Температурное поле в плоской пластине контактного устройства Текст научной статьи по специальности «Физика»

Загребин Л.Д.; Уланов А.В.

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ КОНТАКТНОГО УСТРОЙСТВА

В данной статье рассматривается распределение температурного поля в неограниченной пластине с учетом пространственного распределения теплового потока и временного распределения теплового потока.

Известный импульсный метод «вспышки» (Паркера) [1] измерения ТФС рассматривает одномерную задачу теплопроводности в ограниченной пластине или в цилиндре [2]. Как показывают исследования, при использовании лазерного излучения на результат измерения величины температуропроводности существенное влияние оказывает место нахождение координаты точки, определяющее изменение температуры.

Это связано, прежде всего, с неоднородностью теплового потока по сечению теплового импульса. В этом случае удобнее пользоваться моделью неограниченной пластины в измерении температуропроводности твердых тел.

1. Распределение температурного поля в неограниченной пластине с учетом пространственного распределения теплового потока

На поверхности неограниченной пластины действует мгновенный источник тепла с пространственноэнергетической плотностью. Решая уравнение теплопроводности, представленное в виде:

д2Т дгТ дгТ 1 дТ

---------------т =----- (1)

дх2 ду дz2 а ді

для —ю< х, у <го , 0 < z < (% , і > 0 с начальными условиями:

9оехР (-(х2 + у2) к')

СрРё

0 для g < z < <і

толщина пластины, д- бесконечно тонкий слой), и граничными условиями:

T

(d

для 0 < z < g

(2)

= T = 0

1 Iy=±w 0

ST|

T\x

3T| =r^| = 0

X=±w y=+w

ox qy 1

3T, а , A

— \z=0 =~ T ( x,y,0, t)

(3)

дz

дТ| - 0

и- 0

дz

Применив метод изображений [3], найдем температурное поле неограниченной пластины. Итак, решение задачи (1) с граничными условиями (3) обеспечивается только в плоскости 2=0. Для выполнения граничного условия 2=6 вводится дополнительный источник симметрично относительно плоскости 2=6. Тогда результирующее температурное поле в пластине будет Т (х, у, z) - Т'(х, у, z) + Т'(х, у,2<3 — z) .

Дополнительный источник нарушает выполнение граничного условия (3) при 2=0, что вызывает введение нового источника, симметричного относительно этой плоскости, но последний вызывает нарушение указан-

ного граничного условия для плоскости 2=6 и т. д. получим бесконечный ряд источников от — & до + &

Таким образом, путем введения новых источников В этом случае температурное поле в неограничен-

нои пластине запишется:

T(x,y,z)= 2 T'(x,y,z -2nd) =

2%k

(4at + k2 )^4#atcp p

2 exP

-y

4at + k

-2nd)

2

4at

(4)

1 -a4^erfc I +aV07 I exp

Я ^ s/4at Я J

z - 2nd\ а і—і

---- 1 + — -jat I

Фа я j

2

на обратной поверхности пластины (2=6) можно представить в виде:

T =

4q0k

(

(4at + k2) V4xatcp p

2 exp

: + y2 d2 (2n +1)

2

4at + k2

4at

1 а і------ (d (2n +1) а $—і (d (2n +1) а

1 -—yjKaterc| —-—’ +— y/at Iexp 1 — ---------------J—

Я

Я J

l'Jät Я

а

—y/at

2

или в безразмерных величинах:

0 1 ^ i rVd2

& = -------„, —2 exp

(2n +1)

2

(4 F0 + k V d2 )y/4F0 „=0 1 - erfc ^ + Bi^Fj exp ^

4F0 + k 7 d2 4F0

(,

2n +1

4 F0

+ BiJFn

CO

n=-w

CO

X

n=-w

X

X

2 2 2 а Талере!3 а1

где г — х + у , У —------------^— - относительная температура, г0 ——— - относительное время (число

4д0к !

а 1

Фурье), пг —— а - число Био.

