Температурное поле на плоских поверхностях контактных устройств Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 12 (193). Физика. Вып. 7. С. 64 -72.

А. В. Уланов

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ НА ПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ КОНТАКТНЫХ УСТРОЙСТВ

В статье исследуется температурное поле на плоских поверхностях контактных устройств. Теоретические исследования температурного поля проводились на основе неограниченной пластины. Рассматривается распределение температурного поля в неограниченной пластине с учетом пространственного и временного распределения теплового потока, а также термо-фотографический анализ упругих напряжений.

Ключевые слова: температурное графический анализ упругих напряжений.

В рабочем режиме через контактное устройство протекает электрический ток, поэтому в месте контакта происходит выделение тепловой энергии и перегрев контакта по сравнению с температурой окружающей среды [1]. Температура перегрева зависит от потерь в точках соединения контактных поверхностей и в теле контакта при прохождении по нему тока, а также от температуры окружающей среды.

На рис. 1 показана идеализированная конструкция контактного устройства, состоящего из двух цилиндрических контактов, соприкасающихся торцами. Видны две зоны перегрева, имеющие температуры перегрева АТК в точках контактирования и АТТ в теле контакта. Температуру перегрева тела контакта АТТ относительно температуры окружающей среды Токр можно представить как сумму АТТ = АТТ + АТ/, где АТТ и АТ/ —

поле, контактные устройства, термо-фототемпература перегрева тела контакта, обусловленная мощностью, выделяемой на переходном сопротивлении (/2ЯП), и мощностью, выделяемой на сопротивлении тела контакта при прохождении по нему тока, соответственно. Формула для определения АТТ , полученная Хольмом [2]:

АТт = (I7°К) [КП (АТк )ЦъКтК + 4р/(п ■ ЬтБк )], где кТ — коэффициент теплопередачи с поверхности цилиндра длиной 1 см; БК — диаметр тела контакта; р — удельное электрическое сопротивление материала контакта; ХТ — его теплопроводность.

Температуры ТК и ТТ определяются током, протекающим по контактному устройству. Эти температуры не могут превышать определенных значений, что приводит к ограничению допустимого тока. Темпера-

■мТ (Тт )•

Т.

Изоляционные держатели Рис. 1. Конструкция контактного устройства

окр

тура Тк ограничена тем, что при ее повышении активизируется процесс образования пленок. Допустимая температура тела контакта ограничена допустимой температурой для диэлектриков, используемых в конструкции, например для пластмассы ТТ < 80 °С, для керамики ТТ < 200 °С. В зависимости от конструкции контактного устройства и используемых материалов максимальный ток ограничивается Тк или Тт .

Немалое количество деталей контактных устройств имеют плоские поверхности либо представляют собой пластины (рис. 2).

Для теоретического исследования влияния температуры нагрева плоских поверхностей контактного соединения на работу контактного устройства необходимо предварительно исследовать температурное поле в неограниченной пластине.

Температурное поле в неограниченной пластине. Известный импульсный метод «вспышки» (Паркера) измерения ТФС рассматривает одномерную задачу теплопроводности в ограниченной пластине или в цилиндре. Как показывают исследования [3; 4], при использовании лазерного излучения на результат измерения величины температуропроводности существенное влияние оказывает местонахождение координаты точки, определяющее изменение температуры.

Это связано, прежде всего, с неоднородностью теплового потока по сечению теплового импульса. В этом случае удобнее пользоваться моделью неограниченной пластины в измерении температуропроводности твердых тел.

