуем по ней «коэффициентное» пространство следующим образом. Для т, п € N определим нормированные пространства

о

Ат,п :— X — (х« )0=1 Є [] Нк : | ^ ^ ^ ^ ~ •

I к=1 к=1 )

Эти пространства банаховы и Ат,п ^ Ат,п+1 (т, п Є М). Более того, по предложению 1 из [2] Ат,п компактно вложено в Ат,п+1 при любых т,п Є N. Положим Ат :— и0=1 Ат,п и наделим Ат топологией внутреннего индуктивного предела последовательности (Ат,„)0=1, а А :— Р|0=1 Ат — топологией проективного предела пространств Ат относительно отображений вложения А в Ат. По предложению 2 из [2] спектр А :— (Ат, іт+1), где іт+1 — отображения вложения Ат+1 в Ат, является приведенным (ЕЕб')-спектром, а его предел топологически изоморфен А.

а

т

Предположим, что последовательность Н состоит из двух частей— «проективной» (Я2й-і)й=і и «индуктивной» (Я2&)0—1 , относительно которых будем предполагать выполненными условия:

0) существует такое в, что для любого п и каждого т ^ в + 1 найдется Ста,„ < те такое, что для всех к имеем

||*т-8ж||т-м < Сті„||ітх||ті„ (х є Я2й-і); (3)

СУ) существует такое в, что для любого т и каждого п ^ в + 1 найдется -Ота,„ < те такое, что для всех к имеем

||і х||т,п ^ ^т,п||і х||1,п-в (х Є Н2&)- (4)

Не нарушая общности, будем считать, что номер в, фигурирующий в (3) и (4), один и тот же. Заметим, что из (2) вытекает условие

1- ||І Х||Ш,П+1 „ / -ГЧТЧ

,І1П1 8иР и ---= 0 (т,пєЩ. (5)

жЕЯ2^ ||і х||т,п

Для произвольных т, п Є N положим

У' оо

Ат := X = (х«)0=1 Є П Н : х<2^ = 0,

^ &—1

І ||т :=£ ||*тХ(2Й-1) ||т,1 < те ,

&—1 ^

Ґ ОО

АП := X = (х«)0=1 Є П Нк : = 0,

^ Й—1

1 ||п := ^ ^ Ж<2Й) ||1>” < те Г

^—1 '

Нетрудно видеть, что и А^ являются банаховыми при всех т, п € М, а так как Е1)П компактно вложено в £^.,„+1 и выполнено (5), то АП компактно вложено в А^+1 для любого п € N. Рассмотрим

о о

I1 := П А1,, А2 :=□ АП

т—1 п—1

и наделим пространство А1 топологией проективного, а пространство А2 топологией индуктивного предела последовательности про-

странств (Лт)0=1 и (АП)0—і соответственно. Так как АП компактно вложено в АП+і, то Л2 является (Д£5)-пространством.

Предложение 1. Коэффициентное пространство А представляет собой прямую сумму пространств А1 и А2, т. е. А = А1 © А2.

< Вначале покажем, что для любых т,п Є N найдется номер £„ ^ п такой, что

Ат+в,П ^ Ат © Аіп ,

где в — номер из условий (3) и (4).

Пусть Х = (х<Й) )0=1 Є Ат+в,П, т- е. ||Х ||т+в,п < те. В силу (3)

о о

Х|Г*<2*-1) ||т,1 < Ст,^ ||*т+8Х<2Й-1) ||т+,,п < те. (6)

&—1 & — 1

Так как отображение *т+з: Ет+5 ^ Е является непрерывным (здесь

-1 -і -2 '^т+8_______________________1 \

и далее ^т+в = *2 0 *з ◦ ... ◦ гт+в ), то для номера п существует та-

кой номер £п и константа 1 ^ Вт,п < те, что

||іт+вх || 1,^п ^ Вт,П ||х || т+в,п ^ х Є Ет+в,п.

Поэтому

о о

Еи*1 *<2*°||м» ^ Вт,^ ||*т+8х<2й)||т+в,П < те. (7)

&—1 &—1

Рассмотрим У = (у<*))о—і и Z = (г^^о—і, где

ш = |0, к = 2г, ^<к) = |0, к = 2г - 1,

|ж<*), к = 2г - 1, |ж<*), к = 2г.

Очевидно, что X = У + Z. Из (6) и (7) получим

У Є Ат, Z Є А2п и ||У||т + < тах(Ст,„ ,Вт,п }И т+»,п.