Я

При малых значениях Ві (Ві=0) выражение (6) принимает вид:

(7)

3 = (4F0 + к '¡а2)Ш5ехр

( г V а2 (2п+1)Л

4^0 + к 7 а2 4^)

На рис. 1 представлена зависимость 3 = /(^) для различных значений параметра Ві и к/6. Как показывают расчеты, на величину и «9тах существенное влияние оказывают теплообмен и соотношение ко-

эффициента сосредоточенности (к) с толщиной пластины (6). Отметим, что для координат г/6=0; 0,2, при к/6 = 0, Ві = 0; 0,1 выражение температурного поля (7) переходит к полубесконечному телу и =

0,0727. При к/6>2 можно рассматривать задачу как одномерную и использовать для определения ТФС формулы Паркера, а если 0 < к/а < 1 в интервале 0,9 < г/а < 1,4 , то значения будут сильно изменяться

(см. рис. 2, 3).

Таким образом, значение числа Фурье ( ^0 ) и относительная максимальная температура существенно

зависят от расположения координат, коэффициента сосредоточенности теплового импульса.

Рис. 1. Зависимость 0(^0) для бесконечной пластины в точке г.М =0 при различных соотношениях к/с!

и значениях Bi:

а - Bi=0; б - Bi=0,1; в - Ы=0,5.

2. Температурное поле в неограниченной пластине с учетом временного распределения теплового потока

Гекман [4] рассмотрел треугольный импульс для ограниченной пластины. Как показано в работе, модели Гекмана и Тейлора отличаются значениями коэффициентами Фурье от идеального (£’01/2=0, 1388). Отметим, что авторы работы [5] независимо от формы импульса влияние длительности учитывают определением центроиды данной формы импульса, это значит, момент начала отсчета принимается величина +1 ,

[ ід (і') аі

где і = -°----------, і - длительность импульса.

і

0.4

0.3

а е /^.г/с1=0 б

г/а=о 0.07 - -

- -

0.06 - / Л ^^§5*75 -

\0’2

\ 0.05 - |/ “

" /~\\г0’5 I/

1 / \\ 0.04 |/ 2

/0^5\\ | —- - - - _

" 1 “ 0.03 - | / - ^ ^ ^ -

/ 1 |

I/ /* 0.02 - | / Я -

11/ 0.01

1/ I п— 1 \ \ 0 ¿^111111111

' 0 0.2 0.4 0.6 О

1 1.2 1.4 1.6 1

Ро

Ро

Рис. 2. Зависимость *( К) в различных точках (r/d):

а) точечный источник (k/d=0); б) гауссовское распределение (k/d=2)

Рассматривая температурное поле неограниченной пластины в виде (7), как функцию 3 = / (К0) , можно

получить путем свертки с функцией временного распределения энергетической плотности 0(Ро) [3] темпе-

ратурное поле в неограниченной пластине с учетом длительности

3(К)= |3(К -К')е(К')Щ

(8)

Рис. 3. Изменение То!/2 от координаты (r/d) для различного коэффициента сосредоточенности (k/d)

В случае треугольного импульса с относительной длительностью К = <7-/й2 функцию 0(Ро) представить, как показано на рис. 2.

- го < К < --

К

\

-К +1

г VГ 0г

(

2 2

^07 1К

К

К -1

■ < к < 0

К

(9)

°<Р. <-у

2

- < К < го

Учитывая (7), (8) и (9) получим распределение относительной температуры в пластине

можно

0

0

2 (F') dF0

Длительность теплового импульса существенно влияет на 3тах и Ку2 , которые являются нелинейными функциями К .

ЛИТЕРАТУРА

1. Parker W. J., Jenkins R. J., Butler C. P., Abbott G. L. Flash method of determining thermal diffusivity, heat capacity and thermal conductivity // J.Appl. Phys., - 1961. - V. 32, № 9. -

Р.1679 - 1684.

2. Клименко М.М., Крижановский Р.Е., Шерман В.Е. Импульсный метод определения температуропроводности. // ТВТ.-197 9.-Т.17, № 6. - С. 1216.

3. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.Наука.-1964.-488 с.

4. Heckman R.C. Finite pulse - time and heat - loss effects in the pulse thermal diffusivity

measurements. //Appl. Phys. Lett.-1973.-V.4 4,№ 4.-P.1455- 1460.

5. Azumi T., Takahashi Y. Novell finite pulse - width correction in flash thermal diffusivity

measurement. // Rev. Sci. Instrum.. - 1981. - V. 52, № 9. - P. 1411 - 1413. Имеется перевод в

журн. «Приборы для научных исследований» -1981.- № 9. - С.133-134.