Распределение температурного поля в неограниченной пластине с учетом про-

странственного распределения теплового потока. В реальных условиях тепловой импульс, в частности оптический квантовый генератор на основе рубина или стекла, имеет пространственную неоднородность, которая подчиняется закону нормального распределения. Таким образом, на поверхности неограниченной пластины действует мгновенный источник тепла с пространственно-энергетической плотностью q = д0ехр (-к Г2) , где г2 = х2 + у2 —

координаты теплового импульса, к' — коэффициент, характеризующий сосредоточенность импульса. Для упрощения восприятия дальнейших формул положим Т = АТТ = ТТ - Токр. Решаем уравнение, представленное в виде

д2Т д2Т д2Т 1 д Т

д х2 д у2 д 22 а д і

для

ю< х, у <

сю

і > 0 с

начальными условиями

qoexP (-(х2 + у2) к')

П=о =

ср9 £

0 < г < £;

(2)

0 g < г < ё

(ё — толщина пластины, g — бесконечно тонкий слой) и граничными условиями

Т = Т = 0;

1х=±<Ю 1у=±<ю

д Т д х

д Т

у=±<

д Т

д у

= 0;

у=+ю

д 2 дТ

г=0

(3)

= 0.

Рис. 2. Деталь конструкции контактного устройства

Применив метод изображений [5], найдем температурное поле неограниченной пластины. Для выполнения граничного условия 2 = ё вводится дополнительный источник симметрично плоскости г = ё . Тогда результирующее температурное поле в пластине будет

т(X, у, г) = Т'(х, у, г) + Т'(х, у, 2ё - г). Дополнительный источник нарушает выполнение граничного условия (3) при г = 0, что вызывает введение нового источника, симметричного этой плоскости, но последний вызывает нарушение указанного граничного условия для плоскости г = ё и т. д. Таким образом, путем введения новых источников получим бесконечный ряд источников от -да до . В этом случае температурное поле в неограниченной пластине запишется:

При малых значениях Ы (Ы = 0) выражение (4) принимает вид

1

0 =

ехР

п=0

(о + к2/ё2 ))о

г 2/ ё2 (п +1)

. (5)

4Ёо + к 2/ ё2 4Ёо

На рис. 3 представлена зависимость 0(Бо) для различных значений параметра

Ві и к/ё. Как показывают расчеты, на величину Ёо^ и 0тах существенное влияние

оказывают теплообмен и соотношение коэффициента сосредоточенности (к) с толщиной пластины (ё). Отметим, что для координат г/ё = 0; 0,2 при к/ё = 0, Ві = 0; 0,1 выражение температурного поля (5) переходит к полубесконечному телу и Ёо^2 = 0,0727.

Т(х, у, г) = X Т'(х, у, г - 2пё) =

2q0k2

(4аі + к2 )44каї ср

X ехр

х2 + у2

4аі + к

(г - 2пё) 4аі

2

1 -—4каі еПс К

ґ\

г - 2пё| —

4 4а/ К

+—■'•[а/

ехр

г - 2пё| —

44аі К

2

+—у[аі

на обратной поверхности пластины ( г = ё ) можно представить в виде

Т =

(а/ + к2 )4каісрр

4а/ + к2

4а/

К

или в безразмерных величинах

1

— I-------7 п Г ё (п +1) — ГГ

1------у к аі епс — .— +— ліаі

0 =

(о + к V ё2 ))о

2у[аі К

X ехР

ехр

ё (2п +1) — і—

4 ’ + —4а/

24 аі К

/у

(2п +1)

4Ёо + к V ё2 4Ёо

г V ё2

2

1 -Ві^/тсБ'оеПс[ —п+— + Віл/Бо |ехр

4Ёо

2п +1 4Ёо

Bi^/Fo

уу

где г2 = х2 + у2, 0 =

Тл/Ксрё3

Н к 2

аі

(4)

— относительная температура, Ёо = — — относительное

ё2

а

время (число Фурье), Ві=—ё — число Био.

К

п=-ю

п=-ю

а — Ы = 0; б — Ы = 0,1; в — Ы = 0,5.