Следовательно, Ат+8,П ^ Ат © А^. Отсюда

о о о о

А с П и Ат+в,п с р и Ат © < с

т—1 п—1 т—1 п—1

С

(п Ат) ©( и АП) = А1 © а2.

^т—1 ' ' П—1 '

Более того,

ато+8 = іпа„ ато+8)„ ^ іпа„ (Ат © а^) = Ат © іпа„ аП

для любого т Є М, и, значит,

А = рго] Ат+8 ^ рго^Ат © іпа„ АП) =рго] Ат © іп^ АП = А1 © А2.

-*-т © ^'-‘-п ^-‘-п/ г1^ ^-*-т

тт

Теперь покажем, что Ат Ф АП ^ Ат, п+3 для всех т и п. Возьмем элементы У = (у(к))О=1 из Ат и 2 = (г(к))О=1 из АП вида

у(к) = /°> к = 2г, ^) = /°> к = 2г - 1

|ук), к = 2г - 1, |г(к), к = 2г.

Тогда X = У + 2 принадлежит пространству Ат,„+8. Действительно, в силу (1) и (4)

Йт,„+8 < тах{1; Ят.п} (| Й 1т + Ш|П Следовательно, Ат Ф АП ^ Ат,и+8. Отсюда

ОО ОО ОО ОО ОО ОО

а1 ф а2 = |^| |^| Ат Ф АП С |^| (^) Ат,п+я = Р 1^) Ат,п = А.

При этом

Ат © Мп АП = іпап (Ат © АП) ^ іпап Ат,п+Я = Ат для любого т Є М, и, значит, А1 © А2 = рго] Ат © іп^ АП = рго](Ат © Мп АП) ^ рго] Ат = А.

т т т

Таким образом, А = А1 © А2. >

Приведем удобное для использования описание сопряженного с А пространства. Для всех т, п Є N определим банаховы пространства

I ^

Ат,п := < Ф = (^)Г=1 єЦ (Як)т,п •

к=1

|йи-:= 8Л"Р{||І”ІС',: (*“>)£‘6 -Ц < 4

т

Здесь под (Н*)ln понимается пространство, сопряженное с Н* с индуцированной из ЕТО)П нормой. Так как ATOjn ATOjn+i, то ATO)„+i ^ ATOjn. Положим ATO := f|ATO,n и наделим ATO топологией проективного предела ЛВП Am n (по n), вместе с которой оно является пространством Фреше. В силу непрерывности С+1 : Em+i ^ Em имеет место непрерывное вложение Am ^ Am+i. Обозначим A := U~=i A™ и будем рассматривать это пространство с топологией внутреннего индуктивного предела последовательности ЛВП (Am)^=i, относительно которой оно, как нетрудно видеть, отделимо.

Согласно предложению 3 из [2] A является (алгебраической) реализацией сопряженного с A. При этом билинейная форма, устанавливающая отделимую двойственность между A и A, имеет вид

< X, Ф >:= £ (*<*>) (х = (*<*>)~i G A, Ф = (^fc)~=i G A) .

fc=i

Стандартными рассуждениями устанавливается, что сопряженные

с Ai

и A2 можно отождествить с пространствами Ai = indm Al и A2 = projn A2n, соответственно, где

Ф = (^fc )fc=i G (H* )l,i : ^2fc = 0,

k=i

: = supsup{ : («“>>« « 4, } < “}

An := <| Ф = (^)r=i G Д (H)i,n : №-i = 0,

k=i

||Ф||П := supsupj^g^i : (*(fc))^=1 G A^j <

*gn

Так как А2 — )-пространство, то А2 является (£5)-прост-

ранством и (А2,в(А2,А2)) = А2.

По аналогии с предложением 1, используя (3) и (4), устанавливаем, что А = А1 © А2.

оо

Из определения A следует, что корректно определен линейный оператор

L : X = (ж(к) )^Li G A I—► LX = x(k) G Е,

k=i

который непрерывно действует из A в Е. Этот оператор называют оператором представления. Сопряженный с L оператор l : Е' ^ A является слабо и сильно непрерывным и действует по правилу

l : p G Е' I—>lp = (p|Hfc)r=i G A.

Предложение 2. Пусть E = (Em, il+i) —приведенный (DFS)-спектр, причем Proji E = 0. Предположим, что последовательность подпространств H = (Н*)^=i удовлетворяет (2), и что для (H2k-i)-*=i выполнено условие (3), а для (H2k)-*=i — условие (4). Если D = l(E') замкнуто в (A, ct(A, A)) и l инъективен, то последовательность подпространств (Н*))^=i является АПСП в Е.

< Из инъективности I следует, что Ь(-А) плотно в Е, т. е.