Рис. 3. Зависимость 9(Бо) для бесконечной пластины в точке г/ё = 0 при различных соотношениях к/ё и значениях Ы

При к/ё > 2 можно рассматривать задачу как одномерную и использовать для определения ТФС формулу Паркера, а если 0 < к/ё < 1 в интервале 0,9 < г/ё < 1,4 , то значения Бо^ будут сильно изменятся (рис. 4-5).

Таким образом, значение числа Фурье (Бо^2) и относительная максимальная температура существенно зависят от расположения координат, коэффициента сосредоточенности теплового импульса.

Температурное поле в неограниченной пластине с учетом временного распределения теплового потока. Гекман рассмотрел треугольный импульс для ограниченной пластины. Как показано в работе [6], модели Гекмана и Тейлора отличаются значениями коэффициента Фурье от идеального (Бо^ =

= 0,1388). Отметим, что авторы работы [7] независимо от формы импульса влияние длительности учитывают определением центроиды данной формы импульса, это

а) точечный источник (к/ё = 0); б) гауссовское распределение (к/ё = 2)

значит, за момент начала отсчета принимается величина

і0 + і£ , т / т

где і£ =| і,q(і')ёі' І q(і')ёі', т — длитель-0 / 0 ность импульса.

Рассматривая температурное поле неограниченной пластины в виде (5) как функцию 0 = / (Бо) , можно получить путем свертки с функцией временного рас-

пределения энергетической плотности 0(Бо) температурное поле в неограниченной пластине с учетом длительности

0'(Бо)= | э(Бо -Бо ']0(Бо '] ёБо '. (6)

В случае треугольного импульса с относительной длительностью Бог = аг1/ё2

функцию 0(Бо) можно представить:

Є (Бо ) =

0

-ю < Бо < -(Бот/2) (2/Бот)(Бот)Бо +1) -(Бот/2) < Бо < 0

-(2/Бот) ((2/Бот) Бо -1) 0 < Бо <(Бох/2) .

0 (Бот/2)< Бо <ю

(7)

Рис. 5. Изменение Бо^2 от координаты (г/ё) для различного коэффициента сосредоточенности (к/ё)

Учитывая (5), (6) и (7), получим распре- и передовых инструментов обработки сиг-

деление относительной температуры в пла- налов сделала анализ термоупругих напря-

стине:

Бо

0 '(Бо )={-

п=0

(4 (Бо - Бо ') + к2/ё2)4 (Бо - Бо ')

2 Л

(2п +1)

4 (Бо - Бо ') + к2/ё2 4 (Бо - Бо')

-V ё2

(8)

0 (Бо ' )ёБо ' .

1

Термо-фотографический анализ упругих напряжений. Анализ термоупругих напряжений — это экспериментальный метод, используемый инженерами и учеными для решения практических задач при проектировании конструкций и материалов. Комбинация матрицы инфракрасных датчиков

жений практичным инструментом описания функционирования материалов и конструкций [8].

Анализ термоупругих напряжений основан на следующем явлении: когда тело сжимается, оно нагревается. Когда давление на тело прекращается, температура тела возвращается к первоначальному значению.

Термоупругое уравнение, выражающее изменение температуры тела через изменение суммы главных напряжений, имеет вид

ДТт =-Сф (До), (9)

РСр

где р — плотность; Ср — теплоемкость

при постоянном давлении; а — коэффициент теплового расширения и Токр — температура окружающей среды; тело находится в адиабатных условиях (нет существенной теплопотери) [8].

Формула (9) может быть также использована при анализе обратного процесса, когда изменение температуры приводит к изменению главных напряжений. Эти отношения определяют влияние температуры на распределение двупреломления в материалах около точки плавления [9]. Продемонстрируем эти эффекты на практике для гелевой основы, используемой в микролитографии.

Прямоугольное основание зажато между верхней и нижней горизонтальными плоскостями. Полученная численным методом диаграмма изохром, созданная круговым полярископом, представлена на рис. 6.

Поверхность главных напряжений показана на рис. 7. Следует отметить, что напряжения сконцентрированы около вершин угла прямоугольного основания.