ЦА)=Е. _

Отображение L : (A,ct(A, A)) ^ (Е, ст(Е, Е')) открыто [3, предложение 8.6.3], так как D замкнуто в (A,ct(A,A)). Отсюда следует, что L — открытое отображение из A в Е. Как (прямая) сумма совершенно полных пространств, A является совершенно полным пространством. Согласно [4, гл. 6, предложение 9] L(A) (с индуцированной топологией из Е) совершенно полно. Следовательно, L(A) замкнуто в Е. Таким образом, L(A) = L(A), а, значит, L(A) = Е. Применив предложение 4 из [2], получим, что (Hk)j*=i — АПСП в Е. >

Приведем теперь некоторые нужные для доказательства основного результата работы дополнительные обозначения и факты.

Зафиксируем m G N. Для каждого p G Е1 и n G N положим

|p(x) |

ll^l lm,n -= SUP {I ¥?(ж) I • х G ETOj„, ||x||TOjn ^ 1} = sup - -j .

xGEm,n ||x||m,n

Очевидно,что 11 ■ ||т,„—преднормана ичто ^ пш,п+1

при всех р € Ет и п € N. В пространстве Е^ введем топологию, определяемую набором преднорм {|| ■ || } ^=1. В этой топологии Ет

является пространством Фреше.

Через 1т обозначим сопряженное к отображению проектирования *т. Очевидно, что 1т линейно и действует из Ет в Е' по правилу 1т (р) = р(*т-). В Е' рассмотрим векторное подпространство Ет := 1тЕт и наделим его топологией пространства Фреше, определяемой набором преднорм {|| ■ ||т,п}^=1., где для ф € Ет

Н^Н^п := вир { е Ят,П) ж € е) (п € М).

^ ж||т,п )

Стандартными рассуждениями проверяется, что пространство Ет алгебраически и топологически изоморфно Ет.

Имеем, что Ет ^ Ет+1. Действительно, пусть ф — произвольный элемент из Ет. Тогда найдется единственный элемент р из Ет такой, что ф(ж) = р(*тж) (ж € Е). Положим р(у) := р(С+1У) (у € Ет+1). Как суперпозиция линейного непрерывного отображения и линейного непрерывного функционала, р является линейным непрерывным функционалом на Ет+1. Так как отображения С+1 : Ет+1 ^ Ет непрерывны и Ет являются (Ь-В)-пространствами (т € N) , то для каждого п € N найдется номер гп и константа ^т п < те такие, что

||im+i x||m,rn ^ dm,n ||x||m+1,n ^ ж G -Em+ijn •

Отсюда

, !<£(*)I l^(C+i2/)l /

ш+l.n = SUP TT-71------------ = sup -и—1| ---- <

||x||m+1,n y£Em+i,n ||y||m+1,n

/Л l^(C+l2/)l _ Ь(ж)| _ IL„n,

dm,v, SUp Sj dm,и SUp — ^т,и | M |ТО)Гг1

y£Em+i,„ ||im+1y||m,r„ ||x||m,r„

Для любого ж G Е

ф(ж) = p(*m ж) = p(C+i(*m+1x)) = p(*m+1x).

Поэтому /m+ip = ф, а, значит, ф G Е1+1 . При этом

1т+1,п 11^|1т+1,п ^ ^т,п ||р||т,гп = ^т,п||ф||т,г„ ^ п € N.

Следовательно, Ет ^ Ет+1.

Так как Ет (т € N) — векторные подпространства в Е', то и^=1 Ет С Е'. Справедливо и обратное вложение. В самом деле, пусть ф € Е'. Тогда существует такой номер т и функционал р

из Е'т (с учетом процедуры продолжения линейного непрерывного функционала с *тЕ на Ет), что ф = /тр, Т. е. ф € Ет С Ц1^=1 Е*

Поэтом^ о=1 Ет = Е'.

Через Е * будем обозначать множество линейных непрерывных функционалов на Е, наделенное топологией внутреннего индуктивного предела последовательности пространств (Ет)т=1.

Следующий результат является основным в работе и представляет собой обобщение теоремы 4 из [5] и основных результатов работ [6, 7].

Теорема 3. Пусть Е = (Ет,*т+1) —приведенный (ОЕ^)-спектр с Рго]1 Е = 0, а последовательность Н = (Н)^=1 нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее *тН С Етд, подпространства *тН замкнуты в Етд (к,т € N) и выполнено (2). Предположим далее, что для (Н2^-1 )£=1 выполнено условие (3), а для (Н2к))^=1 — условие (4). Для того чтобы Н была АПСП в Е, необходимо и достаточно, чтобы условие

Vт1 3т2 VП2 3щ 3С < те : Нр^,п2 < С(8)

выполнялось для всех р € Е', для которых (р|нк )й=1 € Ат1.

< Необходимость была установлена без условия распадения последовательности Н на две составляющие в теореме 2 из [2].

Докажем достаточность. Согласно предложению 2, если I инъек-тивно отображает Е' на замкнутое подпространство в (А,о(А, А)), то (Н)£=1 является АПСП в Е. Инъективность оператора I непосредственно следует из (8). Поэтому для доказательства теоремы осталось показать, что О = 1(Е') замкнуто в (А, о(А, А)).

Имеем А = А1 © А2. Следовательно, О замкнуто в (А, о(А,А)) тогда и только тогда, когда

О1 := О П А1 замкнуто в (А1, ^(А1, А1)) и О2 := О П А2 замкнуто в (А2,о(А2,А2)).

Доказательство того, что О1 замкнуто в (А1, ^(А1 ,А1)) проведем по схеме, предложенной в [8]. Наша задача показать, что пересечение О1 с каждым замкнутым ограниченным в (А1 , ^(А1 ,А1)) множеством слабо компактно. В этом случае О1 будет замкнуто в (А1 , ^(А1, А1)) [9, следствие из теоремы 5, с. 95]. Пусть Q — произвольное замкнутое ограниченное в (А1, о^А1, А1)) множество и пусть В := Q П О1 (то же самое, что В = Q П О).

Заметим, что индуктивная топология в A1 обладает такими же свойствами, что и топология Л из [3, с. 697-698]. Поэтому пространства A1 и (A1 ^(A1 ,А^) имеют одинаковый набор ограниченных множеств, а индуктивная топология в A1 не слабее топологии в(^41, A1). Кроме того, A1 — регулярный индуктивный предел последовательности пространств (A^J^i . Напомним, что внутренний индуктивный предел F последовательности ЛВП (Fn)£=i называется регулярным, если каждое ограниченое в F множество содержится и ограничено в некотором Fn. Как известно (см., например, [10]), каждое (DFS)-пространство является регулярным индуктивным пределом.

Рассмотрим сеть элементов {ма}аел из B. Тогда для каждого a G Л найдется элемент ya G Е' такой, что lya =

Так как множество Q ограничено в (A1 ,ст(^41,А1)), то оно ограничено в (A1,^(A1, A1)) (см., например, [4, предложение 3, с. 109]), а, значит, Q ограничено в A1. Индуктивный предел A1 является регулярным, следовательно, Q содержится и ограничено в некотором aIi так, что sup$GQ ||$||mi := C0 < те. В силу оценки (8), для номера mi + s (номер s взят из условий (3) и (4)) найдется номер m2 G N такой, что

VП2 зni 3C < те : |M|m2,n2 < CHMImi+s,ni (VЧ>GЕ' : lpGAmi +,)• Из оценки (3) следует, что для номеров mi + s и ni существует константа Cmi+Sjni < те такВ^ что ||Ф ||mi +s,ni < Cmi+s,ni ||^||mi при

всех Ф G Aj^ . Отсюда

sup ||p||m2 ,n2 ^ CCmi +s,ni sup ||lp||mi ^ CCmi+s,ni C0 < те,

т. е. sup;-i(B) ||p||m2,n2 < те для всех П2 G N, а, значит, Bi := l-1(B) содержится и ограничено в Е12 . Отсюда следует, что Bi ограничено в Е* = (Е',в(Е',Е)). Так как Е бочечно [11, теорема 3.5], то множество Bi относительно компактно в (Е', ст(Е',Е)) [12, предложение 5.2, с. 180]. Значит, из сети {уа}аел можно выделить подсеть {ya}aGл1, слабо сходящуюся (сходящуюся в (Е',ст(Е',Е))) к некоторому элементу yo G Е'. Так как оператор

l : (Е',ст(Е', Е)) ^ (A, ct(A, A)) непрерывен, то сеть {lya}Q^i слабо

сходится к 1уо =: «о € Б. В силу замкнутости Q в (А1 , о^А^А1)) имеем, что «о € В = Q П Б = Q П Б1. Итак, множество В слабо компактно, а поэтому Б1 замкнуто в (А1 , ^(А1 ,А1)).

Покажем теперь, что множество Б2 замкнуто в (А2,<т(А2,А2)). Так как А2 является (£5)-пространством, то замкнутость Б2 в (А2, ст(А2, А2)) равносильна замкнутости (даже секвенциальной замкнутости) в А2.