Предположим, что верхняя пластина пресса нагрета до температуры выше точки плавления. Распределение температуры по всему телу показано на рис. 8; здесь нулевая температура соответствует температуре окружающей среды до нагревания верхней пластины пресса. Определяющее отношение между изменением температуры тела и изменением суммы главных напряжений (9) приводит к следующему изменению в распределении главных напряжений (рис. 9).

Затем мы наблюдаем за изменением в диаграмме изохром в течение времени нагревания верхней плоскости пресса до тех пор, пока основание не проплавляется насквозь и эффект двупреломления исчезает. Данная ситуация проиллюстрирована на рис. 10.

Построение цифровых фотоупругих изображений — это непрямой метод. Он включает такие шаги как построение численной модели анализируемого объекта; вычисления конечных элементов, основанные на схеме пупинизации и граничных условиях; определение центральных компонентов напряжения и их сглаживание; построение соответствующих цифровых изображений.

Хотя применение обычного анализа методом конечных элементов, основанного на формулировке смещения, требует создания специальных стратегий сглажи-

Рис. 6. Диаграмма изохром основания, зажатого между верхней и нижней горизонтальными плоскостями

вания, оно дает определенные преимуще- интерференционных полос сконцентриро-

ства. Необходимо отметить, что чистый ван только лишь около восстановления

экспериментальный фотоупругий анализ областей напряжения.

Рис. 8. Распределение температуры по телу в случае, когда верхняя пластина пресса нагрета

О о

Рис. 9. Распределение главных напряжений в случае, когда верхняя пластина пресса нагрета

Рис. 10. Фотоупругие интерференцонные полосы при увеличении температуры, когда верхняя пластина пресса нагрета до температуры: а) Т = 20 °С; б) Т = 50 °С; в) Т = 75 °С; г) Т = 100 °С; д) Т = 200 °С

Описанные процедуры могут быть естественно вложенными в экспериментальный гибридный численно-фотоупругий анализ, который позволит восстанавливать не только напряжения, но также и области смещения в анализируемой контактной системе.

Список литературы

1. Бутковский, А. Г. Оптимальное управление электромеханическими устройствами постоянного тока / А. Г. Бутковский, А. Ю. Чер-кашин. М. : Энергия, 1972. 112 с.

2. Herrman, L. R. FEM Analysis of Contact Problems, J. of Eng. Mech. / L. R. Herrman. Div., 1978. Vol. 104, Nr. 5. P. 1043-1057.

3. Borchiellini, R. Estimation of the thermal conductivity of an epoxy resin by the use of an internal parallelepiped heat source. I: Numerical analysis / R. Borchiellini, M. F. Torchio // High Temp. High Press, 1999. P. 633-641.

4. Sheich, M. A. Measurement of thermal diffusivity of isotropic materials using a laser

flash method and its validation by finite element analysis / M. A. Sheich, S. C. Taylor, D. R. Hay-hurst, R. Taylor // J. Phys. D: Appl. Phys. 2000. Vol. 33. P. 1536-1550.

5. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М. : Наука. 1964. 488 с.

6. Degiovanni, A. Diffusivite et methode flash / A. Degiovanni // Rev. Gen. Theerm. Fr. 1977. Vol. XVI, № 184. P. 420-442.

7. Azumi, T. Novell finite pulse — width correction in flash thermal diffusivity measurement / T. Azumi, Y. Takahashi // Rev. Sci. Instrum. 1981. Vol. 52, № 9. P. 1411-1413. (Имеется перевод в журн. «Приборы для научных исследований». 1981. № 9. С. 133-134.)

8. Soifer, V. A. Computer processing of images. Herald of the Russian Academy of Sciences / V. A. Soifer. 2001. 71(2). P. 119-129.

9. Zinkiewicz, O. C. Finite elements and approximation / O. C. Zinkiewicz, K. Morgan. M. : Mir, 1986. 320 p.