Рассмотрим последовательность {Ф*}°=1 элементов из Б2, сходящуюся в А2 к некоторому элементу Ф € А2. По определению Б2 для каждого ] € N найдется элемент р* € Е' такой, что Ф* = 1р*. Покажем, что Ф € Б2, т. е. Ф € Б П А2. Зафиксируем произвольное Ш1. Применяя оценку (8), получим

3Ш2 : VП2 зП1 3С < те : ||р||т„ < СНМЦ.щ (9)

для всех р € Е' таких, что 1р € АТО1. Так как последовательность {Ф*}°=1 сходится в А2, то она является последовательностью Коши в А2. Тогда

Vе > 0 Vп € N 3^(п) € N : ||Ф*+7—Ф*||„ < е (10)

при всех г € N и ] ^ ^о (п). Так как ЕТО1 ^ Е1, то для найденного в (8) номера П1 существует такой номер 41 и константа С1 < те, что х||1,*1 < Ь||ж||ТО1 ,„1 для всех х € ЕТО1 ,„1 .Поэтому

||Ф||т1 < С1 ||Ф||41 привсех Ф € Д. .

Отсюда и из (9), (10) следует, что

||р*+г — р*||тоз „2 ^ СС1 ||1р*+г — 1р*||(1 < СС1е, Vг € N, ] ^ _7о(41).

Следовательно, {р*}°=1 — последовательность Коши в Е^2, а значит, и в Е*. Согласно [11, теорема 3.5] (Е',в(Е',Е)) полно, поэтому {р*}°=1 сходится к р € Е'. Так как I непрерывно действует из Е* в А, то последовательность {1р*}°=1 = {Ф* }°=1 сходится в А к 1р = Ф € Б, т. е. Ф € Б2. Значит, Б2 замкнуто в А2 и, следовательно, замкнуто в (А2,ст(А2, А2)).

Таким образом, Б замкнуто в (А, ст(А, А)) и теорема доказана. >

В заключение отметим, что по сравнению с анонсированными ранее в теореме 2 из [2] достаточными условиями нами были ослаблены предварительные условия на подпоследовательности (H"2fc-i)*!=i и (H2k)д!=1 (сравнить (3) и (4) с соответствующими условиями из [2]). Данное ослабление позволяет существенно расширить сферу применения достаточных условий из теоремы 3 для исследования абсолютно представляющих систем. В частности, эти новые условия применены нами для построения примеров абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Румье.

Литература

1. Коробейник Ю. Ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки.— 1985.—Т. 38, № 5.—С. 741-755.

2. Абанин А. В., Михайлов А. Б. Абсолютно представляющие системы подпространств в пределах проективных спектров (ЬВ)-пространств // Исследования по математическому анализу. Cep. мат. форум. Т. 1.— Владикавказ: ВНЦ РАН.—2008.—С. 7-15.

3. Эдвардс Р. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1969.—1072 с.

4. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространст-ва.—М.: Мир, 1967.—258 с.

5. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.— Т. 36, № 1.—С. 73-126.

6. Абанин А. В. О разложении пространств в ряды из подпространств // Актуальные вопросы математического анализа.—Ростов-на-Дону: Изд-во «ГинГо».—2000.—С. 23-27.

7. Абанин А. В. Индуктивные абсолютно представляющие системы подпространств // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование.—Владикавказ: ВНЦ РАН.—2006.—С. 27-34.

8. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализация сопряженного пространства // Изв. вузов. Математика.—1990.—№ 2.—С. 68-76.

9. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.—М.: ИЛ, 1959.—410 с.

10. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛПВ и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук.—1979.—Т. 34, № 4.—С. 97-131.

11. Vogt D. Topics on projective spectra of (LB)-spaces // Advances in the theory of Frechet spaces. NATO ASI Ser.—Dordrecht: Kluwer, 1989.—Vol. 287.—P. 11-27.

12. Шефер Х. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—359 с.

Абанин Александр Васильевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А; Южный федеральный университет Россия, 344006, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8a E-mail: abanin@math.rsu.ru

Михайлов Константин Андреевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А;

Южный федеральный университет

Россия, 344006, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8a

E-mail: kmihailov@sssu.ru

SUFFICIENT CONDITIONS FOR ABSOLUTELY REPRESENTING SYSTEMS OF SUBSPACES IN (DFS)-SPECTRA Abanin A. V., Mikhailov K. A.

We obtained sufficient conditions under which the given sequence of subspaces is an absolutely representing system of subspaces in the limit of the reduced projective (DFS)-spectrum.